數(shù)學(xué)建模思想

1.(2025春?大連期末)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-gx+2與x軸，y軸分別交于點A,

點、B,直線4c與x軸負(fù)半軸交于點C,且"=04.直線y=j1?與直線4c交于點。，點P在x軸上.

(1)求直線8C的解析式；

(2)若PB=PD,求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接"),若NODB=/PDA,求點P的坐標(biāo).

圖1圖2

2.(2025秋?上城區(qū)期末)已知RtAABC,兩直角邊橫與AC之和為4,作AAAC的外接圓，點O為圓

(1)如圖1,連結(jié)OA,當(dāng)4C：‘9O。時，求04的值.

(2)如圖2,過點A作14c于點。，點E為AC中點，連結(jié)DE,求證：AC：2NADE.

(3)如圖3,作/小C的平分線交4c于點尸，線段AF是否存在最大值？若存在，請求出AF的最大

值；若不存在，請說明理由.

3.（2025?臨海市一模）【發(fā)現(xiàn)問題】

小聰發(fā)現(xiàn)圖1所示知形甲與圖2所示知形乙的周長與面積滿足關(guān)系：絲=&=」.

GS甲2

24

a=56=28

甲

S.=96

=48

圖1

【提出問題】

對于任意一個矩形A,是否一定存在矩形8,使得G=&=1成立？

GSA2

【解決問題】

（1）對于圖2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可設(shè)兩條鄰邊長分另為尤和7-X）,使得豆=&=■!■

C乙S乙2

成立.若存在，求出矩形丙的兩條鄰邊長；若不存在，請說明理由；

（2）矩形A兩條鄰邊長分別為，”和1,若一定存在矩形6,使得邑=&='成立，求〃？的取值范圍；

CiS&2

（3）請你回答小聰提出來的問題.若一定存在，請說明理由；若不一定存在，請直接寫出矩形4兩

條鄰邊長叫〃滿足什么條件時一定存在矩形

5.（2024?白下區(qū)一模）（1）在遇到問題：“鐘面上，如果把時針與分針看作是同一平面內(nèi)的兩條線段，

在2：00~2:13之間，時針與分針直合的時刻是多少？時，小明嘗試運用建立函數(shù)關(guān)系的方法：

①恰當(dāng)選取變量x和），.小明設(shè)2點鐘之后經(jīng)過m?加（噱/15）,時針、分針分別與豎軸線（即經(jīng)過表示

"12''和"6"的點的直線，如圖1）所成的角的度數(shù)為x。、y2°;

②確定函數(shù)關(guān)系.由于時針、分針在單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)動的角度不變，因此既可以直接寫出力、），2關(guān)于工

的函數(shù)關(guān)系式，也可以畫出它們的圖象.小明選擇了后者，畫出了圖2;

③根據(jù)題目的要求，利用函數(shù)求解.本題中小明認(rèn)為求出兩個圖象交點的橫坐標(biāo)就可以解決問題.

請你按照小明的思路解決這個問題.

（2）清運用建立函數(shù)關(guān)系的方法解決問題：鐘面上，如果把時針與分針看作是同一平面內(nèi)的兩條線

段，在7:30?8:00之間，時針與分針互相垂直的時刻是多少？

圖?

6.(2025春?船營區(qū)校級期末)如圖①，直線4：y=1x+l與x軸交于點A,直線/，與x軸交于點C,兩

4

直線相交于點尸，已知點C的坐標(biāo)為(3.5,0),點尸的橫坐標(biāo)為2.

(1)直接寫出點A,P的坐標(biāo)；

(2)求出直線4的函數(shù)表達(dá)式；

(3)如圖②，點”是射線AP上任一點，過點M作)，軸的平行線交直線于點N,連接4V.設(shè)點M

的橫坐標(biāo)為/〃，MNP的面枳為S.

①用〃?表示點M,N的坐標(biāo)：M(),N()：

②求S與，〃的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.

7.(2025春?荊門期末)如圖所示，漢江是長江最大的支流，它流經(jīng)美麗的荊門，漢江一側(cè)有一村莊

C,江邊原有兩個觀景臺A,4,其中AB=AC,現(xiàn)建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，決定在漢江邊新建一個觀景臺H(點

A,H,8在同一條直線上)，并新修一條路CH,測得8c=6千米，C"=4.8千米，期7=3.6千米.

