專題08三角形中的重要模型

?平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識(shí)點(diǎn)，需要掌握其各

大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，，本專題就角平分線的非全

等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

平分平行（射構(gòu)等腰模型、角平行線第二定理模型（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理模型）

模型1、平分平行（射影）構(gòu)等腰

1）角平分線加平行線必出等腰三角形.

模型分析：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題.平行線、角平分線

及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡(jiǎn)稱：“知二求一”，在以后還會(huì)遇到很多類似總結(jié)）。

平行四邊形中的翻折問(wèn)題就常出現(xiàn)該類模型。

條件：如圖1,O。'平分NMOM過(guò)00'的一點(diǎn)。作PQ〃CW.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。

條件：如圖2,△ABC中，BD是NABC的角平分線，DE〃BC。結(jié)論：△8OE是等腰三角形。

條件：如圖3,在8c中，8。平分/ABC,C0平分過(guò)點(diǎn)。作的平行線與AB,4c分別相

交于點(diǎn)M,N.結(jié)論：2B0M、△CON都是等腰三角形。

2）角平分線加射影模型必出等腰三角形.

條件：如圖4,BE平分NCBA,NACB=NCD4=90。.結(jié)論：三角形。石尸是等腰三角膨＜.

例I.（2025?河南濮陽(yáng)?統(tǒng)考二模）如圖，直線乙〃，2,點(diǎn)。、A分別在《、/?上，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為

半徑畫(huà)弧，交AC、于點(diǎn)。、E；分別以。、E為圓心，大于goE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)尸；作射

線A/交4于點(diǎn)6.若N8C4=130°,則N1的度數(shù)為（）

C.30°D.50°

例2.（2025.湖南長(zhǎng)沙八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)。為0A8C的（MBC和（MCB的平分線的交點(diǎn)，。。〃48交8c

于點(diǎn)。，OE〃AC交4c于點(diǎn)￡若A〃=5cm,BC=10cm,AC=9cm,貝岫。?！甑闹荛L(zhǎng)為（）

A.10cmB.9cmC.8cmD.5cm

例3.（2025?廣東?八年級(jí)期末）如圖，。438中,AB=3cmtBC=5cm,3E平分NA8C交于E點(diǎn)，CF

平分N8CO交AQ于F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為cm.

例4.例025.成都市青羊區(qū)八年級(jí)期中）如圖,在八旬。中,N84c=90°,AQ_L6C于點(diǎn)。，NA5c的平

分線BE交AD于F,交AC于E,若AE=3,DF=2,貝ijAD=

例5.（2025.山東八年級(jí)期末）如圖①，△A8c中，AB=AC,/B、NC的平分線交于。點(diǎn)，過(guò)。點(diǎn)作所〃8c

交A3、AC于￡、足（1）圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:后廠與C”之間有怎樣的關(guān)系.

⑵如圖②，若4%AC,其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第⑴問(wèn)中EF與BE、

C”間的關(guān)系還存在嗎?（3）如圖③，若△入8c中的平分線40與三角形外角平分線CO交于。，過(guò)。點(diǎn)作

OE〃BC交AB于E,交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?E尸與BE、C/關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由.

A

A

模型2、角平行線第二定理（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理）模型

1）內(nèi)角平分線定理

圖1圖2圖3

條件：如圖1,在回ABC中，若AD是回BAC的平分線。結(jié)論：AB:AC=BD:CD

2）外角平分線定理

條件：如圖2,在（3ABC中，加AC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。結(jié)論：BD.CD=AB:AC.

3）奔馳模型

條件：如圖3,的三邊8C、AC、AB的長(zhǎng)分別是a,b,c,其三條角平分線交于點(diǎn)。，將448C分

為二個(gè)二角形。結(jié)論：SAABO：Swo：Sa。=c：a：b?

例I.（2025秋?山東荷澤?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，ZA=90°,AB=2,BC=5,B0是NA8C

S.

的平分線，設(shè)△然￡）和△加心的面積分別是H，5,則亍=.

