考點(diǎn)08.一次不等式（組）（精講）

【命題趨勢(shì)】

一次不等式（組）主要考查依據(jù)題意列不等式并解決問(wèn)題、不等式（組）的解法，體現(xiàn)了不等式的工

具性，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為10分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查這些知識(shí)

點(diǎn)，重要題型有解不等式（組）、不等式含參（難度相對(duì)大點(diǎn)）、不等式相關(guān)的應(yīng)用題以及不等式的性質(zhì)，

為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。

【知識(shí)清單】

1：不等式及不等式的基本性質(zhì)

1）不等式：一般地，用符號(hào)（或'W'）、（或2"）連接的式子叫做丕笠式。能使不等式成立的未知數(shù)

的值，叫做不等式的解。

2）不等式的基本性質(zhì)

理論依據(jù)式子表示

不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)

性質(zhì)1若a>b,則。土c>b土c

（或式子），不等號(hào)的方向不變

不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù),

若a>b,c>0>則ac>8c或@>2

性質(zhì)2

不等號(hào)的方向不變cc

不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù),

若a>b,c<0,則或@<2

性質(zhì)3

不等號(hào)的方向改變cc

3）不等式的解集及表示方法

（1）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍就是不等

式的解集.（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上

直觀(guān)地表示出來(lái)，形象地表明不等式有無(wú)限個(gè)解。

2：一元一次不等式（☆☆）

1）一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是L次，這

樣的不等式叫一元一次不等式。

2）解一元一次不等式的一般步驟：①去分母:②去括號(hào);③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1（注意不

等號(hào)方向是否改變）。

3：一元一次不等式組（☆☆☆）

1）一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組。

2）一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等

式組的解集，求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組。

3）一元一次不等式組的解法：先分別求出每個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些一元一次不等式的的解

集的公共部分即可,如果沒(méi)有公共部分，則該不等式組無(wú)解。

4）幾種常見(jiàn)的不等式組的解集：設(shè)〃，力是常數(shù)，關(guān)于/的不等式組的解集的四種情況如下表所

示（等號(hào)取不到時(shí)在數(shù)軸上用空心圓點(diǎn)表示）：

不等式組

數(shù)軸表示解集口訣

（其4V"中）

x>a

ux>b同大取大

x>ba/

x<a

-------l-Lx<a同小取小

x<bab

x>a

口.a<x<b大小、小大中間找

x<b?ib

x<a

無(wú)解大大、小小取不了

x>bab

4：不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用（☆☆☆）

列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下：①審題；②設(shè)未知數(shù);③列不等式（組）；④解不等式（組）；⑤檢

驗(yàn)并寫(xiě)出答案。

注意：列不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的題型常與方案設(shè)計(jì)

型問(wèn)題相聯(lián)系，如最大利潤(rùn)、最優(yōu)方案等。列不等式時(shí)，要抓住關(guān)鍵詞，如不大于、不超過(guò)、至多用“三,連

接，不少于、不低于、至少用2”連接。

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.不等式兩邊不能同時(shí)除以0,即0不能作除數(shù)或分母。

2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式變形時(shí)，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，必

須先弄清楚這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù),不等號(hào)要改變方向。

3.一元一次不等式滿(mǎn)足的條件：

①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是1。

4.利用數(shù)軸表示不等式組解集時(shí)，要把幾個(gè)不等式的解集都表示出來(lái)，不能僅畫(huà)公共部分。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.不等式及不等式的基本性質(zhì)

例1：（2025?浙江麗水?中考真題）已知電燈電路兩端的電壓U為220V,通過(guò)燈泡的電流強(qiáng)度/[A）的最大限

度不得超過(guò)（）.11A.設(shè)選用燈泡的電阻為R（C）,下列說(shuō)法正確的是（）

A./?至少2000CB.R至多2000QC.R至少24.2CD.R至多24.2C

變式1.（2025?廣東深圳?統(tǒng)考二模）農(nóng)戶(hù)利用“立體大棚種植技術(shù)〃把毛豆和芹菜進(jìn)行混種.已知毛豆齊苗后

棚溫在18?259最適宜，播種芹菜的最適宜溫度是15~2（）1.農(nóng)戶(hù)在毛豆齊苗后在同一大棚播種了芹菜，

這時(shí)應(yīng)該把大棚溫度設(shè)置在下列哪個(gè)范圍最適宜（）

A.15~18℃B.18~20℃C.20?25℃D.20℃以上

例2：（2025?四川德陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）如果。>〃，那么下列運(yùn)算正確的是（）

