專題24.42《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固（培優(yōu)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.如圖：已知是。。的直徑，點(diǎn)。在。。上，點(diǎn)。在半徑04上（不與點(diǎn)0,4重

合）.若NCQ4=60。，ZCDO=70°,N4C。的度數(shù)是1）

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A,B,C作一圓弧，點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線

中，能夠與該圓弧相切的是（）

C.點(diǎn)（5,I）D.點(diǎn)（6,I）

3.如圖.將一塊等腰心AAB。的直角頂點(diǎn)。放在。。I-.繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)二角形,使邊人。

經(jīng)過圓心0,某一時(shí)刻，斜邊人B在0。上截得的線段06=25?,且6c=7cm,則OC的

長(zhǎng)為（）

A.3cmB.ycmC.>/10cmD.2&cm

4.已知，如圖，3,O）,C（O,3x/5）,點(diǎn)/，在第二象限運(yùn)動(dòng)乙4P8=30,求PC

的最小值為（）.

A.36-4B.1C.4^-4D.2

5.如圖，在④中，點(diǎn)。在弦AB上移動(dòng)，連接OC過點(diǎn)。作CZ）JLOC交④于點(diǎn)Z）.若

人4=2,則C。的最大值是（）

6.如圖，已知：點(diǎn)A、B、。、。在。。上，AB=CDf下列結(jié)論：①NA0C=N80。；

?ZBOD=2ZBAD；?AC=BD；④NG4B=N8OC；⑤NC40+/。。。=180。.其中正確的個(gè)

數(shù)為（）

7.如圖，48是的直徑，C。分別是OAO8的中點(diǎn)，MC_LA8,NO_LA民在。O

上.下列結(jié)論：①M(fèi)C=ND：②AM-A4N-NB:③四邊形MCDN是正方形:④MN」.其

2

中正確的結(jié)論有（）

D.4個(gè)

8.如圖，在。O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧A3上，將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D.若

0O的半徑為石，AB=4.則BC的長(zhǎng)是（）

9.如圖，已知AA8C,AB=AC,以A4為直徑的圓交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。的。。的切

線交3c于點(diǎn)E若。0=5,CE=4,則。。的半徑是（）

10.如圖，在^4ABC1中，ZC=90°,AB=6,八。是加。的平分線，經(jīng)過A,。兩

點(diǎn)的圓的圓心O恰好落在人8上，分別與八8、AC相交于點(diǎn)E、F.若圓半徑為2.則

陰影部分面積（）.

9

石

D.2--

11.已知。。的直徑為10cm,AB,CD是。O的兩條龍，AB//CD,48=8cm,CZ）=6cm,

則4B與。。之間的距離為cm.

12.如圖，AB、CD是回。的兩條弦，若0AoB+（3C=180°,0COD=0A,則I3AOB=

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0,2）、＜4,0）,點(diǎn)P是直

線y=2x+2上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P為圓心，PO為半徑的圓與田AOB的一條邊所在直線相切時(shí),

點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

18.如圖，。。為aABC的內(nèi)切圓，ZC=90°,AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D,AC=4,

DC=1,則。O的半徑等于.

19.如圖，中，A/3為直徑，弦CD交AB于P,且OP=PC,試猜想斗。與CB之

間的關(guān)系，并證明你的猜想.

20.如圖，在中，AB=AC,以為直徑的半圓O分別交8C,AC于點(diǎn)。，E,

連結(jié)力E,OD.

(1)求證:BD=ED'

(2)當(dāng)次石，8E的度數(shù)之比為4:5時(shí)，求四邊形四個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

21.如圖，A8是。O的直徑，戶為A8上一點(diǎn)，弦C。與弦EF交于點(diǎn)P,P8平分NOPF,

連。尸交A3于點(diǎn)G.

(1)求證：CD=EF；

(2)若/。尸b=60。，PE：PF=1：3,A8=2jil,求0G的長(zhǎng).

22.如圖，以48為直徑的上有一動(dòng)點(diǎn)C,0。的切線CO交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

過點(diǎn)A作8Mli交。。于點(diǎn)M,連接AM,OM,BC.

