專(zhuān)題10三角形中的重要模型?垂美四邊形與378、578模型

模型1、垂美四邊形模型

規(guī)定：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形

條件：如圖1,已知四邊形4BC。，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、O,且ACL3O：

結(jié)論：①人）+口>二人》+伙鼻②“垂美”四邊形的面積等于對(duì)?角線乘積的一半。

【變形1】

條件：如圖2,在矩形A8CO中，P為CO邊上有一點(diǎn)，連接A產(chǎn)、BP；結(jié)論：。尸+8尸弘產(chǎn)+PC2

【變形2】

條件：如圖3,在矩形A8CO中，P為矩形內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AP、BP,CP,DP；結(jié)論：A^PC=DP^BF

用處：①對(duì)角線垂直的四邊形對(duì)邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。

例1.（2025?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）時(shí)角線互相垂直的四邊形叫做"垂美"四邊形，現(xiàn)有加圖所示的"垂美"

四邊形A8CO,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O.若AE>=3,BC=5,貝Ij/U^+C。=.

例2.（2025秋?河北石家莊?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形ABC。的對(duì)角線A。，4?；ハ啻怪保?）=2,

AB=4,BC=5則C。的長(zhǎng)為（）

A.2.5D.V13

例3.（2025?湖北武漢?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形A68的兩條對(duì)角線互相垂直，AC、SO是方程

丁—16%+60=0的兩個(gè)解，則四邊形A8CO的面枳是（）

30C.16D.32

例4.（2025?湖北?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2,P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以

下重要結(jié)論：AP2+CP2=BP2+DP2.該結(jié)論的證明不難，同學(xué)們通過(guò)勾股定理即可證明.

應(yīng)用新知：如圖3,在AABC中，CA=4,CB=6,D是aABC內(nèi)一點(diǎn)，且CD=2,0ADB=9O°,則AB的最小

值為.

例5.（2025?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考一模）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角

線的平方，則稱(chēng)這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱(chēng)為這個(gè)四邊形的勾股邊.

B

*

X

圖⑴圖(2)

⑴寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱(chēng).

（2）如圖（1）,已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）0（0.0）,4（3,0）,以0,4）,請(qǐng)你直接寫(xiě)出一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA,

OB為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形。AM8的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為

⑶如圖（2）,將AABC繞頂點(diǎn)4按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，得到△￡?￡連接AO,DC,NDCB=3U0.求證:

DC2+BC2=AC2,即四邊形八BCD是勾股四邊形;

⑷若將圖（2）中加BC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a度（0°＜。v90°）,得到,連接AD,DC,則4DCB=

°,四邊形8EC7）是勾股四邊形.

例6.（2025秋?江西撫州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）

（1）【知識(shí)感知】如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過(guò)的：①平行四邊形

②矩形③菱形④正方形中，能稱(chēng)為垂美四邊形是：（只填序號(hào)）

A/<7o

（2）【概念理解】如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,CB=CD,問(wèn)四邊形48C。是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)

明理由.（3）【性質(zhì)探究】如圖1,垂美四邊形48C。的兩對(duì)角線交于點(diǎn)。，試探究A4,CD,BC,A。之

間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并給出證明；（4）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3,分別以的直角邊AC

和斜邊AB為邊向外作正方形ACTG和正方形A8OE,連接CE,BG,GE,已知AC=8,AB=10,求GE.

模型2、378和578模型

當(dāng)我們遇到兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,7,8和5,7,8的時(shí)候，通常不會(huì)對(duì)它們進(jìn)行處理，實(shí)際是

因?yàn)槲覀儗?duì)于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個(gè)三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)邊長(zhǎng)為8的

等邊三角形。

13D05B43DIISB43DI/5B

條件：當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3,7,8和5,7,8時(shí)；

結(jié)論：①這兩個(gè)三角形的面積分別為6百、IOAG；②3、8與5、8夾角都是60。。

例L（2025?浙江溫州?九年級(jí)?？计谀┻呴L(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角和最小角的和是（）.

A.90°B.150°C.135°D.120°

例2.（2025?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練N）已知在中，AB=8rAC=7,BC=3,貝崛B=（）.

A.45°B.37°C.60°D.90°

例3.（2025?廣東?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC的邊AB=8,BC=5,AC=7,試過(guò)A作4。垂直8c于

點(diǎn)D并求出CD的長(zhǎng)度.

例4.（2025?成都市?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在0ABC中，AB=16,AC=14,8c=6,則血48c的面積為（）

A.24后B.56GC.48D.112

例5.（2025?廣西柳州??？家荒＃┘褐?ABe的三邊長(zhǎng)分別為5,7,8,團(tuán)DEF的三邊分別為5,2x,3x-5,

若兩個(gè)三角形全等，則x=_.

