胡不歸問(wèn)題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-/+版+3的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于

點(diǎn)C（3,0），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,-1）,連接PD,則y/2PD+PC的最小值是（）

A.4B.2+2正C.2>/2D.-+-V2

23

h

2.如圖，在AA8C中，ZA=90°,N8=60。，A8=2,若。是8。邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2Ao+QC的最

小值（）

4.2、q+6R.6C.6+3D.4

A

BDC

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二.次函數(shù)y=f-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與），軸交于

點(diǎn)B（0,-3），若尸是戈軸上一動(dòng)點(diǎn)，：昌、0（0,1）在），軸上，連接PD,則y/2PD+PC的最小值是（）

4.4B.2+2及C.2>/2D.-+-V2

23

r

4.如圖，A43C中，AB=AC=iO,tanA=2,3EJLAC干點(diǎn)E,。是線段8E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

CD+—BD的最小值是___________?

5

5.如圖，四邊形ABCO是菱形，A3=8,且N/$C=60。，M為對(duì)角線8。（不含8點(diǎn)）上任意一點(diǎn),

則AM+-BM的最小值為_(kāi)_________.

2

6.如圖，矩形4BC。中，A8=3,BC=+,E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)、,

小值為

7.如圖，直線y=x-3分別交工軸、y軸于B、4兩點(diǎn),

gPC+PB的最小值為

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直淺/分別交x、y軸于B、。兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3,0）、（0,-3）,

且NOCB=60。，點(diǎn)P是直線/上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,則AP+

9.如圖，在AACE中，CA=CEfZG4E=30°,半徑為5的OO經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,CE是00的切線，且圓

的直徑A8在線段AE上，設(shè)點(diǎn)。是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則OQ+』C。的最小值為

10.如圖，「ABC。中，ZZMB=30°AB=6fBC=2,P為邊CQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則2依+尸￡＞的最

小值等于.

11.如圖，-ABC。中，N4=60°,AB=6,AD=2,尸為邊CD上一點(diǎn)，則石PO+2P3的最小值

為_(kāi)__________

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=等1-6分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)、,若。為x

軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則28C+AC的最小值為

13.如圖，在AABC中，AB=AC=4,ZC4B=30°,ADLBCt垂足為。，P為線段4。上的一動(dòng)

點(diǎn)，連接P8、PC.則R4+2尸3的最小值為

14.已知NAQ3=30。，OM=2,。為08上動(dòng)點(diǎn)，求MO+,。。的最小值.

2

15.拋物線y=ox?+/?x+6分別交x軸于點(diǎn)4(1,0),B(-3,0),交)軸于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x

軸相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M為線段。。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且MV_LAC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)發(fā)段MN,NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的理由；

(3)在M,N移動(dòng)的過(guò)程中，是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫(xiě)出理由.

2

16.如圖，矩形OA8C的頂點(diǎn)A、C分別在小)軸的正半軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為僅J5,4),一次函數(shù)

)，=一彳-/+〃的圖象與邊。。、AB、x軸分別交于點(diǎn)。、E、F,NO回0=30。，并且滿足。

點(diǎn)M是線段。月上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求b的值;

(2)連接OM,若AODW的面積與四邊形。4EM的面積之比為1:3,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)求OM+^M/的最小值.

2

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線4:)，=#x+J5和直線12:y=Sx+b相交于y軸上的點(diǎn)B,

且分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C.

(1)求AABC的面積;

(2)點(diǎn)E坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)產(chǎn)為直線//上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)4+。尸最小時(shí),

點(diǎn)歹的坐標(biāo)，并求出此時(shí)尸E+也OP的最小值.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y二-3工一4分別與x,y軸交于點(diǎn)A,B,拋物線y=—x2+bx-\-c

318

恰好經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式:

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,6),將AACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9()。得到AEb,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)￡.

①寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上;

②若點(diǎn)P是)，軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo).

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=5x+2與x軸交于點(diǎn)A,與)，軸交于點(diǎn)C.拋物線y=or2+bx+c

的對(duì)稱(chēng)軸是x=-3且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

2

(1)求二次函數(shù)y=公2+/zv+c的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，求AP+2PC的最小值；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A,M,N為頂點(diǎn)的三角形

與AA6C相似？若存在，求出點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第14講三步解決最值問(wèn)題之胡不歸(PA+k?PB)

?模型建立

數(shù)學(xué)解讀：從A點(diǎn)出發(fā)，AC上的速度V2>AB和BC上的速度q,問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)C在什么位置上時(shí)，所用時(shí)間最短。

模型特征：點(diǎn)C在直線上運(yùn)動(dòng)(和阿氏E)對(duì)比)

解題思路：①化成BC+kAC(kVl)

②在動(dòng)點(diǎn)C所在直媒AC的另一側(cè)構(gòu)堂角a,角的一邊為AM,使得sina=k,以AC為斜邊，M?JCE=kAC

③BC+kAC轉(zhuǎn)化為BC+CD,即過(guò)B作AM的垂線BD即為所求。

國(guó)例題精講：

【例1】1.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)解析式為丫=：/一工一條點(diǎn)E坐標(biāo)為6,一蓑)，

若點(diǎn)P為％軸上任意一點(diǎn)，求PE的最小值.