(1)求證：AMHCD

(2)若。4=5,填空：

①當(dāng)AM=時(shí)，四邊形0C8M為菱形；

②連接MD,過點(diǎn)。作QV_LMO于點(diǎn)M若BD=5五一5，則。N=.

23.正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在。。上，E是00上的一點(diǎn).

(1)如圖①，若點(diǎn)E在A8上，F(xiàn)是DE上的一點(diǎn)，DF=BE.求證：△ADFgZ\ABE；

(2)在(1)的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE-BE=&

AE.請(qǐng)說明理由;

(3)如圖②，若點(diǎn)E在48上.連接DE,CE,已知BC=5,BE=I,求DE及CE的長(zhǎng).

圖①圖②

24.在R/ZkABC中，NBCA=90。，CA=CB,點(diǎn)。是△ABC外一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)從點(diǎn)D位

于AC兩側(cè))，連接CO,AD.

(1)如圖1,點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，連接OC,0D,當(dāng)AAO。為等邊三角形時(shí)，NADC的

度數(shù)是：

(2)如圖2,連接BQ,當(dāng)乙4。。=135。時(shí)，探究線段8。，CD,QA之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；

(3)如圖3,是△ABC的外接圓，點(diǎn)。在4c上，點(diǎn)E為A8上一點(diǎn)，連接CE,DE,

當(dāng)AE=I,BE=7Hj,直接寫出△CQE面積的最大值及此時(shí)線段的長(zhǎng).

參考答案

1.D

【分析】根據(jù)CO=AO,NCCM=60。，可得AACO為等邊三角形，所以可得乙4co=60°,

再根據(jù)三角形的外角等于剩余兩個(gè)內(nèi)角之和，即可求得NACD

解：\'OA=OC,NCOA=60°,

???△ACO為等邊三角形，

AZCAD=60°,

ZACD=ZCDO-ZCAD=10°.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的任意一個(gè)外角等于剩余兩個(gè)內(nèi)角之

解：???過格點(diǎn)A,B,C作一圓弧，，三點(diǎn)組成的圓的圓心為：0（2,0）,???只有

NOBD+NEBF=90。時(shí)、BF與圓相切，當(dāng)△BOD且ZXFBE時(shí)，.,.EF=BD=2,F點(diǎn)的坐標(biāo)

為：（5,1）,???點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是：（5,I）.故選C.

a1oDX

3.A

【分析】利用垂徑定理得ME=DM=1,利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)得OM與DO

的關(guān)系式，解得結(jié)果.

解：過O點(diǎn)作OM_LAB,

/.ME=DM=lcm,

設(shè)MO=h,CO=DO=x,

???△ABC為等腰直角三角形，AC=BC,

???ZMAO=45°,

.*.A0=V2h

VAO=7-x,

V2h=7-x,

在RMDMO中，

h2=x2-1，

.*.2x2-2=49-14x+x2,

解得：x=-17(舍去)或x=3,

故選A.

【點(diǎn)撥】本題主要考直了勾股定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線,

數(shù)形結(jié)合，建立等量關(guān)系是解答此題的關(guān)犍.

4.D

【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，半徑,=2的圓弧，當(dāng)點(diǎn)P在

BC上時(shí)，PC有最小值，據(jù)此可求解.

解：如圖,

VA(-1,0),B(-3,0),

AAB=2,

VZAPB=30°,

二點(diǎn)P的軌跡是以M為圓心，半徑r=2的圓弧；

易得圓心M坐標(biāo)為(-2,6)，CM=7(-2)2+(3^->/3)2=4,

'■PCnin=CM-r=4-2=2,

故選D

【點(diǎn)撥】本題考查了線段最短問題，確定點(diǎn)P的位置是解本題的難點(diǎn).

5.D

【分析】連接OD,如圖，利用勾股定理得CD,利用垂線段最短得到當(dāng)OC_LAB時(shí),

OC最小，再求出CD即可.

解：連接O。，如圖，

VCD1OC,

r.ZDCO=90%

???CD=yjonr-OC1=yjr2-oc2，

當(dāng)。c的值最小時(shí)，co的值最大，

而OCJ_AB時(shí)，0C最小，此時(shí)D.B兩點(diǎn)重合,

CD=CB=；x2=1.

