高考數(shù)學一輪復習圓錐曲線綜合

一.選擇題（共8小題）

1.（2025?湖北模擬）已知正方體A/3C。-點Oi是4。與川。?的交點，點。是直線

4Oi上異于4的一點，點尸是平面QB。上的動點，滿足直線PQ與直線AQ的夾角為:，則動點

尸的軌跡在（）

A.圓上B.橢圓上C.拋物線上D.雙曲線上

2.（2025?北京校級模擬）設直線/經(jīng)過拋物線』=8.y的焦點，P為直線/上任意一點，過尸總能作

圓/+）2=1的切線，則直線/斜率女的最大值為（）

6_L

A.—B.73C.V2D.1

3

3.（2025?牡丹江校級模擬）2025春節(jié)檔國產(chǎn)影片《哪吒之魔童鬧?！方舆B破全球票房記錄，影片

中哪吒與敖丙是不可分割的二人組，其中敖丙的武器“盤龍冰錘”相撞后形成了如圖所示的曲線，

可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線.如圖所示的曲線。過坐標原點O,。上的點到兩定點八（

0）,F1（〃，（））（40）的距離之積為定值.當。=3時，。上第一象限內(nèi)的點。滿足△PFIF2

C.2gD.(V5+2V5)x2=6V5

4.（2025?瀘縣校級模擬）點P（1,0）,點Q是圓7+『=4上的一個動點，則線段PQ的中點M

的軌跡方程是（）

A.（x-1）2+y2=1B.%2+（y-1）2=4

C.%24-（y—^）2=1D.（%—^）2+y2=4

5.（2025?嶗山區(qū)校級模擬）已知圓M的圓心在曲線沖=2（x>0）上，圓M與直線1+2月1=0相

切，則圓M面積最小值為（）

A.V5TTB.20C.5nD.Khi

y2

6.（2025?羅湖區(qū)校級模擬）若拋物線）2=8.r的準線經(jīng)過雙曲線:■-匕=1的一個焦點，則雙曲線

離心率為（）

A.V2B.2V2C.4D.472

（春?南陽期中）已知雙曲正弦函數(shù)比九工二二^^,雙曲余弦函數(shù)若點尸

7.2025s乙coshx=乙

在曲線y=sinhx上，a為曲線在點P處切線的傾斜角，則a的范圍是（）

A.[0,舟U[竿，7T）B.[0,n）

C.生芻D.嚀，第

8.（2025?昌江區(qū)校級模擬）已知點”是拋物線￡：f=4.y的焦點，點A是拋物線E上一點.過點A

作圓O：^+/=1的兩條切線，切點分別為6,C,且分別交拋物線的準線于何，N兩點，M,N

位于y軸異側(cè)（如圖所示）.若|MN|=2ai,則|AF1的長為（）

A.2B.3C.4D.3V3

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2025?江西模擬）已知A、8兩點的坐標分別為（?1,0）,（1,0）,M為坐標平面

內(nèi)的動點，直線MA,M8的斜率分別為如小kMB,且滿足AIWA■的8=a（。為定值），設動點M

的軌跡為C.則（）

A.軌跡C關(guān)于原點對稱

B.軌跡C關(guān)于直線對稱

C.當a=0時，軌跡C為一條直線

D.當a＞0時，軌跡。存在最高點

（多選）10.（2025?嶗山區(qū)校級模擬）平面直角坐標系xOy中，曲線E上任一點M,滿足到點F\

（-I,0）,F2（1,0）的距離的倒數(shù)和為定值，即7；工+[=2。＞0），則下列說法正確

IMFj|MF2|

的是（）

A.對于不同的人值，曲線￡總是關(guān)于），軸對稱

B.當2時，曲線E經(jīng)過原點

C.當人=1時，乃|的取值范圍為[4,2+2V2]

