考點11等差數(shù)列

本節(jié)概要

上知N識M講X，----------------------------

一.等差數(shù)列定義

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符

號表示為為+1—斯=4（〃￡1<,1為常數(shù)）.

二.等差數(shù)列的有關(guān)公式

1.通項公式：?！?。1+（〃一l）d通項公式的推廣：?！?0“+（〃一〃?）"（〃，

,n(n~1),(ai+斯)n

2.前〃項和公式:

Sn=nciiT3d=

三.等差中項

1.等差中項：數(shù)列小A,5成等差數(shù)列的充要條件是A=皇，其中A叫做小的等差中項.

2.等差中項推廣

四.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

1.前n項和與等差中項

2.前n項和片段性：Sm，S2m—Sm，S3m—S2n”…構(gòu)成等差數(shù)列.

4當項數(shù)為偶數(shù)2〃時,S嶙一5奇=/以；項數(shù)為奇數(shù)2〃一1時，S司一S通=。中,S有：S糊=〃：（〃-1）.

五.求等差數(shù)列前〃項和S〃最值的兩種方法

1.函數(shù)法：利用等差數(shù)列前〃項和的函數(shù)表達式S〃=GP+M,通過配方結(jié)合圖象借助求二次函數(shù)最值的方

法求解.

2.鄰項變號法：

］。后0，

（1）當0>0，4V0時，滿足《八的項數(shù)小使得S〃取得最大值為S”；

%+100

an<0,

（2）當0VO,d>0時，滿足A的項數(shù)機使得S”取得最小值為S”.

3.等差數(shù)列的增減性與最值

（1）公差◎。時為遞增數(shù)列，且當0<0時，前〃項和S”有最個值；

（2）公差d<0時為遞減數(shù)列，且當0>0時，前〃項和S”有最大值.

六.判定數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列的常用方法

1.定義法：對任意〃￡N",即+1—。“是同一個常數(shù).

選下標列定義式換一項化簡寫結(jié)論

2.等差中項法:對任意論2,滿足2%=研1+%7.

3.通項公式法：數(shù)列的通項公式處是〃的一次函數(shù).

4.前〃項和公式法：數(shù)列的前〃項和公式S〃是〃的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.

典例剖析|----------------------------------

考點一等差數(shù)列基本量的運算

【例1】（2023廣東潮州）等差數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列｛q｝的前〃項和為S..

【變式】（2023?北京）已知數(shù)列｛"/是等差數(shù)歹U.

考點二等差中項

11

A.72B.也u國D-正

A.5B.6C.8D.9

A.-4B.-2C.2D.4

A.24B.48

C.20D.16

【變式】

A.4B.6C.8D.10

A.1B.2C.3D.4

A.20B.40C.60D.80

考點三前n項和與等差中項

A.22B.33C.40D.44

40-38c1732

A.—B.—C.—D.—

93874281

13°26c26「13

AA.——B.—C.-----D.—

1113711137

【變式】

37c19c911

A.—B.—C.—D.——

65291919

2、3_35

A.-B.—C.—D.-

3456

1412267

A.—B.—C.—D.-

97154

103-103一193「193

A.-----B.-----C.——D.-----

6411864118

考點四前n項和片段性

A.12B.18C.24D.30

【例42】（2023?江蘇）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為40,前3〃項和為420,則前2〃項和為（）

A.140B.180C.220D.380

【變式】

A.9B.10C.11D.12

B.當〃=8時，S"最大

考點八含有絕對值的等差數(shù)列求和

⑴求數(shù)列幾｝的通項公式及前〃項和S.；

【變式】

⑴求數(shù)列｛q,｝的通項公式;

⑴求數(shù)列｛q｝的通項公式q,：

⑴求數(shù)列｛《,｝的通項公式;

考點九等差數(shù)列的證明與判斷

【變式】

(2)求數(shù)列｛4｝的通項公式.