A.a-3<b-3B.a+3<b+3C.3a<3bD.—<—

-3-3

變式1.（2025年北京市中考數(shù)學(xué)真題）已知>0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.-\<-a<a<\B.-^<-1<1<?C.-a<-\<a<\D.-\<-a<\<a

變式2.（2025?河北秦皇島?統(tǒng)考二模）在更習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，張老師給出以下兩個(gè)說(shuō)法:

①不等式。>2/-■定不成立，因?yàn)椴坏仁絻蛇呁瑫r(shí)除以“，會(huì)出現(xiàn)1>2的錯(cuò)誤結(jié)論：

②如果a>6,c>d,那么一定會(huì)得至1]。一。>/?一"：

下列判斷正確的是（）

A.①V.②xB.①x.②xC.①V.②VD.①x,②V

例3：（2025?浙江紹興市?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲在集市上先買(mǎi)了3只羊，平均每只。元，稍后又買(mǎi)了2只，

平均每只羊b元，后來(lái)他以每只字元的價(jià)格把羊全賣(mài)給了乙，結(jié)果發(fā)現(xiàn)賠了錢(qián).賠錢(qián)的原因是（）

2

A.a>bB.a=bC.a<bD.與a、b大小無(wú)關(guān)

變式1.（2025?浙江舟山?統(tǒng)考三模）觀(guān)察：,"<7-7?

22+133+144+177+1

變式1.（2025?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）解不等式：l（x-3）＜1-2x.

變式2.（2025?四川眉山?一模）若關(guān)于x的不等式犬+團(tuán)＜1只有3個(gè)正整數(shù)解，則，"的取值范圍是

核心考點(diǎn)3.一元一次不等式組

2x>x-1,

例7：（2025年廣東廣州中考數(shù)學(xué)真題）不等式組x+12x的解集在數(shù)軸上表示為（）

----＞一

23

-3-I0

-3（x-2）之4-x

變式］.（2。25年四川省德陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）不等式組?,的解集是（）

A.x<\B.x<4C.l<x<4D.無(wú)解

變式2.（2025?四川成都?統(tǒng)考中考真題）（1）計(jì)算：x/4+2sin450-（H-3）°+|＞/2-2|.

2（x+2）-x＜5?

（2）解不等式組：h.r+i-、

>x-\@

變式3.（2025?四川樂(lè)山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)〉解不等式組①.請(qǐng)結(jié)合題意完成本題的解答（每

2x-\<x+2?

空只需填出最后結(jié)果）.

解：解不等式①，得.

解不等式②，得.

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

0135

所以原不等式組解集為

2x+\>A+??

例8：（2025年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）若關(guān)于x的不等式組)1亭-9②所有整數(shù)解的和為14,則

整數(shù)。的值為.

變式L（2。25年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）已知不等式組憶;二的解集—UJ-

()

A.0B.-1C.1D.2025

X>HI+3

變式2.（2025年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題）關(guān)于x的不等式組.r,1的整數(shù)解僅有4個(gè)，則m

5A-2<4x+l

的取值范圍是（）

A.-5<m<-4B.-5</?/<-4C.-4<m<-3D.-A<m<-3

變式3.（2025年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)真題）若關(guān)于工的不等式組的解集為］>3,則〃的

5x>3x+2a

取值范圍是（）

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

4x+y=3"z

例9：（2025?九龍縣九年級(jí)期末）已知關(guān)于x,y的力程組〈'「的解滿(mǎn)足不等式2x+y>?,則m的

x-y=7m-5

值是.

x+y=3。+9

變式1.（2025?浙江杭州市?九年級(jí)模擬）已知方程組｛u?的解為正數(shù)，求a的取值范圍是__________

X-y=5（7+1

Y<8

變式2.（2025?浙江金華市?九年級(jí)期中）若不等式組1有解，那么〃的取值范圍是（）

x>n

A.〃>8B.<8c.〃<8D.n<8

變式3.（2025?安岳縣九年級(jí)期中心知關(guān)于x的不等式組仁5-2“x>>。-1無(wú)解'則a的取值范圍型）

A.a<3B.a>3C.a>3D.a<3

例10：（2025?遼寧九年級(jí)期木）先閱讀理解下面的例題，再按要求解笞:

