第一章集合、常用邏輯

用語、不等式

§1.1集合

【課標(biāo)要求】1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義2理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相

等關(guān)系.3.會(huì)求兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使

用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算.

■落實(shí)主干知識(shí).

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,用符號(hào)且或更表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描達(dá)法、圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

集合非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本關(guān)系

⑴子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合力，B,如果集合力中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素，就稱

集合力為集合8的子集，記作旦(或

(2)真子集：如果集合力￡4,但存在元素工￡8,且登力，就稱集合力是集合8的真子集，記作

史蓬(或4告).

(3)相等：若4EB,且恒1,則力=3.

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為。.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子

集.

3.集合的基本運(yùn)算

\表示

集合語言圖形語言記法

運(yùn)

并集《小心兒或工￡8}(正

交集3入0,且工(3BACB

補(bǔ)集{小￡U,且xW川CL-

3自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

⑴集合(x￡N*=",用列舉法表示為1-1,0,1}.(X)

⑵區(qū)產(chǎn)/+1}=岫=聲]}={(*y)爐=/+1).(X)

⑶若le-x},則L1或—1.(X)

(4)對(duì)任意集合力，B,都有(力介4)口/U4).(J)

2.(2025?榆林模擬)設(shè)集合4={-2,-I,0,1,2],8=3(%+1)(.3)20},則4Cl(C通)等于()

A.{-2,-1,0}-2}

C.{0,I,2)D.{1,2}

答案C

解析因?yàn)镃RB={A|(X+1)(x-3)<0}={x\-1<x<3},

所以』n(CR8尸{0,112}.

3.已知集合4={-1,0,1},5={M?lWxWl},則()

A.A=BB./A8=0

C.BQ.4D.J呈B

答案D

解析因?yàn)榧狭?{-1,0,1},8={x|-lWxWl},所以月中元素都屬于8,且4X8,所以4是5的真子集.

4.已知集合止{x|-g<3},N={x\x^a,〃WR},若MC\N=M,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

答案(-8,-1]

解析因?yàn)镸nN=M,所以MGN,所以aW-1.

口微點(diǎn)提醒

1.掌握有限集子集個(gè)數(shù)的結(jié)論

若有限集4中有〃個(gè)元素，則[的子集有2〃個(gè)，真子集有(2"-1)個(gè)，非空子集有(2〃-1)個(gè)，非空真子集有(2〃-

2)個(gè).

2.靈活應(yīng)用兩個(gè)常用性質(zhì)

(i)cC,(^nz?)=(cn)u(cuB).

(2)CM4U8)=(CL-J)n(CuB).

3.牢記兩個(gè)注意點(diǎn)

(1)在應(yīng)用條件[UB=B=ACB=AoANB時(shí)要樹立分類討論的思想，將集合力是空集的情況優(yōu)先進(jìn)行討論.

(2)在解答集合問題時(shí)，要注意集合元素的特性，特別是互異性對(duì)集合元素的限制.

??探究核心題型??

題型一集合的含義與表示

例1(1)(多選)下列各組中"，。表示不同集合的是()

A.M={3,-1),P={(3,-1)}

B.M={(3,1)},P={(\,3)}

C.A/={y[y=x2+i,x￡R},P={x[x=/2+l,/WR}

D.M={y\y=x2-\,x￡R},P={(x,y)\)^=x2-1,x￡R}

答案ABD

解析選項(xiàng)A中，A/={3,-1}是數(shù)集，0={(3,?1)}是點(diǎn)集，二者不是同一集合，故MWP；

選項(xiàng)B中，(3,1)與(1,3)表示不同的點(diǎn)，故M關(guān)尸；

選項(xiàng)C中，“=刨尸/+1,xGR}=[l,+8),尸={小=1+1,/eR}=[l,+8),故加=。；

解得,二°，或■

(m=1[m=-1,

當(dāng)〃尸1時(shí)，不滿足集合元素的互異性，

故加=-1,n=0,m2Q25+n2O25=(-1)2O2S+O2025dl.