例6.（2025?重慶?八年級(jí)專(zhuān)題練N）△ABC中，BC=8,AC=7,N8=60°,則△ABC的面積為.

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2025春?成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美"四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美〃

四邊形48CO,點(diǎn)E為時(shí)角線8D上任意一點(diǎn)，連接AE、CE.若A8=5,8c=3,則A&-C。等于（）

A.7B.9C.16D.25

2.（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是矩形ABC。內(nèi)任意一點(diǎn)，連接則下列結(jié)論正

確的是（）

A.AE+DE=BE+CEB.AE+CE=BE+DEC.AE2+CE2=BE2+DE2D.AE2+DE2=BE2+CE2

3.（2025?河南信陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形A8c。的兩條對(duì)角線互相垂直，AC+BD=\6,則

四邊形A8CO的面積最大值是（）

A.16B.32C.36D.64

3.（2025?山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知在0ABC中，AB=7,AC=8,BC=5,則（3C=（）.

A.45°B.37°C.60°D,90°

4.（2025?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知回ABC的邊長(zhǎng)分別為5,7,8,則因ABC的面積是（）

A.20B.1072C.1073D.28

6.12025?江蘇南通?九年級(jí)?？计谥校┒x：對(duì)角線互相垂直的四邊形為垂美四邊形.已知垂美四邊形A8CD

的對(duì)角線AC、8。滿(mǎn)足AC+BQ=12,則當(dāng)AC=時(shí)，四邊形ABCD的面積最大.

/.（2025秋?上海?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知四邊形A6co的對(duì)角線AC、互相垂直于點(diǎn)O,

CD=BD=5BC=2,NBAC=NBDC,那么A3=.

8.（2025?山東??？既＃┤绻赗tZXACB中，BC=2,N陰C=30°,斜邊A4的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互

垂真的射線OW,QN上滑動(dòng)，下列結(jié)論：①若C,。兩點(diǎn)關(guān)于八B對(duì)稱(chēng)，則②C,O兩點(diǎn)距離

的最大值為4：③四邊形AO8C的面積為26+4；④斜邊A8的中點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度是3.其中正確結(jié)

論的序號(hào)是

9.（2025春?浙江湖州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：對(duì)角線垂直的四邊形叫做“對(duì)垂四邊形〃.如圖，在“對(duì)垂四

邊形"A8CQ中，對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)O，AC=2五.若點(diǎn)E、F、G、〃分別是邊AB、BC、CD、DA

的中點(diǎn)，且四邊形EFG"是"對(duì)垂四邊形”，則四邊形￡FG”的面積是.

10、當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3,7,8和5,7,8時(shí)，則這兩個(gè)三角形的面積之和是.

11.（2025?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，/XABC中，ZB=60°,A8=8,BC=5,E點(diǎn)在8c上，若CE=

2,則AE的長(zhǎng)等于—.

BEC

12.（2025春?四川綿陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美"四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂

美”四邊形A8CQ,對(duì)角線AC、8D交于點(diǎn)。.若4）=5,BC=12,則"2+C￡）2=.

D

13.（2025春?河北石家莊?八年級(jí)石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美〃

四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美"四邊形A8C。，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)。.

(1)若A8=5,OA=3,OC=4,則3C=；(2)若AD=4i，BC=亞,^\AB2+CD2=

(3)若AS=〃?，BC=ntCD=c,AD=d,則加，小c,d之間的數(shù)量關(guān)系是.

14.（2025?山西太原?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）認(rèn)識(shí)新知：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

⑴概念理解：如圖1,四邊形A8CO的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,已知08=00,AB=AD,判斷：四邊形

ABCD—垂美四邊形（填"是"或"否"）；

（2）性質(zhì)探究：如圖2,四邊形A8CO的對(duì)角線4C、BD交于點(diǎn)0,AC^BD.

①若OA=1,0B=5,OC=7,。。=2,則；AD2+BC2=.

②猜想AB、BC、CD、A。這四條邊的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

⑶解決問(wèn)題：如圖3,MCB中，0ACB=9O°,AOMG且AC=AG=4,A豳4E且AE=AB=5,連結(jié)CE、BG、

GE,則GE=.

15.（2025春?廣東韶關(guān)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

E，---------------------------------?G

⑴尺規(guī)作圖：以已知線段EG為對(duì)角線作一個(gè)垂美四邊形使其對(duì)角線交于點(diǎn)0；（不寫(xiě)作法，保留

作圖痕跡）

⑵已知四邊形A3C。是垂美四邊形，且/2=3#,8。=4逐，則它的面積為；

（3）如圖，四邊形A8CQ是垂美四邊形，AB=c.BC=d,CD=a,DA=b,探究。、b、c、d的數(shù)量關(guān)系；

（4）如圖，己知ZXE分別是“8。中邊8C、AC的中點(diǎn)，AD±BE,AC=XBC=4,請(qǐng)運(yùn)用上題的結(jié)論，求A8

的長(zhǎng).