即C。的最大值為I.

【點(diǎn)撥】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，求出點(diǎn)C的位置是

解潁的關(guān)鍵.

6.C

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理和圓心角、弧、弦之間的關(guān)系逐個(gè)判斷

即可.

解：f：AB=CD,

:'CBD=RCA，

?'?AC=BD，

；?NAOC=NBOD,故①正確；

???圓周角NBAD和圓心角ZBOD都對(duì)著BD,

???NBOD=2NB4￡),故②正確；

,**AC=BD，

：,AC-BD,故③正確；

???圓周角NCAB和NBDC都對(duì)著BC，

???NC4B=NBDC,故④正確；

延長(zhǎng)。。交。。于M.連接AM,

???。、C、A、M四點(diǎn)共圓，

JZCDO+/C4M=180。(圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)),

???/C4M>NCAO,

???NC4O+NCQOV180。，故⑤錯(cuò)誤；

即正確的個(gè)數(shù)是4個(gè)，

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理和圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等

知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】根據(jù)題意連結(jié)OM、ON,易得OC=；OM,OD=；ON,利用含3()度的直角三角

形三邊關(guān)系得N0MO30。，ZOND=30°,所以MC=?)C,ND=6(2,MC=ND,則可對(duì)

①進(jìn)行判斷；再計(jì)算出NMOC=NNOD=60。，則NMON=60。，于是根據(jù)圓心角、弧、弦的

關(guān)系對(duì)②進(jìn)行判斷；先證明四邊形MCDN為平行四邊形，加上NMCO90。，則可判斷四邊

形MCDN為矩形，由于A/C=GOC,則MC=@C。，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；由四邊形MCDN

2

為矩形得至MN=CD,貝IJMV=，A8,則可對(duì)④進(jìn)行判斷.

2

【詳解】解：如圖，連接OM,ON.

???C。分別是QAOB的中點(diǎn),

;.OC=OD,OC=；OM,OD=；ON.

:.MCA.AB,NDLAB,

NOMC=30",NONO=30°,

/.MC=上OC,ND=瓜）D,MC=ND,故①正確.

/MOC=/NOD=6d、

ZMQN=6。,

：.AM=MN=NB'故②正確?

?.?CMI/ND、MC=ND,

???四邊形MCDV為平行四邊形.

???NMCO=90°，

???四邊形Maw為矩形.

MC=—CD,

2

???四邊形MCDV不是正方形，故③錯(cuò)誤.

???四邊形MCDV為矩形，

；.MN=CD、

故④正確.

綜上，①②④正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理以及圓心角、弧、弦的關(guān)系，注意掌握在同圓或等圓中，同弧

或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)

的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

8.B

【分析】連接OD、AC、DC、OB、OC,作CE_LAB于E,OFJ_CE于F,如圖，利用

垂徑定理得到OD_LAB,則AD=BD=^AB=2,于是根據(jù)勾股定理可計(jì)算出OD=1,再利用

折疊的性質(zhì)可判斷弧AC和弧CD所在的圓為等圓，則根據(jù)圓周角定理得到AC=CQ，所以

AC二DC,利用等腰三角形的性質(zhì)得AE=DE=1,接著證明四邊形ODEF為正方形得到

OF=EF=1,然后計(jì)算出CF后得至l|CE=BE=3,于是得至l]BC=30.

解：連接OD、AC、DC、OB、OC,作CE_LAB于E,OF_LCE于F,如圖,

???D為AB的中點(diǎn)，

AOD1AB,

AAD=BD=^AB=2,

在RSOBD中，OD=J（可_2?=1,

???將弧BC沿BC折蓋后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D,

???弧AC和弧CD所在的圓為等圓，

?**AC=CD^

AAC=DC,

/.AE=DE=1,

易得四邊形ODEF為正方形，

AOF=EF=1,

在RiZkOCF中，CF=J（可一F=2,

???CE;CF+EF=2+1=3,

而BE=BD+DE=2+1=3,

???BC=30,

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、切線的性質(zhì)，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切

點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系，熟練掌握相關(guān)的定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】由題意可得DEJ_BC,由勾股定理可得DE=3,利用面枳法結(jié)合勾股定理求得

BC的長(zhǎng)，利用等腰三角形的性質(zhì)求得AB的長(zhǎng)，即可求。。的半徑.

