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文檔簡介
考點(diǎn)26.銳角三角函數(shù)(精練)
限時(shí)檢測(cè)1:最新各地模擬試題(40分鐘)
1.(2025?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在△ABC中,NANB,NC所對(duì)的邊分別為。,b,c,a=g,且
zS4=ZB-ZC,則()
A.a=b-cB.b>c>aC.b>a>cD.a2>bz-c2
2.(2025?浙江?模擬預(yù)測(cè))如圖,已知AaBC內(nèi)接于半徑為1的。。,N8AC=9(9是銳角),則△八8c的面積
的最大值為()
A.cos/l+cos。)B.cos^(l+sin^)C.sin6^(14-sinD.sinI+cos0)
3.(2025?廣東汕頭???家荒#┤鐖D,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,。在格點(diǎn)上,以A8為直徑的
圓過C,。兩點(diǎn),則sinNBCO的值為()
3
4.(2025?上海虹口?統(tǒng)考一模)如圖,在RtZXABC中,已知NC=90°,cos>4=-,AC=3,那么BC的長
為()
A
A.V7B.2/C.4D.5
5.(2025?貴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在“正。中,若NA,NB都是銳角,且sinA=:,cosB=(,則”WC的
22
形狀是()
A.鈍角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.直角三角形
6.(2025?上海靜安???家荒#┤绻?°</4<60。,那么siM與cosA的差().
A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定
7.(2025?河北保定???家荒#┤鐖D已知RlZ\A8C中,ZC=90°,ZA=30°,將RiA48C沿過點(diǎn)A的直線
折疊,使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)E處,lanNADC的值是()
A.2+73B.竺^C.G—lD.2-V3
2
8.(2025?廣東?中考模擬預(yù)測(cè)如圖,在陽△ABC中,ZC=90°,=石,點(diǎn)。是4c上一點(diǎn),連接8D.若
tanZA=~,tan/ABD=-,則CD的長為()
23
A.2>/5B.3C.x/5D.2
9.(2025?四川成都???寄M預(yù)測(cè))比較大小:sin54°8s35。(填
10.(2025?湖南婁底?統(tǒng)考一模)如圖,?8C的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,則lanB的值為
A
11.(2025?云南昆明?校考三模)在RtZXABC中,ZC=90°,sinA=~,則cos8=.
12.(2025?湖南婁底?統(tǒng)考一模)同學(xué)們,在我們進(jìn)入高中以后,還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式:
sin(a-^)=sinacos^-cos<zsinp,sin(?+/?)=sin<zcos/7+ccsasin/7,
cos(a-/7)=cosacos/+sinasin夕,cos(a+/7)=cosacos/?-sinasinp.例:
sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=.若已知銳角二滿足條件sina=;,則
sinla=.
13.(2025?湖南株洲?株洲二中??家荒?如圖,3個(gè)大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起,
連接正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)得到“BC,則tanNACA的值是.
14.(2025?廣東東莞?統(tǒng)考三模)如圖,沿AE折疊矩形紙片480使點(diǎn)。落在8C邊的點(diǎn)尸處.已知5=4,
sinZEFC=|,則.
15.(2025?重慶?中考模擬預(yù)測(cè))在直角中,ZC=90°,-^-+—!-=|,NC的角平分線交人8于點(diǎn)
tanAtanB2
D,且CD=2壺,斜邊48的值是.
16.(2025?山東?中考模擬)(1)計(jì)算:x/24+(-2)3sin60-cos45+(2->/3)0-(-I)2021;
(2)計(jì)算:cos60+2sin30-tan30°-tan60,—sin245.
19.(2024?上海普陀?統(tǒng)考一-模)如圖,小河的對(duì)岸有?座小山,小明和同學(xué)們想知道山坡A8的坡度,但由
于山坡A8前有小河阻礙,無法直接從山腳B處測(cè)得山頂A的仰角,于是小明和同學(xué)們展開了如下的測(cè)量:
第一步:從小河邊的C處測(cè)得山頂人的仰角為37。;
第二步:從C處后退30米,在。處測(cè)得山頂A的仰角為26.6。;第三步:測(cè)得小河寬為33米.
已知點(diǎn)6、C、。在同一水平線上,請(qǐng)根據(jù)小明測(cè)量的數(shù)據(jù)求山坡A3的坡度.