2On

例2.（2025?廣東惠州?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，的三邊AB,BC,C4長(zhǎng)分別是3,4,5,其三

條角平分線將金。分為三個(gè)三角形，則L即：5即：5?。為（）

圖3

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.12025春?山東淄博?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D,△AAC中，NABC=9O。，點(diǎn)/為“SC各內(nèi)角平分線的交點(diǎn),

過(guò)/點(diǎn)作AC的垂線，垂足為從若8C=3,A8=4,AC=5,那么〃/的值為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

2.（2025春?湖南岳陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，4EB。是“8c的角平分線，4及8。相交于點(diǎn)/1

于F,ZC=60°,下列四個(gè)結(jié)論：①幺。3=120。；②A￡）+8E=A4；③若“8。的周長(zhǎng)為見(jiàn)0尸二〃，則

S—=m〃；④若OE:OA=1:3,則8:08=2:3.其中正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

3.（2025秋?四川南充?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，內(nèi)角/A8C和外角NACD的平分線交于點(diǎn)E,BE交

AC于點(diǎn)、F,過(guò)點(diǎn)E作反；〃8。交AA于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)“，連接人E,有以下結(jié)論；①BG-CH=GH；

②BF=EF；③若ZAC8=106。，則ZA￡B=54。；?S^BCE:SABCE=BC:GE.⑤ZA￡B+ZACE=90。.其中

正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.（2025秋?江蘇宿遷?八年級(jí)校考期末）如圖，在RSA8C中，ZACB=90°,CD1AB,垂足為。，4尸平

分/C48,交。。于點(diǎn)E,交C8于點(diǎn)F.若AC=3,AB=5f則CE的長(zhǎng)為（）

5.（2025春?四川達(dá)州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在RtzMBC中，MCB=90。，CD^AB,垂足為。，AF

平分（3CA私交C。于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F,則下列結(jié)論成立的是（）

6.（2025?貴州?中考模擬）如圖，在酎8c中，0A8。和蜘C3的平分線交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)￡作MN〃反?交A3

于交AC于M若BM+CN=9,則線段MN的長(zhǎng)為（）

A.6B.7C.8D.9

7.（2025?河南開(kāi)封?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在8c中，ZC=9€?°,ZB=30°,以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑

畫(huà)弧分別交A4、AC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P,

連接AP并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)。，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A

A.4。是NBAC的平分線B.Z4ZX?=60°

C.點(diǎn)。在線段4K的垂直平分線上D.5?加：5"叱=1:2

8.（2025?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在Rt"8C中，MC8=90。，CD^AB,垂足為。,AP平分回。3,

交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.若AC=6,48=10,則。￡的長(zhǎng)為（）

9.（2025?北京順義?統(tǒng)考二模）如圖，在△A8C中，AD,8。分別是/B4C,N4BC的平分線，過(guò)點(diǎn)。作

EF//AB,分別交AC,BC于點(diǎn)E,F.若AE=4,BF=6,則E產(chǎn)的長(zhǎng)為.

1（）.（2025春?陜西咸陽(yáng)?八年級(jí)咸陽(yáng)市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在“WC中，NB=60。,ZC=50°,

sAE

點(diǎn)。為的邊8c上一點(diǎn)，點(diǎn)區(qū)G分別在邊A3、AC上，連接A。、DE、DG,若產(chǎn)生二行，則

,△ADGAG

^ADC的度數(shù)為。.

II.（2025秋?安徽滁州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）△A8C中，。是8C邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B,。重合），連接AO.

（1）如圖1,當(dāng)AO平分NA4c時(shí)，若48=5,AC=3,則22?=：（2）如圖2,AO平分/B4C,

延長(zhǎng)AO到E,使得49=D￡,連接跖，如果AC=2,A4=4,可皿=6,則，枷=.

12.（2025.廣東九年級(jí)期中）如圖所示，在△ABC中,8c=6,E、尸分別是A3、4C的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在射線

EF上,BP交CE于D,NCBP的平分線交CE于Q,當(dāng)CQ=gcE時(shí)，EP+BP=.

13.（2025春?山東淄博?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，ZAC25=90°,CE是斜邊48上的高，ZABC

的平分線80交C￡于點(diǎn)交AC于點(diǎn)。.（1）求證：VCQM是等腰三角形.（2）若A8=10,AC=8.求ME

的長(zhǎng)度.

14.（2025秋?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在“BC中，ZACB=90°,C。是A4邊上的高，AE是NB4C

的角平分線，AE與CD交于點(diǎn)F,求證：△CE廠是等腰三角形.

15.（2025廣東江門八年級(jí)月考）（1）如圖1,已知，在“BC中，AB=AC=10,8。平分N48C,C力平

分ZACS,過(guò)點(diǎn)。作石尸〃5C,分別交A8、AC于E、尸兩點(diǎn),，則圖中共有個(gè)等腰三角形：EF

與BE、之間的數(shù)量關(guān)系是,ZsAE尸的周長(zhǎng)是.