解：如圖，連接OD、BD,

D

???AB是OO的直徑，

AZADB=90°,

，BD_LAC,

XVAB=BC,

AAD=CD,

XVAO=OB,

???0D是△ABC的中位線，

，OD〃BC,

???DE是。O的切線，

:.DE±OD,

ADE1BC,

VCD=5,CE=4,

***DE=\jCD2—CE2=>J52—42=3，

,?&BCD=GBD?CD=!BC?DE,

22

A5BD=3BC,

.\BD=|BC,

■:BD2+CD2=BC2，

Af-Bcl+52=叱，

(5)

25

解得：AC=3，

4

VAB=BC,

的半徑是：V

O

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)

用，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

10.C

【分析】連接OD,OF.首先證明OD〃AC,推出5陰=5扇形OFA,再證明AAOF是等

邊三角形即可解決問題.

解：連接OD,OF.

???AD是NBAC的平分線，

AZDAB=ZDAC,

VOD=OA,

/.ZODA=ZOAD,

AZODA=ZDAC,

???OD〃AC,

AZODB=ZC=90°,

???SAAFD=SAOFA,

??S陰=S娟彩OFA?

VOD=OA=2,AB=6,

/.OB=4,

AOB=2OD,

???NB=30。，

AZA=60°,

VOF=OA,

???△AOF是等邊三角形，

；?ZAOF=60°,

AS陰=S扇形OFA=鯉2=生.

3603

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查扇形的面枳，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

11.7或1.

【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O同一側(cè)時(shí)，當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)

時(shí)；利用垂徑定理和勾股定理分別求出OE和OF的長(zhǎng)度，即可得到答案.

解：分兩種情況考慮:

當(dāng)兩條弦位于圓心0一側(cè)時(shí)，如圖1所小，

過O作OEJ_CD,交CD于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接OC,OA,

VAB/7CD,AOE1AB,

???E、F分別為CD、AB的中點(diǎn),

JCE=DE=yCD=3cm,AF=BF=AB=4cm,

在Rt^AOF中，0A=5cm,AF=4cm,

根據(jù)勾股定理得：OF=3cm,

在RsCOE中，0C=5cm,CE=3cm,

根據(jù)勾股定理得：OE=4cm,

則EF=OE-OF=4cm-3cm=1cm；

當(dāng)兩條弦位于圓心0兩側(cè)時(shí)，如圖2所示，

同理可得EF=4cm+3cm=7cni,

綜上，弦AB與CD的距離為7cm或1cm.

故答案為：7或1.

【點(diǎn)撥】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熱練掌握垂徑定理

是解本題的關(guān)鍵.

12.108°

解：設(shè)NCOD=NA=x。，表示出/AOB=(180-2x)。和,

然后利用三角形內(nèi)角和定理求解(更產(chǎn)),+180-2x=180,解得：x=36,可求NAOB=(180

-2x)°=108°,

故答案為108°.

13.6也

【分析】連接OA、08、OP,根據(jù)圓周角定理求得/AP8=NC=30。，進(jìn)而求得/%B

=ZAPB=30°fZABP=120°,根據(jù)垂徑定理得至U08_LAP,AD=PD,ZOBP=ZOBA=

60。，即可求得△404是等邊三角形，從而求得。4=04=6,解直角三角形求得PQ,即可

求得力.

解：連接0人、OB、OP,

VZC=30°,

???NAP8=NC=30。，

?:PB=AB，

:?PB=AB,

：.ZPAB=ZAPB=3^

：,Z4BP=120°,

PB=AB,

：.OBLAP,AD=PD,

???NOBP=NOBA=60。，

?：OB=OA,

???△AO3是等邊三角形，

.*.AB=0A=6,

則RtNB。中，PD=皂PB=立義6=3+,

22

:?AP=2PD=6y/j,

故答案為6Q.

c

【點(diǎn)撥】本題主要考查垂徑定理，關(guān)鍵在「根據(jù)題意做出輔助線，構(gòu)造直角三角形，結(jié)

合三角函數(shù)的特殊角進(jìn)行計(jì)算，這是這類題目的通常解題思路.