(參考數(shù)據(jù):sin22.6°?0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°?0.5,sin37°?0.6,cos37°?0.8,tar.37°?0.75)
A
DcB
20.(2025?重慶?中考模擬預(yù)測(cè))閱讀下列材料:
在&A8C中,NA、D8、NC所對(duì)的邊分別為〃、8、c,求證:=
sinAsinB
證明:如圖1,過點(diǎn)C作COJ_A8于點(diǎn)。,則:
在RtABCD中,CO=asin〃
在RtAACD中,CD=hsinAasinB=bs\nA°=〃
sinAsinB
根據(jù)上面的材料解決下列問題:
⑴如圖2,在AA8C中,NA、DB、NC所對(duì)的邊分別為。、b、J求證:=^—
sinBsinC
⑵為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì),張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美
化,已知NA=67。,/8=53。,AC=80米,求這片區(qū)域的面積.(結(jié)果保留根號(hào).參考數(shù)據(jù):疝[53。=0.8,
sin67°?0.9)
限時(shí)檢測(cè)2:最新各地中考真題(40分鐘)
1.(2025年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)真題)學(xué)校開放日即將來臨,負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂
樓拉出一條彩旗繩A4到地面,如圖所示.已彩旗繩與地面形成25。角(即/胡。=25。)、彩旗繩固定在地
面的位置與圖書館相距32米(即AC=32米),則彩旗繩AB的長度為()
323,
A.32sin25。米B.32cos25。米C.----------米D.—:------米
sin25°cos250
2.(2025年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題)在△AOC中,ZZ?=60°,A6=4,若是銳角二角形,則滿足
條件的8C長可以是()
A.1B.2C.6D.8
3.(2025年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題)勾股定理的證明方法豐富多樣,其中我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦
圖”的證明簡明、直觀,是世界公認(rèn)最巧妙的方法."趙爽弦圖"己成為我國古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志,
千百年來倍受人們的喜愛.小亮在如圖所示的"趙爽弦圖"中,連接EG,DG.若正方形A8CD與EEG”的
邊長之比為石:1,則sin/ZX花等于()
4.(2025年四川省自貢市中考數(shù)學(xué)真題)如圖,分別經(jīng)過原點(diǎn)。和點(diǎn)A(4,0)的動(dòng)直線夾角班=30。,
點(diǎn)例是。8中點(diǎn),連接AM,則sinNOAW的最大值是()
A.上@B.巫C.星D.|
6236
5.(2025?湖北武漢?中考真題)由4個(gè)形狀相同,大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格,菱形的頂點(diǎn)稱為格
點(diǎn),點(diǎn)4,B,。都在格點(diǎn)上,回0=60°,則tan0A8C=()
1
A1Rn6
A-3B-2cTD-T
6.(2025年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題)如圖,焊接一個(gè)鋼架,包括底角為37。的等腰三角形外框和3m
高的支柱,則共需鋼材約m(結(jié)果取整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan370?0.75)
7.(2025?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題)閱讀材料:余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個(gè)角余弦值關(guān)系的數(shù)
學(xué)定理,運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題.余弦定理是這樣
描述的:在財(cái)4c中,(M、回6、團(tuán)。所對(duì)的邊分別為。、氏c,則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平
方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.
用公式可描述為:ct2=b2+c2-IbccosA:b2=di-\rc2-2accosB:c2=a2+b2-lahcosC
現(xiàn)已知在財(cái)BC中,AB=3,AC=4,lM=60o,則8C=.
8.(2025年四川省成都市數(shù)學(xué)中考真題)如圖,在RtZ\A8C中,ZABC=90°,CO平分/4C8交4B于點(diǎn)
AG7
過。作。石〃8c交AC于點(diǎn)E,將△及沿OE折疊得到△£>律,。/交AC于點(diǎn)G.若H=則
GE3
(an4=.
A
G
9.(2025年江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)真題)如圖,在中,NA=90。,點(diǎn)。在邊4B上,連接CO.若
AQ]
BD=CD,BD=1,則tanB=.
10.(2025?浙江紹興?中考真題)如圖,4/一10,點(diǎn)。在射線8。上的動(dòng)點(diǎn),連接AC,作CQ_LAC,CD-AC,
動(dòng)點(diǎn)石在AB延長線上,tan/Q跳:=3,連接CE,DE,當(dāng)CE=DE,C£_LDE時(shí),電的長是.