(2)如圖2,若將(1)中ZABC中，AB=AC=10"改為"若"18。為不等邊三角形，>4B=8,AC=10"

其余條件不變，則圖中共有個(gè)等腰三角形：石尸與肱、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，

并求出的周長(zhǎng).

(3)已知：如圖3,。在外，AB>AC,且8。平分/ABC,8平分的外角NACG,過(guò)點(diǎn)。

作DE〃次7,分別交A4、AC于E、F兩點(diǎn),則政與跖、C尸之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？寫(xiě)出結(jié)論并證明.

圖1圖2圖3

16.(2025秋?福建廈門?八年級(jí)廈門市湖里中學(xué)?？计谥?如圖，為A45C的角平分線.

AA

(1)如圖1,若CELAD于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)、E,心=7,AC=5.則8E=；

(2)如圖2,若A8=7,AC=5,AAC。的面積是10,求AA8C的面積；

(3)如圖3,若NC=2/B,AB=m,AC=〃，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)(用含加，〃的式子表示)

17.(2025?湖南長(zhǎng)沙?統(tǒng)考二模)如圖，AB//CD,按照下列步驟作圖：

①以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交A3、AC于￡、F兩點(diǎn);

②分別以E、r為圓心，大于尸的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P：③作射線人人交C。于點(diǎn)M.

(1)試根據(jù)作圖過(guò)程，說(shuō)明AM是/B4C的平分線的理由；(2)若NCM4=25。，求NC的度數(shù).

18.(2025?寧夏石嘴山?統(tǒng)考一模)愛(ài)動(dòng)腦筋的小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完角平分線的性質(zhì)一節(jié)后意猶未盡經(jīng)過(guò)思考

發(fā)現(xiàn)里面還有一個(gè)有趣的結(jié)論：

⑴【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖】所示，若的角平分線，可得到結(jié)論：筆=卷

圖I

小明的解法如下：過(guò)點(diǎn)。作小BAA于點(diǎn)。/工AC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)A作4G_LBC于點(diǎn)G,

12AD是N84C的角平分線，且OE/A5,DFJ.AC,

0______________________

-ABxDEAD

Sc^BD=2=空,

%/)c-ACXDFAC

2

—［皿叫嗎團(tuán)絲二處

SQADC-CDXAGCDACDC

2

（2）【類比探究】如圖2所示，若AO是/84C的外角平分線，A。與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。.求證：笑=絲.

ACDC

⑶【直接應(yīng)用】如圖3所示，Rt/XABC中，ZC=90°,A。是/胡C交8C于。，若應(yīng)）=10,CD=6,在

不添加輔助線的情況下直接寫(xiě)出AB=.

⑷【拓展應(yīng)用】如圖4所示，在J13C中，ZABC=90,AB=6,BC=8,將“8C先沿NBAC的平分線

40折疊，8點(diǎn)剛好落在AC上的E點(diǎn)，剪掉重疊部分（即四邊形ABQE）,再將余下部分（4ABC）沿NOEC

的平分線EF折疊，再剪掉重疊部分（即四邊形OEGP）,求出剩余部分△R7G的面積.

19.（2025?河南駐馬店??？既＃╅喿x以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》是2006年科學(xué)出版社出版的圖書(shū)，作者是（美；喬治?波利亞.本書(shū)通過(guò)對(duì)各種類型生動(dòng)而

有趣的典型問(wèn)題（有些是非數(shù)學(xué)的））進(jìn)行細(xì)致剖析，提出它們的本質(zhì)特征，從而總結(jié)出「各種數(shù)學(xué)模型.

共高三角形：有一條公共高的三角形稱為共高三角形.

共高定理：如圖①，設(shè)點(diǎn)M在直線A3上，點(diǎn)尸為直線外一點(diǎn)，則有產(chǎn)L=

下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)Q,

按要求完成下列任務(wù):

圖①圖②圖③

（1）請(qǐng)你按照以上證明思路，結(jié)合圖①完成剩余的證明:

（2）即圖②，△ABC,①畫(huà)出N54c的平分線（不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡，使用28鉛筆作圖）;

②若NB4c的平分線交BC于。，求證：萼=黑；（3）如圖③，E是平行四邊形A8CQ邊CQ上一點(diǎn)，連

/IZ-X

接跖并延長(zhǎng)，交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)憶連接若VADE的面積為2,則△CEF的面積為二

20.（2025?安徽合肥?九年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù):

已知角平分線分線段成比例定理內(nèi)容：三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比

例，如圖①,在中,A。平分NMC則黑=器.下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程.

（1）證明：如圖②，過(guò)C作CE/D4,交84的延長(zhǎng)線于￡請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分.