⑴試證明數(shù)列｛，｝為等差數(shù)歹Ij;

⑵求數(shù)列｛〃“｝的通項公式.

（2）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

考點十等差數(shù)列的實際應(yīng)用

【例101】（2023下,河南駐馬店?高二統(tǒng)考期中）朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學家之?，他所著的《四元玉

鑒》卷中"如像招數(shù)"五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次

日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二

天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升.〃在該問題中前7天共分發(fā)多少

升大米？（）

A.1170B.1440C.1785D.1772

【例102】（2023?福建廈門）《周解算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨

水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這些節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、

春分日影長之和為31.5尺，前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則芒種日影長為（）

A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺

【例103]（2023?四川達州?統(tǒng)考一模）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時著名的數(shù)學著作，其中有物不知數(shù)問題:

今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？意思是：有一些物品，不知

道有多少個，只知道將它們?nèi)齻€三個地數(shù)，會剩下2個；五個王個地數(shù)，會剩卜.3個；七個七個地數(shù)，也

會剩下2個.這些物品的數(shù)量是多少個？若一個正整數(shù)除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數(shù)由小到大

排列，則前5個數(shù)的和為（）

A.189B.190C.191D.192

【變式】

1.（2023廣東深圳）我國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一

百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何？”其大意是：現(xiàn)有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，

以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.關(guān)于該問題，下列結(jié)論錯誤的是

（）

C.此人前七天共行走了九百一十里D.此人前八天共行走了一千零八十里

2.（2023?河北邢臺）按照小方的閱讀速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分鐘.2023年10月2G日，他開

始閱讀《巴黎圣母院》，當天他讀了1個小時，從第二天開始，他每天閱讀此書的時間比前一天減少2分鐘，

則他恰好讀完《巴黎圣母院》的H期為（）

A.2023年11月12日B.2023年11月13日

C.2023年11月14日D.2023年11月15日

3.（2023?四川達州?統(tǒng)考一模）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時著名的數(shù)學著作，其中有物不知數(shù)問題：今有

物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多

少個，只知道將它們?nèi)齻€三個地數(shù)，會剩下2個：五個五個地數(shù)，會剩下3個；七個七個地數(shù)，也會剩下2

個，這些物品的數(shù)量是多少個？若一個正整數(shù)除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數(shù)由小到大排列，

則前10個數(shù)的和為（）

A.754B.755C.756D.757

JR.i固=iSMB礎(chǔ)MUJ

A.25B.22C.17D.14

A.2B.4C.3D.5

A.45B.60C.160D.80

3c9C119

A.-B.—C.一D.—

719341

A2c8〃87

B.-C.-D.一

.3534

111c37111、37

A.-----B.—C.-----D.—

13132626

29c29一58、58

A.—B.—C.—D.—

21112111

53

A.2B.-C.1D.-

44

A.24B.42C.64D.84

A.18B.36C.40D.42

12.（2023?云南昆明）《周碑算經(jīng)》記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣唇（gui）長損益相同，夏至、小

暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二個節(jié)氣，其口影子長依

次成等差數(shù)列.經(jīng)記錄測算，夏至、處暑、霜降三個節(jié)氣日影子長之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的所有日影

子長之和為84尺，則夏至的日影子長為（）尺

A.1B.1.25C.1.5D.2

A.23B.13C.14D.12

A.37B.36C.18D.19

15.（2023上?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？计谥校┕族缧鞘俏ㄒ荒苡寐阊壑苯涌匆姷亩讨芷阱缧牵淅@

太陽公轉(zhuǎn)周期為76年，曾于1606年回到近日點，奧伯斯彗星的繞太陽公轉(zhuǎn)周期為70年，也曾于1606年

問到近日點，則哈雷彗星與奧伯斯彗星下次同年回到近日點的年份為（）

A.3916年B.4190年C.4266年D.4570年

A.10B.11C.20