【分析】

1.確定類(lèi)型：求的是類(lèi)似于PM+kPN的值，且動(dòng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，所以是胡不歸模型。

2.確定k的值：先把題中要求的算式變換成PM+kPN(kVl),如PM+2PN變換成2(；PM+PN),則k的值為也

本題求P￡+：P4的最小值，則k=(

oo

2.從圖中找出特殊角a,使得sina=k,本題中，sin/EAog

3.構(gòu)造角：在動(dòng)點(diǎn)P所在直線的另一側(cè)，即x軸的上方構(gòu)造正弦值為:的角，即作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,NFAO4。

作PM1AF,=PM.

4.結(jié)論：PE+|P4=PE+PM,當(dāng)EMJLAF時(shí),PE+PM最小。

5.求值：利用直角三角形EFM中/F的正弦值求EM的長(zhǎng)。

E

用真題演練:

一、單選題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-/+bx+3的圖像與x軸交于4、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C(3,0),

若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為連接PD,則后PO+PC的最小值是()

A.4B.2+2&C.272D.-+-V2

23

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)。作/V_LBC于J,過(guò)點(diǎn)。作。從18c于從根據(jù)/PD+PC=&(PD+^PC)=、&(PD+PJ),求

出0P+P)的最小值即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：連接8C,過(guò)點(diǎn)P作E/_L8C于過(guò)點(diǎn)。作于，.

???二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖像與x軸交于點(diǎn)C(3,0),

：,b=2,

???二次函數(shù)的解析式為y=-/+2%+3,令y=0,-x2+Zr+3=O,

解得x=-1或3,

?"(-h0),

令x=0,y=3,

:?B(0,3),

：.OB=OC=3,

VZBOC=90°,

：?NOBC=NOCB=45。,

VD(0,-I),

：,OD=\,BD=4,

〈DHIBC,

???NOHB=90。，

設(shè)則8"=%,

\*DH2+BH2=BD2,

.-.x2+x2=42,

Ax=2V2,

：.DH=2V2,

*：PJLCB,

，乙PJC=90°,

，P片號(hào)PC,

:.V2PD+PC=V2(PD+yPC)=、2(P0+PJ)，

?:DP+PJ>DH,

：.DP-^PJ>2V2,

???OP+/V的最小值為2VL

???夜PD+PC的最小值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，得到N08C=

NOCB=45。,P/=^PC是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在2MBe中，Z.A=90°,46=60。，AB=2,若。是8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2力。+DC的最小值（）

A.2V3+6B.6C.V3+3D.4

【答案】B

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1連接AA1AD,過(guò)D作DE_LAC于E,易得2DE=CD,AD=A'D,從而得出

AD+DE=A'D+DE,當(dāng)A，，D,E在同一直線上時(shí)，AD+DE的最小值等于A，E的長(zhǎng)是3,進(jìn)而求出2AD十CD的

最小值.

【詳解】如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A：連接AA：AD,過(guò)D作DE±AC于E

VZBAC=90o,ZB=60o,AB=2

ABH=1,AH=V3,AA'=2V3,ZC=30o

ADE§CD,即2DE=CD

?.?A與A，關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)

.\AD=A'D

AAD+DE=A'D+DE

，當(dāng)D,E在同一直線上時(shí)

AD+DE的最小值等于A'E的長(zhǎng)，

在RLAAA'E中：A'E二sin60oxAA'=yx2V3=3

???AD+DE的最小值為3

???2AD十CD的最小值為6

故選R

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，做完輔助線后先求出AD+DE的最小值是解題關(guān)鍵.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)-2x+c?的圖象與x軸交于4、C兩點(diǎn)，與)，軸交于點(diǎn)8(0,-3),

若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。(0,1)在y軸上，連接P。，則一產(chǎn)。的最小值是()

C.2V2D.|+1V2

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PJ_LBC于J,過(guò)點(diǎn)D作DH_LBC于H.根據(jù)VIPD+PC(PD+日PC)-於(PD+PJ),

求出OP+P/的最小值即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PJ_LBC于J,過(guò)點(diǎn)D作DH_LBC于H.