D.當人=3時，x軸上存在4個不同的點在曲線石上

（多選）11.（2（）25?鼓樓區(qū)校級模擬）已知。＞0,乃（-小0）,放（a,0）,若平面內(nèi)動點P（x,

y）滿足IPF/IPF2I=。2,則稱點P的軌跡為雙紐線，下列結(jié)論正確的是（）

A.雙紐線是軸對稱圖形

B.△尸為尸2的面積的最大值為與

4

C.\PF\\+\PF2\=2a

D.直線y=0.9x與雙紐線有三個交點

（多選）12.（2024秋?宜春校級期末）“大鵬曲線”的方程為C：^-y\y\=b其圖像因為形似

一只展翅高飛的大鵬而得名.直線）=儂+〃與C的交點可能個數(shù)的集合記為D（小b）,下列選

項正確的是（）

A.該曲線關(guān)于），軸對稱

B.D（a,2）={0,I,2}

C.D（a,-3a）={0,1,2）

D.“D（a,b）一{3}”的充要條件是“|a|>★且。<0"

三.填空題（共4小題）

13.（2025?開封模擬）已知圓。：7+），2=7（r>0）經(jīng)過橢員【。：=1（。>力>0）的上、下頂

點和焦點，則橢圓C的離心率6=

14.（2025?重慶校級模擬）設正方體48。）-4小。。|的棱長為2,P為正方體表面上一點，且點尸

到直線A4的距離與它到平面ABCD的距離相等，記動點P的軌跡為曲線W,則曲線W的周長

是.

x2

15.（2025春?金山區(qū)校級期中）已知橢圓中心在原點，長軸長為4,以雙曲線5一丁9=1的頂點為

焦點，則橢圓的標準方程為.

/y2

16.（2025春?湖北期中）設O為原點，雙曲線Q的方程是=-yr=K?>0,Z?>0）,離心率e=國.直

a2b2

線x+2y?〃?=0與雙曲線。的兩條漸近線分別交于A,8,與圓f+y2=42相切于點N.若薪=MB,

|0M|=V85,則直線OM的斜率為,雙曲線。的實軸長為.

四.解答題（共4小題）

17.（2025?陜西模擬）函數(shù)與圓錐曲線是我們高中最常見的知識板塊，現(xiàn)進行探究：

（1）化簡J/+⑶+3）2++8-33=10,并求方程閉+,|=1表示的曲線所圍成的圖形的

周長.

（2）已知曲線&|x|+y=l,試研究曲線C的范圍.

高考數(shù)學一輪復習圓錐曲線綜合

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2025?湖北模擬）已知正方體ABCO-4B1CIO1,點Oi是4cl與小。1的交點，點Q是直線

4。1上異于A的一點，點P是平面上的動點，滿足直線PQ與直線AQ的夾角為g,則動點

P的軌跡在（）

A.圓上B.橢圓上C.拋物線上D.雙曲線上

【考點】軌跡方程.

【專題】計算題；整體思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】。

【分析】由題意得。在以。為頂點的府頂圓錐上，對頂圓錐的軸線為4。，進一步即可求解.

71

【解答】解：根據(jù)題目可知：直線尸Q與直線AQ的夾角為了

所以，在以Q為頂點的對頂圓錐上，即對頂圓錐的軸線為AOi,

AOi〃平面CTBD,因此動點。的運動軌跡在雙曲線上.

故選：D.

【點評】本題考查軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2025?北京校級模擬）設直線/經(jīng)過拋物線f=8），的焦點，P為直線/上任意一點，過P總能作

圓f+）2=i的切線，則直線/斜率k的最大值為（）

A.—B.V3C.V2D.1

3

【考點】圓與圓錐曲線的綜合.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】B

【分析】由題意可得直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)拋物線方程，可得焦點坐標，從而設出直線方程，

利用點到直線距離公式，建立不等式，可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，P為直線/上任意一點，過P總能作圓/+）2=1的切線，

則直線/與圓/+9=1不相交，故圓心（0,o）到直線/內(nèi)距離d大于等于半徑=，即心r=l,

拋物線f=8y,其焦點（0,2）,易知直線/的斜率存在，

設直線/的斜率為匕則直線/的方程為：y=kx+2,

由d=l岬-0+2|,則整理可得爐+1W4,解得一百WkM遍，

所以直線/的斜率k的最大值為

故選：B.

【點評】本題考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，涉及拋物線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2025?牡丹江校級模擬)2025春節(jié)檔國產(chǎn)影片《哪吒之魔童鬧?！方舆B破全球票房記錄，影片

中哪吒與敖丙是不可分割的二人組，其中敖丙的武器“盤龍冰錘”相撞后形成了如圖所示的曲線，

可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線.如圖所示的曲線。過坐標原點O,C上的點到兩定點打(?小

0),F2(小0)(?>0)的距離之積為定值.當。=3時，C上第一象限內(nèi)的點產(chǎn)滿足△尸為尸2

A.6R.18>/3

C.2V13D.(V5+2^/5)x2=6V5

【考點】曲線與方程.

