第一章集合、常用邏輯

用語、不等式

§1.1集合

【課標要求】1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義2理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相

等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使

用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算.

-----------------------------落實主干知識-----------------------------

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于,用符號2或星表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描達法、圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

集合非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

NN"（或N+）ZR

2.集合的基本關系

⑴子集：一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合8中的元素，就稱

集合A為集合B的子集，記作風(或gA).

(2)真子集：如果集合，但存在元素3,且xCA,就稱集合4是集合3的真子集，記作A

呈8(或B^A).

⑶相等：若4G8,且恒4,貝!M二及

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子

集.

3.集合的基本運算

\表示

運《\集合語言圖形語言記法

并集-U,或入七例

交集［中，且x-8}/in?

補集{小,且xWA}CM?Ld

B自主診斷

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“J”或“X”)

(1)集合{/￡1\*二R，用列舉法表示為{-1,0,1}.(X)

⑵{川=?+1}={y[)=f+l[={(x,y)lj=-r+l|.(X)

⑶若,x},則戶-1或.E.(X)

(4)對任意集合A,B,都有(ACl8)q(AU8).(J)

2.(2025榆林模擬)設集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x+1)(^-3)>0}f則AA。?等于()

A.{-2,-1,0)B.{-1,-2)

C.{0,1,2)D.{1,2}

答案C

解析因為「R8={x|(x+l)(x-3)<()}={斗1V<3},

所以40([2)={0,1,2).

3.已知集合4二{",0,1},8={X-14W1},貝！)()

A.A=BB.ACIB=0

C.8GAD.A呈8

答案D

解析因為集合A={“，0,1},B=3-lWxWl),所以4中元素都屬于B,且AW8,所以4是8的真子集.

4.已知集合M={x|-l<x<3},N={x\x^a,〃￡R},若MCI2M,則實數(shù)。的取值范圍是.

答案(-8,-1]

解析因為MC\N=M,所以M7N,所以aW-1.

國微點提醒

L掌握有限集子集個數(shù)的結論

若有限集A中有〃個元素，則A的子集有2”個,真子集有(2〃-1；個,非空子集有(2〃-1)個,非空真子集有(2〃-

2)個.

2.靈活應用兩個常用性質

(l)(M4n8)=(CM)U(C通).

⑵CMAUB)=(CuA)n(CM).

3.牢記兩個注意點

⑴在應用條件時要樹立分類討論的思想，將集合A是空集的情況優(yōu)先進行討論.

⑵在解答集合問題時，要注意集合元素的特性，特別是互異性對集合元素的限制.

---------------------------探究核心題型----------------------------

題型一集合的含義與表示

例1(1)(多選)下列各組中M,。表示不同集合的是()

A.M={3,?1},P={(3,-1)}

B.M={(3,1)},P={(1,3)}

C.M={y\y^=Jc+l,x^R],P={4r=/2+l,t^R}

D.MWMJUM-I..YGR},P={(.r,y)|y=./-l,xWR}

所以集合C={0,1,2,3,4,6}；集合C的元素之和為0+1+2+3+4+6=16.

(2)已知,〃￡R,若集合{m,4l]={ni2,m+n,0},則加2025+〃2025的值為()

A.-2B.-lC.lD.2

答案B

解析因為{巾，',1]={/?2,in+n,0),“7WO,

F=o,

m

所以，m=m+n,

m2=l,

仁nfn=0,

解得n=0,或《

m=1[m=-1,

當m=\時，不滿足集合元素的互異性，

O2：,20252O2；2O25

故〃?=-1,〃=0,ITT+n=(-1)1+0=-1.

題型二集合間的基本關系

例2(1)(2025?青島模擬)已知全集U=R，集合A,8滿足,則下列關系一定正確的是

()

A.A=BB.BCA

c.4n(Ct/?)=0r).(C^)n?=0

答案c

解析因為集合A,8滿足AG(AnB),故可得AG8,

對A,當A為8的真子集時，不成立；

對B,當4為8的真子集時，也不成立；

對C,An(Cufi)=0,恒成立；

對D,當A為3的真子集時，不成立.

(2)(2025?揚州模擬)已知集合A={x|%2-3%W10},+14xW2m-1}.若AU,則實數(shù)m

的取值范圍為()

A.[3,+8)BJ2,3]

C.(-8,3]D.[2,+8)

答案C

解析由題意，集合A={x*-3x-10<0}={.t|-24<5},

*：AUB=A,

:?BJA.

①若B=0,貝m+1>2m-1,即m<2；

m4-1<2m-1,

-2<m+l,解得2W加<3.

(2m.—1<5,

綜上所述，/〃W3.

思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解.

(2)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)所滿

足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

跟蹤訓練2(1)(多選)已知/為全集，若,貝")

A.AG8B.BQA

答案BC

解析因為Ai)B=A,所以BQA,所以。4乩8.