D
11.(2025年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)真題)如圖,標(biāo)號(hào)為①,②,③,④的四個(gè)直角三角形和標(biāo)號(hào)為⑤
的正方形恰好拼成對(duì)角互補(bǔ)的四邊形A8CO,相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙,①和②分別是等腰
和等腰RS8C/,③和④分別是RtZ\CDG和mV/M”,⑤是正方形ER7”,宜角頂點(diǎn)E,F,
G,〃分別在邊8F,CG,DH,AE±.(1)若£F=3cm,AE+FC=\\cm,則BE的長是cm.(2)若
12.(202S年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題)如圖,點(diǎn)E在矩形人8。的邊CD上,將%4£>£沿4£折疊,點(diǎn)
4
。恰好落在邊上的點(diǎn)尸處,若8C=10.sinZAFB=-,MDE=
13.(2025年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題)太陽能路燈的使用,既方便了人們夜間出行,又有利了節(jié)能減排.某
校組織學(xué)生進(jìn)行綜合實(shí)踐活動(dòng)一一測(cè)量太陽能路燈電池板的寬度.如圖,太陽能電池板寬為AB,點(diǎn)。是A8
的中點(diǎn),OC是燈桿.地面上三點(diǎn)。,E與C在一條直線上,DE=l.5m,EC=5m.該校學(xué)生在。處測(cè)得
電池板邊緣點(diǎn)B的仰角為37。,在E處測(cè)得電池板邊緣點(diǎn)B的仰角為45。.此時(shí)點(diǎn)A、B與E在一條直線上.求
343
太陽能電池板寬八的長度.(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin37°cos37°?-,tan37。。:.忘之1.41)
JJ
14.(2025年遼寧省盤錦市中考數(shù)學(xué)真題)如圖,一人在道路上騎行,8。段是坡路,其余為平路.當(dāng)他路
過A,8兩點(diǎn)時(shí),一架無人機(jī)從空中的C點(diǎn)處測(cè)得A,8兩點(diǎn)的俯角分別為30。和45。,AB=40m,BD=20m,
NBDF=159。,點(diǎn)、A,B,C,D,E,尸在同一平面內(nèi),。七是無人機(jī)到平路。尸的距離,求CE的長.(結(jié)果
精魂到整數(shù).參考數(shù)據(jù):6=1.73,sin21°?0.36,cos2l°?0.93,tan21°?0.38)
15.(2025年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)真題)【問題背景】由光的反射定律知:反射角等于入射角(如圖,即
NCE尸=乙4£五).小軍測(cè)量某建筑物高度的方法如下:在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子,經(jīng)調(diào)整自己位置后,
在點(diǎn)。處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A.經(jīng)測(cè)得,小軍的眼睛離地面的距離CO=L7m,BE=20m,
OE=2m,求建筑物AB的高度.
B
【活動(dòng)探究】觀察小軍的操作后,小明提出了一個(gè)測(cè)量廣告牌席度的做法(如圖):他讓小軍站在點(diǎn)。處不
動(dòng),將鏡子移動(dòng)至耳處,小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G,測(cè)出。鳥=2m;再將鏡子移動(dòng)至今處,恰
好通過鏡子看到廣告牌的底端4,測(cè)出。&=3.4m.經(jīng)測(cè)得,小軍的眼睛離地面距離CD=1.7m,£?Z)=10m,
求這個(gè)廣告牌AG的高度.
【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后,發(fā)現(xiàn)用此方法也可測(cè)量出斜坡上信號(hào)塔A8的高度.他們給出了如下測(cè)量
步驟(如圖):①讓小軍站在斜坡的底端D處不動(dòng)(小軍眼睛離地面距離CD=L7m),小明通過移動(dòng)鏡子
(鏡子平放在坡面上)位置至E處,讓小軍恰好能看到塔頂反②測(cè)出Z)E=2.8m;③測(cè)出坡長AO=17m;
Q
④測(cè)出坡比為8:15(即tan/AQG=2).通過他們給出的方案,請(qǐng)你算出信號(hào)塔A3的高度(結(jié)果保留整
數(shù)).