【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；運算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)題設有|。鼻||0尸2|=。2=9,設P(x,y)結(jié)合定義得(/+)，2)2=18(?-/),利

用三角形面積公式有—。0°,即P是曲線2_18與以為尸2直線的圓的

交點，聯(lián)立曲線與圓/+『=9求得孫=攣，應用兩點距離公式求IPF/2-|PFz|2.

【解答】解：由曲線C過坐標原點。

。上的點到兩定點F1(-40),F2(小0)(4>0)的距離之積為定值，

可得原點在曲線上，|。尸11|0尸2|=小=9,

設P(x,y)，x>0,y>0；

可得J(x+3產(chǎn)+y2.1(x-3>+/=9,

化簡可得(?+9+9)2-367=81,

所以(f+y2)2=18(/-)2),

1Q

由S.P&F2ElP&HPEIsmKPB=會且仍尸||仍尸2|=9,可得sin/QP戶2=1,

所以NQPF2=90°,易知P是曲線(f+)2)2=18(,r-/)與以為放直徑的圓的交點,

聯(lián)立信；過2：18(/一2,且，在第-象限，可得孫=等，

222

所以|PF/2-\PF2\=(xP+3)+y”(xP-3)-y}=12xP=1875.

故選；B.

【點評】本題考查曲線與方程的關(guān)系，以及圓的性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

4.(2025?瀘縣校級模擬)點P(l,0),點。是圓/+f=4上的一個動點，則線段PQ的中點M

的軌跡方程是()

A.(x—^)24-y2=1B.%2+(y-^)2=4

C.x2+(y-1)2=1D.(x-1)2+y2=4

【考點】軌跡方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)相關(guān)點法，即可求解.

【解答】解：設點M的坐標為M(x,y),

VP(1.0),線段『。的中點為M.

???Q(2x?l，2y),

又點Q在圓x2+y2=4上，

???(2x-I)2+(2y)2=4,

BP(x-i)2+y2=1.

故選:A.

【點評】本題考查根據(jù)相關(guān)點法求解軌跡方程，屬基礎(chǔ)題.

5.(2025?嶗山區(qū)校級模擬)己知圓M的圓心在曲線xy=2(3>0)上，圓M與直線x+2y+l=0相

切，則圓M面積最小值為()

A.V5nB.2y/5nC.5nD.lOn

【考點】曲線與方程.

【專題】計算題；方程思想：綜合法；直線與圓；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可設M(a,3(a>0),根據(jù)點到直線的距離公式結(jié)合基本不等式可得加⑦=V5,

即可得結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)題意，圓用的圓心在曲線孫=2(x>0)上，不妨設M(a,軟a>0),

又因為圓W與直線x+2y+1=0相切，

則圓M的半徑為點M到直線x+2y+l=0的距離，

v'TR底4底

當且僅當Q=J即。=2時等號成立,

即圓M的半徑的最小值,加”=瓜所以圓M面積的最小值為7Tx（V5）2=57r.

故選：C.

【點評】本題考臺直線與圓的位置關(guān)系，涉及不等式的性質(zhì)和應用，屬于基礎(chǔ)題.

y2

6.（2025?羅湖區(qū)校級模擬）若拋物線/=&.的準線經(jīng)過雙曲線彳―三=1的一個焦點，則雙曲線

2

離心率為（）

A.V2B.2V2C.4D.472

【考點】圓錐曲線的綜合.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得出即2=VI訴，且c=2,求出小即可求解.

【解答】解：因為『=8]，所以準線為x=-2,

由題意拋物線『=8x的準線經(jīng)過雙曲線一-三二1的一個焦點，

即2=\/2+爐,

解得〃2=2,且c=2,

22

故Q=y/c—b=>J2,

所以雙曲線離心率為￡=卡=

故選：A.

