16.3乘法公式人教版（2024）初中數(shù)學八年級上冊同步練習

分數(shù)：120分考試時間：120分鐘；

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.如圖，兩個正方形的邊長分別為a和b,其中8,C,G三點在同一直線上，若a+b=20,ab=80,那

么陰影部分的面枳是（）

A.100B.110C.120D.130

2.小冬以長方形的四條邊為邊向外作四個正方形，設計出“中”字圖案，如圖所示.若四個正方形的

周長之和為40,面積之和為26,則長方形4BC0的面積為（）

3.若/+4%-4=0,則3（無-2）2-6（x+l）（x-1）的值為（）

A.-6B.6C.18D.30

4.如圖①，從邊長為a的大正方形的四個角中挖去四個邊長為b的小正方形后，將剩余的部分剪拼成一個長

方形，如圖②，通過計算陰影部分的面積可以得到（）

A.(a-2b>=a2-4ab+b2B.(a+2b)2=a2+4ab+b2

C.(a-2b)(a+2b)=a2-4b2D.(a+d)2=a24-lab+b2

5.將多項式2a匕+9。2一5M一4。2中的同類項結合在一起，正確的是（）

A.(9a2—4a2)+(-5ab—2ab)B.(9a2+4a2)—12ab—Sab)

C.(9a2—4a2)+(2ab-Sab)D.(9a2—4a2)—(2ab+Sab)

6.已知(a+b)2—2ab=5,則。2+力2的值為()

A.10B.5C.1D.不能確定

7.若(一5。+時)(46+/7)=16/)2-25。2,則M,N分別為()

A.4b,-5aB.-4b,5aC.4b,5aD.-4b,-5a

8.計算(m-2n-l)(m+2n-1)的結果為()

A.m2-4n2-2m+1B.TH2+4n2-2TE4-1

C.m2—4n2—2m—1D.m2+4n2-2ni-1

9.三個連續(xù)自然數(shù)的平方和減去2一定（）

A.能被2整除B.能被3整除C.能被4犍除D.能被5整除

10.王大爺家有一塊邊長為6米的正方形菜地，現(xiàn)需將其進行改造，具體措施為南北向增加2米，東西向減

少2米，則改造后的菜地與原來的菜地相比（）

A.面積相等B.面積增加了4平方米

C.面枳減少了4平方米D.無法確定

11.若/71=1+，^,n=1—>/~2,則代數(shù)式，+*一377m的，直為（）

A.9B.±3C.3D.5

12.“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，數(shù)形結合思想是數(shù)學學習中的一個重要的數(shù)學思想.請仔細觀

察下列圖形，其中能說明等式（。+匕）2-（。-8）2=4必成立的是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。

13.已知Q—b=b-c=*,a2+b2+c2=1,則ab+be+ac的值等于.

14.已知Q>0,b>0,(5Q+10b+7)(5Q+106-7)=176,則M+2ab+6b的值是.

15.若正方形48co的邊長為a,正方形CEFG的邊長為b,a+b=6,ab=7,則△AEG與△4DG的面積之

和為.

16.設實數(shù)％,y>z滿足x+y+z=2,則代數(shù)式3xy+2yz+xz的最大值為.

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題8分)

如圖，一塊直徑為(a+b)cm的圓形鋼板，從中挖去直徑分別為acm與bsn的兩個圓，求剩下的鋼板的面

積.

18.(本小題8分)

若？n手0,Q=(m2-rn+l)(m2+m4-1),P=(tn+l)2(m-l)2,猜想Q與尸的大小關系，并證明你的

猜想.

19.(本小題8分)

先化簡，再求值：

(2x+3y7-(2x+3y)(2x-3y),

其中％=I，y=

20.(本小題8分)

先化簡，再求值：(*+2y)(x-2y)+(%+y)(%z-%+4y)-3工丫，其中％=-1,y=2.

們將這種方法稱為“等積法”.它的基本思想是：將同一個量從兩個不同角度計算兩次，我們常用“等積

法”列出等量關系、求線段長度或線段之間的數(shù)量關系.

【方法應用】如圖1,正方形48CD是由長為a、寬為b的4個全等的小長方形拼擺而成的，我們可以利用該

正方形面枳的不同表示方法驗證?個與完全平方公式相關的等量關系.