（2）你還有其他的證明方法么？如果有，另外寫(xiě)出一個(gè)完整的證明過(guò)程。

專題08三角形中的重要模型

?平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，需要掌握其各

大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，，本專題就角平分線的非全

等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

平分平行（射構(gòu)等腰模型、角平行線第二定理模型（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理模型）

模型1、平分平行（射影）構(gòu)等腰

1）角平分線加平行線必出等腰三角形.

模型分析：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題.平行線、角平分線

及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡(jiǎn)稱：“知二求一”，在以后還會(huì)遇到很多類似總結(jié)）。

平行四邊形中的翻折問(wèn)題就常出現(xiàn)該類模型。

條件：如圖1,O。'平分NMOM過(guò)00'的一點(diǎn)。作PQ〃CW.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。

條件：如圖2,△ABC中，BD是NABC的角平分線，DE〃BC。結(jié)論：△8OE是等腰三角形。

條件：如圖3,在8c中，8。平分/ABC,C0平分過(guò)點(diǎn)。作的平行線與AB,4c分別相

交于點(diǎn)M,N.結(jié)論：2B0M、△CON都是等腰三角形。

2）角平分線加射影模型必出等腰三角形.

條件：如圖4,BE平分NCBA,NACB=NCD4=90。.結(jié)論：三角形。石尸是等腰三角膨＜.

例I.（2025?河南濮陽(yáng)?統(tǒng)考二模）如圖，直線乙〃，2,點(diǎn)。、A分別在《、/?上，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為

半徑畫(huà)弧，交AC、于點(diǎn)。、E；分別以。、E為圓心，大于goE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)尸；作射

線A/交4于點(diǎn)6.若N8C4=130°,則N1的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30°D,50°

【答案】B

【分析】根據(jù)作圖可知A3是NC4E的角平分線，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：2，???NBC4+NC4E=180°

VZBC4=130°,ANC4E=50。根據(jù)作圖可知A8是/C4E的角平分線，

AZ1=-ZC/1B=25O,故選：B.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，平行線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵.

例2.（2025.湖南長(zhǎng)沙八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)。為財(cái)8C的和財(cái)C8的平分線的交點(diǎn)，OQ〃A8交8c

于點(diǎn)。，OE〃AC交BC于點(diǎn)、E.若4B=5cm,BC=10cm,AC=9cm,則團(tuán)0。石的周長(zhǎng)為（）

A.10cmB.9cmC.8cmD.5cm

【答案】A

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，把三條邊轉(zhuǎn)移到同一條線段BC上，即可解答.

【詳解】解：如圖：

回。C、08分別是MC8、團(tuán)48c的角平分線，035=06,01=02,

團(tuán)0D2AB,OE0AC,甌4=回6,01=03.

004=05,02=03,即OD=BD,OE=CE.

釀OOE的周長(zhǎng)=OZ）+OE+OE=8Q+DE+CE=8C=10cm.故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明回8。。，I3OEC都是等腰三

角形.

例3.（2025?廣東?八年級(jí)期末）如圖，口A8C。中，AB=3cm,BC=5cm,BE平分NA8c交4。于七點(diǎn)，CF

平分NBC。交人。于F點(diǎn)，則E/的長(zhǎng)為cm.

【答案】1

【分析】根據(jù)角平分線的概念、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，可分別推出AE二AB,DF=DC,進(jìn)而推

出EF=AE+DF-AD.

【詳解】:四邊形ABCD是平行四邊形，AZAEB=ZEBC,AD=BC=5an,

???BE平分NA8C,:?NABE=NEBC,則

.\AB=AE=3cm,同理可證：DF=DC=AB=3cm,

則E/=AE+?AO=3+3?5=lc〃?.故答案為：I.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是運(yùn)用角平分線的概念和平行線的性質(zhì)，由等角推出等邊.

例4.（2025.成都市青羊區(qū)八年級(jí)期中）如圖，在△/46C中，N84C=90。，八￡>_1_8c于點(diǎn)。，NA8c的平

分線8E交A。于F,交AC于E,若AE=3,DF=2,則4）=.

【詳解】由角度分析易知/4￡產(chǎn)=/4莊，即AE=A/，

VAE=3/.AF=3VDF=2：,AD=AF+DF=5

【點(diǎn)睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型.

例5.（2025.山東八年級(jí)期末）如圖①，AABC中，AB=4C,N8、NC的平分線交于。點(diǎn)，過(guò)。點(diǎn)作8c

交A8、4c于E、￡（1）圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:后戶與BE、Cf之間有怎樣的關(guān)系.