14.

4

解：分析：如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)0，.當(dāng)點(diǎn)P與B或C重合時(shí)，aPAD的外接圓

的圓心與O重合，當(dāng)PA二PD時(shí)，設(shè)^PAD的外接圓的圓心為O,PO的延長(zhǎng)線交AD于E,

設(shè)P0=0D=x,因?yàn)锳PAD的外心在線段AD的垂直平分線上，

觀察圖象可知，點(diǎn)P沿著B-C的路徑運(yùn)動(dòng)，AADP的外接圓的圓心。的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是

200，，由此即可解決問題；

解：如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)0、

當(dāng)點(diǎn)P與B或C重合時(shí)，4PAD的外接圓的圓心與0建合，

當(dāng)PA=PD時(shí)，設(shè)z\PAD的外接圓的圓心為0,PO的延長(zhǎng)線交AD于E,設(shè)PO=OD=x,

RsODE中，VOD2=OE2+DE2,

x2=(4-x)2+32,

解得x=2§5,

o

957

.*.OE=4--=-.

88

???O'B=O'D,AE=DE,

.\0,E=^AB=2,

9

.\OO,=O,E-OE=-,

8

VAPAD的外心在線段AD的垂直平分線上，

觀察圖象可知，點(diǎn)P沿著B-C的路徑運(yùn)動(dòng)，^ADP的外接圓的圓心0的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是

9

200'=一.

4

故答案為：;9.

4

【點(diǎn)撥】本題考查軌跡、矩形的性質(zhì)、三角形的外接圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找

點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)軌跡.

15.4

【分析】由已知條件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三點(diǎn)在以D點(diǎn)位圓心的圓上，過

點(diǎn)D做DFJJC與點(diǎn)F,可得四邊形EIDF為平行四邊形，可得IE=DF,即可求出IE的長(zhǎng).

如圖：I為I3ABC的內(nèi)心，可得/BAD二NCAD,「.BD;CD,

XZDIC=ZDAC+ZACI,ZICD=ZICB+ZBCD

其中NDAC=/BAD=NBCD,ZACI=ZICB,

???ZDIC=ZICD

二.ID=CD,，ID=BD=DC=5,可得AI=2CD=10

???可得I、B、C三點(diǎn)在以D點(diǎn)位圓心的圓上，過點(diǎn)D做DFJJC與點(diǎn)F,

可得IF=FC(垂經(jīng)定理)，

2222

在RTAIFD中，DF=1JlD-(^/C)=A/5-3=4,

乂在△AIC中，AE=EC,IF=FC,

EF為△AIC的中位線，

??.EF〃AD、即EF〃ID.且EF二!A/=5=ID,

2

二四邊形EIDF為平行四邊形，可得IE=DF=4,

故答案：4.

【點(diǎn)撥】本題主要考查圓的垂經(jīng)定理，圓周角定理及平行四邊形相關(guān)知識(shí)，難度較大,

需綜合運(yùn)用各知識(shí)求解.

16.(75,0)

【分析】根據(jù)題意，找到當(dāng)OP與大軸相切于點(diǎn)。時(shí)，乙4。最大，作出相應(yīng)輔助線,

可得出Q4=l,AB=2,再由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得0”=2,根據(jù)切線定理確定四

邊形PCO”為矩形，最后根據(jù)勾股定理即可得出.

解：過點(diǎn)4、B作。P,。尸與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，ZAC8最大,

連接力、PB、PC,作PH_Ly軸于〃，如圖，

???點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別是(0,1)、(0,3),

:.OA=1,AI3=3—1=2,

/.AH=BH=1,

/.0/7=2,

???點(diǎn)。P與K軸相切于點(diǎn)C,

."C_Lx軸，

???四邊形PC?！睘榫匦?，

PC=OH=2,

???PA=2,

在R^PAH中,PH7PN-AH。=5

???C點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0).

故答案為(6,0).