例題：解不等式（x+3）（x-3）>0

解:由有理數(shù)的乘法法則”兩數(shù)相乘，同號(hào)得正“

x+3>()x+3<()

有①一或②，

x—3>0x-3<0

解不等式組①得x>3,解不等式組②得x<-3

故原不等式的解集為：x>3或xV-3

3x4-2

問(wèn)題：求不等式一^<0的解集.

5x-l

變式1.（2025?寧夏?石嘴山九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知數(shù)

的不等式叫做分式不等式.

小亮在解分式不等式生;>0時(shí)，是這樣思考的：根據(jù)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù).原分式不等式可轉(zhuǎn)

x-3

化為下面兩個(gè)不等式組：

…2x+5>0、3+5V。

①1A或②/

x-3>0[x-3<0

解不等式組①得3,

解不等式組②得工<-3.

所以原不等式的解集為x>3或x<-1.

請(qǐng)你參考小亮思考問(wèn)題的方法，解分式不等式至二jvo.

x-2

變式2.（2025?四川九年級(jí)期末）先閱讀理解下列例題:

例題：解一元二次不等式（3工一6）（2工+4）>0

3x-6>03x-6<0

由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正"可得有：①（Czi八或②

2x+4>02x+4<0

解不等式組①得2：解不等式組②得x<-2

???一元二次不等式（3工一6）（2戈+4）>0的解集是/>2或工<—2

根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問(wèn)題:

（1）求不等式（2x+8）（3-x）v0的解集;（2）求不等式包的解集.

4-2x

核心考點(diǎn)4.不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用

例11：（2025?北京石景山?七年級(jí)期末）按照下面給定的計(jì)算程序，當(dāng)x=-2時(shí)，輸出的結(jié)果是；使代

數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)x是.

變式1.（2025?湖北黃陂?九年級(jí)期末）如圖是一個(gè)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器，按該程序進(jìn)行運(yùn)算，若輸入x=3,則該程

序需要運(yùn)行次才停止；若該程序只運(yùn)行了2次就停止了，則x的取值范圍是.

例12：（2025?射陽(yáng)縣九年級(jí)期中）有學(xué)生若干人，住若干間宿舍，若每間住5人,則有14人無(wú)法安排住宿,

若每間住8人，則最后有一間宿舍不滿(mǎn)也不空，則學(xué)生人數(shù)為.

變式1.（2025?寧波市鄲州區(qū)九年級(jí)期中）一次生活常識(shí)知識(shí)競(jìng)賽一共有20道題，答對(duì)一題得5分，不答得

0分，答錯(cuò)扣2分，小聰有1道題沒(méi)答，競(jìng)賽成績(jī)超過(guò)80分，則小聰至少答對(duì)了道題.

變式2.（2025年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)真題）為提升學(xué)生身體素質(zhì)，落實(shí)教育部門(mén)“在校學(xué)生每天鍛煉時(shí)

間不少于1小時(shí)”的文件精神.某校利用課后服務(wù)時(shí)間，在九年級(jí)開(kāi)展“體育賦能，助力成長(zhǎng)”班級(jí)籃球賽，

共16個(gè)班級(jí)參加.（1）比賽積分規(guī)定：每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，勝一場(chǎng)積3分，負(fù)一場(chǎng)積1分.某班級(jí)在15場(chǎng)

比賽中獲得總積分為41分，問(wèn)該班級(jí)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？⑵投籃得分規(guī)則：在3分線(xiàn)外投籃，投中一球

可得3分，在3分線(xiàn)內(nèi)（含3分線(xiàn)）投籃，投中一球可得2分，某班級(jí)在其中一場(chǎng)比賽中，共投中26個(gè)球（只

有2分球和3分球），所得總分不少于56分，問(wèn)該班級(jí)這場(chǎng)比賽中至少投中了多少個(gè)3分球？

例13：（2025?山東濟(jì)寧市?九年級(jí)期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超過(guò)18分鐘的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，