B

16.（2025春?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）新定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做"垂美四邊形〃.

⑴如圖1，已知四邊形A8CQ是垂美四邊形.①若AC=3瓜BD=g則它的面積為

②若AB=c,BC=d,CD=a,DA=b,探究a、b、c、"的數(shù)量關(guān)系.（2）如圖2,已知。、石分別是“18。中邊

BC、AC的中點(diǎn)，3BE,AC=6,8C=8,請(qǐng)運(yùn)用②中的結(jié)論，直接寫(xiě)出"的長(zhǎng)為.

17.（2025?江西萍鄉(xiāng)??？寄M預(yù)測(cè)）若四邊形對(duì)角線互相垂直，那么我們定義這種四邊形為“對(duì)垂"四邊形.

特征辨析

⑴下列4個(gè)圖中，四邊形A8C。不是“對(duì)垂”四邊形的是（）

AB

歸納探究（2）如圖1,石。_1人/于。，動(dòng)點(diǎn)P,Q都從。點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)尸沿OE運(yùn)動(dòng)到B,點(diǎn)0沿。F運(yùn)動(dòng)到C.

①當(dāng)NB4C=30°,OB=OC,00=1,0A=4時(shí)，則+CO?=,AD2+CB2=，

據(jù)此結(jié)合（1）中相關(guān)圖形試猜想“對(duì)垂”四邊形488兩組對(duì)邊48CD與BCA。之間的數(shù)量關(guān)系：

（用等式表示）；

②在"對(duì)垂"四邊形A8CQ中，當(dāng)①中的條件都不存在時(shí)，①中所猜想的數(shù)最關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)予

以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

拓展應(yīng)用⑶如圖2,四邊形AEZM和四邊形AGR?均為正方形，點(diǎn)B恰好在FC的延長(zhǎng)線上,且已知AC=友,

AB=6,求GE的長(zhǎng).

圖2

18.（2025秋?天津?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，四邊形A8C。兩條對(duì)角線ACBD互相垂直，且AC+M=10.設(shè)

AC=x,（0<x<5）（l）用含x的式子表示：S固邊形mm=

⑵當(dāng)A8CO四邊形的面積為8cm2時(shí)，求A。、山）的長(zhǎng)；

19.（2025?貴州貴陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖，我把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做"垂美四邊形〃.

（1）性質(zhì)探究:如圖1.已知四邊形ABCD中,AC0BD,垂足為0,求證:AB2+CD2=AD2+BC2.

（2）解決問(wèn)題：已知AB=5,BC=4,分另U以團(tuán)ABC的邊BC和AB向夕卜作等腰RtHBCQ和等腰RMIABP.

①如圖2,當(dāng)0ACB=9O。，連接PQ,求PQ：

②如圖3,當(dāng)0ACBH9O。，點(diǎn)M、N分別是AC、AP中點(diǎn)連接MN,若MN=26，則SAABC=.

20.（2025?廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明學(xué)習(xí)了特殊的四邊形后，對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外

一類(lèi)特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

⑴概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是.

⑵性質(zhì)探究:通過(guò)探究,直接寫(xiě)出垂美四邊形A8CD的面積S與兩條對(duì)角線人。、8。之間的數(shù)量關(guān)系:.

⑶問(wèn)題解決：如圖2,分別以RlAABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形4CFG和正方形AM,

連結(jié)BG、CE交于點(diǎn)MCE交AB于點(diǎn)M,連結(jié)GE.①求證：四邊形8CGE為垂美四邊形：

②已知AC=4,AB=5,則四邊形8CGE的面積為.

專(zhuān)題10.三角形中的重要模型?垂美四邊形與378、578模型

模型1、垂美四邊形模型

規(guī)定：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形

圖1圖2

條件：如圖1,已知四邊形4BC。，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、0,且ACL3O：

結(jié)論：①人）+口＞二人》+伙鼻②“垂美”四邊形的面積等于對(duì)?角線乘積的一半。

【變形1】

條件：如圖2,在矩形A8CO中，P為CO邊上有一點(diǎn)，連接A產(chǎn)、BP；結(jié)論：。尸+8尸弘產(chǎn)+PC2

【變形2】

條件：如圖3,在矩形A8CO中，P為矩形內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AP、BP,CP,DP；結(jié)論：A^PC=DP^BF

用處：①對(duì)角線垂直的四邊形對(duì)邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。

例1.（2025?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）時(shí)角線互相垂直的四邊形叫做"垂美"四邊形，現(xiàn)有加圖所示的"垂美"

四邊形A8CO,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0.若AE＞=3,BC=5,貝Ij/U^+C。=.