【點評】本題考查雙曲線與拋物線方程即性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2025春?南陽期中）已知雙曲正弦函數(shù)sm雙曲余弦函數(shù)cos/ix=咨一，若點P

在曲線y=sinhx上，a為曲線在點。處切線的傾斜角，則a的范圍是（）

A.[0,勺U[當,7T）B.[0,n）

c.弓，芻D.琮，為

【考點】曲線與方程.

【專題】計算題；整體思想；函數(shù)的性質(zhì)及應用.

【答案】C

【分析】sinhx的導數(shù)為coshx,coshx》l時,即tana2L耳，分

【解答】解：設/■（之）=-—,則r（x）=

4fa（乙

即lana'l,所以a€百，芻.

故選：C.

【點評】本題考查曲線與方程，屬于基礎(chǔ)題..

8.（2025?昌江區(qū)校級模擬）已知點〃是拋物線氏/=4y的焦點，點4是拋物線E上一點.過點A

作圓O：/+}2=i的兩條切線，切點分別為e,C,且分別交拋物線的準線于M,N兩點，M,N

位于y軸異側(cè)（如圖所示）.若|MN|=2“1,則|AF1的長為（）

A.2B.3C.4D.3V3

【考點】圓與圓錐曲線的綜合；拋物線的焦點弦及焦半徑.

【答案】B

【分析】設MN與圓。相切于點。，由切線長定理可得Z\AMN的周長為2|MN|+2，|力。|2-1,

可得SMMN=|MN|+-1,設A（A-O,和），由題意得w>l,可得|MN|+=

||M/V|（y0+1）,計算可得|MN|=2，結(jié)合已知可得）5可求|AF|.

LZO1

【解答】解：設MN與圓。相切于點。，如圖，切線長相等可得：\AB\=\AC\,\ND\=\NC\,\MB\

=\MD\,

所以△AMN的周長為2\MN\+2\AB\=2\MN\+2，|40|2-1,

22

所以SMMN=^(2\MN\+2y/\AO\-1)x1=|MN|+yj\AO\-1,

設A(AO,.yo),由題意得yo>l,

因為SwwT|MN|?(yo+l),由等面積法，可得|MN|+V1研=1二梟河/7|仇+1),

所以附=里不21W+%T=2/羽+4打-1

-1

^0-1y0—-—y()T

2Jyo+4yo-i_

由|MN1=2JII,則1--------------=2711?解得皿=2,所以IAQUR+IM?.

出一1

故選；B.

【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應用，圓的方程的應用，切線長定理與三角形的面

積的應用，是中檔題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2025?江西模擬）已知4、B兩點的坐標分別為（-1,0）,（1,0）,M為坐標平面

內(nèi)的動點，直線MA,的斜率分別為kMB,且滿足k'VM-勒8=4（4為定值），設動點M

的軌跡為C.則（）

A.軌跡。關(guān)于原點對稱

B.軌跡C關(guān)于直線對稱

C.當〃=0時，軌跡C為一條直線

D.當。＞0時,，朝L跡C存在最高點

【考點】軌跡方程.

【專題】方程思想；定義法：函數(shù)的性質(zhì)及應用：邏輯思維.

【答案】BD

【分析】設M（AS），），根據(jù)題意寫出斜率之差的方程，化簡可得M的軌跡為挖去兩個點的關(guān)于

_＞，軸對稱的拋物線，由此可以分析各個選項的正誤.

【解答】解：設M（x,y）,貝味.人一人MB=Q，整理得4』+2y-a=0GW±1）,

即y=一冬％2+3。工±i）,所以軌跡為挖去兩個點的關(guān)于y軸對稱的拋物線，故人錯誤，B正確；

當。=0時，）,=（）（x#±i）,即一條直線挖去了兩個點，故C錯誤；

當。＞0時，軌跡為丫=一3無2+冬（無工±1）,開口向下，有最高點，故。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查軌跡方程問題，屬于簡單題.

（多選）10.（2025?嶗山區(qū)校級模擬）平面直角坐標系xQv中，曲線E上任一點滿足到點F1

11

（-1,0）,F2（I,0）的距離的倒數(shù)和為定值，即「二十丁工=a（ziA0）,則下列說法正確

IMF1I\MF2\

的是（

A.對于不同的人值，曲線E總是關(guān)于)，軸對稱

B.當2=*時-，曲線E經(jīng)過原點

C.當人=1時，尸2|的取值范圍為[4,2+2V2]

D.當人=3時，x軸上存在4個不同的點在曲線E上

【考點】曲線與方程.