圖1圖2

(1)請你寫出這個等量關系.

(2)根據(jù)上述關系，已知a+b=5,ab=5,求(a-+(a+l)(b+1)的值.

【方法遷移】如圖2,長方形力BCD是由8個長為a、寬為b的全等的小長方形拼擺而成的，請你根據(jù)“等積

法”計算兩次的某本思想，解答下列問撅：

①求a,b之間的數(shù)量關系；

②若長方形力BCO的寬AB=40cm,求小長方形的面積.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：a+b=20,ab=80,S陰影部分=S正方形ABCD+S梯跣DFG-S^ABD-S^RCF=a?+

+b)-1a2-；ab=1a2+\b2=1(a2+b2)=|[(a+b)2-2ab]=1(400-160)=120,故選C.

2.【答案】A

【解析】解：設AB=Q,BC=b,由四個正方形的周長之和為40,面積之和為26,可得4ax2+4bx

2=40,2a24-2b2=26,即a+b=5①，a2+b2=13(2),由①得，a2+2ab+b2=25(3),③一

②得2ab=12,所以ab=6,即長方形48co的面積為6,故選4.

3.【答案】B

【解析】略

4.【答案】C

【解析】略

5.【答案】B

【解析】略

6.【答案】B

【解析】略

7.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵，已知等式右邊利用平方差公式分解后，即可確定

出M與N.

【解答】

解：(—5a+M)(4h+ri')=16b2—25a2=(4〃+5a)(4￡>—5a)?

Af=4b,N=5a,

故選C.

8.【答案】A

【解析】略

9.【答案】B

【解析】略

10.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查列代數(shù)式，整式的減法，平方差公式，掌握平方差公式的結構特征是正確解答的前提.分別用含

有機的代數(shù)式表示改造前、改造后的面枳，再求差即可.

【解答】

解：由于改造前，這塊地的面積為m2平方米，

改造后是長為（血+2）米，寬為（小一2）米，面積為（m+2）（m-2）=（m2-4）平方米，

所以改造后的菜地與原來的菜地而比減少了4平方米，

故選：C.

11.【答案】C

【解析】略

12.【答案】D

【解析】解:（。+6）2-（0一力）2=4。力表示邊長為9+/））的大正方形與邊長為（。一6）的小正方形的面積

差，等于4個長Q、寬b的長方形面積和.

選項A：是推導（。+6）2=小+2時+爐的圖形，不涉及他一方產，排除.

選項8：體現(xiàn)的是a?一（a一力）2,不是（0+匕）2一?一匕）2,排除.

選項C：是勾股定理?2=。2+〃）相關圖形，與等式無關，排除.

選項。：大正方形邊長（a+b）、小正方形邊長（a-b）,面積差為4個長a寬b長方形面枳，符合缶+人尸-

（a-b）2=4ab,當選.

故選。.

解答這道題需理解（a+b）2、（a-匕）2的幾何意義（正方形面積），以及面積差與4ab（長方形面積和）的關

系.

本題運用的是完全平方公式與數(shù)形結合思想，讓抽象公式（完全平方差）與直觀圖形（正方形、長方形）關

聯(lián)，幫助理解代數(shù)關系的幾何本辰.

13.【答案】一

【解析】a-b=Jb-c=兩式相加,得a-c="ab+be+ac=-^［（a-b）2+（Z?-c）2+

（a-c）2-2（a2+b2+c2）］=-lx［（|）2+（|/+--5

14.【答案】9

【解析】解：V(5a+10b+7)(5a+10b-7)=176,

???(5a+108)2-49=176,

???(5a+10b)2=225,

a>0?b>0,

???5a+10b=15,

a+2b=3,

???a2+2ab+6b=a(a4-2b)+6b=3a+6b=3(a+2b)=3x3=9,

故答案為9.

15.【答案】1

【解析】解：連接4C,由于力。是正方形4BCD的對角線，GE是壬方形CEFG的對角線，??.4C//GE,

2

???SMGE=S?E=S^ADG=｝：DG-AD=1a(a-b)=1c-\ab,???△AEG^^4DG的面積之和為

|a2+|b2=1[(a+b)2-3ab],

乙乙乙乙

???a+b=6,ab=7,AEG與ANDG的面積之和為(36-21)=學.