【點(diǎn)撥】題目主要考查隱圓模型，涉及知識(shí)點(diǎn)包括直線與圓的位置關(guān)系、等腰三角形性

質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等，理解題意,找準(zhǔn)當(dāng)。。與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，ZACI3

最大，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵.

17.(0,2),(-1,0),(-1).

【分析】先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，分為三種情況：圓P與邊A0相切時(shí)，當(dāng)圓P與邊AB

相切時(shí)，當(dāng)圓P與邊BO相切時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)即可.

解：???點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(0,2)、(4,0),

???直線AB的解析式為y=-yx+2,

???點(diǎn)P是直線y=2x+2上的一動(dòng)點(diǎn)，

；?兩直線互相垂直，即PA_LAB,且C(-l,0),

當(dāng)圓P與邊AB相切時(shí)，PA=PO,

???PA=PC,即P為AC的中點(diǎn)，

???P(4,1);

當(dāng)圓P與邊AO相切時(shí)，PO1AO,即P點(diǎn)在x軸上，

???P點(diǎn)與C重合，坐標(biāo)為(-1,0)；

當(dāng)圓P與邊BO相切時(shí)，PO1BO,即P點(diǎn)在y軸上，

???P點(diǎn)與A重合，坐標(biāo)為(0,2)；

故符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(-1,0),1),

故答案為(0,2),(-1,0),(，，1).

【點(diǎn)撥】本題主要考杳待定系數(shù)法確定一次函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)的應(yīng)用，及直角三角

形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，可分類3種情況圓與AAOB的三邊分別相切，根據(jù)直線

與圓的位置關(guān)系可求解點(diǎn)的坐標(biāo).

18.-

5

【分析】設(shè)圓O與AC的切點(diǎn)為M,圓的半徑為r,先證得△AOMS/\ADC,再根據(jù)

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)果.

解：設(shè)圓O與AC的切點(diǎn)為M,圓的半徑為r,

如圖，連接OM,

,/ZC=90°

ACM=r,

VAAOM^AADC,

AOM：CD=AM：AC,

即r：1=(4-r)：4,

4

解得r=］，

J

4

故答案為彳.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，解答與題的關(guān)鍵是作出輔助線OM,證得

△AOM-AADC.同時(shí)熟練掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì).

19.AD=3BC

【分析】連接OC、OD,根據(jù)OC=OZ),8=/＞。推出/。一/。一/。。2根據(jù)外角的

性質(zhì)證得/人OD=3NCOP,即可得到結(jié)論AO=38C.

解：連接。C\0D,

?：OC=OD,

?：OP=PC,

；?NC=NCOP,

:?ND=NC=NCOP,

???/AOD=4DP0+/D=/C+/COP+/D=3/COP.

??AD=3BC-

【點(diǎn)撥】此題考查同圓的半徑相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，以及

弧、弦、圓心角定理，熟記各定理并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵.

20.（1）證明見分析；（2）ZB4E=50°.NB=65。,ZBDE=l30°,ZAED=115°.

【分析】（1）連接AD后，證明這兩條弧所對(duì)的I員I周角相等，即N8AD=NCAO,該題

得證；

（2）由這兩條弧度數(shù)之比為4:5,分別求出它們的度數(shù)，再根據(jù)BD=ED^求出,必和

康的度數(shù)，即可求出NBAC和N8,利用圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可以得到另外兩個(gè)內(nèi)角

的度數(shù).

解：（1）如圖，連結(jié)A。，

〈AB是直徑，

ZADB=90。,

'：AB=AC,

：.ZBAD=ZCAD,

'BD=ED'

c

AOB

（2）VM￡+?E=180°?"E與BE的度數(shù)之比為4：5,

4s

，海？=180°x—=80。，?E=180°x-=100°,

99

以、，JM=加='BE=50°，

nIJ=rJJ2

注。=4七+2。=130。，

AZBAE=-BE=5O0,ZB=-AD=65°,

22

VZ4ED+Zfi=180°,ZBDE+ZA=180°,

AZAED=115°,ZBQE=130°,

AZBAE=50°,ZB=65°,ZBDE=13O°,ZAED=115°.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓中的弧和圓周角之間的關(guān)系，學(xué)生應(yīng)在理解圓周角定理以及其推

論的同時(shí)，能熟練應(yīng)用它們，解決本題的關(guān)鍵是通過連線，構(gòu)造兩弧所對(duì)的圓周角，通過角

的關(guān)系來證明弧的關(guān)系，同時(shí)應(yīng)明白圓周角等「其所對(duì)孤的度數(shù)的二分之一，能由弧度求出

角度，只有牢牢記住它們的關(guān)系，才能靈活地在角與弧之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求出答案.