題型二集合間的基本關(guān)系

例2(1)(2025?青島模擬)已知全集。=R集合4B滿足盤(力八8),則下列關(guān)系一定正確的是

()

A.A=BB.BQA

C.jn(CuB)=0D.(CuA)QB=^

答案C

解析因?yàn)榧狭Γ?滿足4G(月D8),故可得4G8,

對(duì)A,當(dāng)4為8的真子集時(shí)，不成立；

對(duì)B,當(dāng)/為8的真子集時(shí)，也不成立；

對(duì)c,/n(c網(wǎng)=。，恒成立；

對(duì)D,當(dāng)4為8的真子集時(shí)，不成立.

(2)(2025?揚(yáng)州模擬)已知集合力=",2一3%E10},B={x\m4-1<x<2m-1}.若“UB=4,則實(shí)數(shù)〃z

的取值范圍為()

A.[3,+8)B.[2,3]

C.(-8,3]D.[2,+8)

答案C

解析由題意，集合/={x*-3x-10W0}={川-2WxW5},

*：AUB=A,

：.BQA.

①若8=。,則BPm<2；

m+1<2m—1,

②若B#。，則,-2Wm+l,解得2W/〃W3.

2m-1<5,

綜上所述，〃忘3.

思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時(shí)，必須考慮空集的情況，否見易造成漏解.

(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿

足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)已知/為全集，若貝")

A.AQBB.BQA

C.CMGCBD.CiBJC1A

答案BC

解析因?yàn)?U8=4所以8G4所以CMGCB

⑵(2025?洛陽模擬)已知全集為R,集合4={x[24<6},B={x\a-4^x^a+4},且NGCRB,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是.

答案他|〃<2或。210}

解析由題可知，

C內(nèi)={小<4-4或x>o+4},

因?yàn)椤闏血所以6W2或22+4,

解得410或

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是SHW-2或。210}.

題型三集合的基本運(yùn)算

命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算

例3(1)(2024?新課標(biāo)全國I)已知集合"{訃53<5},例{?3,?1,0,2,3},則N—等于()

A.{-1,0}B.{2,3}

C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2)

答案A

解析因?yàn)?I={X|-V5<Y<V5},

B={-3,-1,0,2,3},

且lv瀉<2,-2v-返v-1,

所以4rB={-1,0}.

(2)(2023?全國甲卷)設(shè)全集U=Z,集合M={x|x=3A+l,YZ},N={x\x=3k+2,,Z},則Cu(MUN)

等于()

A.{x\x=3k,%￡Z}

B.{x|x=3hl,JteZ}

C.{x\x=3k-2,kGZ}

D0

答案A

解析方法一M={…,-2,1,4,7,10,…},N={-,-i,2,5,8,11,…},

所以,WUN={…，-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,-),

所以Ct<MU^)={—,-3,0,3,6,9,,??},其元素都是3的倍數(shù)，

即C”MU/V)={x|x=3女，MZ}.

方法二集合MUN表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補(bǔ)集是恰好被3整除的整數(shù)集.

命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)

例4(2024?佛山模擬)已知集合4=334%<7},B={x\x>m},若(CR4)U8=R,則用的取值范圍是

()

A—3)B.(3,2)

C.(-8,7)D.(7,+8)

答案A

解析方法一由集合力={x|3Wx<7},B={x\x>m],可得C港={小<3或x27},

因?yàn)?CRA)U8=R,則滿足加<3.

方法二因?yàn)?lt;={x|3Wx<7},8={小>〃?},

(CJU)U8=R,

所以￡8,所以m<3.

思維升華對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的

元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況.