已知他每分鐘走90米.若跑步每分鐘可跑210米，問(wèn)這人完成這段路程，至少要跑（）

A.3分鐘B.4分鐘C.4.5分鐘D.5分鐘

變式1.（2025年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)真題）端午節(jié)是我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)前夕，某商家出售粽子的

標(biāo)價(jià)比成本高25%,當(dāng)粽子降價(jià)由售時(shí)，為了不虧本，降價(jià)幅度最多為（）

A.20%B.25%C.75%D.80%

變式2.（2025?浙江紹興市?九年級(jí)模擬）某家庭投資3.5萬(wàn)元資金建造屋頂光伏發(fā)電結(jié)，遇到晴天平均每天

可發(fā)電30度，其他天氣平均每天可發(fā)電5度，已知某月（按3。天計(jì)）共發(fā)電600度.

信息鏈接：根據(jù)國(guó)家相大規(guī)定,

凡是屋頂光伏發(fā)電站生產(chǎn)的電,

家庭用電后剜余部分可以0.45

元/應(yīng)賣(mài)給電力公司,同時(shí)可獲

得政府補(bǔ)貼（X52元/度.

信息鏈接：根據(jù)國(guó)家相關(guān)規(guī)定，凡是屋頂光伏發(fā)電站生產(chǎn)的電，家庭用電后剩余部分可以0.45元/度賣(mài)給電

力公可，同時(shí)可獲得政府補(bǔ)貼0.52元/度.（1）求這個(gè)月晴天的天數(shù)；（2）已知該家庭每月平均用電150度，

若按每月發(fā)電600度計(jì)算，問(wèn)至少需要幾年才能收|口|成本？（不計(jì)其他費(fèi)用，結(jié)果取整數(shù)）

例14：（2025?四川達(dá)州?統(tǒng)考中考真題）某縣著名傳統(tǒng)土特產(chǎn)品“豆筍〃、"豆干"以"濃郁豆香，綠色健康”享譽(yù)

全國(guó)，深受廣大消費(fèi)者喜愛(ài).己知2件豆筍和3件豆干進(jìn)貨價(jià)為240元，3件豆筍和4件豆干進(jìn)貨價(jià)為340

元.⑴分別求出每件豆筍、豆干的進(jìn)價(jià)；（2）某特產(chǎn)店計(jì)劃用不超過(guò)10440元購(gòu)進(jìn)豆筍、豆干共200件，且豆

筍的數(shù)量不低于豆干數(shù)量的該特產(chǎn)店有哪幾種進(jìn)貨方案？

⑶若該特產(chǎn)店每件豆筍售價(jià)為80元，每件豆干售價(jià)為55元，在（2）的條件下，怎樣進(jìn)貨可使該特產(chǎn)店獲

得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少元？

變式1.（2025?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)單價(jià)分別為5元和7元的A、B兩和筆記本共50

本作為獎(jiǎng)品發(fā)放給學(xué)生，要求A種筆記本的數(shù)量不多于B種筆記本數(shù)量的3倍，不少于B種筆記本數(shù)量的2

倍，則不同的購(gòu)買(mǎi)方案種數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

變式2.（2025?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）“廣安鹽皮蛋”是名優(yōu)特產(chǎn)，某超市銷(xiāo)售4B兩種品牌的

鹽皮蛋，若購(gòu)買(mǎi)9箱A種鹽皮蛋和6箱8種鹽皮蛋共需390元；若購(gòu)買(mǎi)5箱A種鹽皮蛋和8箱B種鹽皮蛋共

需310元.（1）A種鹽皮蛋、8種鹽皮蛋每箱價(jià)格分別是多少元？

⑵若某公司購(gòu)買(mǎi)43兩種鹽皮蛋共30箱，旦A種的數(shù)量至少比8種的數(shù)量多5箱，又不超過(guò)8種的2倍，

怎樣購(gòu)買(mǎi)才能使總費(fèi)用最少？并求出最少費(fèi)用.