21.(1)見分析(2)；

【分析】(1)過點(diǎn)。作。MJ_￡尸于點(diǎn)M,ON工CD于點(diǎn)、N,連接OP、OD,利用HL

證明RsOFM經(jīng)RSOQM可得FM=QN,進(jìn)而可得結(jié)論；

(2)根據(jù)PE：PF=\：3,可以設(shè)尸E=x,PF=3x,則曰三PE+P”=4x,利用含30度角的

直角三角形可得OM二立工，0尸二氈X,然后證明RQOPMGRQOPM可得PM=PN,再

33

證明廣是等邊三角形，可得。QPF=3x,FG=；DF吟,然后根據(jù)勾股定理即可求出

OG的長(zhǎng).

(1)證明：如圖，過點(diǎn)。作OMJ_E/于點(diǎn)M,ON上CD于點(diǎn)、N,連接OF、OD,

則NOMF=N0X0=90。，

TPB平分NDPF,OM1EF,ONVCD,

：.OM=ON,

在/?/△OFM和ODN中，

OF=OD

OM=ON

:(JbM^KtLODN(HL),

，F(xiàn)M=DN,

9：OM1EF,ONLCD,

：.EF=2FM,CD=2DN,

：?CD=EF；

(2)解：?:PE：PF=1：3,

???設(shè)PF=3x,

:.EF=PE+PF=4x,

■:OM1EF,

/.EM=FM=—EF=2xy

2

:.PM=EM-PE=2x-x=x,

〈PB平分NDPF,ZDPF=6O0,

；?ZFPB=DPB=-ZDPF=30°,

2

?ni/f6no-2后

..OM=——x,0P=---------x,

33

在/?/△OPM和RmOPN中，

OP=OP

'OM=0N'

OPM9R3OPN(HL),

:.PM=PN,

由(1)知：FM=DN.

：.PM+FM=PN+DN,

:.PF=PD,

NOP/=60。，

???△尸。尸是等邊三角形，

平分NDPF,

:.PBLDF,垂足為G,

：.DF=PF=3x,FG=-DF=—

22t

.??PGNPF?-FG?=J(3x)2-gx)2=號(hào),

二號(hào)一5瓜

~6~

???"=2如,

???。/=；人8=而，

在心△OFG中，根據(jù)勾股定理，得

OG2+FG2=OF2，

???（窄產(chǎn)+（當(dāng)）2=（而產(chǎn),

整理,得理=3,

解得4土6(負(fù)值舍去),

.八廠5\/3x5x/3x5/35

??<70=----------=------------------=—.

662

【點(diǎn)撥】本題屬于圓的綜合題，考查的是圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，全等三角

形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是

考查學(xué)生綜合分析解決問題的能力.

22.(1)見分析⑵①5后；②地

3

【分析】(1)首先根據(jù)圓周角定理可得NM48+NA8W=90。，由切線的性質(zhì)可得

ZDOC+ZC/X>=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證得NM44=NCOO,據(jù)此即可證得結(jié)論；

(2)①根據(jù)菱形性質(zhì)可得OM=O/1=M8=5,即可求得相，再根據(jù)勾股定理即可求得；②

首先可證得△OOC是等腰直珀三角形，再根據(jù)勾股定理及三角形的面積，即可求解.