(1)C”是不是從村莊C到江邊的最短路線？請通過計算加以說明；

(2)求原來的路線AC的長.

8.(2025春?寧江區(qū)期中)如圖，在RtAABC中，ZC=90°,4C=3厘米，CB=4厘米.兩個動點夕，Q

分別從A,。兩點同時按順時針方向沿A/WC的邊運動.當(dāng)點。運動到點A時，P,Q兩點運動即停

止.點P,Q的運動速度分別為1厘米/秒、2厘米/秒，設(shè)點P運動的時間為r(秒).記線段PQ與

從點尸按順時針方向沿&WC的邊到點Q的折線段所圍成的圖形的面積為S(平方厘米).

(1)用含，的代數(shù)式表示PC的長；

(2)當(dāng)點。運動時，求S與時間r的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量/的取值范圍：

(3)點P,。在運動的過程中，S有最大值嗎？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由.

9.(2025春?南通期末)定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于〃(〃..0)的點叫做這個函數(shù)圖象

的“〃級限距點例如，點(L3是函數(shù)產(chǎn)x圖象的級限距點“；點(2J)是函數(shù)y=/x+2圖象的“2

3322

級限距點

(1)在①(」，-1)：③(1,2)三點中，是函數(shù)y=2x圖象的“1級限距點''的有(填序

233

號)；

(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù))，="+3圖象的“2級限距點''有且只有一個，求A的值；

(3)若y關(guān)于x的函數(shù)y=-|x-g|-2〃+l圖象存在“〃級限距點”，求出〃的取值范圍.

1().(2025春?碑林區(qū)校級期中)如圖①，點A、點4分別在直線斯和直線MN上，EF//MNtZABN=45。,

射線AC'從射線A?的位置開始，繞點A以每秒2。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線位)從射線BM的位置

開始，繞點8以每秒6。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，射線8。旋轉(zhuǎn)到BN的位置時，兩者停止運動.設(shè)旋轉(zhuǎn)時間

為f秒.

(1)^AF=°；

(2)在轉(zhuǎn)動過程中，是否存在某個時刻，使得射線AC與射線3。所在直線的夾角為80。，若存在，求

出/的值；若不存在，請說明理由：

(3)在轉(zhuǎn)動過程中，若射線AC與射線血交于點”，過點，做HK_LAQ交直線AF于點K,且空的

/ABH

值是否會發(fā)生改變？如果不變，請求出這個定值；如果改變，請說明理由.

M------g--------------------NM~DB~

圖①圖②（備用圖）

11.(2025春?普陀區(qū)期中)長江汛期來臨之前，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的恃況，防汛指揮

部在筆直且平行的長江兩岸河提AB、CZ)上安置了P、Q兩盞激光探照燈如圖所示.光線咫按順時

針方向以每秒1。的速度從P4旋轉(zhuǎn)至以便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線QG按順歸針方向以每秒

3。的速度從QC旋轉(zhuǎn)至QO便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn).

(1)如果兩燈同時開始轉(zhuǎn)動，光線。耳和光線旋轉(zhuǎn)時間為/秒(0</<60),

①如圖1,請用含/的代數(shù)式表示光線轉(zhuǎn)動的角度，即/切的=。；用含/的代數(shù)式表示光線QG

轉(zhuǎn)動的角度，即NCQG=°.

②如圖2,當(dāng)光線QG與光線2勺垂直，垂足為”時，求f的值.

(2)如果光線尸4先轉(zhuǎn)動20秒，光線QG才開始轉(zhuǎn)動，在光線P4第一次到達(dá)E4之前，求光線QG旋

轉(zhuǎn)幾秒時，與光線「與平行？

12.（2025春?武漢期末）如圖1,已知直線/J%,點4、4在直線乙上，點C、。在上，線段4）交

線段比1于點E,且N/3￡￡>=60。.

（1）求證：Z4BE+ZEDC=60°；

（2）如圖2,當(dāng)尸、G分別在線段AE、EC上，H^ABF=2/FBE,ZEZX7=2ZGZX7,標(biāo)記/BFE為/I,

ZBGD為Z2.

①若Nl-N2=16。，求ZAZX?的度教；

②當(dāng)左=時，（ZN1+N2）為定值，此時定值為.