???二次函數(shù)y=x2?2x+c的圖象與y地交于點(diǎn)B(0,-3),

c=-3,

???二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3,令y=0,x2-2x-3=0,

解得x=-1或3,

AA(-I,0),B(0,-3),

AOB=OC=3,

VZBOC=90°,

:.ZOBC=ZOCB=45°,

VD(0,1),

.?.OD=1,BD=4,

VDH1BC,

.,.ZDHB=90°,

設(shè)?！?x,則8H=x、

+BH"=BD3

???/+/=42,

.*.%=2x/2,

:?DH=2&,

VPJ1CB,

.\ZP/C=9O°,

:?P尸?C,

???\[2PD+PC=V2(PD+yPC)=夜(PO+PJ),

■:DP+PJ>DH,

ADP+P7>2V2,

ADP+PJ的最小值為2&,

.'.V2PD+PC的最小值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題.

二、填空題

4.如圖，UBC中，AB=AC=10,tan/1=2,BE1AC于點(diǎn)E,。是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則。0+當(dāng)8。的最小

值是.

【答案】4V5

【分析】過(guò)點(diǎn)D作。H1AB于H,過(guò)點(diǎn)C作CM14B于M,首先通過(guò)勾股定理及tan4=2求出AE,BE的長(zhǎng)度，然后

根據(jù)等提三角形兩腰上的高相等得出CM=8E,然后通過(guò)銳角三角函數(shù)得出DH=?8Z),進(jìn)而可得出0)+^8。=

CD+DH,最后利用CD+D",CM因可求值.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作。H14B于H,過(guò)點(diǎn)C作CM1AB于M.

1AC,

?WEB=90°,

Vtan/l=—AE=2,

設(shè)AE=a,BE=2a,

vAB2=AE2+BE2

A100=a2+4a2,

.*.a2=20,

Aa=2遮或一2百（舍棄），

：.BE=2a=4V5,

VAB=AC,BE1AC,CMLAB,

?"M=BE=4衣（等腰三角形兩腰上的高相等）

???408H=4力BE,乙BHD=LBEA,

DHAE

?.?smZ-.DBH=——=——=后一,

BDAB5

J5

：.DH=yBD,

；?CD+匹BD=CD+DH,

：,CD^DH>CM,

?"。+學(xué)8”4G

?'CD的最小值為4祈，

故答案為：4V5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等，學(xué)會(huì)添加輔助線并利用轉(zhuǎn)化

的思想是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，四邊形A4C。是菱形，"=8,且NA6C=60。，M為對(duì)角線3。（不含4點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則

的最小值為.

L

-----------------------g

【答案】4V3

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AT_LBC于T,過(guò)點(diǎn)M作MH_LBC于H,根據(jù)菱形的性質(zhì)和30。角的直角三角形的性質(zhì)

可得MH=^BM,于是可得AM《BM的最小值即為AT的長(zhǎng)，再利用解直角三角形的知識(shí)求解即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作ATLBC于T,過(guò)點(diǎn)M作MH_LBC于H.

：四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

/.ZDBC=-ZABC=30°,

2

VMHIBC,??.NBHM=90。，

2

2

VAT±BC,AZATB=90°,

.\AT=AB*sin60°=4x^3,

VAM+MH>AT,

.*.AM4-MH>4V3,

.\AM-HBM>4V3,

AAM-^BM的最小值為4V5,

故答案為：4>/5.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、30。角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短以及解直角三角形等知識(shí)，屬于?？碱}

型，熟練掌握上述知識(shí)、明確解答的方法是解題關(guān)鍵.

6.如圖，矩形A8CO中AB=3,?C=V3,E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,則的最小值為

【詳解】思路引領(lǐng)：在射線AB的下方作NMAB=30。，過(guò)點(diǎn)E作ET_LAM于T,過(guò)點(diǎn)C作CH_LAM于H.易證

ET=|AE,推出gAE+EC=CE+ET2CH,求出CH即可解決問(wèn)題.

答案詳解：???四邊形ABCD是矩形,

AZB-900,

AtanZCAB=^=A

.,.ZCAB=30°,

???AC=2BC=26，

在射線AB的下方作/MAB=30。，過(guò)點(diǎn)E作ET_LAM于T,過(guò)點(diǎn)C作CH_LAM于H.

VET1AM,ZEAT=30°,

VZCAH=60°,ZCHA=90°,AC=2g,

.?.CH=AC*sin6°=2V3x—=3,

2

*?|AE+EC=CE+ET>CH,

/.1AE+EC>3,

,《AE+EC的最小值為3,

故答案為3.