【專題】方程思想；定義法：函數(shù)的性質(zhì)及應用：邏輯思維.

【答案】ACD

【分析】對于4,設M關(guān)于〉，軸的對稱點為Mi,通過分析得到；；工7+777=7=九由此可判斷;

IM//IM1F2I

對于8,當4=：時，通過檢驗意+薪二：是否成立可判斷；

對于C,當入=1時，結(jié)合題設得IMF?1=譚梏>0及四W|M&|42+&，令1=網(wǎng)人卜1,

得IMF/+IMF2I=￡+)+2,利用函數(shù)單調(diào)性求得IMF/+IMF2IW[4,2+2V2],即可判斷C；

11

對于。，當人=3時，設曲線￡在工軸上的點為(x,()),由題設得+7(^T^=3?通

過分類討論結(jié)合曲線E的龍稱性求得x的值，可判斷D

【解答】解：對于選項4,由于尸i(-1,0),尸2(1,0),可知O(0,0)為線段向正2的中點，

又因為M滿足77匚+；7二=A(A>0),設動點M關(guān)于y軸對稱的點為Mi,

IMF/\MF2\

11

那么可得|MQ|=|MIF2|,\MF2\=\MIFI\,可得777—+777T7=九

|Mi%l1%且1

因此曲線E關(guān)于)，軸對稱，所以選項A正確；

對于選項B,當A=2時，將原點O(0,0)代入，那么可得=7；+焉=2。"所以選項B

2

1。&||OF2I2

錯誤：

對于選項C,當人=1時，IMF2]=瑞沿>0，那么可得附Q|>1.

由于||例區(qū)尸1萬2|=2,所以IIMRI-〔J霏W2.解得四W|V2+四.也斗|+

IMF?1=\MFl\+瑞1、=(|MF1|-1)+扇R+2,

令t二|MFi|-l￡[或-1,V2+1],那么|M&|+|M4|=t+1+2,

根據(jù)對勾函數(shù)可知函數(shù)/'([)=「+[+2在(1,&+1]內(nèi)單調(diào)遞增，在[&-1,1]內(nèi)單調(diào)遞減，

且/⑴=4,f(y[2-1)=/(V2+1)=2+2V2,那么/(t)E[4,2+2^2],

因此|MFJ+IMF2I￡[4,2+2V2],所以選項C正確；

11

對于選項D，當入=3時，設曲線上在x軸上的點為（x,0）,根據(jù)題意得/+、==3,

收+1）2?=-1）2

由于曲線圖象關(guān)于），軸對稱，考慮x>0的情形，

當OVxVl時，方程化為3，=1,解得“冬

當元>1時，方程化為37-2A-3=0,解得工=上!婪，

因此x>0時，x軸上有2個點，所以工軸上存在4個不同的點在曲線E上，所以選項。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查曲線與方程，屬于中檔題.

（多選）II.（2025?鼓樓區(qū)校級模擬）已知。>0,Fi（-a,0）,Fl（a,0）,若平面內(nèi)動點P（x,

y）滿足IPF/IPF2I=M,則稱點戶的軌跡為雙紐線，下列結(jié)論正確的是（）

A.雙紐線是軸對稱圖形

Q2

B.△P”lb2的面積的最大值為-7

4

C.IPCI+IP尸2|=2a

D.直線y=0.9x與雙紐線有三個交點

【考點】軌跡方程.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】AD

【分析】對于A,利用兩點的距離公式整理方程，將關(guān)于坐標軸對稱的點代入，可得答案；對于8,

利用一元二次方程根的存在性，求得動點坐標的范圍，結(jié)合三角形面積公式，可得答案；對于C,

根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可得答案；時于。，聯(lián)立方程，因式分解求方程的根，可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意,F1（-?,0）,F2（m0）,平面內(nèi)動點P（%y）滿足IPFJIP/y=M，

則IPF1IIPF2I=收+a）?+y2?-砌2+*=。2,

變形可得f+）,4-2a27+2[2）,2+2/）,2=（）,

艮|J雙紐線的方程為J+），4-2^2?+2^2+2.?/=0>

依次分析選項：

44122

對于A,曲線方程為x+>--2crx+2ay^+2xy^=Of

由（x,），）關(guān)于x軸的對稱點為（/，-），），顯然當（■），）滿足方程時，（x,-y）也滿足方程,

則雙紐線關(guān)于x軸對稱，是軸對稱圖形，故A正確；

對于3,由曲線方程/+/-26r2.r2+2^y+2xV=0?