(2)(2025?洛陽模擬)已知全集為R,集合A={x[2vx<6},8={x|a?4W兀Wa+4},且,則實數(shù)a

的取值范圍是.

答案伍|4忘-2或。210}

解析由題可知BK0,

CRB=|x\x<a-4或x>a+4},

因為AQIRI3,所以6W〃-4或22a+4,

解得。210或aW?2,

所以實數(shù)a的取值范圍是{a[a<-2或10}.

題型三集合的基本運算

命題點1集合的運算

例3(1)(2024?新課標全國I)已知集合4={45<?<5},8={-3,,0,2,3},貝!等于()

A.{-1,0)B.{2,3}

C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

答案A

解析因為A={x|-V5<x<V5},

B={-3,-1,0,2,3),

且,-2<-V5<-l,

所以4nB={-1,0).

(2)(2023?全國甲卷)設全集U=Z,集合何={小=3%+1,kwZ),N={x\x=3k+2,*Z},則[u(MUN)

等于()

A.{x|x=3Z,ZWZ}

B.{x|x=3hl,kSZ]

C.{x\x=3k-2，心Z}

D.0

答案A

解析方法一M={…，?2,1,4,7,1(),心{…，-1,2,5,8,11,

所以MUN={…,-2,?1,1,2,4,5,7,8,10,11,

所以「〃(MUN)={…，-3,。，3,6,9,其元素都是3的倍數(shù)，

即[(X.MUM={Hv=3k,k￡Z}.

方法二集合MUN表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補集是恰好被3整除的整數(shù)集.

命題點2利用集合的運算求參數(shù)的值(范圍)

例4(2024.佛山模擬)已知集合A={x[3<x<7],8={x|x>〃?},若(CR/1)U8=R,則"?的取值范圍是

()

A3,3)B.(3,+oo)

C.(-8,7)D.(7,+8)

答案A

解析方法一由集合4={x[3Wx<7},B={x\x>m},可得[RA={X|X<3或x27),

因為(CRA)UB=R,則滿足m<3.

方法二因為4={x[3Wx<7),B={x\x>m],

(CRA)U8=R,

所以AQB,所以m<3.

思維升華對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的

元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況.

跟蹤訓練3(1)(多選)已知集合4={小2-3.丫+200},8={x[l<xS3},則下列判斷正確的是()

A.AUB=B

B.([RB)UA=R

C.AnB=*|14W2}

D.(「RB)U([R4)={HTW1或X>2}

答案CD

解析由f?3x+2W0,即(x-2)(x-l)W0,

解得,

所以ANHrMx+ZWOgxIlWxW2),

由8={Ml<xW3},

所以AU8={X|1WJVW3},故A錯誤；

4n8={x[l<xW2},故C正確；

又CR6=(-8,1]U(3,+8),所以([R8)UA=(-8,2]U(3,+8),故B錯誤；

CRA=(-8,1)U(2,+8),所以([RB)U(CRA)=(-8,1]U(2,+8"故D正確.

(2)設集合A={.很<2或Q4},8={血《+1匕若([逐)08=0,貝I」。的取值范圍是()

A.QW1或。>4B.〃<1或

C.a<]D.a>4

答案B

解析由集合A={x|x<2或x24},得［叢=324，<4},又集合8=3aWxWa+l}且（黑人）門8=。，則〃+1<2或

心4,即a<\或々24.

課時精練

（分值：74分）

I。知識過關

一、單項選擇題（每小題5分，共30分）

1.（21）25?南寧模擬）若集合A={x||x|W2},^={4x-2<4.r）,見JAU/等于（）

A.{x|0?}B.{訃2WxW4}

C.{斗2Wx<4}D.{鄧KxW2}

答案C

解析A={x|-2WxW2},fv4gx（14）<0=0<x<4,所以B={x|0y<4},

所以,4U5=3-2<x<4}.

2.（2024.懷化模擬）已知集合M={-\,1,2,3,4,51,/V={l,2,4）,P=MCN,則尸的真子集共有（）

A.3個B.6個C.7個D.8個

答案C

解析因為M={-1,1,2,3,4,5}，心{1,2,4},所以P二MDN={1,2,4},所以尸的真子集共有2?-

1=7（個）.

3.（2025?河北聯(lián)考）已知集合4=（1,2,3},則集合比{（x,y）|x￡A,y￡A，岳ygA}中所含元素的個數(shù)為

（）

A.2B.4C.6D.8

答案C

解析因為A={\,2,3),所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)),B中含6個元素.