7.如圖，直線產(chǎn)x?3分別交x軸、y軸于8、A兩點(diǎn)，點(diǎn)C(0,1)在)，軸上，點(diǎn)戶(hù)在x軸上運(yùn)動(dòng)，則V^PC+PB

的最小值為一.

【答案】4

【詳解】思路引領(lǐng)：過(guò)P作PD_LAB于D,依據(jù)AAOB是等腰直角三角形，可得/BAO=NABO=45o=NBPD,

進(jìn)而得到ARDP是等腰直角三角形，故PD=^PB,當(dāng)C,P,D在同一直線上時(shí)，CD±AB,PC-PD的最小值等

于垂線段CD的長(zhǎng)，求得CD的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論.

答案詳解：如圖所示，過(guò)P作PD_LAB于D,

???直線y=x-3分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，

令x=0,則y=-3；令y=0,則x=3,

?1A(0,-3),B(3,0),

AAO=BO=3,

又???NAOB=90。，

/.△AOB是等腰直角三角形，

/.NBAO=ZABO=45°=ZBPD,

???△BDP是等腰直角三角形，

APD=—2PB,

.?.5^PC+PB=V2(PC+yPB)=V2(PC+PD),

當(dāng)C,P,D在同一直線上，即CDJ_AB時(shí)，PC+PD的值最小，最小值等于垂線段CD的長(zhǎng)，

此時(shí)，AACD是等腰直角三角形，

又?：點(diǎn)、C(0,1)在y軸上，

：?AC=1+3=4,

ACD=yAC=2V2,

即PC+PD的最小值為2VL

???加PC+PB的最小值為&x2V2=4,

故答案為：4.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/分別交x、1y軸于4、C兩點(diǎn)，點(diǎn)4、C的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,-3),且

NOC6=6()。，點(diǎn)。是直線/上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,則4P+咚PC的最小值是.

【分析】作NOCE=120。,過(guò)點(diǎn)P作PG_LCE于點(diǎn)G,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得PG二日PC；

當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，APqPC二AP+PG=AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理

即可求解.

【詳解】解：???點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,-3),

/.OA=3,OC=3,

作NOCE=120。，

ZOCB=60°,

則ZOCB=ZBCE=ZFCE=60°,

過(guò)點(diǎn)P作PG_LCE于點(diǎn)G,如圖：

在RtZXPCG中，ZPCG=60°,則NCPG=30。，

ACG=；PC,由勾股定理得PG考PC,

/.AP+yPC=AP+PG,

當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+PG=AG的值最小，

延長(zhǎng)AG交y軸于點(diǎn)F,

VZFCG=60°,ZCGF=90°,

/./CFG=W,

/.CF=2CG,GF=—CF,

2

在Rtz^OAF中，ZAOF=90°,ZOFA=30°,

，AF=2OA=6,OF=b04=3百，

.\CF=OF-OC=3V3-3,

.\GF=y(3V3-3)=g-竽,

??.AG=AF-FG=6-2+*=2+%

2222

即APyPC的最小值為升苧.

故答案為：學(xué).

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，作出合適的輔助線，得到當(dāng)A、P、

G在同一直線時(shí)，AP+^PC-AP+PG-AG的值最小是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在中，CA=CE,Z.CAE=30°,半徑為5的。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,CE是圓。的切線，且圓的直徑在線段

力E上，設(shè)點(diǎn)。是線段4c上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則0D+；CD的最小值為.

4

【分析】過(guò)點(diǎn)。作關(guān)于力E的平行線，過(guò)點(diǎn)。作D”垂直于該平行線于H,可將gCD轉(zhuǎn)化為D，，此時(shí)OD+^CD就等于

0D+DH,當(dāng)。。，共線時(shí)，即為所要求的最小值.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作關(guān)于4E的平行線，過(guò)點(diǎn)。作?！贝怪庇谠撈叫芯€于，，

VCH//AB,JLCAE=30°,OC=OAf

:.Z.HCA=乙OCA=30°,

sinz/ZCD=^=pZ.HCO=60°,

???/D=HD,

.?.OD+Q=OD+DH,

???當(dāng)0,D,，三點(diǎn)共線，即在圖中”在H‘位置，。在D'位置的時(shí)候有0D+D”最小，

.?.當(dāng)。，D,H三點(diǎn)共線時(shí)，OD+：CD有最小值，

此時(shí)OHZ=OCxsin/HCO=OCxsin60°=5x苧=竽，

OD+’D的最小值為竽，

故答案為竽.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問(wèn)題中的胡不歸問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是在于將3。。進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

10.如圖，OABCD中，ZDAB=30°.AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PD的最小值等于.