【分析】在用△?力和心△A08中，根據(jù)勾股定理得AO+CC^C#,Ofy+OA^AD2,進(jìn)一步得

B（＞+CO2+O/）2+OA2=9+25,再根據(jù)/\#=8。2+4。2,C^OC^OD2,最后求得

【詳解】解：團(tuán)BO0AC,^COB=^AOB=^AOD=^COD=90°,

在R/ZkCOB和心A40B中，根據(jù)勾股定理得，

BO+CgCBLOD2+OA2=AD\^BO^CO^OC^+OA^+IS,

^B2=BO2+AO2,CD2=OC2+OD2,a4B2+CD2=34；故答案為：34.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際同題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一

數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵.

例2.（2025秋?河北石家莊?八年級(jí)統(tǒng)考期末汝I圖所示，四邊形ABCD的對(duì)角線AC,8?；ハ啻怪?，若AO=2,

AB=4,3c=5則C￡>的長(zhǎng)為（）

A.2.5B.3C.4D.V13

【答案】D

212222

【分析】在RRAQ0中,AD-OA=OD,在RaBOC中,BC-OB=OC,再根據(jù)CD?=。小+0c2即

可得出答案.

【詳解】解：在RS4OD中，AD2-()A2=OD\在RJ8OC中：BC2-OB2=OC2,

0CD2=OD2+OC2=AD2-OA2+二BC2-OB2=AD2+2BC2-(O52+OA2)=4+25-16=13,

0CD=VT3?故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正確利用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例3.（2025?湖北武漢?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形A8CQ的兩條對(duì)角線互相垂直，AC、4。是方程

f—16x+60=0的兩個(gè)解，則四邊形A8CO的面積是（)

A.60B.30C.16D.32

【答案】B

【分析】對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，二次方程的兩根乘積可以利用韋達(dá)定理

快速求解即可.

【詳解】由題意可知：四邊形A8C。的面積SMQACXB。

幽C、8。是方程丁-164+60=0的兩個(gè)解，

團(tuán)4cx80=5?占二"=60,四邊形A8CZ）的面積S=,x60=30,故答案為：B.

■12

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)角線.互相垂直的四邊形的面積計(jì)算及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，知道利用對(duì)角線

的成績(jī)計(jì)算面積是解題關(guān)鍵.

例4.（2025?湖北?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2,P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以

卜重要結(jié)論：AP2+CP2=BP2+DP2.該結(jié)論的證明不難，同學(xué)們通過(guò)勾股定理即可證明.

應(yīng)用新知：如圖3,在AABC中，CA=4,CB=6,D是ZiABC內(nèi)一點(diǎn)，且CD=2,0ADB=90%則AB的最小

值為.

圖1圖2圖3

【答案】473-2

【分析】以AD、BD為邊作矩形ADBE,連接CE、DE,根據(jù)題意可得CD?+CE2=CA2+CB?,即可求出CE

的長(zhǎng)度，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，AB的值最小，且為CE與CD長(zhǎng)度之差，故AB最小俏可求.

【詳解】解：以AD、BD為邊作矩形ADBE,連接CE、DE,如圖所示：

圖3

貝ljAB=DE,由題意得：CD2+CE2=CA2+CB2,即2?+CE2=42+6],解得：CE=4x/L

當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，DE最小，回AB的最小值=口￡的最小值=CE-CD=46-2,故答案為：473-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了以幾何為背景的推理與論證、兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵在于通過(guò)題目中已

給的新知推斷CD、CE.CA.CB之間的長(zhǎng)度關(guān)系，并應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短的定理，求出對(duì)應(yīng)的最值.

例5.（2025?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考一模）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角

線的平方，則稱(chēng)這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱(chēng)為這個(gè)四邊形的勾股邊.

3y

圖⑴圖⑵

⑴寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱(chēng),.

⑵如圖（1），已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）00,0）,43,0）,8（0,4）,請(qǐng)你直接寫(xiě)出一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA,

OB為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形QAM8的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

⑶如圖（2）,將繞頂點(diǎn)4按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，得到△DBE,連接A。，DC,NDCB=300.求證：

DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是勾股四邊形；

⑷若將圖（2）中^ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)〃度（0°<a<90°）,得到QBE，連接AD,DC,則NDCB=

°,四邊形8ECQ是勾股四邊形.