跟蹤訓(xùn)練3⑴侈選舊知集合公出爐口田^忘。},8={x[l<xW3},則下列判斷正確的是()

A.AUB=B

B.(CR^)UA=R

C/nB={x|l〃W2}

D.(CRZ?)U(CR4)={X|XW1或X>2}

答案CD

解析由/-3X+2W0,即(x-2)(x-l)(0,

解得1WxW2,

所以^={x|x2-3x+2^0}={x|Kx^2|,

由小{x|l?W3},

所以,4U5={x|lWxW3},故A錯(cuò)誤；

Af\B={x\l<x^2],故C正確;

又CRB=(-8,1]U(3,+8),所以{CR8)U/=(-8,2]U(3,+8),故B錯(cuò)誤；

C。=(-8,I)u(2,4-00),所以(CRB)U(CR/Q=(-8,1]U(2,+8),故D正確.

(2)設(shè)集合4={小<2或工24},4={x|aWxW〃+l},若(C“加4=。,則。的取值范圍是()

A.aW1或a>4B.a〈l或

C.a<\Dz/>4

答案B

解析由集合力={小<2或Q4},得CR4={X|24V4},又集合B={x|a?+1;且(C,則〃+1<2

或心4,即0<1或a24.

課時(shí)精練

(分值:74分)

知識(shí)過關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)

2

1.(2025?南寧模擬)若集合A={x\\x\^2}lB={x\x<4x},則4U6等于()

A.{x|0WxW2}B.3?2WxW4}

C.{M-2Wx<4}D.{x|0〈xW2}

答案C

解析4={M-2WxW2},X2<4,V<=>.V(X-4)<0?>0<X<4,所以8={x|0<x<4},

所以,4U5={42Wx<4}.

2.(2024懷化模擬)已知集合加{11,2,3,4,5},N={T,2,4},P=MCN,則尸的真子集共有()

A.3個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

答案c

解析因?yàn)镸={-1,1,2,3,4,5},N={\,2,4},所以六2,4},所以P的真子集共有23-

1=7(個(gè)).

3.(2025?河北聯(lián)考)已知集合力={1,2,3},則集合3={(ay)\x^A,yL,歸引J}中所含元素的個(gè)數(shù)為

()

A.2B.4C.6D.8

答案C

解析因?yàn)?={1,2,3),所以8={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},8中含6個(gè)元素.

4.我們把含有有限個(gè)元素的集合/叫做有限集，用card(N)表示有限集合力中元素的個(gè)數(shù).例如，A={a,b,

c},則card(/)=3.容斥原理告訴我們，如果被計(jì)數(shù)的事物有4B,C三類，那么，card(/iUUC)=card(J)

+cardB)+card(C)Yard(4n8)-card(ZnC)-card(4nC)+card(力nBClC).某校初一四班有46人在寒假參加體育訓(xùn)練,

其中足球隊(duì)25人，排球隊(duì)22人，游泳隊(duì)24人，足球排球都參加的有12人，足球游泳都參加的有9人，

排球游泳都參加的有8人，則三項(xiàng)都參加的人數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析設(shè)集合4=國、是參加足球隊(duì)的學(xué)生},

集合B={x[x是參加排球隊(duì)的學(xué)生},

集合C={xh-是參加游泳隊(duì)的學(xué)生》,

則card(?Q=25,card(8)=22,card(O=24,

cardan8)=12,cardedQ=8,carc(jnC)=9,

設(shè)三項(xiàng)都參加的有，〃人，即card(nn8nC)=〃?，又card。U8U。=46,

所以由card(JU5UQ=card(^)+card(^)+card(C)-card(/in^)-card(5nC)-card(JClC)4-card(jn^nC),

得46=25+22+24-12-8-9+〃?，解得〃尸4,

所以三項(xiàng)都參加的有4人.

5.(2025?宜賓模擬)已知集合4={2〃-1,a2,0},B={\-a,a-5,9),若4C18={9},則實(shí)數(shù)。的值為()

A.5或-3或3B.5

C.3D.-3

答案D

解析因?yàn)椋?{2*1,解0},B={\-a,a-5,9}且-D8={9},

所以9W4若2如1=9,則0=5,

此時(shí)，4={9,25,0},B={-4,0,9},不滿足皿8={9},故舍去；

若〃=9,解得。=3或。=-3,

當(dāng)。=3時(shí)，1-折〃-5,集合8不滿足集合元素的互異性，故舍去；

當(dāng)所-3時(shí)，A={-7,9,0},B=[4,-8,9},滿足4nB={9},符合題意.