13.(2025秋?碑林區(qū)校級期中)【知識準(zhǔn)備兒數(shù)軸上A、△兩點對應(yīng)的數(shù)分別為a、/?,則A、B兩

點之間的距離表示為：AB=[a-b.

【問題探究】：數(shù)軸上A、8兩點對應(yīng)的數(shù)分別為八b,且滿足|a+2|+S-6)2=0.

(1)求得A、4兩點之間的距離是:

(2)若在數(shù)軸上有一點滿足8V/=4/W,求點M表示的數(shù)；

(3)若P、Q兩點在數(shù)軸上運動，點尸從A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時，點

Q從8出發(fā)以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動.經(jīng)過秒，P、Q相距2個單位長度；

(4)原點O在數(shù)軸上表示0,點N在數(shù)軸上表示3,若A、O兩點在數(shù)軸上以2個單位長度/秒的速

度同時向右勻速運動，與此同時，2、N以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左勻速運動，在這個

過程中，有一段時間，4、O兩點都運動在線段上，則這段時間的時長是秒.

14.（2025秋?石獅市期末）如圖，將一塊直角三角板ABC按如圖所示放置，點A,"在數(shù)軸上，4^=5,

點6在點A右邊，點A表示的數(shù)是-3.

（1）直接填空：點8表示的數(shù)是；

（2）將三角板ABC沿數(shù)軸正方向移動至三角板的位置，點A,B,。的對應(yīng)點分別是點A,B\

C.

①連結(jié)CV,若CY恰好將三角板A3C的面積分成2:3的兩部分，求這時點A表示的數(shù)；

②設(shè)三角板A/3C的移動速度為每秒2個單位長度，點E為線段AV的中點，點尸在線段49上，且

BE=4BF.設(shè)三角板ABC移動的時間為/（秒）.試探索：是否存在某一時刻,,使點￡與點尸表示的

兩個數(shù)互為相反數(shù)？若存在，試求出/的值；若不存在，請說明理由.

（備用圖）

15.(2025秋?禪城區(qū)校級期中)在AAAC中，它的邊BC=120,高人。=80.

(1)如圖1,正方形PMWQ的一邊在上，其余兩個頂點分別在AB,4。上.問正方形的邊長是多

少？

(2)如圖2,點尸、G分別在AB,AC上，且FG//BC,點、P為BC上一點、,連接即、GP,則當(dāng)尸G=

時，AFGP的面積最大值=.

16.(2025秋?邱城區(qū)期中)下面是小麗同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù))，==d+3|x|+2的圖象與性

質(zhì)進行的探究過程.

(1)函數(shù))，=-/+3閉+2的自變量工的取值范圍是.

(2)列表

X…-4-3-2-1.5-1011.5234???

>>…-2244.25424m42-2???

表格中機的值為

(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO.v中，畫出了函數(shù)1y=-丁+3|x|+2的部分圖象，用描點法將這個函數(shù)

的圖象補充完整；

(4)對于上面的函數(shù))，=-犬2+3|f|+2,

下列四個結(jié)論：①函數(shù)圖象關(guān)于)，軸對稱；②函數(shù)既有最大值，也有最小值；③當(dāng)X>1時，)，隨X的

增大而減?。虎芎瘮?shù)圖象與龍軸有2個公共點.所有正確結(jié)論的序號是：.

(5)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：

關(guān)于x的方程-x2+31x|+2=3有個不相等的實數(shù)根.

17.(2024秋?長樂區(qū)期末)已知兩條直線4，12,/,///,,AA,4在直線4上，點4在點4的左邊,

點C,。在直線4上，且滿足Z/V)C=ZA5C=U5。.

(1)如圖①，求證：AD//BC：

(2)點A/,N在線段CQ上，點M在點N的左邊且滿足ZM4C=N4AC,且4V平分NC4O；

(I)如圖②，當(dāng)448=30°時，求ND4M的度數(shù)；

(H)如圖③，當(dāng)NC4P=8NMW時，求44C。的度數(shù).

18.(2024?雞西一模)由于受到手機更新?lián)Q代的影響，某手機店經(jīng)銷的甲型號手機二月份售價比一月

份售價每臺降價500元.如果賣出相同數(shù)量的手機，那么一月份銷售額為9萬元，二月份銷售額只有

8萬元.