16.(2025年遼寧省營口市中考數(shù)學(xué)真題)為了豐富學(xué)生的文化生活,學(xué)校利用假期組織學(xué)生到素質(zhì)教育基
地A和科技智能館B參觀學(xué)習(xí),學(xué)生從學(xué)校出發(fā),走到C處時(shí),發(fā)現(xiàn)4位于C的北偏西25。方向上,B位于
C的北偏西55。方向上,老師將學(xué)生分成甲乙兩組,甲組前往4地,乙組前往8地,已知B在4的南偏西20。
方向上,且相距1000米,請(qǐng)求出甲組同學(xué)比乙組同學(xué)大約多走多遠(yuǎn)的路程(參考數(shù)據(jù);應(yīng)=1.41.762.45)
17.(2025年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題)今年“五一〃長假期間,小陳、小余同學(xué)和家長去沙灘公園游玩,
坐在如圖的椅子上休息時(shí),小陳感覺很舒服,激發(fā)了她對(duì)這把椅子的好奇心,就想出個(gè)問題考考同學(xué)小余,
小陳同學(xué)先測(cè)量,根據(jù)測(cè)量結(jié)果畫出了圖1的示意圖(圖2).在圖2中,已知四邊形A8CO是平行四邊形,
座板C。與地面MN平行,△石8。是等腰三角形且8。=8,/尸84=114.2。,靠背尸C=57cm,支架
AN=43cm,扶手的一部分16.4cm.這時(shí)她問小余同學(xué),你能算出靠背頂端尸點(diǎn)距地面(MN)的高
度是多少嗎?請(qǐng)你幫小余同學(xué)算出結(jié)果(最后結(jié)果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin65.8°=0.91,
cos65.8°=0.41,tan65.8°=2.23)
圖1圖2
18.(2025年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題)“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)〃,某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次獨(dú)立在云遮霧繞的
山脊之上,風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng),風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能,造福千家萬戶.某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組,為測(cè)量風(fēng)葉的長
度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量.如圖,三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120。,當(dāng)其中一片風(fēng)葉08與塔干。。疊合時(shí),在與塔
底。水平距離為60米的E處,測(cè)得塔頂部。的仰角NOED=45。,風(fēng)葉Q4的視角NO以=30。.⑴已知a,
夕兩角和的余弦公式為:cos(a+/?)=cos(2COs/?-sin(2sin/?,請(qǐng)利用公式計(jì)算cos75。;(2)求風(fēng)葉04的長
度.
19.(2025年廣東廣州中考數(shù)學(xué)真題)如圖,4c是菱形48C。的對(duì)角線.
⑴尺規(guī)作圖:將△ABC繞點(diǎn)八逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到VAOE,點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。(保留作圖痕跡,不寫作
法);⑵在(1)所作的圖中,連接A。,CE;①求證:AABD“ACE;②若tan/8AC=g,^cosZZXTE
的值.
A
20.(2025?四川自貢?中考真題)某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量,活動(dòng)過程如下:
圖③圖④
⑴探究原理:制作測(cè)角儀時(shí),將細(xì)線?段固定在量角器圓心。處,另一端系小重物G.測(cè)量時(shí),使支桿0W、
量角器90??潭染€QN與鉛垂線OG相互重合(如圖①),繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)量角器,使觀測(cè)目標(biāo)夕與直徑兩端點(diǎn)A4
共線(如圖②),此目標(biāo)〃的仰角NR7C=NG@V.請(qǐng)說明兩個(gè)用相等的理由.
(2)實(shí)地測(cè)量:如圖③,公園廣場(chǎng)二有一棵樹,為了測(cè)顯樹高,同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得頂端尸的仰角
NPOQ=60,觀測(cè)點(diǎn)與樹的距離為5米,點(diǎn)。到地面的距離OK為1.5米;求樹高PH.1=1.73,
結(jié)果精確到0.1米)(3)拓展探究:公園高臺(tái)上有?涼亭,為測(cè)量涼亭頂端P距離地面高度(如圖④),
同學(xué)們討論,決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E/(££〃在同一直線上),分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角以夕,
再測(cè)得間的距離”,點(diǎn)到地面的距離。也.。2廠均為L5米;求PH(用。,尸,機(jī)表示).
考點(diǎn)26.銳角三角函數(shù)(精練)
限時(shí)檢測(cè)1:最新各地模擬試題(40分鐘)
1.(2025?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在△ABC中,NANB,NC所對(duì)的邊分別為。,b,c,a=g,且
zS4=ZB-ZC,則()
A.a=b-cB.b>c>aC.b>a>cD.a2>bz-c2
【答案】B
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和,含30。角的直角三角形的特征,三角形函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)三角形內(nèi)結(jié)合
題意可得?B90?,再根據(jù)a=;b,得到4=30。,利用角的正弦即可得出結(jié)論.
