考點(diǎn)26.銳角三角函數(shù)（精講）

【命題趨勢】

銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn)，主要考查銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角

函數(shù)，尤其是應(yīng)用主要在綜合題中考查，是考查重點(diǎn)，每年都有一道三角函數(shù)的綜合題，還營和四邊形、

圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型，分值為12分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考

還將以選填題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直

角三角形，是得分的關(guān)鍵。

【知識清單】

1：銳角三角函數(shù)（☆☆）

1）銳角三角函數(shù)的概念：銳角4的正弦、余弦、正切都叫做/A的銳角三角函數(shù).（其中：0<NA<90。）

2）正弦、余弦、正切的概念：如圖，在RtZ\48C+*,ZC=90%AB=c,BC=a,AC=b,

ZA的對邊余弦：cos公會(huì)警正切：ta加支警，

正弦：sin4=

斜邊c鄰邊b

3）特殊角的三角函數(shù)值

asinacosatana

V3

30。

2

45°在也1

22

60°6

2

【補(bǔ)充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過來，若已知一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應(yīng)的銳角.

4）銳角三角函數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)0。</八<90。時(shí)，s/力A隨N4的增大而增大；cosA隨N4的增大而減?。籺anA隨NA的增大而增大°

2：解直角三角形（☆☆）

1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三

角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.

2）在解直角三角形的過程中，常用關(guān)系：

在RtA48C中，ZC=90°,貝lj：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：Z>A+ZB=90：；

（3）邊與角關(guān)系：sin>4=cosB=—,cos4=sinB=—,tan4=—；4）sin24+cos2>4=l.

ccb

3：解直角三角形的應(yīng)用（☆☆☆）

1）解直角三角形的相關(guān)的名詞、術(shù)語：

（1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角。

仰角；在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做包魚。

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做幽。

（2）方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角.

（3）坡度：坡面的鉛宜高度h和水平寬度I的比叫做坡面的坡度（或坡比）,記作/?=%.

坡角：坡面與水平面的夾角叫做姬，記作a,j=tana.坡度越大，a角越大，坡面越陡.

2）解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟：

（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題;

（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；

（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解.

3）測量物體的高度（距離）的常見模型：

（1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）

解題方法：（己知條件：a邛，n,求高m）這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過這條

邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解。

（2）測量底部可以到達(dá)的物體高度

解題方法：1）已知測量儀高，〃，水平距離〃，角。，求高62）已知水平距離〃，角a,角夕，求高/7=a+的；

這兩種模型種可結(jié)合水平距離和相應(yīng)角度，用正切值解題。

（3）測量底部不可到達(dá)的物體的高度

注意：1）在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素（至少有一條邊），可求出其余

的三個(gè)未知元素（知二求三）；2）已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橛袃蓚€(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相

似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定。

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.若銳角是用一個(gè)大寫英文字母或一個(gè)小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切對習(xí)慣省略角

的符號“N"，如tanA.sina.cos若銳角是用三個(gè)大寫英文字母或一個(gè)數(shù)字表示的，則表示它的正弦、

余弦及正切時(shí)，不能省略角的符號“N"，如s加NA8C,cosZ2ftanZ\o

2.銳角三角函數(shù)是針對直角三角形中的銳角而言的，而且由銳角三角函數(shù)的定義可知，其本質(zhì)特征是兩條

線段長的比。因此，銳角三角函數(shù)只有數(shù)值，沒有單位，它的大小只與角的大小有關(guān)，而與它所在的三角形

的邊長無關(guān)。

3.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔

助線來構(gòu)造直角三角形。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.銳角三角函數(shù)

例I：（2025年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題）在一A8C中，NA、NB、NC的對邊分別為。、b、c,且滿足

a2+\c-\0\+^/^^8=12a-36,則sinB的值為.