夠理可得關(guān)于，的方程（/）2+（2）2-2/）/+3，4+2/）2=0,

由A=（2/-2/）2.4（/+2O2）20,解得一3Wy<y,

2

由S“F1F2=加1初”外則其最大值為:x2Qx]=學故B錯誤；

對于C,當點P不在原點,則構(gòu)成△PPi“2,則|PFi|+|PF2|>|FiF2|=2m故C錯誤;

對于D,將y=0.9x代入方程x4+y4-2r/2?+2a2/+2AV=0,

整理可得/（1.812/-O.38J）=0,解得x=（）或x=土I：；%。,故。正確.

iol

故選：AD.

【點評】本題考查曲線和方程，涉及軌跡方程的求法，屬于中檔題.

（多選）12.（2024秋?宜春校級期末）“大鵬曲線”的方程為C：y|y|=l，其圖像因為形似

一只展翅高飛的大鵬而得名.直線）=辦+〃與C的交點可能個數(shù)的集合記為。（小b）,下列選

項正確的是（）

A.該曲線關(guān)于），軸對稱

B.D（02）={0,I,2}

C.D（a,-3a）={0,1,2）

D.“D（小b）={3}”的充要條件是且〃〈0"

【考點】曲線與方程.

【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解.

【答案】AC

【分析】根據(jù)橢圓及雙曲線的性質(zhì)可判斷選項A：根據(jù)直線經(jīng)過定點，利用直線方程與圓錐曲線

方程聯(lián)立結(jié)合I員1錐曲線的性質(zhì)可判斷選項8,C根據(jù)反例可判斷選項Q.

2

【解答】解：當），20時，曲線方程為x二一y?=1,

此時為雙曲線，其漸近線方程為丫=±/%,

x2

當）V0時，曲線方程為二+y2=1,

對于選項A：由雙曲線及橢圓的性質(zhì)可得該曲線關(guān)于），軸對稱，故選項A正確；

對于選項8：因為y=at+2恒過點（0,2）,

當直線Q=±J時，此時直線），=。什2與漸近線平行，直線與C的交點為1,

當|。|>劣時，直線與C的交點為1,

當|a|V*時,直線與〈的交點為2,

則。（小2）={1,2},故選項8錯誤：

對于選項C：因為>=皈?3。=〃（x-3）恒過點（3,0）,

(y=a(%-3)

聯(lián)立無2°，消去)，并整理得(1+4/)r?24/t+36J?4=0,

(彳+y=1

此時A=(-24?2)2-4(1+4/)(36/-4)=-16(5/-I),

當。=洛時，△=(),

則直線與下半橢圓相切，

當直線OWaV塔時，直線與。的交點為2,

當。=監(jiān)時，直線與。的交點為1,

當‘<a<:時，直線與C的交點為0,

當或aW-4時，直線與。的有1個交點，

當一^VaVO時，直線與C的交點為2,

則0（。，-3a）=（0,1,2（,故選項。正確;

對于選項。：取a=l,b=-3,

由選項C可知直線與C的交點為1,

則|a|>3且6V6

不能得到。（〃，h）={3},故選項。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題.

三.填空題（共4小題）

13.（2025?開封模擬）己知圓。：/+>，2=7（r>0）經(jīng)過橢惻C各1（心匕>°）的上、下頂

V2

點和焦點，則橢圓C的離心率e=—.

—2—

【考點】圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的離心率.

【專題】方程思想：綜合法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程：運算求解.

【答案】g

【分析】由圓和橢圓的方程推得A=C,再由a,b,。的關(guān)系和離心率公式，可得所求值.

【解答】解：圓0：(r>0)經(jīng)過橢圓C：務Ql(a>b>0)的上、下頂點。b),

(0,-b)

和焦點(?c,0),(c,0),

可得層=J=c2,

故答案為：——

2

【點評】本題考查橢圓和圓的方程與性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬「基礎(chǔ)題.