考點(diǎn)08.一次不等式（組）（精講）

【命題趨勢(shì)】

一次不等式（組）主要考查依據(jù)題意列不等式并解決問(wèn)題、不等式（組）的解法，體現(xiàn)了不等式的工

具性，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為10分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查這些知識(shí)

點(diǎn)，重要題型有解不等式（組）、不等式含參（難度相對(duì)大點(diǎn)）、不等式相關(guān)的應(yīng)用題以及不等式的性質(zhì)，

為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。

【知識(shí)清單】

1：不等式及不等式的基本性質(zhì)

1）不等式：一般地，用符號(hào)（或'W'）、（或2"）連接的式子叫做丕笠式。能使不等式成立的未知數(shù)

的值，叫做不等式的解。

2）不等式的基本性質(zhì)

理論依據(jù)式子表示

不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)

性質(zhì)1若a>b,則a±c>b±c

（或式子），不等號(hào)的方向不變

不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù),

若a>b,c>0>則ac>8c或@>2

性質(zhì)2

不等號(hào)的方向不變cc

不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù),

若a>b,c<0,則或@<2

性質(zhì)3

不等號(hào)的方向改變cc

3）不等式的解集及表示方法

（1）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍就是不等

式的解集.（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上

直觀(guān)地表示出來(lái)，形象地表明不等式有無(wú)限個(gè)解。

2：一元一次不等式（☆☆）

1）一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是L次，這

樣的不等式叫一元一次不等式。

2）解一元一次不等式的一般步驟：①去分母:②去括號(hào);③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1（注意不

等號(hào)方向是否改變）。

3：一元一次不等式組（☆☆☆）

1）一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組。

2）一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等

式組的解集，求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組。

3）一元一次不等式組的解法：先分別求出每個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些一元一次不等式的的解

集的公共部分即可,如果沒(méi)有公共部分，則該不等式組無(wú)解。

4）幾種常見(jiàn)的不等式組的解集：設(shè)〃，力是常數(shù)，關(guān)于/的不等式組的解集的四種情況如下表所

示（等號(hào)取不到時(shí)在數(shù)軸上用空心圓點(diǎn)表示）：

不等式組

數(shù)軸表示解集口訣

（其4V"中）

x>a

ux>b同大取大

x>ba/

x<a

-------l-Lx<a同小取小

x<bab

x>a

口.a<x<b大小、小大中間找

x<b?ib

x<a

無(wú)解大大、小小取不了

x>bab

4：不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用（☆☆☆）

列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下：①審題；②設(shè)未知數(shù);③列不等式（組）；④解不等式（組）；⑤檢

驗(yàn)并寫(xiě)出答案。

注意：列不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的題型常與方案設(shè)計(jì)

型問(wèn)題相聯(lián)系，如最大利潤(rùn)、最優(yōu)方案等。列不等式時(shí)，要抓住關(guān)鍵詞，如不大于、不超過(guò)、至多用“三,連

接，不少于、不低于、至少用2”連接。

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.不等式兩邊不能同時(shí)除以0,即0不能作除數(shù)或分母。

2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式變形時(shí)，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，必

須先弄清楚這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù),不等號(hào)要改變方向。

3.一元一次不等式滿(mǎn)足的條件：

①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是1。

4.利用數(shù)軸表示不等式組解集時(shí)，要把幾個(gè)不等式的解集都表示出來(lái)，不能僅畫(huà)公共部分。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.不等式及不等式的基本性質(zhì)

例1：（2025?浙江麗水?中考真題）已知電燈電路兩端的電壓U為220V,通過(guò)燈泡的電流強(qiáng)度/[A）的最大限

度不得超過(guò)（）.11A.設(shè)選用燈泡的電阻為R（C）,下列說(shuō)法正確的是（）

A./?至少2000CB.R至多2000QC.R至少24.2CD.R至多24.2C

【答案】A

【分析】根據(jù)代入公式，列不等式計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意，得0.11R2220,解得A22000.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題結(jié)合物理知識(shí)，列不等式進(jìn)而求解，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解題意，列出不等式.

變式1.（2025?廣東深圳?統(tǒng)考二模）農(nóng)戶(hù)利用“立體大棚種植技術(shù)〃把毛豆和芹菜進(jìn)行混種.已知毛豆齊苗后

棚溫在18?25℃最適宜，播種芹菜的最適宜溫度是15~2（TC.農(nóng)戶(hù)在毛豆齊苗后在同一大棚播種了芹菜，

這時(shí)應(yīng)該把大棚溫度設(shè)置在下列哪個(gè)范圍最適宜（）

A.15~18℃B.18?2（TCC.20?25℃D.20℃以上

【答案】B

【分析】根據(jù)毛豆齊苗后棚溫在18?25（最適宜，播種芹菜的最適宜溫度是15~209，即可求解.