變式1.（2024?河北承德?九年級統(tǒng)考期末）在中，ZC=90°,若的三邊都擴(kuò)大5倍，則sinA

的值（）

A.放大5倍B.縮小5倍C.不能確定D.不變

變式2.（2025?廣東??？家荒＃┤鐖D，在RtZXABC中，ZC=90°,BC=3AC,則lan6=（）

3x/io

L.------

1010

變式3.（2025?陜西西安?統(tǒng)考二模）在RtZ\A8C中，ZC=90°,己知AC=2BC=3,那么下列各式中,

正確的是（）

222D.ta也—答

A.sin2?=—B.cosB=-C.tanZ?=—

333

例2：（2025年山東省威海市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某商場有一自動(dòng)扶梯，其傾斜角為28。，高為7米.用

Bc

A.17Msin[2]8|-[7J.|7卜加n[2||x||D.[7j加n|2|8|

變式1.（2025年四川省南充市中考數(shù)學(xué)真題）如圖,小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走工米到達(dá)B處，再

向正北方向走到。處，已知NB4C=a,則A,C兩處相距（）

A.1J米B.---米C.jrsina米D.x?cosa米

sinacosa

4

變式2.(2025?山東?九年級專題練習(xí))如圖，在中，ZC=90°,sinA=-,8c=8,則A8=

例3:（2025年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)真題）爬坡時(shí)坡角與水平面夾角為。，則每爬lm耗能（1.025-cosa）J,

若某人爬了1000m,該坡角為30。，則他耗能（參考數(shù)據(jù)：75^1.732,V2?1.414）（）

A.58JB.159JC.1025JD.1732J

變式1.（2025?廣東潮州?統(tǒng)考一模）3tan30。-1的值等于（）

A.y/3-lB.26C.2D.6

變式2.（2025?陜西西安?校考一模）計(jì)算:

(I)2cos60°4-|l-2sin45°|+-，(2)71-2tan60°+tail2600-tan60°.

\^/

例4：（2025?安徽?統(tǒng)考一模）在“5C中，（2cosA-&『+|]TanB|=0，則“8（7一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

變式1.（2025?廣東?統(tǒng)考二模）在二A3C中，若cosA=無，則/A的度數(shù)是（）

2

A.30。B.45°C.60°D.75°

變式2.（2025?廣東?校考二模）在二"C中，疝人=85（90。一。）=與，則_^。的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

例5：（2025?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若0。<a<90。，則下列說法不正確的是（）

A.sina隨"的增大而增大B.cos。隨。的減小而減小C.tan"隨"的增大而增大D.0〈sin〃vl

變式1.（2025?湖北恩施?校考模擬預(yù)測）已知銳角A的正弦sin.A是一元二次方程2/一3工+1=0的一個(gè)根,

則sinA=.

變式2.（2025?浙江?統(tǒng)考一模）已知.人4。是銳角三角形，若AB>AC,則（）

A.sinAvsin"B.sin/?<sinCC.sinA<sinCD.sinC<sin4

變式3.（2025?上海?校考模擬預(yù)測）如果銳角A的度數(shù)是25。，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A.0<sinA<:B.0<COS4<&C.B<tanA<1D.1<colA<V3

223

核心考點(diǎn)2.解直角三角形

例6：（2025年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)小正方形

的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sinZA8C=.

變式1.（2025?江蘇泰州?統(tǒng)考一?模）如圖，在4x3的網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A、B、C、。都在小正方形的頂點(diǎn)上,

AB.C。相交于點(diǎn)P,則tan/APC的值是.

變式2.（2025?河北邯鄲??？既＃┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1,。是以8C的

外接圓，點(diǎn)A，B,O在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，貝iJcos/AC3的值是（）

35/io

10

變式3.（2025?湖北宜昌?統(tǒng)考模擬預(yù)測）由小正方形組成的網(wǎng)格如圖，A,B,C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則NA8c

D.4

C-T

例7：（2025年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是17。0多年前中

國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形（.△DAEAABFABCGACDH1和中間

一個(gè)小正方形EF6”拼成的大正方形A8CD中，ZABF>ABAF,連接瓦：.設(shè)4BAF=a、NBEF=。,若正

方形石打汨與正方形A8CO的面積之比為1:幾的。=1@1?4，則〃=（）

D.2

變式1.（2025?陜西西安??？寄５诸A(yù)測）國際數(shù)學(xué)大會(huì)是全世界數(shù)學(xué)家的大聚會(huì).如圖是某次大會(huì)的會(huì)徽,

選定的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國在數(shù)學(xué)方面的成就，也弘揚(yáng)了我

國古代的數(shù)學(xué)文化.如圖，弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果

大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,直角三角形中較小的銳角為仇那么cos。的值等

于_______________?