⑵如圖②，若A及4C,其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第⑴問(wèn)中EF與BE、

。尸間的關(guān)系還存在嗎?（3）如圖③，若△ABC中的平分線B0與三角形外角平分線C。交于。，過(guò)。點(diǎn)作

OE//BC交AB于E,交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?"1與BE、C/關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由.

【答案】（1）&AEF、△OEB.△OFC.△OBC.△ABC共5個(gè)，EF=BE+FC；（2）有，AEOB、△FOC,

存在；（3）有，EF=BE-FC.

【分析】（1）由"=AC,可得NA8C二NAC3；又已知。8、0C分別平分NA/3C、NACB；故

ZEBO=ZOBC=ZFCO=ZOCBx根據(jù)石產(chǎn)〃AC,可得：ZOEB=ZOBC=ZEBO,ZFOC=ZFCO=ZBCO；

由此可得出的等腰三角形有：AAEF、△OEB.△OFC.20BC、ABC；

已知了△月。8和△尸0c是等腰三角形，則E0=8E,0F=FC,KlEF=BE+FC.

（2）由（1）的證明過(guò)程可知：在證A0EB、△0FC是等腰三角形的過(guò)程中，與A8=AC的條件沒(méi)有關(guān)系,

故這兩個(gè)等腰三角形還成立.所以（1）中得出的EF=8￡+FC的結(jié)論仍成立.

（3）思路與（2）相同，只不過(guò)結(jié)果變成了

【詳解】解：（1）圖中是等腰三角形的有：△AEA△OEB.△0FC.△OBC.AABC；

EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC.理由如下：

VAB=AC,/.ZACB=ZABC,△ABC是等腰三角形；

?：B0、CO分別平分NABC和NAC8,

二NABO=N（）BC=gZABC,ZOCB=ZACO=^ZACB,

，：EF〃BC,:?/EOB=NOBC,NFOC=/OCB,

J^ABO=ZOBC=ZEOB=ZOCB=ZFOC=ZFCO,

:.&EOB、△OBC.AFOC都是等腰三角形，

?：EF〃B3：,ZAEF=ZABC,NAFE;NACB,

:.NAEFnNAFE,.二△AEF是等腰三角形，

VOB、OC平分NA8C、NACB,:?NABO=NOBC,ZACO=ZOCB-

VEF//BC,:?/EOB=/OBC=/EBO,ZFOC=ZOCB=ZFCO；

BPEO=EB,FO=FC；：,EF=EO+OF=BE+CF；

（2）當(dāng)△EOB.△尸OC仍為等腰三角形，（1）的結(jié)論仍然成立.

?：0R、OC平分NA8C、NACB,A^ABO=^OBC,NACO=NOCB；

?:EF//BC,；.NEOB=NOBC=/EBO,/FOC=/OCB=/FCO；

B|JEO=EB,FO=FC；：,EF=EO+OF=BE+CF；

（3）△￡。3和△尸OC仍是等腰三角形，EF=BE-FC.理由如下：

同（1）可證得△以用是等腰三角形；???￡0〃8C,???NRX>N0CG；

平分NACG,:?NACO=/FOC=NOCG,

：.FO=FC,故△R9C是等腰三角形；:?EF=EO-FO=BE-FC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線、角平分線的性質(zhì)等知識(shí).進(jìn)行線段的等量代

換是正確解答本題的關(guān)鍵.

模型2、角平行線第二定理（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理）模型

1）內(nèi)角平分線定理

圖1圖2圖3

條件：如圖1,在（3ABC中，若AD是團(tuán)BAC的平分線。結(jié)論：AB:AC=BD:CD

2）外角平分線定理

條件：如圖2,在（3ABC中，回BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。結(jié)論：BI>.CD=AB.AC.

3）奔馳模型

條件：如圖3,△ABC的三邊BC、AC.AB的長(zhǎng)分別是a,b,c,其三條角平分線交于點(diǎn)0,將僅43。分

為二個(gè)二角形.結(jié)論：Z皿:S"：Sqo=c：a：1八

例I.（2025秋?山東荷澤?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在“8C中，NA=90。，A8=2,BC=5,BD是N48C

的平分線，設(shè)△A5O和△8OC的面積分別是S-S2,則去=.