(1)求二月份甲型號手機每臺售價為多少元？

(2)為了提高利潤，該店計劃三月份加入乙型號手機銷售，已知甲型每臺進價為3500元，乙型每臺

進價為4000元，預(yù)計用不多于7.6萬元且不少于7.5萬元的資金購進這兩種手機共20臺，請問有幾

種進貨方案？

(3)對于(2)中剛進貨的20臺兩種型號的手機，該店計劃對甲型號手機在二月份售價基礎(chǔ)上每售

出一臺甲型手機再返還顧客現(xiàn)金門元，乙型手機按銷售價4400元銷售，若要使(2)中所有方案獲利

相同，〃應(yīng)取何值？

19.(2024?南岸區(qū)校級模擬)某公司研制出一種新型科技產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為24。()元.在該產(chǎn)

品的試銷期間，為促銷，公司決定：商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時，每件按3000元銷售；

若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低10元，但銷

售單價均不低于2600元；且商家一次性購買該產(chǎn)品不能超過60件.

(1)商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時，銷售單價恰好為2600元？

(2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件，開發(fā)公司所獲的利泗為)，元.在公司規(guī)定范圍內(nèi)，商家購買多少

件時，公司可獲得最大利潤？最大利洞是多少？

(3)某商家一次購買這種產(chǎn)品〃件，以每件3200元的價格全部售出，共獲利24750元(不計其它成

本)，請求出產(chǎn)品件數(shù)a的值.

20.（2024秋?永川區(qū)校級月考）我市的公租房建設(shè)卓有成效，目前已有部分公租房投入使用，計劃

從今年起，在未來的10年內(nèi)解決低收入人群的住房問題，預(yù)計第1年破工并投入使用的公租房面積），

（百萬平方米）滿足關(guān)系式：

啜!k6時，y=-—x+5;7效*10時，y=--%+—.

684

（1）口設(shè)第6年到第8年間每年竣工并投入使用的公租房面積呈下降趨勢，且年平均下降率相同，

求這個年平均下降率.（乎=0.97）

（2）若第6年竣工投入使用的公租房可解決20萬人的住房問題，政府計劃在第10年竣工投入使用

的公租房在原預(yù)計總面積不變的，青況下，要讓人均住房面積比第6年提高期，這樣解決住房的人數(shù)

將比第6年解決的人數(shù)減少〃％,求〃的值（&=1.4,結(jié)果保留整數(shù)）.

1.（2025春?大連期末）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-gx+2與x軸，丁軸分別交于點A,點A,直線

與x軸兔半軸交于點C,ROC=OA.直線），=x與直線8C交于點。，點?在x軸上.

（1）求直線AC的解析式：

（2）若PB=PD,求點P的坐標(biāo);

求點尸的坐

【解答】解：(1)將x=0代入y=—gx+2,解得)，=2,

8(0,2),

將y=0代入y=一34+2得

0=--x+2?解得x=4,

2

4(4,0),

???OC=OA,

.\C(-4,O),

設(shè))，8c="+〃，將3(0,2),C(-4,0)代入得,

b=2k=-

，解得2，

-4k+b=()

b=2

二直線3c的解析式為：y=^x+2.

（2）如圖I,作8。的垂直平分線EP,垂足為點E,交x軸于點P,連接PB、PD,作EH上OP于點H,則PB=PD,

?.?直線），=x與直線8c交于點。,

，=人x=4

1C解得

y=-x+2y=4

,2

ZX4,4),

?.?點石為的中點，

.,.￡（2,3）,

設(shè)點P的坐標(biāo)為（九0）,則在C=m+4,

-.?CD=>/82+42=4x/5,

即(w+4)x4=4>/5-PE,

在RlAPEH中，EH=3,PH=m-2,PE=—^,

V5

EH°+PH2=PE：

即32+W-2)2=()2,

V5

解得〃?=?,

2

0).

2

7

當(dāng)心時，點。的坐標(biāo)為(一，0).

2

(3)如圖2,作b_L直線)，=x,垂足為點

在RdCOF中，ZCOF=45°,OC=4,

..CF=OF=2y/2,

vA(4,0),以4,4),

.?.AO_Lx軸，00=4應(yīng)，

:.FD=OF+OD=6>/2,

在IsCDF和△[DA中，4CFD=A。=90°，Z.ODB=,

:MDFsARDA，

CFDFnn2V26x/2

/.——=——，即------=------,

小DA小4

4

：.PA=-,

13

,-.O/；=4--=-,OR.=4+-=—,

33233

0)或(3,0).