14.(2025?重慶校級模擬)設正方體的棱長為2,尸為正方體表面上一點，且點P

到直線AAi的距離與它到平面ABCD的距離相等，記動點P的軌跡為曲線W,則曲線卬的周長是

4>/2+7T_.

【考點】軌跡方程；空間中點到平面的距離.

【專題】計算題；整體思想：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】4V24-7T.

【分析】根據(jù)給定條件，建立.空間直角坐標系，求出點P的軌跡方程，再分類探討軌跡并求出長

度.

【解答】解；根據(jù)題目，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設點尸(x,z),x,y,zG[0,2],A(2,0,0),Ai(2,0,2),在A41上任取點A2(2,0,

T

力A1=(0,0,2),AP,AA=0,依題意，\AP\=z,(x-2)2+y2

A2P=(x—2,y,0),2X2

=z2,

當z=0時，x=2,y=0,點尸的軌跡是一個點，軌跡長度為0；

I

當z=2時，(x-2)2+/=4,點。的軌跡是以Ai為圓心，2為半徑的：圓弧，軌跡長度為TT；

4

當x=0時，4?/=z2,所以y=0,z=2,點〃的軌跡是一個點，軌跡長度為0；

當x=2時，）2=z2,y=z,點P的軌跡是線段4囪，軌跡長度為2企；

當），=0時，，2-工=7,點2的軟跡是線段4。|,軌跡長度為2企；

當），=2時，（X-2）2+4=3,則x=z=2,點P的軌跡是一個點，軌跡長度為0,

因此曲線W的周長是4或+小

故答案為：4企+7T.

【點評】本題考查軌跡方程，屬于中檔題.

%2

15.（2025春?金山區(qū)校級期中）已知橢圓中心在原點，長軸長為4,以雙曲線三一/二1的頂點為

X2V2

焦點，則橢圓的標準方程為_了+彳=1_.

【考點】圓錐曲線的綜合.

【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解.

22

【答案】二X十v*二1.

42

【分析】雙曲線的頂點為（-&，0）,（V2,0）,可得橢圓的焦半徑為由長軸定義及橢圓的標

準方程即可求解.

x2

【解答】解：易知雙曲線》一丁=1的頂點為（一遮，0）,（&,0）,

所以橢圓的焦點在X軸上，

%2y2

設所求橢圓的方程為+T7=l（a>b>0），

因為該橢圓長軸長為4,

所以2。=4,

解得。=2,

x2

因為該橢圓以雙曲線萬-J=1的頂點為焦點，

所以c=V2,

此時b2=a2-?=2,

叉2y2

則所求橢圓的標準方程為1+y=1.

/y2

故答案為：7?+J=1.

42

【點評】本題考查橢圓的方程，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

/y2

16.（2025春?湖北期中）設O為原點，雙曲線Q的方程是=-77=離心率e=國.直

a2b2

線x+2y-〃?=0與雙曲線。的兩條漸近線分別交于A,3,與圓f+）2=/相切于點2.若AM=MB,

\0M\=V85,則直線OM的斜率為-4,雙曲線C的實軸長為14.

【考點】圓與圓錐曲線的綜合；過圓上一點的圓的切線方程；雙曲線的幾何特征.

【專題】綜合題；方程思想；綜合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維.

【答案】-4,14.

【分析】利用點差法，可求直線OM的斜率，在△OMN中，利用勾股定理可求。的值.

xyXy

-4--=0或—一—=0,

abab

2

相減整理后得服8?k0M=^2=e—1=2,

以8=一會所以koM=-4,

設48與x軸交于C,ZMOC=a,NMCO=0,

則tana=-4,tan/?=i,

tan乙0MN=tan（n-a-P）=-tan（a+夕）=一圖需編=%,

在直角△OMN中，\ON\=a,|M/V|=ya,|OM|=V85>

所以Q2+&Q）2=（V^）2,解得。=7,實軸長為14.

故答案為：-4；14.

【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

四.解答題（共4小題）

17.（2025?陜西模擬）函數(shù)與圓錐曲線是我們高中最常見的知識板塊，現(xiàn)進行探究:

（1）化簡十⑶十3）2十3%2+（y-3）2-10,并求方程國十卜1=1表示的曲線所圍成的圖形的

周長.