A

Si

Sz

B

2

【答案】y/0.4

【分析】過(guò)點(diǎn)。作OE_LBC于￡根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出=再根據(jù)三角形的面積公式得出￡與

邑即可求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作?！?8。于E,

,/DA1BA,DELBC,BO是/A8C的角平分線，:?DE=DA,

I1sA829

VS^-ABAD,S'BCDE,：啜=旅二三,故答案為：j.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE=/）A是解題的關(guān)鍵.

例2.（2025?廣東惠州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，”18。的三邊AB,BC,C4長(zhǎng)分別是3,4,5,其三

條角平分線將△AAC分為三個(gè)三角形，則Sj即：S.BC。:S&CAO為（）

A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5

【答案】D

【分析】過(guò)點(diǎn)。作。。_L8C于點(diǎn)。，作OEJLAC于點(diǎn)E,作OF1AB于點(diǎn)F,由Q4,OB,OC是"SC

的三條角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得OD=OE=OF,然后利用三角形面積的計(jì)算公式表示出凡八加、

Sac。、S皿o,結(jié)合己知，即可得到所求的三個(gè)面積的比.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作OD_LBC于點(diǎn)D,作OE/AC于點(diǎn)E,作?！ㄓ邳c(diǎn)尸.

B

D

■.OA,OB,OC是"GC的三條用平分線，OD±BC,OEJ.ACT,OF工AB:.OD=OE=OF,

???△ABC的三邊人8、BC、AC長(zhǎng)分別為3、4、5,

=(-xABxOF):(^BCxOD).(^xAC:<OE)=BA:CB'.CA=3：4：5.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用角平

分線的性質(zhì)定理解決問(wèn)題.

例3.(2025春?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問(wèn)題：

角平分線分線段成比例定理，如圖1，在AABC中，A。平分N8AC,則=絲.

下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程.

證明：如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CE〃加.交氏1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)石.…

任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分；

(2)如圖3,已知RtaABC中，AB=3,BC=4,N4BC=90。，4D平分/B4C,求△AB。的周長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)—5

2

【分析】(1)過(guò)C作CE〃94,交區(qū)4的延長(zhǎng)線利用平行線分線段成比例定理得到空=”，利用

CDEA

平行線的性質(zhì)得N2=NACE,Nl=NE,由N1=N2得N4CE=NE,所以AE二AC,于是有空=空；

ACCD

(2)先利用勾股定理計(jì)算出AC=5，再利用(1)中的結(jié)論得到勺:累，即:=黑，則可計(jì)算出瓦)=],

ABBD3BD2

然后利用勾股定理計(jì)算由AD=^j5,從而可得到△ABD的周長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：如圖2,過(guò)C作C石〃A4.交8A的延長(zhǎng)線于E,

Dr\DA

VCE//AD,???一=-，Z2=ZACE,N1=NE,

CDEA

ADRfy

VZ1=Z2,/.ZACE=ZE,，AE=AC,:.—=—

ACCD

(2)解：如圖3,???A8=3,8c=4,N4BC=90°,AC=y/B^+AB2==5?

??Z￡＞平分/BAC.即?=CD

ABBD3~BD

/.5D=^C=|x4=-|,/.AD=\lBD2+AB2==三亞，

的周長(zhǎng)=3+3+3逐=9+35.

222

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，勾股定理，掌握平行線分線段成比例定理，理解角平分線

分線段成比例定理是關(guān)鍵.

例4、0ABe中，團(tuán)BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,求證：BD:CD=ABAC.

證明：過(guò)C作AD的平行線交AB于點(diǎn)E.

0EC//AD田BD:CD=AB:AE,因=團(tuán)3,02=04

0AD為團(tuán)BAC的外角平分線001=（32033=01=02=134

0AE=ACI3BD:CD=AB:AC

例5.（2025秋?北京?八年級(jí)北京八十中?？计谥校┰?18。中，D是8C邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)8、。重合），連

接AD.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)時(shí)，S&ABD：S&ACD

(2)如圖2,當(dāng)A。平分/8AC時(shí)，若A8=〃?，AC=n,求5入伸,：5小6的值(用含加、〃的式子表示);

⑶如圖3,AD平分N3AC,延長(zhǎng)A。到E.使得4)=0石，連接應(yīng)f,若AC=3,A8=539圮=1。，求

的值.

【答案】⑴1:1⑵〃?：〃⑶16

【分析】(1)過(guò)4作AE_L3C于E,根據(jù)三角形面積公式求出即可：

(2)過(guò)短作小工鉆于E,DFJ.AC于F,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出。E=0F,根據(jù)三角形面積公式求出

即可；(3)根據(jù)已知和(1)(2)的結(jié)論求出△A3。和△ACD的面積，即可求出答案.