33

2.（2025秋?上城區(qū)期末）已知RtAABC,兩直角邊A3與AC之和為4,作AA3c的外接圓，點。為圓心.

(1)如圖1,連結(jié)OA,當(dāng)AC：'90。時，求04的值.

(2)如圖2,過點A作AO_L4C于點。，點E為AC中點，連結(jié)DE,求證：AC^2ZADE.

(3)如圖3,作NR4C的平分線交BC于點尸，線段A/是否存在最大值？若存在，請求出A廠的最大值；若不存

在，請說明理由.

.?.AC是O。的直徑.

AC-90°,

ZABC=45°.

RtAABC為等腰直角三角形.

/.BA—AC.

?.?兩直角邊他與AC之和為4,

:.BA=AC=2.

BC=>JAB2+AC2=2X/2.

:,OA=-BC=42.

2

(2)證明：?.?AO_L8C于點。，點芯為AC中點,

■,DE=-AC=AE=EC.

2

:.ZED\=ZEAD.

-.?Z2X4C=9O°,AD工BC,

：.AAI3D^>ACAD.

;./B=/DAC.

:.ZADE=ZB.

?.?圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半，

皮」AC.

-2

W

AC.2Z.ADE.

(3)解：線段所存在最大值，理由：

過點尸作尸D_LA8于點O,左;_LAC于點石，如圖,

?.?Z￡MC=90°,FD±AB,FE±AC,

二.四邊形4)正為矩形.

vZ^4C=90°,AF是N84C的平分線,

/.Z/M/'=ZC4?=45°.

.??矩形4)正為正方形.

：.FD=FE=AD=AE,AF=>j2DF.

設(shè)正方形4)莊的邊長為x,BD=m,

：.DF=AD=AE=x?AB=x+m.

?.?4C+AB=4,

AC=4-x-m.

?.?DF//AC,

:.MiDFsgAC.

BDDF

~BA~~AC?

mx

------=------------■

x+ni4-x-m

：.JC4-nix=4/77-nix-nr.

...x2+2"ix+irr=4m.

即:(x+m)2=4m.

vx>0,/n>0，

x+in=2\[m.

x=-tn+2\[in=~(\fm-1)2+1.

,當(dāng)冊=1即〃?=1時，x有最大值1,

當(dāng)〃2=1時，。尸由最大值1.

AF=y/2DF,

有最大值為夜.

3.（2025?臨海市一模）【發(fā)現(xiàn)問題】

小聰發(fā)現(xiàn)圖1所示矩形甲與圖2所示矩形乙的周長與面積滿足關(guān)系:

2

G(iS甲

246口

Cz.=28

甲

5乙=48

圖1圖2

【提出問題】

對于任意一個矩形A，是否一定存在矩形使得邑=&='成立？

g5八2

【解決問題】

（1）對于圖2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可設(shè)兩條鄰邊長分別為x和7-x）,使得m=生=［成立.若存

C乙S乙2

在，求出矩形丙的兩條鄰邊長；若不存在，請說明理由;

（2）矩形A兩條鄰邊長分別為〃?和1,若一定存在矩形8,使得邑=&=2成立，求〃?的取值范圍；

CS八2

（3）請你回答小聰提出來的問題.若一定存在，請說明理由；若不一定存在，請直接寫出矩形A兩條鄰邊長a,b

滿足什么條件時一定存在矩形B.

【解答】解：（1）不存在矩形丙，使得5=&成立.理由:

C乙S乙2

假定存在矩形內(nèi),

..￡i=5i=l,

.金s乙2

.?.矩形丙的兩個鄰邊之和為7,它的面積為24.

設(shè)兩條鄰邊長分別為x和7-犬，由題意得:

x(7-x)=24.

.,.丁一女+24=0.

△=(-7)2-4xlx24=-47<0,

二此方程沒有實數(shù)根,

「?不存在矩形丙，使得笑二叁二!成立.

QS乙2

（2）?.?矩形A兩條鄰邊長分別為〃?和1,

若存在矩形8,使得％=&=?!■成立，則矩形5的鄰邊之和為生

GSA22

設(shè)矩形區(qū)的一邊為X，則另一邊為W—X,由題意得：

2

fn+\、tnx1

M—---x）=^—?

22

化簡得:2X2-（/?+l）x+zn=0.