【答案】⑴矩形；正方形⑵（3,4）或（4,3）⑶見(jiàn)解析⑷ga

【分析】（1）根據(jù)勾股四邊形的定義，可知矩形和正方形都是勾股四邊形；

（2）如圖（1）中，以04、08為勾股邊且有對(duì)角線相等的勾股四邊形。AMB的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,4）

或（4,3）；（3）如圖（2）,連接CE,只要證明aOCE是直角三角形即可解決問(wèn)題；

（4）如圖（3）,當(dāng)N￡>CB=；a。，四邊形ABC。是勾股四邊形.連接CE,只要證明△。。石是直角三角形

即可解決問(wèn)題.

【詳解】（1）解：團(tuán)矩形和正方形的四個(gè)角都是直角，

回相鄰兩邊的平方和等于對(duì)角線的平方，團(tuán)矩形、正方形都是勾股四邊形；故答案為矩形、正方形；

（2）解：如圖（1）所示，

（3M的坐標(biāo)為：（3,4）或（4,3）；故答案為（3,4）或（4,3）；

（3）證明：如圖（2）,連接CE,由旋轉(zhuǎn)得：△ABCHADBE,^AC=DE,BC=BE,

團(tuán)ZDCB=30°,0Z.DCE=ZDCB+zLBCE=300+60°=90°,

0DC2+EC2=DE2>DC1+BC2=AC2，曬邊形A8CO是勾股四邊形；

（4）解:如圖（3）,NDCB=%。,四邊形5EC。是勾股四邊形.

理由如下：連接CE，由旋轉(zhuǎn)得：JBCRADBE,^AC=DE,BC=BE,

團(tuán)NC8E=a,[2mCE=ABEC=90°--a,

2

0ZDC￡=ZDCB+ZBC￡=-cr+9Oo--?=9Oo,

22

^DC2+EC2=DE2^^\DC2+BC2=AC2,由四邊形A8CO是勾股四邊形；故答案為go.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定

和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

例6.（2025秋?江西撫州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）

（1）【知識(shí)感知】如圖1,我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過(guò)的：①平行四邊形

②矩形③菱形④正方形中，能稱(chēng)為垂美四邊形是:（只填序號(hào)）

⑵【概念理解】如圖2,在四邊形ABCO中，AB=AD,CB=CD,問(wèn)四邊形48co是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)

明理由.（3）【性質(zhì)探究】如圖1,垂美四邊形A8CO的兩對(duì)角線交于點(diǎn)。，試探究A8,CD,BC,A。之

間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并給出證明；（4）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3,分別以RtZ\ACB的直角邊4c

和斜邊/W為邊向外作正方形AOG和正方形/WDE,連接CE,BG,GE,已知AC=8,人4=10,求GE.

【答案】（1）③④（2）四邊形A8CZ）是垂美四邊形：理由見(jiàn)解析

⑶402=4^+82：理由見(jiàn)解析⑷2J萬(wàn)

【分析】（1）根據(jù)菱形和正方形的對(duì)角線互相垂直、垂美四邊形的概念判斷即可;

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、垂美四邊形的概念判斷即可：

（3）根據(jù)垂美四邊形的概念、勾股定理計(jì)算，得到答案；

<4）證明△G/WIS團(tuán)CA￡,進(jìn)而得□C/SSSG,根據(jù)（3）的結(jié)論計(jì)算即可.

（1）解：團(tuán)在①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形中，兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是③菱形,

④正方形，色③菱形，④正方形一定是垂美四邊形，故答案為：③④；

（2）解：四邊形4BCO是垂美四邊形，

理由如下：如圖2,^AB=AD,團(tuán)點(diǎn)4在線段的垂直平分線上，

團(tuán)CB=CD,0點(diǎn)C在線段8。的垂直平分線上，

團(tuán)直線AC是線段6。的垂直平分線，即四邊形A6CO是垂美四邊形；

（3）解：AD2+BC2=AB2+CD2,

證明如下：如圖①，0ACI3BD,團(tuán)040。=財(cái)。4=團(tuán)30。=團(tuán)。0。=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO1+BO2+CO1，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2?0AD2+BC2=AB2+CD2；

（4）解：如圖3,連接BE、CG,設(shè)48與CE交于點(diǎn)M,

團(tuán)團(tuán)CAG=m/ME=90。，^CAG+^BAC=^BAE+^BAC,即由GA4=0CAE,

AG=AC

在AG48和aCAE中，＜/GAR=NGAE,

AB=AE

國(guó)3GA82團(tuán)CAE(SAS),^A13G=^\EC,

^EC-^AME=90°,0a48G+t38MC=9(r,即CE34G,

回四邊形CGEB是垂美四邊形，僅CG?+8爐=CB-+GE2，

4c=8,^BC2=AB--AC2=36,CG2=AC2+AG1=\2SBE2=AB2+AE2=200

^\GE2=\28+200-36=292,則GE=2773.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾

股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

模型2、378和578模型

當(dāng)我們遇到兩個(gè)三角形的三邊K分別為3,7,8和5,7,8的時(shí)候，通常不會(huì)對(duì)它們進(jìn)行處理，實(shí)際是

因?yàn)槲覀儗?duì)于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個(gè)三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)邊長(zhǎng)為8的

等邊三角形。

條件：當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3,7,8和5,7,8時(shí)；

結(jié)論：①這兩個(gè)三角形的面積分別為675、10V5；②3、8與5、8夾角都是60。。

例1.(2025?浙江溫州?九年級(jí)校考期末)邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角和最小角的和是().