【詳解】(1))過(guò)A作AEIBCFE,,?,點(diǎn)。是3C邊上的中點(diǎn)，?,?“O=DC,

S^ABD:S△皿=(^xBDxAE):(|xCDxAE)=1:1故答案為：1:1：

(2)過(guò)。作小工人A于E,1AC于立:4。為/班C的角平分線，：.DE=DF,

VAB=m,AC=n,S^ABl>:S^ACD=(-xABxDE):(-xACxDF)=in:n；

(3)?AD=DE>*,*111(1)知：S&A8。：5.0=1:1,=10,=10,

;AC=3,A8=5,A。平分NA4C,???由(2)知：：S“g=AS:AC=5:3,

??SaAco=6,二%八8c=l°+6=16，故答案為：16.

圖3

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積公式，能根據(jù)(1)(2)得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.12025春?山東淄博?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AABC中，ZABC=90。，點(diǎn)/為AABC各內(nèi)角平分線的交點(diǎn),

過(guò)/點(diǎn)作AC的垂線，垂足為從若BC=3,AB=4,AC=5,那么〃/的值為（）

35

A.1B.-C.2D.—

22

【答案】A

【分析】連接小、出、IC,過(guò)/作于M,/N_L8C于M利用角平分線的性質(zhì)，以及等積法求線

段的長(zhǎng)度，即可得解.

【詳解】解：連接小、IB、/C,過(guò)/作/M_LA8『M,INIBCJ-TV,

???點(diǎn)/為“8c各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，/M_LA3，INIBC,1HLAC,：.IH=IM=IN,

VBC=3,AB=4,AC=5,S^Aftc=-^x3x4=6,

?:S&ABC=S△襁++5A4/c,；.6=；XABXIM+；XBCXIN+；XACXJH,

VBC=3,AD-4,AC=5,IH=IM=IN、ZZZ-1,故A正確.故選；A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，等積法求線段長(zhǎng)度.熱練掌握角平分線的性質(zhì)，利用等積法求線

段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

2.（2025春?湖南岳陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AE,8。是“18。的角平分線，AE,BO相交于點(diǎn)O.N_LA8

于F,ZC=60°,下列四個(gè)結(jié)論：①403=120。；②A/7+4E=A4；③若的周長(zhǎng)為孫。尸二〃，則

S^c=mn.④若OE：Q4=1:3,則00:08=2:3.其中正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可驗(yàn)證結(jié)論①；如圖所示，在川上截取AK=AD,可證

△AOOZ△AOKISAS),△BO￡0Z\8OK(ASA),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可驗(yàn)證結(jié)論②；如圖所示，連接0C,

過(guò)點(diǎn)。分別作OGJ_AC「點(diǎn)G,作?！鄙嫌邳c(diǎn)〃，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算方法可驗(yàn)證

結(jié)論③；結(jié)合結(jié)論②，③，圖形結(jié)合，等面積法等知識(shí)可驗(yàn)證結(jié)論④.

【詳解】解：結(jié)論①408=120°,

,/ZR4C+NC+Z4BC=180。,zC=60°,Zfi4C+ZABC=120°,

???是AABC的角平分線，AZCAE=Z.EAB=-ZCAB,/CBD=NDBA=L/ABC,

22

???NE48+NOR4='(NCA4+NC3A)=LXI20O=60。，在△AOA中，ZOAI3+ZOBA+ZAOB=180°,

22

:.￡AOB=180°-(ZOAB+/OBA)=180°-60°=120°,故結(jié)論①正確；

結(jié)論②乂O+H月=42,由結(jié)論①正確可知，408=120°,

:^AOD+ZAOB=\^f,：.ZAO￡>=180°-ZAOB=180°-120°=60°,

,rZAOD=ZBOE,ZBOE=60°,如圖所示，在AB上截取AK=A。，

?；AE,BD是&ABC的角平分線，???NDAO=NKAO,

AD=AK

???在△AORAAOK中，\^DAO=^KAO,；.△AOD^Z\AOK(SAS),

AO=AO(公共邊)