DPJC

/V7

AB

【答案】6

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PEXAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB〃CD,推出PE《PD,

由此得到當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，此時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上，利用NDAB=30。，ZAEP=90°,

AB=6求出PB+PE的最小值=/B=3,得至I」2PB+PD的最小值等于6.

【詳解】過(guò)點(diǎn)P作PEJ_AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB4CD,

AZEDC=ZDAB=30o,

APE=-PD,

V2PB+PD=2(PB6PD)=2(PB+PE),

???當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，止匕時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上,

VZDAB=30°,ZAEP=90°,AB=6,

APB+PE的最小值=：AB=3,

A2PB+PD的最小值等于6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30。角的問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的

形式是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，在aACE中，C4=CE,NCAE=30。，半徑為5的。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,CE是圓。的切線，且圓的直徑A8在

線段AE上，設(shè)點(diǎn)O是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則OO+gCQ的最小值為.

【分析】作OF平分NAOC,交0O于F,連接AF、CF、DF,易證四邊形AOCF是菱形，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得DF二DO.過(guò)

點(diǎn)D作DH_LOC于H,易得DH^DC,從而有#D+OD=DH+FD.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)

共線時(shí)，DH+FD(即gD+OD)最小，然后在RtaOHF中運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：作OF平分NAOC,交?O于F,連接AF、CF、DF,如圖所示,

VOA=OC,

.*.ZOCA=ZOAC=30°,

/.ZCOR=60°,

則NAOF=NCOF=g/AOC=g(180°-60°)=60°.

VOA=OF=OC,

???△AOF、ACOF是等邊三角形，

.*.AF=AO=OC=FC,

???四邊形AOCF是菱形，

，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得DF=DO.

過(guò)點(diǎn)D作DH±OC于H,則DH=|DC,

々D+OD=DH+FD.

2

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，

當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD(BI^CD+OD)最小,

VOF=OA=5,

：.0H=-0F=-,

22

:?FH=\IOF2-OH2=—

2

即#D+OD的最小值為竽.

故答案為：”.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓半徑相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、

等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，把#D+OD轉(zhuǎn)化為DH+FD是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，。力BCD中乙1=60。，AB=6,AD=2,P為邊CD上一點(diǎn),則J5PO+2PB的最小值為.

B

【答案】6V3

【分析】作PHLAD交AD的延長(zhǎng)線于H,由直角三角形的性質(zhì)可得HP=邛DP,因此

V3PD+2PB=2(yDP+PB)=2(PH+PB),當(dāng)H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)HP+PB有最小值，即gPD十2PB有最小值，即可求

解.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH14D,交AD的延長(zhǎng)線于H,

?.?四邊形43。。是平行四邊形，

AB//CD,

?"4=乙PDH=60°

VPH±AD

:?乙DPH=30°

：.DH=-PDPH=y/3DH=—PD,

2t2

：.V3PD+2PB=2(yPD+PB)=2(PH+PB)

???當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)P,點(diǎn)8三點(diǎn)共線時(shí)，HP+PB有最小值，即gPO+2PB有最小值，

此時(shí)BH上AH,/.ABH=30°,/LA=60°,

：,AH=\AB=3,BH=如AH=3/3

則V5PD+2PB最小值為6次，

故答案為：6>/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí).構(gòu)造直角三角形是

解潁的關(guān)鍵.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)、=當(dāng)％-8分別交x軸、)，軸于A、B兩點(diǎn),若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn),

則24C+AC的最小值為.

【答案】6

【分析】先求出點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)8',可證AA8夕是等邊三角

形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH=1AC,貝IJ28C+4C=2(B'C+CH),即當(dāng)點(diǎn)夕，點(diǎn)C,點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+CH

有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：???一次函數(shù)y=梟-通分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，

工點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)8(0,-V3),

AAO=3.BO=6.

=y/OA2+OB2=J3?+(V3)2=2叵

作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)?稱(chēng)點(diǎn)*,連接AB\B'C,過(guò)點(diǎn)C作CH_LAB于H,如圖所示：

：.BB'=2\/3,AB=AB1=2百

：.AB=ABr=BB',

???AA8B'是等邊三角形，

*：A01BBL

：^BA0=-Z.BAB'=30°,

2

VCHIAB,

:,CH=-AC,

2

：.2BC+AC=2(FC+1i4C)=2(夕C+C”)，

???當(dāng)點(diǎn)B',點(diǎn)C,點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，夕C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值,

此時(shí)，14B,4488,是等邊三角形,

：.BH=AH=V3,乙BB'H=30°,

,22

:?B，H=>/BA-AH=J(2可-(珂=3,

/.2BC+AC的最小值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題是胡不歸問(wèn)題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)C的

位置是解題的美犍.