A.90°B.150°C.135°D.120°

【答案】D

【分析】法1：拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，即可求解。法2：設(shè)的三邊48=5,AC=7,BC=8,

過(guò)點(diǎn)4作4D0BC于點(diǎn)。，設(shè)分別在和中，利用勾股定理求得4Q,從而可建立方

程，求得x的值，可求得團(tuán)B,因此可得最大角和最小角的和.

【詳解】法1：;△ABC的邊長(zhǎng)為5,7,8,

???其可以和邊長(zhǎng)為3,7,8的三角形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，

又由三角形中大邊對(duì)大角，可知邊長(zhǎng)為7的邊所對(duì)的角為60°,

所以最大角和最小角的和是120。.故選D.

88

7J

B3C5D

法2：設(shè)MBC的三邊48=5,AC=7,BC=8,過(guò)點(diǎn)A作AD3BC于點(diǎn)。，如圖設(shè)8D=x,貝ljCD=8-.r

在R周">8中，由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=25-在中，由勾股定理得：

AD2=AC2-CD2=49-(8-x)2則得方程：25-x2=49-(8-x)2解得：x=y即?

0AD^BC^BAD=3Q°回財(cái)8。=90°-^BAD=60°00BXC+0C=18O0-[MBD=120°

2

(3BC>4C>A8mi24C>a4BQ>raC故最大角與最小角的和為120°故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解一元一次方程，大角對(duì)大邊等知識(shí)，關(guān)鍵是作最大邊上的高，從而為勾

股定理的使用創(chuàng)造了條件.

例2.（2025?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知在（MBC中，AB=8,AC=7,BC=3,則（3B=（）.

A.45。B.37°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】法L拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，即可求解。法2：過(guò)點(diǎn)A作AD1BC交8C延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

設(shè)CQ=x,則4c=3",在RbACQ和mAAS。中，利用勾股定理求出，可求出的長(zhǎng)，從而得到8Q

的長(zhǎng)，然后利用直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】法1：,??△ABC的邊長(zhǎng)為3,7,8,

，其可以和邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，

如圖，觀察圖形可知/B為等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角，所以NB=6D。.故選C.

B3C5D

法2：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AO_Z8C交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

團(tuán)在財(cái)BC中，48=8,AC=7,BC=3,可設(shè)CZXr,MBC=3+x,

在心18中，AD2=AC2-CD2=I2-x2，在心△A8D中，AD2=AB2-=82-(x+3)',

團(tuán)72-x2=82-(x+3)\解得：x=\,0fiC=3+x=4,

團(tuán)在朋△ABD中，BD=^AB,0ZB/\D=3O，國(guó)N8=90°-ABAD=60°.故選C.

【定睛】本題主要考查了勾股定理及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中若一條直角邊等于斜邊的

一半，則這條直角邊所對(duì)的銳角等于30''是解題的關(guān)鍵.

例3.(2025?廣東?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，AABC的邊A8=8,BC=5,AC=7,試過(guò)4作AD垂直BC于

點(diǎn)D并求出CD的長(zhǎng)度.

解：如圖所示，作AQJ_8C于點(diǎn)D,設(shè)CQ=x,則BQ=4C-8=57,

則在直角三角形A3。和直角三角形ADC中，由勾股定理有：AB2-BD1=AC2+CD2,

即64-(5-x)2=49-』，解得：x=\.故長(zhǎng)度為1.

另解：可以和三邊長(zhǎng)為3,7,8的三角形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，從而求解。

例4.（2025?成都市?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在（MBC中，48=16,4c=14,BC=6,則的面積為（）

A.2473B.56△C.48D.112

【答案】A

【分析】如圖，過(guò)C作COJ_AA『。，設(shè)加>=%,則4。=16-/,根據(jù)放△次笫，&AACO中CO=CQ,利

用勾股定理建立方程，求得3D，繼而用勾股定理求得CO,從而求得面積.

【洋解】法1：???該三角形的三邊長(zhǎng)的比為3：7：8,

???其可以和三邊長(zhǎng)的比為5：7：8的三角形（邊長(zhǎng)為10,14,16）拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為16的等邊三角形，

???拼成的等邊三角形的高為8h，.?.△ABC的面積為卜6'88=2475.