由題意方程2/_（〃?+]）犬+〃?二0一定有實數(shù)根.

/.△=[―（/〃+I）]2—4x2m..0.

解得：〃?..3+2&或痔，3-2&.

加為矩形A的邊長,

/.m>0.

:.m的取值范圍為:0<科,3-2南或加..3+2夜.

（3）由（2）可知：對于任意一個矩形A,不一定存在矩形6,使得邑二邑=’成立.

GSA2

當(dāng)矩形A兩條鄰邊長。，〃滿足0<2,3-2&或紇3+2拒時，一定存在矩形

aa

4.（2024秋?漢陽區(qū)校級月考）某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商

品的售價每上漲I元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）.設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)）,

每個月的銷售利潤為），元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍.

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？

（3）根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？

【解答】解：（1）根據(jù)題意得，y=（50+x-40）（210-l0x）=-10x2+110x+2100（0<A；J5）

（2）由（1）知，），=-10丁+110%+2]0（）,

?.?每個月的利潤恰為2200元，

/.-10?+110x4-2100=2200,

或x=10,

.?」+50=51或60,

即：每件商品的售價定為51或60元時，每個月的利潤恰為2200元；

（3）由（1）知，J=-10X2+110JC+2100,

每個月的利潤不低于2200元，

.-.-10x2+110x+2100..2200,

/.（x-l）（x-IO）?O,

/.1M10,

v0<A;,15,

/.1M10,

即:售價在51到60之間（包括51和60）時，每個月的利潤不低于2200元.

5.（2024?白下區(qū)一模）（1）在遇到問題：“鐘面上，如果把時針與分針看作是同一平面內(nèi)的兩條線段，在2:00?2:15

之間，時針與分針重合的時刻是多少？”時，小明嘗試運用建立函數(shù)關(guān)系的方法：

①恰當(dāng)選取變量x和y.小明設(shè)2點鐘之后經(jīng)過m而（（貨上15）,時針、分針分別與豎軸線（即經(jīng)過衣示“12”和“6”

的點的直線，如圖1）所成的角的度數(shù)為y。、8°：

②確定函數(shù)關(guān)系.由于時針、分針在單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)動的角度不變，因此既可以直接寫出凹、為關(guān)于人的函數(shù)關(guān)系式，

也可以畫出它們的圖象.小明選擇了后者，畫出了圖2；

③根據(jù)題目的要求，利用函數(shù)求解.本題中小明認(rèn)為求出兩個圖象交點的橫坐標(biāo)就可以解決問題.

請你按照小明的思路解決這個問題.

豎軸錢

|><°）

O\5101520；（min）

困1圖2

（2）請運用建立函數(shù)關(guān)系的方法解決問題：鐘面上，如果把時針與分針看作是同一平面內(nèi)的兩條線段，在

7:30~8:00之間，時針與分針互相垂直的時刻是多少？

【解答】解：（1）時針：y.=60+—x.

12

分針：%=6%.

60+—x=6x,

2

解得x=電.

11

所以在2:00~2:15之間，時針與分針重合的時刻是2:1012

7,

（2）時針：y,=135+-x.

-2

分針：、2=6X.

135+—x=6x,

2

解得：x=

11

???時針與分針垂直的時刻是7:54--

11

6.（2025春?船營區(qū)校級期末）如圖①，直線4：y='x+l與x軸交于點A,直線/，與x軸交于點C,兩直線相交于

點尸，已知點C的坐標(biāo)為（3.5,0）,點尸的橫坐標(biāo)為2.

（1）直接寫出點A,尸的坐標(biāo)；

（2）求出直線4的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖②，點M是射線"上任一點，過點”作），軸的平行線交直線于點N,連接4V.設(shè)點M的橫坐標(biāo)為

m,AAA"的面積為S.