【詳解】解:???ZA=N8-NC,又?.?幺+N8+NC=I8O0,BPZ4=I80°-ZB-ZC,二可得?690?,
?/Z4?NB,NC所對(duì)的i力分別為a,b,c,a=^h,
..ZA=30°,..NC=90°-30°=60°,/.sinA=^-=—,sinC=—=—^>..b>c>a,故選:B.
b2b2
2.(2025?浙江?模擬預(yù)測(cè))如圖,已知A48C內(nèi)接于半徑為1的(DO,N8AC=9(9是銳角),則8c的面積
的最大值為()
A.cos^(l+cos^)B.cose(l+sin。)C.sin/9(l+sinG)D.sin^(1+cos0)
【答案】D
【分析】要使△八8c的面積S=;8c”的最大,則力要最大,當(dāng)高經(jīng)過圓心時(shí)最大.
【詳解】解;當(dāng)△A8C的高4)經(jīng)過圓的圓心時(shí),此時(shí)△ABC的面積最大,
如圖所示,
VXD1BC,:,BC=2BD,N800=/BAC=9,
...cBDBDcODOD
在Rta8。。中,sinO==—^~,cosi^=--j—
.?.£D=sinO,OD=cos0,/.BC=28D=2sini^,AD=AO+OD=l+cosO,
:.S^ABC=-AD?BC=-?2sini^(1+cos^)=sinO(1+cos^).故選:D.
22
【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角二角函數(shù)的應(yīng)用與二角形面積的求法.
3.(2025?廣東汕頭???家荒#┤鐖D,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A,。在格點(diǎn)上,以A4為直徑的
圓過C,。兩點(diǎn),則sin/HCO的值為()
【答案】A
【分析】連接A。、BD,先根據(jù)勾股定理求出AB,再根據(jù)圓周角定理得到408=90。,NBCD=NBAD,
根據(jù)正弦的定義解答即可.
【詳解】解:連接A。、BD,
TAB是圓的直徑,???Z4O8=90°,AAB=^AD2+BD2=>/42+32=5,AsinZBAD=-^=j,
AB5
3
?:/BCD=/BAD,/.sinZfiCD=sinZB/4D=1.故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形、圓周角定理,熟記正弦的定義、掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)犍.
3
4.(2025?上海虹口?統(tǒng)考一模)如圖,在RtZXAAC中,已知NC=90°,cos>4=-,AC=3,那么BC的長
為()
A."B.2/7C.4D.5
【答案】A
【分析】本題考查了解直角三角形,勾股定理,正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.先根據(jù)
余弦的定義計(jì)算出A3=4,然后利用勾股定理計(jì)算出8c的長.
【詳解】解:團(tuán)NC=90°,ScosA=—=-,
AB4
0AC=3,?A4=4,0BC=y]AB2-AC2=32=yfl>故選:A.
5.(2025?貴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在中,若/A,NA都是銳角,且sinA=1,8sB=1,則的
22
形狀是()
A.鈍角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.直角三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可判斷NA=30。,N8=60。,從而可求出NC=90。,即證明aABC的形狀
是宜角三角形.
【詳解】團(tuán)N4,23都是銳角,I=lsin4=-,cosB=-,團(tuán)NA=30°,N8=600.
22
0ZC=18OO-ZA-ZB=I8OO-3OO-6OO=9O°,團(tuán)aABC的形狀是直角三角形.故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀,三角形內(nèi)角和定理.熟記特殊角的三角函數(shù)值
是解題關(guān)鍵.
6.(2025?上海靜安???家荒#┤绻?。<—4<60。,那么sinA與co"的差().
A.大于。B.小于0C.等于。D.不能確定
【答案】D
【分析】利用銳角三角函數(shù)的增減性分類討論,即可得到答案.
【詳解】解:當(dāng)O°V/A<45。時(shí),45°<90o-Z4<90°,
/.sin4<sin(90°-Z^),/.sinA<cosA,sin4-cosA<0;
當(dāng)ZA=45°時(shí),90°-ZA=45°,..sinA=sin(90。-N4),sin4=COsA,sinA-COsA=0:
當(dāng)45°</A<60°,30°<90°-ZA<45°,/.sinA>sin(900-ZA),sinA>cosA,AsinA-COsA>0,
綜上所述,sinA與coS的差不能確定,故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性,解題關(guān)鍵是掌握在0。?90。之間(不包括0。和90。),角度變
大,正弦值、正切值也隨之變大,余弦值隨之變小.注意分類討論.
7.(2025?河北保定???家荒#┤鐖D已知RCABC中,ZC=90°,ZA=30°,將Rt^MC沿過點(diǎn)A的直線
折疊,使點(diǎn)。落在斜邊A8上的點(diǎn)石處,tanNAQC的值是()
A.2+6B.2+6C.73-1D.2-73
2
【答案】A
【分析】設(shè)3C=x,求得AB=2BC=2x,AC=>/3x,由折疊的性質(zhì)可知,AE=AC=#x,DE=DC,
ZAED=NBED=NC=9()。,在中,由勾股定理得到DC2+(2x-Av)?=(x-DC)\解得
DC=(2x/3-3)x,根據(jù)正切的定義即可得到答案.