【詳解】解：回毛豆齊苗后棚溫在18?259最適宜，播種芹菜的最適宜溫度是15~2（TC.

13在毛豆齊苗后在同?大棚播種了芹菜，這時(shí)應(yīng)該把大棚溫度設(shè)置在18~2（TC最適宜.故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的應(yīng)用，明確題意，理解最適宜溫度的意義是解題的關(guān)鍵.

例2：（2025?四川德陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）如果〃>〃，那么下列運(yùn)算正確的是（）

A.（1—3<b—3B.。+3<》+3C.<3bD.—-<—-

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

一,--…ab

【詳解】解：團(tuán)0^-3>/?-3。+3>〃+3,3a>3b,,

0A,B,C不符合題意，D符合題意；故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，

不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變：不等式的兩邊同

時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

變式1.（2025年北京市中考數(shù)學(xué)真題）已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（）

A.-\<-a<a<\B.-a<-\<\<aC.-a<-\<a<\D.-]<-a<]<a

【答案】B

【分析】由可得則。>0,根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：。一1>0得a>l,則4>（）,團(tuán)一〃<一1,<1,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，注意：當(dāng)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，則不等式的符號(hào)需要改變.

變式2.（2025?河北秦皇島?統(tǒng)考二模）在復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，張老師給出以下兩個(gè)說(shuō)法：

①不等式一定不成立，因?yàn)椴坏仁絻蛇呁瑫r(shí)除以。，會(huì)出現(xiàn)22的錯(cuò)誤結(jié)論：

②如果a>Ac>4,那么一定會(huì)得至；

下列判斷正確的是（）

A.①V,②xB.①x,②xC.①V,②VD,①x,②V

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分析即可求解.

【詳解】解：①不等式為，當(dāng)*0時(shí)成立，故①錯(cuò)誤，

②例如3>2,5>1,則3-5<2-1,故②錯(cuò)誤，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例3：（2025?浙江紹興市?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲在集市上先買(mǎi)了3只羊，平均每只。元，稍后又買(mǎi)了2只，

平均每只羊b元，后來(lái)他以每只"元的價(jià)格把羊全賣(mài)給了乙，結(jié)果發(fā)現(xiàn)賠了錢(qián).賠錢(qián)的原因是（）

2

A.a>bB.a=bC.a<bD.與a、b大小無(wú)關(guān)

【答案】A

【分析】已知甲共花了3a+2b元買(mǎi)了5只羊.但他以每只空的價(jià)格把羊賣(mài)給乙發(fā)現(xiàn)賠錢(qián)了.由此可列出

2

不等式求解，就知道賠錢(qián)的原因.

【詳解】解：根據(jù)題意得到5xi〈3a+2b,解得Q>b故選：A

2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，聯(lián)系實(shí)際，進(jìn)而

找到所求的最的等最關(guān)系.

變式（?浙江舟山?統(tǒng)考三模）觀(guān)察：；＜言11+133+144+1

1.2025一<....-<------<-----

33+1*44+1'77+1

⑴猜想：當(dāng)。＜力＜々時(shí)，-______—,-______y=I,-______—（“＞〃〃=”“＜〃填空）

aa+\aaa+3

（2）探究：當(dāng)0＜〃＜。時(shí)，2與絲￡（其中〃為正整數(shù)）的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

aa+n

【答案】⑴＜，＜,＜（2）-＜—,理由見(jiàn)解析

aa+n

【分析】（1）觀(guān)察已知條件中的式子規(guī)律，即可猜想得出結(jié)論;

（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)，對(duì)0＜力＜。進(jìn)行變形，即可得出2與"士（其中"為正整數(shù)）的大小關(guān)系.

aa+n

【詳解】⑴團(tuán)；〈詈44+1

一<----

77+1

自猜想：當(dāng)0<〃<。時(shí)，2<絲1,-<^!2,2<筆.故答案是<,

aa+\aa+2aa+3

(2)—<^+n,理由如下：0O<Z?<a,〃為正整數(shù)，^bn<an.

aa+n

^ab^bn<ab+an.^b(a+n)<a(b+n)..

aa+n

【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌不等式的性質(zhì)，利用性質(zhì)對(duì)式子進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵.