14.如圖，在中，AB=AC=4,ZCAB=30%ADLBC,垂足為。，P為線段4。上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC.則

附+2P8的最小值為.

【答案】4V2

【分析】在NBAC的外部作NCAE=15。，作BF_LAE于F,交AD于P,此時(shí)PA+2PB=2(|P/1+P8)=/PF+PB)

=2BF,通過(guò)解直角三角形ABF,進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，

在NBAC的外部作NCAE=15。，作BF_LAE于F,交AD于P,

此時(shí)PA+2PB最小，

/.ZAFB=90°

VAB=AC,ADXBC,

/.NCAD=ZBAD=-2zF/IC=-2x300=15%

ZEAD=NCAE+NCAD=3O。，

：.PF=-PA,

2

???PA+2PB=2（：P4+PB）=T（PF+尸8）=2BF,

在RtZXABF中，AB=4,ZBAF=ZBAC+ZCAE=45°,

.*.BF=AB*sin450=4xy=2企，

???(PA+2PB)最大一2BF-4JI,

故答案為：4四.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線.

三、解答題

15.N4OB=30。，0M=2,D為OB上動(dòng)點(diǎn)、,求的最小值.

【答案】V3

【詳解】思路引領(lǐng)：（胡不歸經(jīng)典）作/BON=NAOB=30。，過(guò)點(diǎn)M作MC_LON于點(diǎn)C,交0B于點(diǎn)D，，當(dāng)MC-L

ON時(shí)，（此時(shí)點(diǎn)D唧為點(diǎn)D）MD+g）D=MD+CD的值最小，最小值是CM的長(zhǎng)，

答案詳解：如圖，

作NBON=NAOB=30。，過(guò)點(diǎn)M作MCJ_ON于點(diǎn)C,交OB于點(diǎn)D，，

所以當(dāng)MCJ_ON時(shí)，（此時(shí)點(diǎn)D，即為點(diǎn)D）

MD+#>D=MD+CD的值最小，最小值是CM的長(zhǎng)，

???在Ri^OCM中，ZOMC=30°,OM=2

/.OC=L

ACM=V3.

答：MD+gOD的最小值為V5.

16.拋物線y=ax2+bx+V5分別交x軸于點(diǎn)4（1,0）,5（-3,0）,交），軸于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)D,

點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且MNJ.4C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

⑵線段MMNC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的理由；

(3)在朋，N移動(dòng)的過(guò)程中，QM+//C是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫(xiě)出理由.

【答案】=-竽%+百

(2)NC=bMN,見(jiàn)解析

(3)有，最小值為V5

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)在Rt/kAOC中，0C=V3,0A=1,根據(jù)MN14C,有NMNC=90。，即可得tan40。4="="，問(wèn)題得解；

OCNC

(3)先求出乙。&4=30。，即乙。AC=60。，即有MN=：CM,則。M+的最小值是DM+MN的最小值，即點(diǎn)D

到AC的垂線段DN的長(zhǎng)，問(wèn)題隨之得解.

【詳解】(1)把點(diǎn)4(1,0),8(-3,0)代入拋物線丁=。/+以+75中得：

["相]。,解得」"一2二

(9。-弘+遮=0卜=_迪

???拋物線的解析式為：、二一22一竽%+百；

(2)NC=\f3MN,

理由是：如圖1,

令％=0,則y=V5,即c(o,V5),

V>4(1,0),c(o,V5),

，，OC=V3,OA=1,

在RS40C中，0C=技04=1,

二MN1AC,

=90°,

.OAMN

..tanzOC/l=—oc=—NC,

,1_MN

??石二正，

???NC=V5MN；

(3)在M,N移動(dòng)的過(guò)程中，DM有最小值是g,理由如下:

由⑵知:taniOS=器=專(zhuān)=亭

J^OCA=30°,即4OAC=60°,

：?MN—CM,

2

???DM+^MC的最小值是。M+MN的最小值，即D、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到AC的垂線段DN的長(zhǎng)，如圖2,

拋物線解析式為：y=-^x2-^x+V3；

???對(duì)稱(chēng)軸是：x=-l,即D（-1,0）,

.\AD=OA+OD=14-1=2,

在RtAADN中，Z.DAN=60°,

.\DN=ADxsin^DAN=

即。M+工MC=DM+MN=DN=6,

2

???在M,N移動(dòng)的過(guò)程中，DM+；MC有最小值是百.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形以及垂線段最短等知