4變式2.（2025?浙江紹興?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形，并用它證明了勾股

定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖若"該圖"中大正方形面積為20,tana=2,則小正方形的面積為_____.

例8：（2025年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面宣角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（l,0）,點(diǎn)現(xiàn)0,-3）,

點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB,BC,若tan乙48c=g,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為

變式1.（2025?浙江??？级＃┤鐖D，0的半徑J.A8于點(diǎn)C.連接AO并延長交。于點(diǎn)E，連接EC.若

AB=S,CD=2,則lan/OEC%（

D,亞

1713

變式2.（2025?浙江杭州??？级＃c(diǎn)石為正方形A8CO的邊八B上一點(diǎn)，連接OF,AC,且。E與AC相

S1

交于點(diǎn)若丁皿=/，則sinZ.CDE=_________________.

3.CMD10

變式3.（2025?重慶?統(tǒng)考一模）構(gòu)是幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要方法，在計(jì)算〔an15。時(shí),

如圖，在RtZLABC中，ZC=90°,NA8C=30。，延長。4,使BD=AB,連接AO,使得NO=15。，所以

5嚙=+2—

類比這種方法，計(jì)算tan22.5o=

（2+倒2—G）

例9：（2025年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，

給出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為。、b、c的..ABC的面積為工.二gJ。?從_（?+'；Yj..工8C的

邊。、氏c?所對的角分別是（M、團(tuán)B、團(tuán)C,則S》8c=；，力sinC=；MsinB=；〃csinA.下列結(jié)論中正確的是

（）

a-a-+b~-c~c-a~+b--c',-a~^b~-c~>-a~+b--c~

A.cosC=---------------B.cosC=--------------------C.cosC=-----------------D.cosC=-----------------

2ablablac2bc

變式1.（2025?浙江杭州?統(tǒng)考二模）在Rf..ABC中，NC=90°,cosA=g,則sin8=.

變式2.（2025?河北保定?統(tǒng)考二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：

sin27°+sin283°?0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°?0.372+0.932=l.（X）18,

sin290+sin26l°?0.482+O.872=0.9873,

sin370+sin253。?0.602+O.8O2=l.CXXX）,

sin245°+sin245=,

據(jù)此，嘉嘉猜想：對于任意銳角。，B,若a+，=90。，均有sin2a+sin2/?=l.

⑴當(dāng)a=30。，〃=60°時(shí)，驗(yàn)證sin%+sin2〃=l是否成立？

（2）嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結(jié)合如圖所示RlZSABC給予證明，其中NA所對的邊為*N8所對

的邊為6,斜邊為J若不成立，請舉出一個(gè)反例；

⑶利用上面的證明方法，直接寫出tana與sin。，cosa之間的關(guān)系.

變式3.(2025?湖南?校考一模)同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式:

sin(a-/7)=sin?cos/?-cos?sinp,sin(6if+/?)=sin?cos/y+ccsasinp；

cos(?-//)=cosacos/^+smasin/?,cos(<2+/?)=costzcos/?-sinasinp.

/7_/z

例：sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°=-------.

⑴試仿照例題，求出8s75。的值；(2)若已知銳角a滿足條件sina=g，求sin2a的值.

核心考點(diǎn)3.解直角三角形的應(yīng)用

例10：（2025年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)真題）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段A8C表示車后蓋，已

知AB=Im,=。6m,ZABC=123°,該車的高度AO=1.7m.如圖2,打開后備箱，車后蓋ABC落在ABC

處，A*與水平面的夾角/8'4）=27。.

⑴求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)&到地面/的距離；

⑵方小琳爸爸的身高為1.8m,他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險(xiǎn)？請說明理由.

（結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.454,cos27°?0.891,tan27°?0.510,75^1.732）

變式L（2025年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)

節(jié)桿8C=缶，AB=b,A8的最大仰角為。.當(dāng)NC=45。時(shí)，則點(diǎn)A到桌面的最大高度是（）

bb

A.a+-------B.a+----C.a+boosaD.a+bsinct

cos。sin

變式2.（2025年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）小磊安裝了一個(gè)連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一

個(gè)端點(diǎn)固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個(gè)端點(diǎn)分別固定在門框和門的頂部.