例4：（2025?廣西桂林?中考真題）把不等式X-1V2的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，正確的是（）

A.1111J11B.-1--------1------1---------1----------------1------L

-1012345-1012345

C.-I——?-----1-------1------------1——LD.-I——?-----1-------1-------------1——L

-1012345-1012345

【答案】D

【分析】移項(xiàng)，求出不等式的解集，判斷選項(xiàng)：

【詳解】解：移項(xiàng)得，xVl+2,得，x＜3.在數(shù)軸上表示為:

-----------------------1---------f故選：D.

-1012345

【點(diǎn)睛】本題考杳了解一元一次不等式，解不等式時(shí)尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù),

不等號(hào)方向要改變.

變式1.（2025?重慶一模）不等式x42在數(shù)軸上表示正確的是（）

Bc7

A，-161-t-^rFF'-6iHa10123

【答案】D

【分析】根據(jù)在表示解集時(shí)，一要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“<〃，">"要用空心圓圈表示，把已知解集表示在

數(shù)軸上即可.

【詳解】解：不等式工?2在數(shù)軸上表示為：jj；3黃.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2025?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在數(shù)軸上表示x的取值范圍是.

」1111」

.101234

【答案】x>2

【分析】根據(jù)數(shù)軸可知，表示x的數(shù)在數(shù)2的右邊，且不等于2,因此即可判斷x的取值范圍.

【詳解】由數(shù)軸知：X>2,故答案為：x>2.

【點(diǎn)睛】本題考查用不等式表示數(shù)軸上的數(shù)的范圍，體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，要注意是實(shí)心點(diǎn)還是空心圓圈.

核心考點(diǎn)2.一元一次不等式

例5：（2025?浙江?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下歹U各式中，（l）x+2+Yv2x-5+Y；（2）2x+D+y；（3）3%—4y20：

3

（4）---5<x-（5）xwO；（6）"+1>5.是一元一次不等式的有（）

2x

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義：形如以+人>0或以+8<?；?或以+6V0（其中。是不等于

0的常數(shù)，b為常數(shù)），由此進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：（1）x+2+/V2X—5+J即x+2v2x—5是一元一次不等式；（2）2x+q，+y是二元二次整式，

3

不是不等式；（3）3x-4y20是二元一次不等式（4）：-5〈/不是一元一次不等式；（5）x±0是一元一

次不等式：（6）/+[>5不是一元一次不等式，故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元一次不等式的定義.

變式1.（2025嘿龍江?九年級(jí)期中）若（加-2）/，1>5是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義可得：2〃?-1=1且〃2-2=0,求解即可.

【詳解】解：根據(jù)一元一次不等式的定義可得：2〃?-1=1且〃L2W（）解得利=1答案為1

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的概念.

變式2.（2025-山西忻州?九年級(jí)期末）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.不等式x-3>2的解集是x>5B.不等式無(wú)<3的整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè)

C.不等式x+3v3的整數(shù)解是0D.x=0是不等式2x<3的一個(gè)解

【答案】C

【分析】解出不等式的解集，根據(jù)不等式的解的定義，是能使不等式成立的未知數(shù)的值，就可以作出判斷.

【詳解】解：A、不等式x-3>2的解集是x>5,正確，不符合題意；

B、由于整數(shù)包括負(fù)整數(shù)、0、正整數(shù)，所以不等式XV3的整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè)，正確，不符合題意；

C、不等式X+3V3的解集為xVO,所以不等式x+3<3的整數(shù)解不能是0,錯(cuò)誤，符合題意；

D、由于不等式2x<3的解集為XV1.5,所以x=0是不等式2x<3的一個(gè)解，正確，不符合題意.選：C.

【點(diǎn)睛】本題考杳了不等式的解集，解答此題關(guān)鍵是掌握解不等式的方法，及整數(shù)的分類(lèi).

例6：（2025?綿陽(yáng)市?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）解不等式9-工<3-考.