識(shí).題目難度不大，細(xì)心作答即可.掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

17.如圖，矩形CM8C的頂點(diǎn)4、。分別在％、y軸的正半軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2百,4）,一次函數(shù)/=一梟+b的圖

象與邊OC、AB.X軸分別交于點(diǎn)。、E、F,Z.DFO=30%并且滿足。。="凡點(diǎn)M是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求b的值；

(2)連接0M,若400M的面積與四邊形。4EM的面積之比為1:3,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)，用b表示點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)首先求出四邊形。力的面積，再根據(jù)條件求出AODM的面積，即可解決問(wèn)題；

(3)過(guò)點(diǎn)M作MN_L%軸交于點(diǎn)N,則OM+：MF=OM+MN,即可轉(zhuǎn)化為求OM+MN的最小值，作點(diǎn)。關(guān)于一次

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。'，過(guò)點(diǎn)。'作不軸的垂線交匯軸于點(diǎn)NI交一次函數(shù)于點(diǎn)M,即OM+MN的最小值為。N，，算出長(zhǎng)度

即可.

【詳解】(1)在y=—f4+b中，令x=0,WOy=b,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,b),

vOD=BE,5(273,4),

E(2g,4-b),

把E(2Y$4-b)代入y=-yx+b中得：4-b=-yx2\/3+b,

解得：b=3；

(2)由(1)得一次函數(shù)為y=—gx+3,0(0,3),E(2V3,1),

:.OD=3,AE=1,OA=2V3,

???S四邊彩。人聲=“。。+AE)?%=3x(3+1)x2b=4百，

???AODM的面積與四邊形O/EM的面積之比為1:3,

二40DM的面積與四邊形。力DE的面積之比為1:4,

二S.ODM=[S四邊形04DE=V3,

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a,貝6x3a=V3,

解得：Q=乎，

把％=誓代入y=-?X+3中得：y=(

???乙DFO=30°,

MN—MF,

2

...OM+-MF=OM+MN,

2

作點(diǎn)。關(guān)于一次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)0',且O（y與直線DF交于Q點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。，作工軸的垂線交匯軸于點(diǎn)N，，

OM=O'M,

...OM+%/=OM+MN=O'M+MN,

2

當(dāng)O'、僅、N在同一直線時(shí)O'M+MN最小，

即OM尸=OM+MN=O'M+AIN的最小值為O'N',

???Z.DFO=30°,

Z-ODF=60°,乙DOQ=30°,HON'=90°-30°=60°,

在RtAODQ中,OQ=OD-sin60°=3x曰=苧,

:.OO'=2OQ=3V3,

在/?￡△ON'O'中.O'N'=OO'sin60。=373xy=p

OM+^M/的最小值為（

【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形與函數(shù)的綜合題，包括一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、四邊形的面積，解直角三角形以及胡不

歸問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

18.如國(guó)，在平面直角坐標(biāo)系中，直線//：y=*r+V5和直線小），=-相交于），軸上的點(diǎn)8,且分別交x軸

于點(diǎn)4和點(diǎn)C.

(2)點(diǎn)￡坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)尸為直線//上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)EF+C尸最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)，

并求出此時(shí)"+號(hào)”的最小值.

【答案】(1)SAABC=2V3；(2)點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,卓)；PF+40P的最小值為呼+日.

【分析】(1)根據(jù)11的解析式可得A、B坐標(biāo)，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=-V3x+b可求出b值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，

即可求出AC、OB的長(zhǎng)，利用三角形面積公式即可得答案；

(2)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線II的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，，連接C，E,交11于F,根據(jù)A、B、C坐標(biāo)可得aABC是直角三角形，

可得點(diǎn)C在直線12上，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得出C坐標(biāo)，可得CE為EF+CF的最小值，利用待定系數(shù)法可得

出直線C，E的解析式，聯(lián)立直線C，E與11解析式即可得出得F的坐標(biāo)；作二、四象限對(duì)角線13,過(guò)點(diǎn)F作FGJJ3

于G,交y軸于P,可得NGOP=45。，可得PG=《OP,可得FG為PF+?OP的最小值，過(guò)點(diǎn)F作FQJ_x軸，交13

于Q,可得4FGQ為等腰直角三角形，可得FG-孝FQ,由13的解析式為y-x及點(diǎn)F的坐標(biāo)可得點(diǎn)Q小標(biāo)，進(jìn)而

可得FQ的長(zhǎng)，即可得FG的長(zhǎng)，可得答案.

【詳解】(1)Vil：y=yx+V3,

???當(dāng)x=0時(shí)，y=V3,當(dāng)y=0時(shí)，x=-3?