如圖1是俯視圖，OA,分別表示門框和門所在位置，M,N分別是QA上的定點(diǎn)，

OM=27cm,ON=36cm,MF,的長度固定，NMFN的大小可變.

門

門框所在位置完

全

打

開

“樞所在,置時(shí)

1~7^所

在“框所在位為

B位

門所在位K置

ffll圖2圖3

（1）圖2是門完全打開時(shí)的俯視圖，此時(shí)，OA1OB,ZM/W=180°,求NMNB的度數(shù).

（2）圖1中的門在開合過程中的某一時(shí)亥IJ,點(diǎn)尸的位置如圖3所示，請?jiān)趫D3中作出此時(shí)門的位置08.

（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（3）在門開合的過程中，sinNONM的最大值為.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,Um37°^0.75）

例11:（2025年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）鄂州市蓮花山是國家4A級風(fēng)景區(qū)，元明塔造型獨(dú)特，是蓮花

山風(fēng)景區(qū)的核心景點(diǎn)，深受全國各地旅游愛好者的青睞.今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶祝

活動(dòng).如圖2,景區(qū)工作人員小明準(zhǔn)備從元明塔的點(diǎn)G處掛一條大型豎直條幅到點(diǎn)石處，掛好后，小明進(jìn)

行實(shí)地測量，從元明塔底部尸點(diǎn)沿水平方向步行30米到達(dá)自動(dòng)扶梯底端八點(diǎn)，在A點(diǎn)用儀器測得條幅下端

E的仰角為30。；接著他沿自動(dòng)扶梯AQ到達(dá)扶梯頂端。點(diǎn)，測得點(diǎn)A和點(diǎn)。的水平距離為15米，H.

4

tanZDA5--；然后他從。點(diǎn)又沿水平方向行走了45米到達(dá)。點(diǎn)，在。點(diǎn)測得條幅上端G的仰角為45。.（圖

上各點(diǎn)均在同一個(gè)平面內(nèi)，且G,C,8共線，F(xiàn),A,8共線，G、E、尸共線，CD〃AB,GFSB）.

⑴求自動(dòng)扶梯A。的長度；（2）求大型條幅GK的長度.（結(jié)果保留根號）

變式1.（2025年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，從航拍無人機(jī)A看?棟樓頂部8的仰角。為30。，看這

棟樓底部C的俯角夕為60。，無人機(jī)與樓的水平距離為120m,則這棟樓的高度為（）

B

C

A.140鬲B.160GmC.180園D.200Gm

變式2.（2025年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某飛機(jī)于空中A處探測到某地面目標(biāo)在點(diǎn)4處，此時(shí)

飛行高度AC=1200米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)B的俯角為37。飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條

平行直線上同向運(yùn)動(dòng).當(dāng)飛機(jī)飛行“3米到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，地面H標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)￡?處，從點(diǎn)E看到點(diǎn)O的仰角

310

為47.4。，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離花約為一米.（參考數(shù)據(jù)…37。。-47.4。/）

變式3.（2025年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）綜合實(shí)踐課.匕航模小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實(shí)踐.如圖，

無人機(jī)從地面CD的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)8處，測得博雅樓頂部E的俯角為45。，尚美樓頂部產(chǎn)的

俯角為30。，已知博雅樓高度CE為15米，則尚美樓高度。尸為米.（結(jié)果保留根號）

例12：（2025年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，/是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米,

海島。位于碼頭A北偏東60。方向.一艘勘測船從海島C沿北偏西30。方向往燈塔B行駛，沿線勘測石油資

源，勘測發(fā)現(xiàn)位于碼頭人北偏東15。方向的。處石油資源豐富.若規(guī)劃修建從。處到海岸線的輸油管道，則

輸油管道的最短長度是多少千米？（結(jié)果保留根號）

變式L（2025年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60。方向，漁船

向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測得燈塔C在它的北偏東45。方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則

漁船與燈塔C的最短距離是海里.

變式2.（2025年海南省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30。方向上，輪

船沿著正北方向航行20海里到達(dá)8處，測得燈塔”位于8的北偏東60。方向上，測得港口。位于8的北偏

東45。方向上.已知港口C在燈塔M的正北方向上.⑴填空：ZAMB=一度，ZBCM=____度；（2）求燈塔

M到輪船航線AB的距離（結(jié)果保留根號）；（3）求港口C與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號）.