【答案】x>-2

【分析】不等式去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把工系數(shù)化為1,即可求出解.

【詳解】解：二7〈3--，

34

去分母，得4（I）-12xv36-3g2）,

去括號(hào)，得4-4x—12xv36—3x-6,

移項(xiàng)，彳U—4x—12x+3x<36—6—41

合并同類(lèi)項(xiàng)，得-13xv26,

系數(shù)化成1,得%>-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，解此題的關(guān)鍵點(diǎn)是能正確根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，注意：移

項(xiàng)要變號(hào).

變式1.（2025?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）解不等式：l（x-3）＜1-2x.

【答案】

JLJ

【分析】按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可.

【詳解】解：l（x-3）＜i-2x

23

去分母，得3（x-3）＜2-12x,

去括號(hào)，得3x-9v2-12x,

移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得

化系數(shù)為工，得

【點(diǎn)睛】此題考查了一元i次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2025?四川眉山?一模）若關(guān)于x的不等式無(wú)+機(jī)＜1只有3個(gè)正整數(shù)解，則，"的取值范圍是.

【答案】一345〈一2

【分析】首先解關(guān)于x的不等式，然后根據(jù)x只有3個(gè)正整數(shù)解，來(lái)確定關(guān)于〃，的不等式組的取值范圍，再

進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：解不等式X+“＜1,得：

由題意x只有3個(gè)正整數(shù)解，則分別為：1,2,3,

1-/7/＞3

故：11//解得：一3=，”-2’故答案是：一3二，〃＜一2.

1-/??＜4

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于工不等式的正整數(shù)解及解?元?次不等式組的解集問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)關(guān)于

工不等式的正整數(shù)解的情況來(lái)確定關(guān)于〃?的不等式組的取值范圍，其過(guò)程需要熟練掌解不等式的步驟.

核心考點(diǎn)3.一元一次不等式組

2x＞x-1,

例7：（2025年廣東廣州中考數(shù)學(xué)真題）不等式組x+12x的解集在數(shù)軸上表示為（）

----＞一

23________

1

A」一.」AB」一4-1■?Q-I----1-?D」1.

A--I03-I03-3-I0-3-I0

【答案】B

【分析】先解出不等式組的解集，然后將解集表示在數(shù)軸上即可.

【詳解】解：解不等式ZvNx-l,得xN-l,解不等式詈〉彳，得x＜3,

團(tuán)小等式組的解集為-1＜工＜3,在數(shù)軸上表小為:

----A故選：B.

-)0

【點(diǎn)睛】此題考查不等式組的解法，解題關(guān)鍵是將解集表示在數(shù)軸上時(shí)，有等號(hào)即為實(shí)心點(diǎn)，無(wú)等號(hào)則為

空心點(diǎn).

-3（x-2）>4-x

變式】.（2。25年四川省德陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）不等式組心,的解集是（）

3

A.X<IB.x<4C.1<X<4D.無(wú)解

【答案】A

【分析】先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)

解）“求出不等式組的解集即可.

-3（x-2）>4-x?

【詳解】解：〈\+2x解不等式①得：x<l,解不等式②得：x<4,

>x-i@

3

用不等式組的解集為故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個(gè)不等式的解集是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2025?四川成都?統(tǒng)考中考真題）（1）計(jì)算：4+2sin45。-（兀-3）。+|0-2|.

2(X+2)-A<5?

（2）解不等式組:竽2您

【答案】（1）3；（2）

【分析】（1）先計(jì)算算術(shù)平方根、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)哥和絕對(duì)值，再加減運(yùn)算即可求解;

（2）先求得每個(gè)不等式的解集，再求得它們的公共部分即可求解；

【詳解】解：（1）74+2sin45°-（7t-3）°+|V2-2|=2+2x^l-l+2->/2=3+72->/2=3；

2

（2）解不等式①，得

解不等式②，得x>-4,

團(tuán)不等式組的解集為-4vxWl.

【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和解一元一次不等式組，涉及到特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)累、

絕對(duì)值、二次根式的加減等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵.

[①請(qǐng)結(jié)合題意完成本題的解答（每

變式3.（2025?四川樂(lè)山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）解不等式組

空只需填出最后結(jié)果）.

解：解不等式①，得.

解不等式