AA(-3,0),B(0,V5),

???點(diǎn)B直線12：y=?V5x+b上，

b=V3,

J直線12的解析式為y=-V3x+V3,

:.當(dāng)y=0時(shí),x=l,

AC(1,0),

AACM,OB=V3,

ASAABC^^.0^x4x73=273.

(2)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線11的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，，連接CE,交11于F,

VA(-3,0),B(0,V3),C(1,0),

/.AB2=(-3)2+(V3)2=12,BC2=12+(<3)2=4,AC2=42=16,

VAC2=AB2+BC2,

???△ABC是直角三角形，

??點(diǎn)C在直線12上，

???點(diǎn)C與點(diǎn)C關(guān)于直線11的對(duì)稱(chēng)，

，CC=2BO4,

設(shè)點(diǎn)C(m,-V3m+V3,)

:.(m-1)2+(-V3m+V3)2=42,

解得：m1=-1,m2=3,

???點(diǎn)C在第二象限，

m=-l,

-V3m+V3=2-\/3,

VFC=FC\

???EF+CF=EF+FC',

???當(dāng)C，、F、E三點(diǎn)共線時(shí)EF+CF的值最小,

設(shè)直線C，E的解析式為y=kx+b,

?(―/c+b=2\/3

*I5k+b=0'

k=-----

解得:3

,5>/3

b=——

3

???直線CT的解析式為y=-梟+號(hào)

?5*5

百,5V3

y=一丁+丁

聯(lián)立直線CE與11解析式得

y=yx+V3

x=1

解得:4^3,

y=-r

???F(1,竽).

如圖，作二、四象限對(duì)角線13,過(guò)點(diǎn)F作FG_L13于G,交y軸于P,過(guò)點(diǎn)F作FQJ_x軸，交13于Q,

???直線13的解析式為y=-x,ZGOP=45°,

???△GOP是等腰直角三角形,

??.PG*P,

，G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PF+號(hào)OP的值最小，最小值為FG的長(zhǎng),

VZGOP=45°,ZPOE=90°,

，ZEOQ=45°,

:.ZFQO=45°,

???△FGQ是等腰直角三角形，

.\FG=-2FQ,

VF(1,乎)，直線13的解析式為y=?x,

???Q(1,-1),

??.FQ二速-(-D二嗎q,

y33

?口、

..FUGC=A-FQs=&-x(/-4---6Fl)=-2->--/6--,Fy-/2,

2y2332

???PF+*DP的最小值為苧+y.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線，熟練掌握待

定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-1-4分別與x,)，軸交于點(diǎn)A,總拋物線丫=2產(chǎn)+以+品好經(jīng)

3lo

過(guò)這兩點(diǎn).

(I)求此拋物線的解析式：

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,6),將△力CO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△￡?*,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)￡

①寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；

②若點(diǎn)。是y軸上的任一點(diǎn)，求：BP+EP取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(l)y=^x2-1x-4

lo，

(2)①點(diǎn)E在拋物線上；②P(0,-1)

【分析】(1)先求出A、B坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出EF=AO=3,CF=CO=6,從而可求E的坐標(biāo)，然后把E的坐標(biāo)代入(1)的函數(shù)解析式

中，從而判斷出點(diǎn)E是否在拋物線上；

②過(guò)點(diǎn)E作EH_LAB,交y軸于P,垂足為H,sin^ABO則”P(pán)=得WBP+EP=HP+P￡1，可

ABBP555

知HP+PE的最小值為EH的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題.

【詳解】(1)解:當(dāng)x=0時(shí)，y=4

當(dāng)y=0時(shí)，一±%-4=0,

3

x=-3；

AA(-3,0),B(0,-4),

把A、B代入拋物線y=2/+旅+的

18

得后、(-3)2-3b+c=0,

，拋物線解析式為2

y=^18-x-2-4.

(2)解：①TA(-3,0),C(0,6),

/.AO=3?CO=6,

由旋轉(zhuǎn)知：EF=AO=3,CF=CO=6,ZFCO=90°

???E到x軸的距離為6-3=3,

二點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6,3),

當(dāng)x=3時(shí)，y=4><62-1X6-4=3,

182

，點(diǎn)E在拋物線上；

②過(guò)點(diǎn)E作EHJ_AB,交y軸于P,垂足為H,

VA(-3,0),B(0,-4),

AOA=3,OB=4,

??.AB=5,

...._AOHP3

?sxnZ-ABO=——=——=-?

ABBP5

：,HP=-BP,

5

?6BP+EP=HP+PE,

???HP+PE的最小值為EH的長(zhǎng)，

作EG_Ly軸于G,

VZGEP=ZABO,

.*.tanZGEP=tanZABO,

,PGAO

??~~,—?

EGBO

.PG3

??一