例13：（2025年山西省中考數(shù)學(xué)真題）2025年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動(dòng)河湖名單（2025—2025

年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選.在推進(jìn)實(shí)施母親河瑪蘇行

動(dòng)中，需要砌筑各種駁岸（也叫護(hù)坡）.某?！熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算”作為一

項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下活動(dòng)報(bào)告.請根據(jù)活動(dòng)報(bào)告計(jì)算8C和人B的長

度（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：石*1.73，夜=1.41）.

課

母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算

題

調(diào)

查

資料查閱、水利部門走訪、實(shí)地查看了解

方

式

功

駁岸是用來保護(hù)河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構(gòu)筑物

能

駁相關(guān)數(shù)據(jù)及說明，圖中，點(diǎn)4,B,C,D,

eft]

岸E在同一豎直平面內(nèi)，4E與CD均與地

剖面平行，岸墻A6_L4?于點(diǎn)4,

面」\

ZBCD=135°,ZEDC=60°,ED=6m,

圖AE=1.5m,CD=3.5m

計(jì)

算

結(jié)

果

交

流

展

示

變式1.（2025年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，與斜坡CE垂直的太陽光線照射立柱AB（與水平地面

8尸垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上.若8C=2米，8=8.48米，斜坡的坡

科學(xué)計(jì)算器按鍵順序計(jì)算結(jié)果（已取近似值）

0530

cos

0.625

變式2.（2025年湖北省中考數(shù)學(xué)真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面

為梯形A8CO,斜面坡度，=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度座■的比.己知斜坡。。長度為20米，

ZC=18°,求斜坡AB的長.（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù):sin18°?0.3l,cos18°?0.95,tan18°?0.32）

B

考點(diǎn)26.銳角三角函數(shù)（精講）

【命題趨勢】

銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn)，主要考查銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角

函數(shù)，尤其是應(yīng)用主要在綜合題中考查，是考查重點(diǎn)，每年都有一道三角函數(shù)的綜合題，還營和四邊形、

圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型，分值為12分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考

還將以選填題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直

角三角形，是得分的關(guān)鍵。

【知識清單】

1：銳角三角函數(shù)（☆☆）

1）銳角三角函數(shù)的概念：銳角4的正弦、余弦、正切都叫做/A的銳角三角困數(shù).（其中：0<NA<90。）

2）正弦、余弦、正切的概念：如圖，在RtZ\48C+*,ZC=90%AB=c,BC=a,AC=b,

ZA的對邊余弦：cos公會(huì)警正切：ta加支警，

正弦：sin4=

斜邊c鄰邊b

3）特殊角的三角函數(shù)值

asinacosatana

V3

30。

2

45°在也1

22

60°

V2

【補(bǔ)充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過來，若已知一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應(yīng)的銳角.

4）銳角三角函數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)0。</八<90。時(shí)，s/力A隨N4的增大而增大；esA隨N4的增大而減??；tanA隨NA的增大而增大°

2：解直角三角形（☆☆）

1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三

角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.

2）在解直角三角形的過程中，常用關(guān)系：

在RS48C中，ZC=90°,貝lj：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：N4+N8=卻:;

（3）邊與角關(guān)系：sin>4=cosB=—,cos4=sinB=—,tan4=—；4）sin24+cos2>4=l.

ccb

3：解直角三角形的應(yīng)用（☆☆☆）

1）解直角三角形的相關(guān)的名詞、術(shù)語：

（1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角。

仰角；在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做用1兔。

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做他魚。

（2）方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向用.

（3）坡度：坡面的鉛宜高度h和水平寬度I的比叫做坡面的坡度（或坡比）,記作/?=%.

坡角：坡面與水平面的夾角叫做姬，記作a,j=tana.坡度越大，a角越大，坡面越陡.

2）解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟：

（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題;

（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；

（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解.