【詳解】解:設(shè)BC=x,BRtAAfiC'l',ZC=90°.ZA=30°,^AB=2BC=2x,
團(tuán)AC=4AI"8c2=J(2.r)2-=?,
由折疊的性質(zhì)可知,AE=AC=6r,DE=DC,ZAED=/BED=NC=W,
在中,DE?+BE?=BD:,則OC?+(2工_瓜『=(.r—OC『,
解得OC=(2VJ_3)x,0tanZADC=—=(-^^=2+X/3,故選:A
【點(diǎn)睛】此題考查了折登性質(zhì)、勾股定理、求正切函數(shù)值、含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),熟練掌握
折疊性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵.
8.(2025?廣東?中考模擬預(yù)測(cè)如圖,在向△ABC中,ZC=90°,8C=石,點(diǎn)D是AC上一點(diǎn),連接8D.若
tanZ4=i,tanZABD=-,則CD的長為()
23
A.2石B.3C.75D.2
【答案】C
【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出4C-26.再由勾股定理求出力4=5.過點(diǎn)。作上_LA8于點(diǎn)邑依據(jù)三
113
角函數(shù)值可得DE=QAE,DE=§BE,從而得BE=QAE,再由A£+5E=5得4E=2,OE=1,由勾股定理得八。二
石,從而可求出CD.
【詳解】解:在RbABC中,ZC=90°.BC=6,
Be?
tan/.A—人(,=—AC=2BC=2\/5,
由勾股定理得,AB=JAC2+BC2=7(2>/5)2+(>/5)2=5
過點(diǎn)。作力石于點(diǎn)E,如圖,
.DE1DE1
tanZ.A=—,tanZ.ABD=—
23,''~AE~2'~BE~y
:.DE=-AE,DE=-BE,:.-AE=-BE:.BE=-AE
23232
VAE+BE=5,:.AE+^AE=5:.AE=2,:.DE=\,
在R/AAOE中,=八爐+。爐,AD=yjAE2+DE2=V22+12=75
VADiCD=AC=2>/5,CD^ACAD=2舊石=石,故選:C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理,由銳角正切值求邊長,正確作輔助線求出。E的長是解答本題的關(guān)鍵.
9.(2025?四川成都?校考模擬預(yù)測(cè))比較大?。簊in540cos35。(填"<”">〃).
【答案】<
【分析】把余弦化成正弦,再通過角度大小比較正弦值的大小即可.
【詳解】0cos35°=sin(90°-35°)=sin55°.
在銳角范圍內(nèi),sina隨。的增大而增大,
0sin540<sin55°,0sin540<cos35°.故答案為:<.
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的大小比較,利用正弦余弦的關(guān)系進(jìn)行大小比較即可.
10.(2025?湖南婁底?統(tǒng)考一模)如圖,的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,則tan3的值為.
A
【分析】此題考查了求網(wǎng)格問題中銳角的三角函數(shù)值,掌握利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形、正切的定義是解決
此題的關(guān)鍵.利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形,再找到對(duì)應(yīng)的直角邊長,最后根據(jù)三角函數(shù)的意義求解即可.
【詳解】解:如圖,過點(diǎn)A作AO_18c的延長線于點(diǎn)。,
An29
(3在RtZXABQ中,BD=3,4。=2,0tanZB=—=-.故答案為:
BD33
I????
11.(2025?云南昆明???既#┰赗tZ\ABC中,ZC=90°,sinA=1,則cos8=.
【答案】I
【分析】根據(jù)一個(gè)角的余弦等于它余角的正弦,可得答案.
【詳解】解:0ZC=9O°,sinA=-,[asinA=—=-,0cosB=—=-.故答案為:
7AB7AB17
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義,由定義推出互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系:若NA+N8=90。,則
sinA=cos8,cosA=sin3是解題關(guān)鍵.
12.(2025?湖南婁底?統(tǒng)考一模)同學(xué)們,在我們進(jìn)入高中以后,還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式:
sin(tz-/7)=sinacos/y-cos?sin/?,sin(a+/)=sinacos£+cosasinQ,
cos(?-/?)=cosacos+sinsin,8s(a+〃)=cosacos/y-sinasin〃.例:
sin150=sin(45°-30°)=sin450cos30°-cos45°sin30°=.若己知銳角。滿足條件sina=g,則
sinla=
【答案邛
【分析】先根據(jù)sina=§求出cosa,把sin勿變?yōu)閟ina+。,然后根據(jù)sin(a+/7)=sinacos/7+cosasin夕計(jì)
算即可.