①用〃?表示點N的坐標(biāo)：N（____）；

4

【解答】解：(1)在直線4：y=Lr+l中，

令y=0,得0=}+1,

解得x=-4，

/.4-4,0),

令x=2,得),=：x2+l='|,

3

二.P(2,—);

2

(2)設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b,

3

將P(2,?)、C(3.5,O)代入，得,k+b=Q,

2[3.5k+〃=O

A=-l

解得，，7，

b=—

.??直線/，的函數(shù)表達(dá)式為：j=-x+2；

-2

(3)①將x=，〃代入直線4:y=；x+1,

4

7

將x=rn代入直線Z,:y=—x+—,

-2

7

2

I7

②由①得/WQ/iq7〃十D，NQ〃,-/〃+Q)>

/.MN=|(:m+1)-(-m+g)I，

如圖②，點M在線段"上時，即T歿近2,

…55

MN=—m4--,

42

?__1/55、/八1,55、八、1515

SS+S

^ANP=MMNSPMN=-><(--ni+:-)x(in+4)+-x(--m+^)x(2-m)=--/n+-：

如圖③，點M在射線4)上(點尸右側(cè))時，即/">2,

…55

MN=—"1?

42

Gcc1/55、,“、155、,?1515

，

SMNP=S^MN-S^MN=2X4W-2X""+4)--x(-/?--)x(m-2)=-ni--.

綜上所述，S與，〃的函數(shù)關(guān)系式為：S=-日相+3(-4歿近2)或5=?加一孩(〃>2).

7.（2025春?荊門期末）如圖所示，漢江是長江最大的支流，它流經(jīng)美麗的荊門，漢江一側(cè)有一村莊C,江邊原有

兩個觀景臺A,B,其中AB=4C,現(xiàn)建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，決定在漢江邊新建一個觀景臺〃（點A,H,8在同一條

直線上），并新修一條路C”，測得BC=6千米，CH=4.8千米，5〃=3.6千米.

（1）C”是不是從村莊C到江邊的最短路線？請通過計算加以說明：

（2）求原來的路線AC的長.

【解答】解：（1）是，

理由是：在中，8c"=6千米，CH=4.8千米，的=3.6千米,

/.CH2+BH2=4.82+3.62=36,BC2=36,

:.CH、BH°=BC:

所以C"是從村莊。到河邊的最短路線；

（2）設(shè)AC=x千米，

在RtAACH中，由已知得AC=x千米，A，=（x-3.6）千米，。/=4.8千米,

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2,

x2=（工一3.6y+4.82,

解這個方程，得工=5,

答：原來的路線AC的長為5千米.

8.（2025春?寧江區(qū)期中）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3厘米，C8=4厘米.兩個動點P,Q分別從A,

C兩點同時按順時針方向沿兇3c的邊運動.當(dāng)點Q運動到點人時，，P,Q兩點運動即停止.點P,。的運動速

度分別為1厘米/秒、2厘米/秒，設(shè)點尸運動的時間為/（秒）.記線段PQ與從點P按順時針方向沿AA4c的邊到

點。的折線段所圍成的圖形的面積為S（平方厘米）.

（1）用含f的代數(shù)式表示PC的長；

（2）當(dāng)點P，Q運動時，求S與時間/的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量/的取值范圍；

（3）點尸，Q在運動的過程中，S有最大值嗎？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由.

【解答】解：（1）???RtAABC中，NC=90。，AC=3厘米，C4=4厘米,

.?./\4=5厘米.

?.?（4+5）+2=2秒.

2

.??尸運動的最大距離為2xi=2厘米，

22

.??當(dāng)點尸在AC邊上運動時，PC=3-Z；

當(dāng)點夕在邊上運動時，PC=t-3.

(2)當(dāng)0</,,2時，點尸在AC邊上，點Q在C8邊上，如圖所示,

???AC=3,BC=4,AB=5,點、P,Q的運動速度分別為I厘米/秒、2厘米/秒,

,\AP=l,CP=3-t,CQ=Z,

?/ZC=90°,

.?.以P,C,Q三點為頂點的三角形是直角三角形.

S=S^PCQ=^CPCQ=^(3-t)x2t=-r+3t,

當(dāng)2<L,3時，點尸在AC邊上，點。在A8邊上，如圖所示,

-,AC=3,BC=A,A〃=5,點P，Q的運動速度分別為I厘米/秒、2座米/秒，

：.AP=t,AQ=9-2t,

二線段P。與從點0按順時針方向沿A/WC的邊到點Q的折線段所圍成的圖形為四邊形PCBO.

此時S=SA38—Sw，0,過點。作P￡>_AQ于。.

?/ZA=ZA,ZADP=ZACB.

：./SADP^MCB,

PDAPPDt你俎口八4

——=——，K即n——=一，解得夕。

BCAB455

I44

??=-AQ-PD=-(9-2t)x-t=--r+—t,

J/?JJJ

ccc1…/4218、/4218、4218/

??s=SACAB_S^NPQ=]x3x4_(-工1=+-t)=-t--1+6.