（2）已知曲線c|Ai+v=h試研究曲線。的范圍.

（3）已知拋物線C：）3=火（〃>0）上一點p（t,與到焦點戶的距離為2l,拋物線上一點4的縱

坐標為1,過點Q（?4,2）的直線與拋物線。交于M,N兩個不同的點（均與點A不重合），

連接PMPM,若PM0朋所成角為直角，求A關(guān)于直線MN對稱點R.

【考點】曲線與方程.

【專題】方程思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯思維.

V2工2

【答案】<1）"+T7=1;4匹.

2516

（2）xGR,yE（-8,1].

⑶以曇，一急或3需，一能）?

【分析】（I）根據(jù)橢圓定乂直接化簡已知方程即可；分類討論可得萬程用+卜|=1圍成的圖形為邊

長為企的正方形，由此可得結(jié)果；

（2）分別討論仝0和盡0的情況即可得到結(jié)果;

（3）根據(jù)拋物線焦半徑公式可構(gòu)造方程求得“，進而得到拋物線方程，設直線MMx=ny+m,與

拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論，根據(jù)垂直關(guān)系可整理得到MN方程，由點關(guān)于直線對稱點

的求法可求得結(jié)果.

【解答】解：（1）+』+3）2+J/+（丫-3）2=io表示J,）,）到（0,-3）和（0,3）

的距離之和為10,

那么這是以（。，-3）和（0,3）為焦點，長軸長度為10的橢圓,

那么焦距2c=6,那=10,所以。=3,4=5,所以層=J-。2=|6,

______________________y?X

所以J/+3+3)2+J%2+3-3)2=10可化簡為=+—=1.

(X>0(%>0x<0<0

根據(jù)國+|乂=1得:y>0或］y<0或yWO或yNO

x+y=1\x-y=1(x+y=-1l-x+y=1

因此方程表示（1,0）、（-1,0）.（0,1）、（0,-1）為頂點的正方形，如下圖圻示,

那么正方形邊長為魚，周長為：4xv2=A-x/2.

(2)當xWO時，方程為?x+y=l=y=x+l,

當x20時，方程為x+y=l=y=l?x,

所以C由兩條射線y=l-x(x20)和y=rH(%W0)組成，如下圖所示,

所以加辦=1,無最小值，所以C的范圍為x€R,ye(-3,1].

(3)因為點戶(33到焦點戶的距離為“，所以t+絆23解得"?所以點P(『1),

乙■1I

所以4)2=QX9又因為40,所以4=1,所以A(1,1),拋物線方程為尸=達

41

根據(jù)題意知：過點Q(?4,2)的直線斜率不為0,

那么可設直線MMx=n)^-m,N(X2,”)，M(xi,y\),

因為QW直線MM所以-4=2〃+川，所以陽=-2〃-4；

根據(jù)|、,2_得：『?■/〃=0,

iy—xv

所以根的判別式A=/尸+4〃?>0,根據(jù)韋達定理可得yI”=?〃?=2/2+4,y\+yi=n,

11

o

不-

因為所以力麗=(工-，----

PN_LPM,P144/y2

所以工62—4（%]+?。?m+%丫2-2（y】+yi）+4

=（71Y2）2-*（nyi+m+n丫2+巾）+春+%丫2~1（7i+、2）+\

=（必力）2-皇（乃+y2）+必丫2-+/=0，

所以（2n+4產(chǎn)一嗎W+2幾+4—*（-2九-4）+卷=0

化簡得：60/+296/357=0,所以（10?+21）（6n+17）=0,

解得：7^=—1^或n=一今；

當九二一/時，m=（-2）x（-y^）-4=所以MN：x=-+1；

（

設R（.a和），則卜fZ。Q一Z；l.C_122）1=_平1，解得：）x°=_2浸1，所以R（-爵-靜;

無。+1_21y0+l,1y-.6775415討

當"二一骨j,m=(-2)x(-^)-4=1,所以MN：x=-^y+滿足AC直線MM

曲13

-Xo=--139

設

么

所以

zX那25

和

f刈I---

/?\/59/?(25

y25)

167+-o=

325

綜上所述：R擊，一國）或R（一而萬，一船）,

【點評】本題考查曲