16.【答案】3

【解析】解：由條件可知z=2—x—y,

原式=3xy+z(2y+x)=3xy+(2-x-y)(2y+x)=3xy+4y+2%-2xy-x2-2y2-xy=4y+

2x-x2-2y2=3-[(x-l)z+2(y-l)2],

???(x-I)?+2(y-1)2>0,

-[(x-l)2+2(y-l)2]<0,

3-[(x-l)2+2(y-l)2]<3,即3%y+2yz+%z的最大值為3,故答案為3.

17.【答案】解：剩下的鋼板的面積二笈(竽)2—江弓)2一江窗

=j[(a+b)2—a2—h2]=x2ab=""(cm2).

【解析】剩下的鋼板的面積=直徑為(a+b)cm的大圓的面積一直徑為Qcni的圓的面積一直徑為bcm的圓的

面積.

18.【答案】Q>P.證明如下：Q—P=(zn2一m+l)(m2+m+1)—(m+l)2(?n—l)2=(m2+l)2—

m2-(m2-I)2=(m24-1+m2-l)(m24-1-m2+1)-m2=4m2-m2=3m2.???m工0,???3m2>

0.：.Q—P>0.：.Q>P.

【解析】略

19.【答案】原式=12孫+18y2；x=J,y-原式=2.5.

?34

【解析】略

20.【答案】解：(x+2y)(1-2y)+(x+y)(x2-x+4y)-3xy=x2-4y2+x3-x2+4xy+x2y-

xy+4y2-3xy=x3+/y.當％=-1,y=2時，原式=(-1)34-(-1)2x2=-1+2=1.

【解析】略

21.【答案】解：設AB=%,BC=y,由題意，得2(x+y)=16,即x+y=8①，

又，.四個正方形的面積和為68,，2/+2y2=68,即/+y2=34②,

①的兩邊平方得(x+y)2=64,即/+2孫+丫2=64,將②代入，得2xy=30,，xy=15,即長方形

48CD的面積為15.

【解略

22.【答案】解：原式=9/-4+/-2%=10/一2%一4,v5x2-X-1=0,/.5x2-x=l,

10x2-2x=2,.,.原式=2-4=—2.

【解析】略

23.【答案】-4y2；

2

a+l'

【解析】(l)x(x-4y)-(x-2yA

=x2-4xy—x2+4xy—4y2

=-4y2；

4aQ+1

(2)E?(口+D

_4aQ+1+Q—1

一(a+l)(a—1)a—1

_4aa—1

一(a+l)(a—1)2a

2

=a+T'

(1)根據(jù)單項式乘多項式和完全平方公式將題目中的式子展開，然后合并同類項即可;

(2)先算括號內的式子，再算括號外的除法即可.

本題考查整式的混合運算和分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

24.【答案】(a+b)2,。2+2帥+爐(兩者可以交換位置);

22

(Q+b)2=a+b+2ab；

①14,②6

【解析】(1)解：由題意得，該正方形的面積可表示為(a+b)2或。2+2立+82,

故答案為：(a+b)2,小+2融+匕2(兩者可以交換位置)；

2

(2)解：由(1)題結果可得(Q+by=+2ab4-b,

22

即(Q+bp=a+b+2ab,

故答案為：(a+b)2=a2+b2+2ab；

(3)解：①由(2)題結果9+切2=。2+62+2。人可得必=婦*至迫，

--=a+b=8,a2+b2=36時，

即昉的值是14；

@vx2-2x-l=0,

1.

???x—X=2,

.?《一乎=/+或-2=4,

，+妥=4+2=6,

即/+妥的值是6.

(1)根據(jù)圖形面積整體求解和部分求和的方法列式表示；

(2)結合(1)題結果可得(a+b)2=a2+b2+2ab；

(3)①由(2)題結果變形得ab=(。+爐：次+序),再將。+匕=8,Q2+/=36代入進行求解；②先將"一

2%-1=0變形為不一￡二2,再平方整理即可.

本題考查了完全平方公式的幾何背景和轉化，熟練運用轉化公式是解題的關鍵.

25.【答案】(a+b)2=(a-b)2-4ab