法2：如圖，過(guò)C作CDJLA3于。，設(shè)比>=尤，則4O=16T,

22222

在RiABCD、Rt^ACD中CO?=BC-BDtCD=AC-AD

BC2-BD2=AC2-AD262-x2=142-（16-x）2解得x=3

:.CD=ylBC2-BD2=>/62-32=373「?S&皿■=；ABxCD=|xl6x3\/5=24>/5故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

例5.（2025?廣西柳州??？家荒＃┮阎?ABe的三邊長(zhǎng)分別為5,7,8,用DEF的三邊分別為5,2x,3x-5,

若兩個(gè)三角形全等，則x=_.

【答案】4

【詳解】團(tuán)兩個(gè)三角形全等，

明：.口或口，解得：無(wú)解或x=4.故答案為4.

另解：可以和三邊長(zhǎng)為3,7,8的三角形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，從而求解。

例6.（2025?重慶?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）ZUBC中，8c=8,AC=7,N3=60°,則△A8C的面積為.

解：如圖所示：作人。交于點(diǎn)。，則/人。。=90°.

VZB=60°,???N/MO=30°.設(shè)BQ為x,則。。為（8-x）,AB為2x.

?：ZBAD=30°，地=返，AC=1,：.AD=43X.

AB2

???（V3x）2+（8-x）2=72.解得X1=3,X2=—.

22

???當(dāng)xi=3時(shí)，△4BC的面積為S=』8c?AQ='X8X2X?=6?：

2222

當(dāng)X2=至?xí)r，△46C的面枳為S=23C?AQ=2X8X$X?=l（h/§.故答案為或1。五.

2222

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2025春?成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做"垂美"四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美〃

四邊形A8C。，點(diǎn)E為對(duì)角線B。上任意一點(diǎn)，連接4E、CE.若A8=5,BC=3,則40_。戶(hù)等于（）

A.7B.9C.16D.25

【答案】C

【分析】連接AC，與BD交于點(diǎn)O,根據(jù)題意可得AC工8。，在.RaAOE與R3cOE中,利用勾股定理可

^AE2-CE2=AO2-CO2,在RhAOB與RACOB中,繼續(xù)利用勾股定理可得40之一。。2=,求

解即可得.

【詳解】解：如圖所示：連接AG與BD交于點(diǎn)、O,

D

???對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做"垂美"四邊形，???AC26。，

在放△AOE中，4序=4。2+。序，在凡△COE中，CE2=CO2+OE2，

..AE2-CE2=AO2-CO2,

在RhAOB中，AO2=AB2-OB2在.RiaCOB中,CO2=BC2-OB?，

???AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16?*.AE2-CE2=\6,故選：C.

【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

2.（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是矩形A3CO內(nèi)任意一點(diǎn)，連接,則下列結(jié)論正

A.AE+DE=BE+CEB.AE+CE=BE+DEC.AE2+CE2=BE2+DE2D.AE2+DE2=BE2+CE2

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)E作ER3BC,延長(zhǎng)FE交AD于點(diǎn)M,由題意可證四邊形ABFM,四邊形DCFM是矩形，可得

AM=BF,MD=CF,MF0AD,根據(jù)勾股定理可得：AE2+CE2=BE2+DE2.

【詳解】如圖：過(guò)點(diǎn)E作EF團(tuán)BC,延長(zhǎng)FE交AD于點(diǎn)M.

團(tuán)四邊形ABCD是矩形，（30BAD=12ABC=（21BCD=SCDA=9OO

又在用BCQ四邊形ABFM,四邊形DCFM是矩形同AM=BF,MD=CF,MF0AD

^AE2=AM2+ME2rDE2=MD?+ME?，BE2=EF2+BF2^CE2=EF2+CF2

0AE2+CE2=BE2+DE2^L：選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造矩形是本題的關(guān)鍵.

3.（2025?河南信陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形48co的兩條對(duì)角線互相垂直，AC+BD=\6t則

四邊形A8CO的面積最大值是（）

I)t

--------------

A.16B.32C.36D.64

【答案】B

【分析】利用對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半求解即可.

【詳解】解：設(shè)AC=x,四邊形A8CD面積為S,則30=16-%，

則：S=；AC4O=JX(16—X)=-1(x-8)2+32當(dāng)x=8時(shí)，S最大為：32;故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查配方求最大值，能夠正確利用面積計(jì)算公式結(jié)合方程思想是解題關(guān)鍵.

3.(2025?山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知在中，AB=7,AC=3,BC=5,則團(tuán)C=().

A.45vB.370C.60“D.90”

【答案】C

【分析】法L拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，即可求解。法2：過(guò)點(diǎn)A作于Q,設(shè)CQ=x,則

BD=BC-CD=5-x,由勾股定理得72-(5-x)2=82-x2,得出CZ)=4,則CO=；AC,再證自CW=30°.