綜上可得。=3

6.（2025?寶雞模擬）若集合A={x^網(wǎng)/_2%+1=0}中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a等于（）

A.lB.OC.2D.0或1

答案D

解析當(dāng)。=0時(shí)，由加_23+1=0可得尸|,滿足題意；

當(dāng)40時(shí)，由加?2、+1=0只有一個(gè)根需滿足J=（-2）2-4a=0,解得a=\.

綜上，實(shí)數(shù)。的值為0或L

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共18分）

7.已知集合M={-1,1},N={x\nvc=\},且NGM,則實(shí)數(shù)機(jī)的值可以為（）

A.-2B.-lC.OD.1

答案BCD

解析當(dāng)2。時(shí)，滿足NGA/,此時(shí)加=0；

當(dāng)NW。時(shí)，"?W0,

解加尸1可得，x=^-.

m

因?yàn)樗?=_1或1=1.

mm

當(dāng)工-1時(shí)，m=-\；

m

當(dāng)[1時(shí)，m=\.

m

綜上所述，機(jī)=0或m=-\或m=1.

8.（2025?武漢模擬）圖中陰影部分表示的集合是（）

A.MC(CuN)

BWA(CuM)

C.MClC”Mn/V)

D.(CL,A7)n(CL'/V)

答案AC

解析將全集U分成如圖所示的4個(gè)區(qū)域，M=?+?,N=?+?,U=?+?+?+?,

對(duì)于A,C④，則A/n（Cu，V）=@,故A正確；

對(duì)于B,Cu2①+②，則M1（CuM）=②，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,③，cM/nN）=O）+②+④，故vnc加切19=④，故c正確；

對(duì)于D,（CuM）n（C網(wǎng)=①，故D錯(cuò)誤.

9.對(duì)于集合力，B,定義/岳曲邑，目X生8},下列命題正確的有（）

A.若4-B=A,貝U力「IB=z

B.若4UB=4,貝!M-8=CAB

C.若4={X￡N"|-1WX<5},B={x\x^2,或x>3},則4-8={3}

D.若4={巾20},5={M-3&W3},則8"={R-3WxW0}

答案ABC

解析因?yàn)樽?={小￡4且轉(zhuǎn)團(tuán)，所以若4-8=4則/D8R,故A正確；

若4UB=4,則尤力，則力-8=C",故B正確；

若/={X￡N*|-1WX<5}={1,2,3,4},B={x\x^2,或x>3},則4-8={3},故C正確;

若4={小，0},8={M-3WXW3},則8-4{M?3WX〈0},故D錯(cuò)誤.

三、填空題（每小題5分，共15分）

10.（2024?廈門模擬）設(shè)集合M={R-2WxW2},N={y\y=2x+\],則MU（C西）=.

答案（M,2]

解析由題知N=O>1},

所以CRN={>UW1},

故MU（CRM=（-8,2].

11.（2024?襄陽市第四中學(xué)模擬）已知集合力中ez|-^ez},則用列舉法表示公—

答案{20,2,4}

解析由題意可得X-1可為±1,±3,

即x可為0,2,-2,4,BPA={-2,0,2,4}.

12.（2024?南京模擬）已知非空集合/={川〃-1?<24+3},8=3-2WxW4}/n（C5）=力，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

答案{aQN5或-4<a<—|j

解析因?yàn)椤稙榉强占?，則。-1<2。+3,

解得口>4CR8={小<-2或x>4},

若“|（C石）=4,則公（CRB）,

則2K3W-2或a-124,

解得或。25,又。>4

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為{a|aN5或—4VaW-》

能力拓展

13題6分，14題5分，共11分

13.（多選）設(shè)S是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于任意的明〃￡S（a與人