???ZDOA=ZKOA=60°,/.ZBOK=ZAOB-ZAOK=120°-60°=60°,

AAD=AK,4BOK=NBOE=3,??.在△8OE,Z\BOK中,

/BOK=/BOE

OB=OB(公共邊)，???△8OEg/\8OK(ASA),:.BE=BK,

4)BK=NOBE

AAK+BK=AD^BE=AB,故結(jié)論②正確：結(jié)論③若的周長(zhǎng)為〃?,。/=〃，則2八除=加〃，

如圖所示，連接OC,過(guò)點(diǎn)0分別作OGJ_AC于點(diǎn)G,作OHJBCT點(diǎn)H,

???。。平分/人口，OF=OG=OH=n,且AB+AC+8C="?,

VW=S》oc+S)°B+Sgoc=；A&°G+；AMF+；BC?！保?/p>

JS&mc=；OF^AB+8C+AC)=Jnui*nm,故結(jié)論③錯(cuò)誤；

結(jié)論④若OE：O4=1：3,則。。:O4=2:3,

如圖所示，連接。C，過(guò)點(diǎn)。分別作OG_LAC于點(diǎn)G,作0”，3C于點(diǎn)”,

-BE?nnc

■S△+”.：2

S^BOE=gBE.OH,S&AOI)=gAB.OF，口.二0尸=〃，

§△2344B?〃AB

2

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作4MJ_AE于點(diǎn)例，

?]s-OE^BMOF

^S^OB=-AOBM,SAB°E=3EO?BM,：?產(chǎn)/-----------=—.且O￡OA=1:3,

22-OA.BMUA

2

.BEOE\ADOP

==如圖所示

''\B~'OA~3同理,~AB~~OB,

由結(jié)論②正確可知，AD=AK,BE=BK,且學(xué)二院十.?翳二彩j

.AK2.ADAK2,ODAD2生…，cfm

,-?—=—=T?故結(jié)論@止確;

AB3ABAB3(JDAD3

綜上所述，正確的有①②④，3個(gè)，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的綜合知識(shí)，掌握角的和差計(jì)算方法，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定

和性質(zhì)，角平分線交的性質(zhì)，線段之間比例的計(jì)算方法等知識(shí)的綜合是解題的關(guān)鍵.

3.（2025秋?四川南充?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，內(nèi)角N43C和外角NACD的平分線交于點(diǎn)E,BE交

AC丁點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)E作EG〃也）交A6丁點(diǎn)G,交AC丁點(diǎn)〃，連接AE,有以下結(jié)論；?BG-CII=G/I；

②BF=EF；③若ZAC8=106。，則ZA￡B=54。；?S^BCE:S^BG￡=BC:GE；⑤ZAEB+ZACE=90。.其中

正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】①根據(jù)知相等推出線段相等，再將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可證明；

②AHEF與NCBF不能得出全等的結(jié)論，無(wú)法證明BF=EF；

③若NAC8=106。，無(wú)法推出NAE8=54。；④利用三角形面枳的公式即可證明；

⑤通過(guò)設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系，從而證明NAEB+ZACE=90。.

【詳解】①EG//BDZ.GEB=NEBC,Z.GEC=NECD

???內(nèi)角N4AC和外角N4Q）的平分線交于點(diǎn)E

：."BE=/EBC，ZACE=NECD/.ZABE=Z.GEB,ZACE=4GEC

:?BG=GE,CH=HE：.BG-CH=GE-HE=GH：,BG-CH=GH,故①正確.

②zJ/所與VC6廠只有兩個(gè)角是相等的，能得出相似，但不含相等的邊，所以不能得出全等的結(jié)論，不能推

出質(zhì)=所，故②錯(cuò)誤

③若NAC8=106。，貝iJ/AC￡）=74。，則NACE=NGEC=37。，無(wú)法推出N4￡B=54。，故③錯(cuò)誤

?LBCE的面積為BC乘以點(diǎn)E到線段BC的距離乘以\

/\BGE的面積為GE乘以點(diǎn)8到線段8C的距離乘以g

點(diǎn)E到線段BC的距離與點(diǎn)8到線段8C的距離相等，SgcE:SMQE=BC.GE,故④正確

⑤過(guò)點(diǎn)E作EN14C于MED1BC于D,EM上BA于M,如圖，

:跖平分/ABC,：.EM=ED

???CE平分NACO,:?EN=ED：.EN=EM,.,.A￡平分NC4M,

設(shè)ZAC石=NDCE=x,ZABE=NCBE=y,ZMAE=ZCAE=z,

則/8AC=1800-2z,ZACB=180-2x,

VZABC+ZACB+ZBAC=180°,Z.2y4-l80°-2z+180o-2x=180°,...x+z=），+90°。，

Vz=y±ZAEB,x十）'十/AE8=y+90°,/.x+ZAEB=SK）a,

即ZACE+ZAE8=90。，故⑤正確；故選C

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，三角形

內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)的定理進(jìn)行求解.

4.（2025秋?江蘇宿遷?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在Rld8C中