(1)證明：???48是。。的直徑，

,-.ZAMB=90°,

.?.NM43+ZA8M=90°,

是0。的切線，

.\OCLCD,

ZZX)C+ZCZX)=90°,

又?；BM〃OC,

/.ZABM=/DOC,

:.ZMAB=ZCDO,

/.AM//CD；

(2)解：①若四邊形0C8M為菱形，

則OM=OA=MB=5,

〈AB是。。的直徑，

???ZAM3=90°,

?；0A=08,

：.AB=2OA=\0,

-AM=ylAB2-MB2=V102-52=5x/3

當(dāng)AM=5后時(shí)，四邊形0C8M為菱形:

故答案為：5G;

②如圖所示:

M

,:BD=5近-5,08=5,

?*-OD=OB+BD=5+5>/2-5=5y/2，

???c。是的切線，

Z(X7)=90°，

?：0C=0B=5,

，CD=dOD?-OC?=J(5⑹L52=5,

???△OQC是等腰直角三角形，

JZDOC=45°,

又，：BM〃OC、

/.NO8M=NOOC=45。，

?：OM=OB,

，NOBM=/OMB=45°,

???NBOM=90%△OBM是等腰直角三角形,

在直角△OQM中，根據(jù)勾股定理可得用Q=Joa+oM?=J（5拉￥+52=56,

根據(jù)△OQM的面積可得OMDM=OM-OD,

八”O(jiān)MOD5x5忘576

DM5百3

故答案為：巫.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，菱形的

性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用各圖形的性質(zhì)和判定是解

決本題的關(guān)鍵.

23.（1）證明見分析；（2）理由見分析；（3）DE=7,CE=4夜

【分析】（1）根據(jù)止方形的性質(zhì)，得AB二AD：根據(jù)圓周角的性質(zhì)，得NA8E=NA￡>E，

結(jié)合DF=BE,即可完成證明；

（2）由（1）結(jié)論得AF二AE,NDAF=NBAE；結(jié)合/BAD=90。，得/EAF=90。，從

而得到4EAF是等腰直角三角形，BPEF=V2AE；最后結(jié)合DE-DF=EF,從而得到答案；

（3）連接BD,將4CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至ACDH：結(jié)合題意，得

ZCBE+ZCDE=180",從而得到E,D,H三點(diǎn)共線；根據(jù)BC=CD,得BC=CD，從而推

導(dǎo)得NBEC=NDEC=45。，即△CEH是等腰直角三角形；再根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計(jì)算，即可

得到答案.

解：（1）如圖，Z1=Z4Z）E,N2=ZABE,Z3=ZDAF,Z4=ZBAE

在正方形ABCD中，AB-AD

在△ADF和△ABE中

AB=AD

Z1=Z2

BE=DF

AAADF^AABE(SAS)；

（2）由（1）結(jié)論得：AADF^^ABE

AAF=AE,N3=N4

正方形ABCD中，ZBAD=90°

/.ZBAF+Z3=90°

；?ZBAF+Z4=90°

/.ZEAF=90°

???△EAF是等腰直角三角形

AEF2=AE2+AF2

Z.EFMAE2

/.EF=V2AE

即DE-DF=V2AE

???DE-BE二拉AE；

(3)連接BD,將ACBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至ACDH

???四邊形BCDE內(nèi)接于圓

/.ZCBE+ZCDE=180°

???E,D,H三點(diǎn)共線

在正方形ABCD中，ZBAD=90°

AZBED=ZBAD=90°

???BC=CD

:,BC-CD

???ZBEC=ZDEC=453

...△CEH是等腰直角三角形

在對(duì)△BCD中，由勾股定理得BD=&BC=5正

在RSBDE中，由勾股定理得：DE=V^D2-BE2=7

在RtZkCEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2

???(ED+DH)2=2CE2,即(ED+BE)2=2CE2

.\64=2CE2

???CE=4及.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形、圓、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋轉(zhuǎn)的知識(shí);

解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形、圓周角、正多邊形與圓、等腰三角形、勾股定理、全等三角

形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，從而完成求解.

24.(1)135。(2)8。=6。。+。4理由見分析(32。?！辏好娣e的面積最大值為4,8。=匕普

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得/COA=90。，CO=OA,再由等邊三角形的

性質(zhì)得0。=。4,ZODA=ZDOA=60\然后求出NODC=75。，即可求解；

(2)過點(diǎn)C作C〃_LCO交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)從證AACH且△BCD(SAS),得BD=

AH=HD+DA=41CD+AD；

(3)連接OC,由勾股定理得C