4.我們把含有有限個元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的個數(shù).例如，A={a,b,

c],則card(A)=3.容斥原理告訴我們，如果被計數(shù)的事物有A,B,C三類，那么，card(AC)=card(4)

+card聞+card(C)-card(An8)-card(8QC)-card(AnO+card(AC8nC).某校初一四班有46人在寒假參加體育訓練，

其中足球隊25人,排球隊22人，游泳隊24人，足球排球都參加的有12人，足球游泳都參加的有9人，

排球游泳都參加的有8人，則三項都參加的人數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析設集合A:{.也是參加足球隊的學生},

集合B={.也是參加排球隊的學生},

集合C={.也是參加游泳隊的學生},

貝I]card(A)=25,card(5)=22,card(C)=24,

card(AAB)=12,card(BClC)=8,card(AAC)=9,

設三項都參加的有用人，即cardanBPC)=/72,又card(/lUBUC)=46,

所以由card(AU8UC)=card(A)+card(B)+card(Q-card(AAB)-card(SnC)-card(/\ClC)+card(AAAC),

得46=25+22+24-12-8-9+〃？，解得川二4,

所以三項都參加的有4人.

5.(2025?宜賓模擬)已知集合4={2〃-1,a2,0(,B=[\-a,a-5,9),若AC3={9},則實數(shù)。的值為()

A.5或-3或3B.5

C.3D.-3

答案D

解析因為A={2a-\,a2,0),B={l-a,a-5,9}且4CI8={9},

所以9WA.若2a-1=9,貝I。=5,

此時4={9,25,0},B={-4,0,9},不滿足AC8={9},故舍去；

若a2=9,解得a=3或a=-3>,

當。=3時，l-a=a-5,集合8不滿足集合元素的互異性，故舍去；

當a=3時，A={-7,9,0),B={4,-8,9),滿足4n5={9},符合題意.

綜上可得a=-3.

6.（2025?寶雞模擬）若集合A={x￡R|aFZ+l=O}中只有一個元素,則實數(shù)。等于（）

A.lB.OC.2D.0或1

答案D

解析當a=0時，由6tr-2x+l=0可得r=1,滿足題意；

當a關0時，由af-Zr+lR只有一個根需滿足/=（-2六4〃=0,解得a=l.

綜上，實數(shù)a的值為0或1.

二、多項選擇題（每小題6分，共18分）

7.已知集合M={-1,1},心出必=1},且NGM,則實數(shù)，〃的值可以為（）

A.-2B.-lC.OD.1

答案BCD

解析當20時，滿足NJM,此時〃-0；

當NW0時，m#0,

解nix=1可得，x=—.

m

因為NQM,所以L=1或2=1.

mm

當工=-1時，〃?=」;

m

當工=1時,m=\.

m

綜上所述,m=0或m=-1或m=1.

8.（2025?武漢模擬）圖中陰影部分表示的集合是（）

A.MP(CfW)

B.NCKhM

CMlMMClN)

D.&M)nQM

答案AC

解析將全集U分成如圖所示的4個區(qū)域，M=③+④,2②+③，U=?+?+?+?,

對于A,"2①十④,則Mn([網(wǎng):④,故A正確；

對于B,[四=①+②，則NCI&M尸②，故B錯誤；

對于c,MnN=③，[MA/nN尸①+②+④，故二④，故C正確；

對于D,(CuM)n&N)=①，故D偌誤.

9.對于集合A,B,定義A-8={x|x￡A,且遙8},下列命題正確的有()

A.SA-B=A,貝！|An8=0

B.若AUB=A,則

C.SA=(.reN：>|-l<x<5},8二{x|xW2,或x>3},則A-B={3}

D.若何小20},8={注3?},則B-A={N-3WxW0}

答案ABC

解析因為A-8={x|x￡A,且.出8},所以若4-8=4,則An8=0,故A正確；

若AU8=4,貝I]BQA,貝ijA-B=[AB，故B正確；

ftA=(xGN*|-lCx<5)=|l,2,3,4),B=(X|A<2，或x>3),則人-8=(3},故C正確；

若A={刀打力。},8={R.34W3},則8-A={M-3WK0},故D錯誤.

三、填空題(每小題5分，共15分)

10.(2024?廈門模擬)設集合M=3-2WxW2},2{坨=241},則MU([RN)=.

答案(―,2]

解析由題知2{山>1},

所以CR2{M)W1},

故MU([RN)=(-8,2],

11.(2024.襄陽市第四中學模擬)已知集合A二3eZ^ez],則用列舉法表示A=,

答案{-2,0,2,4}

解析由題意可得41可為±1,土3,

即x可為0,2,-2,4,即A=｛-2,0,2,4）.

12.（2024?南京模擬）已知非空集合4=｛出-?<2〃+3｝,8=｛斗2&±4｝工「（［畫）必，則實數(shù)。的取值范圍為

答案｛。,25或一4〈。工一|｝

解析因為A為非空集合，則&1<2〃+3,

解得“>-4,黑8=｛巾<-2或x>4｝,

若A「I（［R8）=A,則AG&B）,

貝ij2a+3W-2或小124,

解得“We或G5,又e-4,

綜上所述，實數(shù)〃的取值范圍為同心5或一4VaW-斗

10能力拓展

13題6分，14題5分，共11分

13.（多選）設S是實數(shù)集R的一個非空子集，如果對于任意