【詳解】解:如圖,在RtZXABC中,團(tuán)sinA=幺,cosA=2,國sin?A+cos?A=4+冬=且些=1.
cCc~c~c~
a=1.例a為銳角,團(tuán)cosa=2^Z
93
回sin(a+/?)=sinacos/y+cosasin
.2a=sina+a=sin28sa+cosasina,x述+邁」=逑.故答案為:逑
333399
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的運(yùn)算,正確理解所給計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵.
13.(2025?湖南株洲?株洲二中校考一模)如圖,3個(gè)大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起,
連接正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)得到,則lan乙4cB的值是.
【答案】空
3
【分析】如圖所示,補(bǔ)充一個(gè)與已知相同的正六邊形,根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為120。,設(shè)正六邊形的邊長為1,
求得CRA。,根據(jù)正切的定義,即可求解.
田正六邊形對(duì)邊互相平行,且內(nèi)角為120。,>ZEDF=30°,=90°
過點(diǎn)上作EG_L/。于G,mFD=2FG=2EFxcos30°=百
設(shè)正六邊形的邊長為1,則8=3,AD=2FD=26,
HtanZACB==----故含殺為:----.
CD33
【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì),解直角三角形,熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
14.(2025?廣東東莞?統(tǒng)考三模)如圖,沿AE折疊矩形紙片ABC。,使點(diǎn)。落在邊的點(diǎn)尸處.已知b=4,
【答案】6
【分析】由折疊可知AO=A廠,Z4FE=ZD=90°,進(jìn)而得至lj尸+CF=BF+4,由同角的余角相等
7RT:RF2
可得NEFC=NK4F,plljsinZEFC=sin=在RLAB/中,sinZFAF=—=——=,以此即可求解.
5AFBF+45
【詳解】解:?.?四邊形ABC。為矩形,.?.AA=C。,AD=BC,NB=NC=NO=90°,
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,AD=AF,NAFE=ND=90。,
AF=BC=BF+CF=BF+4,ZAFB+ZEFC=90°,
VZAFB+ZBAF=90°,:.ZEFC=^BAF,/.sinZEFC=sinZfi4F=|,
在RSA8產(chǎn)中,sin/區(qū)"'=空=3,即一^—=2,解得:BF=6.故答案為:6.
4/5BF+45
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形,解題關(guān)鍵是利用矩形和折疊的性質(zhì)推理
論證得出占FC=/BAF,進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)解決問題.
15.(2025?重慶?中考模擬預(yù)測(cè))在直角中,ZC=90°,1+」=],NC的角平分線交AB于點(diǎn)
tanAtanB2
。,且CD=2點(diǎn),斜邊/W的值是.
【答案】36
【分析】8平分N4CB,過點(diǎn)。作DE1.4C于點(diǎn)£,過點(diǎn)。作DF_L8C于點(diǎn)F,由此可證明四邊形CEDF為正
方形,再利用8=2忘,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出OE=KC=B=Q=2,再根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股
定理得到求出ACBC的值即可?
AC,oC2
【詳解】解:如圖,平分N47B.過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作CF_LBC于點(diǎn)F.
:.DE=DF,NCEQ=NC7D=90。,
X-.-ZC=90°,???四邊形CEOF為正方形,:.DE=EC=CF=FD,NECD=NEDC=45。,
在心△CEO中,sinZECD=^=sin45°=^,VCD=242,.\DE=EC=CF=FD=2,
115.ACBC5AC'^BC25
----+-----=一..—+—=-,lUlnP---------=-
ACBCtanAtanB2BCAC2ACBC2
22
AC+BC=AB\?--^7=^???在RtZXAOE中,tan/l=M=W,.?.AE=-^-=—
AC?BC2AEAEtanAtanA
DF9DF2
VSRtABDF+,tanB=-=-,:.BF=
tanHtanB
/.ACBC=(CE+AE)(CF+Z?F)=(24—=2-)(2+—2=-)=4+—4—+—4—+——4-——=4(1+—Ii—+—Ii—+1)
tanA(anBtanAtanB(anAtanBtanAtailB
=4x(2+?)=18,...誓=[,.?.加2=45,即AB=3逐(舍負(fù)),故答案為:36.