3）測量物體的高度（距離）的常見模型：

（1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）

解題方法：（己知條件：a邛，n,求高m）這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過這條

邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解。

（2）測量底部可以到達(dá)的物體高度

解題方法：1）已知測量儀高，〃，水平距離〃，角。，求高62）已知水平距離〃，角a,角夕，求高/7=a+的；

這兩種模型種可結(jié)合水平距離和相應(yīng)角度，用正切值解題。

（3）測量底部不可到達(dá)的物體的高度

注意：1）在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素（至少有一條邊），可求出其余

的三個(gè)未知元素（知二求三）；2）已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橛袃蓚€(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相

似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定。

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.若銳角是用一個(gè)大寫英文字母或一個(gè)小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切對習(xí)慣省略角

的符號“N"，如tanA.sina.cos若銳角是用三個(gè)大寫英文字母或一個(gè)數(shù)字表示的，則表示它的正弦、

余弦及正切時(shí)，不能省略角的符號“N"，如s加NA8C,cosZ2ftanZ\o

2.銳角三角函數(shù)是針對直角三角形中的銳角而言的，而且由銳角三角函數(shù)的定義可知，其本質(zhì)特征是兩條

線段長的比。因此，銳角三角函數(shù)只有數(shù)值，沒有單位，它的大小只與角的大小有關(guān)，而與它所在的三角形

的邊長無關(guān)。

3.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔

助線來構(gòu)造直角三角形。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.銳角三角函數(shù)

例I：（2025年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題）在一A8C中，NA、NB、NC的對邊分別為。、b、c,且滿足

a2+\c-\0\+7^8=12a-36,則sinB的值為.

4

【答案】-/0.8

【分析】由cJ+10|+〃-8=12a-36,可得（々-6）?+卜-1Q+=0,求解a=6,/?=8,c=10,證明

ZC=90°,再利用正弦的定義求解即可.

【詳解】解；0?2+|c-10|+V^-8=12?-36,12。13611c10|IJb8-0,

0（^^-6）2+|c-lO|+^/^8=O,回〃-6=0,c-10=0,Z?-8=0,

解得：a=6,b=8,c=10,^a2+b-=62+82=100=102=<?2，

Z?844

團(tuán)NC=90°,團(tuán)sinB=-=f==，故答案為：—■.

c1055

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術(shù)平方根，絕對值，偶次方的非負(fù)性，勾股定理的

逆定理的應(yīng)用，銳角的正弦的含義，證明NC=9（r是解本題的關(guān)鍵.

變式1.（2024?河北承德?九年級統(tǒng)考期末）在RtZ\A8C中，ZC=90°,若.工的三邊都擴(kuò)大5倍，則sinA

的值（）

A.放大5倍B.縮小5倍C.不能確定D.不變

【答案】D

【分析】直接利用銳角的正弦的定義一一“銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做Z4的正弦，記作sinA〃求解.

【詳解】解:0ZC=9O°,回sinA=NA的對邊與斜邊的比，

人工8c的三邊都擴(kuò)大5倍，團(tuán)N4的對邊與斜邊的比不變，團(tuán)sinA的值不變.故選：D.

變式2.（2025?廣東??？家荒＃┤鐖D，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=3AC,貝Ijtan8=（）

B

13M

A.-B.3rMUn?

31010

【答案】A

【分析】本題考查正切的計(jì)算，熟知直角三角形中止切的表示是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正切的定義tan3=令A(yù)C計(jì)

n（

算，得到答案.

AC

【詳解】解：ZC=90%tanB=-=—故選：A.

變式3.（2025?陜西西安?統(tǒng)考二模）在中，ZC=90°,己知AC=2,BC=3,那么下列各式中,

正確的是（）

.222

A.sinB=—B.cosB=-C.(anB=—D.—等

333

【答案】C

【分析1利用銳角三角函數(shù)定義判斷即可.

【詳解】解：「在R14A8C中，ZC=90°,AC=2,BC=3,

B

A

AC22V13

/.AB=yJ?2+32=x/13>.-sinB=

13

8s人”[迎tan/^AC2

=正二針故選:C

ABV1313

【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵.