【詳解】法1：;△ABC的邊長(zhǎng)為5,7,8,

，其可以和邊長(zhǎng)為3,7,8的三角形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，

如圖，觀察圖形可知/C為等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角，所以NC=6。。.故選C.

法2：過(guò)點(diǎn)4作AD08C于。，如圖所示:

設(shè)CO=x,貝lj8O=8C-CO=5T,在R/QAB。中，由勾股定理得：AD2=AB2-BD2,

222

在R/0AC。中，由勾股定理得：AD=AC-CDt

^AB2-BD2=AC2-CD2,即：72-(5-x)2=82-A2,解得：X=4,RCQ=4,

團(tuán)CD=；AC,亞C4O=30°,歪。=90°-30°=60°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、含30。角的直角三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)：熟練掌握勾股定

理，證出團(tuán)。。=30。是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知團(tuán)ABC的邊長(zhǎng)分別為5,7,8,則回ABC的面積是（）

A.20B.10y/2C.1073D.28

【答案】C

【分析】過(guò)A作AD回BC于D,根據(jù)勾股定理列方程得到BD,然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】如圖，

0AB=5,AC=7,BC=8,過(guò)A作ADI3BC于D,0AB2-BD2=AC2-CD2=AD2,052-BD2=72-（8-BD）2,

解得：BD=1-,13AD=JBB2-BQ2=竽,0（3ABC的面積=106，故選C.

另解：可以和三邊長(zhǎng)為3,7,8的三角形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，從而求解。

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

6.[2025?江蘇南通?九年級(jí)?？计谥校┒x：對(duì)角線互相垂直的四邊形為垂美四邊形.已知垂美四邊形4BCO

的對(duì)角線人C、4。滿(mǎn)足八。+8。=12,則當(dāng)八。=時(shí)，四邊形ABC。的面積最大.

【答案】6

【分析】根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)列出函數(shù)解析式，進(jìn)行求解即匕.

【詳解】解：設(shè)=x，則次）=12_工團(tuán)四邊形A8C。的對(duì)角線互相垂直，團(tuán)S488=34。啰。，

則：S=^ACBD=^x（\2-x）=-1（x-6>+18.財(cái)C=6時(shí)，面積有最大值；故答案是6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方求最大值，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

7.（2025秋?上海?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知四邊形48co的對(duì)角線4C、8?；ハ啻怪庇邳c(diǎn)O,

CD=BD=6BC=2,NBAC=NBDC,那么.

A

【答案】手/；有

【分析】過(guò)點(diǎn)。作OE1BC于E,由等腰三角形"三線合一"的性質(zhì)可知CE=；BC=I,在RtZXCOE中，由

勾股定理可得QE=JQ)2_CE2=2,然后借助△AC。的面積求出0C=半，再在RtZXOBC中，由勾股定

理可得。8=,心一必=乎:證明△AOBs/xDOC,由相似三角形的性質(zhì)計(jì)算A8的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)。作/)EJ_8C于E,

^CD=BD,DEJ.BC,

?CE=BE=、BC=1,

2

團(tuán)在Rt2\C。石中，DE=>JCD2-CE2=y](4s)2-\2=2?

又(JAC/8O,

￡*M*c.*n/=-2BCDE=-2BDOC,

團(tuán)BCDE=BDOC,

BCDE2x2_4>/5

0OC=

BD石二丁

團(tuán)在RtAOBC中，OB=>JBC2-OC2=^22-(^^)2=，

田NBAC=NBDC,

又BZAOB=/DOC=90°,

2亞

OBAB~~s~AB

0=,n:!n.—廣—,

OCDC生￡75

于

解得.=也.

2

故答案為：好.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，

熟練運(yùn)用勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?山東?校考三模）如果，在R14AC8中，BC=2,N8AC=30°,斜邊AA的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互

垂真的射線?！埃琌N上滑動(dòng)，下列結(jié)論：①若C,O兩點(diǎn)關(guān)于A8對(duì)稱(chēng)，則。4=26②C,。兩點(diǎn)距離

的最大值為4：③四邊形A08C的面積為26+4;④斜邊A4的中點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度是其中正確結(jié)

論的序號(hào)是_______________

N

【答案】①②##②①

【分析】①先根據(jù)含30。角的直角三角形性質(zhì)分別求出八笈和AC,由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知：人5是OC的垂直

平分線，所以O(shè)4=AC=2V5;②根據(jù)OC<O￡+CE=4,當(dāng)OC經(jīng)過(guò)A8的中點(diǎn)E時(shí)，OC最大，推出C、

。兩點(diǎn)距離的最大值為4；③如圖2,根據(jù)四邊形4O8C的面積等于“IBC