,IoZ
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用,掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
16.(2025?山東沖考模擬)(1)計(jì)算:V24+(-2)3sin60-cos45:+(2-A/3)°-(-1)202);
(2)計(jì)算:cos600+2sin300-tan30ft?tan60°—sin245.
【答案】(1)2;(2)0
【分析】(1)首先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值、乘方、開方、零指數(shù)累,然后計(jì)算乘法,最后從左向右依次
計(jì)算,求出算式的值是多少即可;(2)首先計(jì)算乘方和特殊角的三角函數(shù)值,然后計(jì)算乘法,最后從左向
右依次計(jì)算,求出算式的值是多少即可.
【詳解】解:(1)V24+(-2)3sin-cos450+(2-75)°-(-1)2021
=2>/6+(-8)x^x—+1-(-1)
22
=2>/6-2x/6+l+l
=2:
(2)cos60+2sin3()-tan3()-tan60-sin245
——+1-1—
22
=C.
【點(diǎn)睛】實(shí)數(shù)的運(yùn)算、零指數(shù)塞、特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握運(yùn)算法則和特殊角的三角值是解題關(guān)鍵.
17.(2025?安徽?模擬預(yù)測(cè))某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量校園附近一座小山的高度,組織了一次測(cè)量
探究活動(dòng).如圖所示,先在小山的頂部豎直立著一根6米長的竹竿C。,小明與同學(xué)們?cè)谝欢涡逼碌钠履_A
處測(cè)得竹等底端。的仰角為53。,沿坡面AB向上走到B處測(cè)得竹竿頂部C的仰角為45?.已知山坡A8的坡
度1=1:2.444=26米,點(diǎn)人石與小山的底部在同一水平面上,求小山的高度.(測(cè)角器的高度忽略不計(jì),
434
結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin53°,cos53°?tan53°?)
c
【答案】112米
【分析】過點(diǎn)。作。G_LA£「點(diǎn)6,過點(diǎn)8分別作交E4的延長線「點(diǎn)E3〃_LCGJ?點(diǎn)由四
邊形BFGH為矩形,得BF=GH,BH=FG.在RuABF中,設(shè)=x,則A"=2.4x.由勾股定理解得x=10,
從而64=8產(chǎn)=10,人產(chǎn)=24.在Rt~4DG、RbADG和RtZiBCH中,利用三角函數(shù)即可求解.
【詳解】解:過點(diǎn)。作于點(diǎn)G,過點(diǎn)8分別作8/_LAE交£4的延長線于點(diǎn)E8”_LCG于點(diǎn)〃.
C
??四邊形①7G"為矩形,:.BF=GH,BH=FG.在Rt^AB/中,設(shè)3/=工,則A/=2.4x.
?/AF2+HF2=AB2,AH=26.(2.4r)2+r2=?62,解得x=10,:.GH=RF=\0,AF=24.
在R^ADG中,設(shè)AG=〃,BH=FG=AG+AF=a+24.
44
在中,DG=AGlanZDAG^-a,DH=DG-GH=-a-\0f
33
44
:.CH=CD+DH=6+-a-\0=-a-4.
33
4
在RtZ\8CH中,?.?N6”=45。,..C,=8H,.—a—4=a+24,解得〃=84,
3
4
..DG^-a=\\2(米).答:小山的高度約為112米.
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì),勾股定理,解直角三角形以及等腰三角形的判定,熟練掌握解直
角三角形是解題的關(guān)鍵.
18.(2025?四川眉山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))東坡泡菜文化廣場(chǎng)占地38畝,以泡菜產(chǎn)業(yè)為主題展示了眉山泡菜的歷
史與文化.泡菜文化廣場(chǎng)上坐落著“天下第一范壇",它是中國泡菜城標(biāo)志性雕塑.如圖,某校學(xué)生測(cè)量其盲
度AB(含底座),先在點(diǎn)C處用測(cè)角儀測(cè)得其壇頂端A的仰角為32。,再由點(diǎn)。走8米到點(diǎn)E處,測(cè)得其壇
頂端A的仰角為45。.已知8、E、C三點(diǎn)在一條直線上,測(cè)角儀的高度CD=£F=1.5米.求天下第一道范
壇的高AB.(參考數(shù)據(jù):sin32°?0.53,cos32°?0.85,tan32。=0.63,結(jié)果保留整數(shù))
【答案】天下第一殖壇的高A8為15米.
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線,構(gòu)造直角三角形,以
及熟練掌握解直角三角形的方法和步驟.過點(diǎn)
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