例2：（2025年山東省威海市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某商場有一自動(dòng)扶梯，其傾斜角為28。，高為7米.用

計(jì)算器求A6的長，下列按鍵順序正確的是（）

A.[7[x]sin[2l81B.比|$屈2|8|c.7[x]lan||2]阿D.阿加n|2|8|

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦的定義得出A8=7+sin28。，進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：由題意得sin28。=」-,（3A4=7+sin28。，

AB

團(tuán)按鍵順序?yàn)閳F(tuán)國畫回叵國，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的定義，計(jì)算器的使用，正確理解三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2025年四川省南充市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走4米到達(dá)“處，再

向正北方向走到。處，已知=則A,C兩處相距（）

Yr

A.--米B.--------米C.xrina米D.x?cosa米

sin<7cosa

【答案】B

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)中余弦值的定義即可求出答案.

【詳解】解：小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)8處，再向正北方向走到C處，

.\ZABC=90°,48=彳米.二工05。=——,:.AC=----=-----米.故選：B.

ACcosacosa

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)中的余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的定義.余弦值就是在直角

三角形中，銳角的鄰邊與斜邊之比.

4

變式2.（2025?山東?九年級專題練習(xí)）如圖，在RtA/lBC中，NC=90°,sinA=-,8c=8,則AB=.

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義求解即可.

4

【詳解】解：團(tuán)在RtZXABC中，NC=90。，sinA=-,BC=8,

J

Osin4=—=,0AB=10.故答案為：10.

5ABAB

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提.

例3:（2025年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)真題）爬坡時(shí)坡角與水平面夾角為a，則每爬1m耗能（1.025-cosa）J,

若某人爬了1000m,該坡角為3（T,則他耗能（參考數(shù)據(jù)：73=1.732,右=1.414）（）

A.58JB.159JC.1025JD.1732J

【答案】B

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值計(jì)算求解.

【詳解】1000(1.025-cosa)=1000(1.025-cos30°)=1025-500x/3?1025-500x1.732=159,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2025?廣東潮州?統(tǒng)考一模）3團(tuán)130。-1的值等于（）

A.75-1B.2x/3C.2D.⑺

【答案】A

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，將tan3（r=亭代入求值即可.

【詳解】解：原式=3x走-1=6-1,故選：A.

3

變式2.（2025?陜西西安??？家荒＃┯?jì)算：

(I)2cos60°+|l-2sin45°|+⑵71-2tan600+tan2600-tan600?

【答案】⑴&+1⑵-1

【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算、零指數(shù)暴以及二次根式的化簡;

（1）先代入特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算絕對值和零指數(shù)寤，最后計(jì)算加減即可；

（2）先利用完全平方公式對二次根式變形，再利用二次根式的性質(zhì)化簡，代入特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)

算即可.

【詳解】(1)解：2cos60°+|l-2sin45°|+l-

.1

=2x—+2X+1

2'-T

=l+|l-x/2|+l

=1+>/2-1+1

=+1

⑵解：Vl-2tan600+tan2600-tan60°

=^（1-tan60°）'-tan60°

=|l-tan60°|-tan600

=卜-閩-G

=3-1-6

=-1

例4：（2025?安徽?統(tǒng)考一模）在-ABC中，（2cosA—+|1—tan3=0,則“BC一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對值的性質(zhì)，得（2cosA-/丫=0,|1-34|=0,從而得8$從=1,tan^=l,

根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì).得NA=45。，NB=45。：根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)計(jì)算，即可

得到答案.

【詳解】解：0（2cos4-V2V+11-tan=00（2cosA-V2）^=0,|l-UinB|=0

02cosA-\/2=0?1-tan/?=00cosA=,tanB=1回ZA=45°,ZB=45°

0ZC=l8O°-ZA-Zfi=9O°,4C=ACmA/WC一定是等腰直角三角形，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對

值、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

變式1.（2025?廣東?統(tǒng)考二模）在中，若cosA=走，則/A的度數(shù)是（）

2

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】A

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：0cosA=—=cos3（T,團(tuán)/A的度數(shù)是30°；故選A.

2

變式2.（2025?廣東?校考二模）在“8c中，向人=3（90。一。）=*,則^5。的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

【答案】B

【分析】計(jì)算出財(cái)和團(tuán)。的角度來即可確定.

【詳解】解：MnA=cos（90°-C）=—,004=45°,9OO-0C=45O,

2

即（L4=45。，13045。，005=90°,即0ABe為直角三角形，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)，熟練掌握特殊角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

例5：（2025?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若