當(dāng)3〃,2時，點尸在CB邊上，點。在邊上，如圖所示.

2

BC=4,48=5,CP=t-3,BP=7T,AQ=2-4,

???線段PQ與從點P按順時針方向沿MBC的邊到點Q的折線段所圍成的圖形為三角形PQB.

此時，S=S.QPB，過點尸作莊_LQB于E.

NREP=NBCA,

：.ABEPsABCA,

...這:”即笠=士

ACAB35

解得枕=21二衛(wèi)，

5

2

??.S=S^,p/i=-BQPE=-(2f-4)x^^-=--t+—f-—

的225555

—t'+3/(0</?2)

^r-y/+6(2</?3)

綜上，S=?

3,2742c9、

一一r+—t---(3<t?—)

5552

R9

（3）由(2)知：,當(dāng)0<7,,2時，5=-r+3r=-a--)2+-?

24

s有最大值為2；

時,

*4

c4218公4/9\239

當(dāng)2<43時,

555420

?.?±>0,當(dāng)時，函數(shù)值s隨自變量/的增大而增大,

54

.?.當(dāng)/=3時，S有最大值為口；

5

91H.e3,27423,9、,15

2555524

當(dāng)f=2,s有最大值為空，

24

綜上，當(dāng)/=2時，S有最大值為”.

24

9.（2025春?南通期末）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大了〃（兒.0）的點叫做這個函數(shù)圖象的“〃級限距

點”.例如，點打）是函數(shù)尸x圖象的”;級限距點”；點（2,1）是函數(shù)y=-；x+2圖象的“2級限距點”.

117

（1）在①（,，-1）；②（」,，）；③（1,2）三點中，是函數(shù)y=2x圖象的“1級限距點”的有①②（填序號）:

233

（2）若），關(guān)于x的一次函數(shù)），=丘+3圖象的“2級限距點”有且只有一個，求k的值；

（3）若），關(guān)于x的函數(shù)y=-|x-/-2〃+l圖象存在“〃級限距點”.求出〃的取值范圍.

【解答】解：（1）?.?點（-±-2）到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于］,

233

???點（」1/）,（」I,，7）是函數(shù)），=2》?圖象的“1級限距點”，

233

?.?點。,2）到。軸的距離為2,大于1,

.?.點（1,2）不是函數(shù)y=2.r圖象的“1級限距點”，

故答案為：①②；

（2）如圖，在以。為中心，邊長為4的正方形只88中，當(dāng)直線>=代+3與正方形區(qū)域只有唯一交點時，圖象的

“2級限距點”有且只有一個，

當(dāng)直線經(jīng)過點ZX2,2)時，&=」；

2

綜上所述：2的值為」或—

22

(3)當(dāng)X..2時，y=-x-—n+\；當(dāng)時，y=-x-—H+1；

2222

在以O(shè)為中心，邊長為2〃的正方形力8c。中，當(dāng)圖象與正方形區(qū)域有公共部分時，

函數(shù)y=|x-9?2〃+圖象的“〃級限距點”一定存在.

設(shè)A(-n,n),B(-n,-n),C(n,-n),0(〃,〃).

57

當(dāng)圖象經(jīng)過點A(f,〃)時，代入y=x-耳〃+1,

當(dāng)圖象經(jīng)過點(匕-〃)時，得〃=1.

2

故：當(dāng)1別71時，函數(shù))，=U-g|-2〃+l圖象的“〃級限距點”一定存在.

10.(2。25春?碑林區(qū)校級期中)如圖①，點A、點3分別在直線所和直線MN上，EFHMN,NABN=45。，射

線4c從射線AF的位置開始，繞點A以每秒2。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線班＞從射線8W的位置開始，繞點8以

每秒6。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，射線3。旋轉(zhuǎn)到8V的位置時，兩者停止運動.設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為，秒.

(1)ZBAF=135°；

(2)在轉(zhuǎn)動過程中，是否存在某個時刻，使得射線AC與射線⑺所在直線的夾角為80%若存在，求出/的值；

若不存在，請說明理由；

(3)在轉(zhuǎn)動過程中，若射線AC與射線4。交于點“，過點”做交直線AF于點K,"A"'的值是否會