專題24.41《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固（鞏固篇）（專項練習(xí)）

一、單選題

1.下列關(guān)于圓的說法，正確的是（）

A.弦是直徑，直徑也是弦

B.半圓是圓中最長的弧

C.圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸

D.過三點可以作一個圓

2.如圖，在等邊△ABC中，。是AC的中點，則點D與以A8為直徑的。。的位置關(guān)系

A.圓上B.圓內(nèi)C.圓外D.不能確定

3.如圖，線段是。。的直徑，弦COJ_A8,BC=OO=2,OC的氏等于（）

A.2B.4C.6D.2G

4.如圖，在半徑為5的0A中，弦所對的圓心角分別是ZR4C,/DAE.若DE=6,

ZBAC+ZDAE=\SO°f貝J弦8C的弦心距為（）.

A.苧B.孚C.4D.3

5.如圖，點/為的△ABC內(nèi)心，連接用并延長交的外接圓于點。，點E為弦4c

的中點，連接CD,EI,IC,當(dāng)A/=2C￡）,/C=6,/。=5時，上的長為（）

C.4D.3.5

6.如圖,在放"BC中,ZC=90°,AC=5t。。是△ABC的內(nèi)切圓，半徑為2,則圖

中陰影部分的面積為（）

A.30-4乃B.30G-44C.60-16^D.306-16笈

7.如圖，已知48為。。的弦，C為A8的中點，點。在優(yōu)弧ABC上一點，連接■。下

列式子一定正確的是（）

A.ZADC=ZBB.Z4DC+2ZB=90°

C.2NAQC+/B=90。D.Z?=30°

8.如圖，扇形084中，點C在弧AB上,連接BC,P為BC中點.若04=6,ZAOB=12（尸,

則點C沿弧從點8運動到點A的過程中，點P所經(jīng)過的路徑長為（）

cA

A.4TTB.2乃C.373D.6

9.如圖，將兩個正方形如圖放置（B,C,七共線，D,C,G共線），若A8=3,EF=

2,點。在線段上，以為半徑作。。，點A,點廣都在。。上，則0。的長是（）

A.4B.V10C.V13D.V26

10.如圖，。為半圓內(nèi)一點，O為圓心，直徑A8長為2cm,ZBOC=60°,ZBCO=90°,

將aBOC繞圓心。逆時針旋轉(zhuǎn)至△8'OC',點。'在匕則邊8C掃過區(qū)域（圖中陰影部

分）的面積為（）

D.-cm2

6

二、填空題

11.如圖，0。的半徑為13,A8=10,分別以點4,8為圓心，大于的長為半徑

作弧，兩弧相交于點M,M作直線MV交A3于點C,則OC=.

b

17.如圖，正六邊形ABCQE/的邊長為4,以4為圓心，AC的長為半徑畫弧，得EC，

連接AC、AE,用圖中陰影部分作一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為

18.已知，QA是。。的半徑，延長4。至點兒使得08=304=3,以8為直角頂點，

做等腰直角△BMC,且滿足點M始終在。。上(如圖所示)，連接OC,則OC的最大值為

A

三、解答題

19.與圓相關(guān)的定理，我們在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了彳W多.例如：垂徑定理、圓周角定理

和切線長定理等.實際上，與圓相關(guān)的定理還有很多，比如下面的定理：若內(nèi)接于圓的四邊

形的對角線互相垂直，則圓心到一邊的距離等于這條邊所對的邊的一半，如卜.給出了不完整

的“已知”，請補充完整，并證明.

已知：四邊形A8CD是。。的內(nèi)接四邊形，,過點。作OE_LA。于點E.求證：

BC=2OE.

20.已知在以點。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦4B交小圓于點C,。(如圖).

(1)求證：AC=BD；

(2)若大圓的半徑/?二10,小圓的半徑尸8,且圓O到直線AB的距離為6,求AC的長.

21.已知A3是0。的直徑，弦C。與/W相交，ZMC=38°.

(I)如圖①，若。為A8的中點，求NABC和NAB。的大??；

(II)如圖②，過點。作0。的切線，與八4的延長線交于點產(chǎn)，若DP//AC,求NOCO

的大小.

圖①

22.如圖,AB是。。的直徑，點C是。。上的一點，0DVAB交AC于點E,ZD=2ZA.

(1)求證：CD是。。的切線；

⑵求證：DE=DC；

(3)若。0=5,CD=3,求AE的長.

23.如圖，正方形45CO的邊長為4,以A3為直徑在正方形內(nèi)部作半圓0,點石在4C

邊上，BE=1,連接。。和。石.

(1)求證：是半圓。的切線：

(2)請直接寫出圖中陰影部分的面積(用含汗的代數(shù)式表示).

AOB

24.閱讀與思考：阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、

百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家、靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力

學(xué)之父”的美稱，留給后人的最有價值的書是《阿基米德全集》.在該書的“引理集”中有這樣

如圖1,以A8為直徑作半圓O,弦AC是一個內(nèi)接正五邊形的一條邊（即：ZAOC=12°\

點力是AC的中點，連接并延長與直徑K4的延長線交于點，連接ACO8交于點凡

過點/作Rif_LA8尸點M.求證：ME是半圓的半徑.

下面是勤奮小組的部分證明過程：

證明：如圖2,過點D作?！╛LA8于點，.

丁ZAOC=12\AC=AC，

：.ZABC=-^AOC=36°.（依據(jù)1）

2

???點。是AC的中點,

***AD=DC-

???ZAOC=72°,

:.ZAOD=ZCOD=36°.

???/ABD=ZCBD=ADAC=ZDCA=|ZABC=18°.（依據(jù)2）

???以A8為直徑作半圓0,

AZACB=ZAD^=9D°.（依據(jù)3）

/BCD=AACD+ZACB=108°.

???四邊形A8CD是半圓。的內(nèi)接四邊形，

???/BAD=180°-/DCB=72°,ZADC+ZABC=180°.(依據(jù)4)

*/ZADE+ZADC=180°,

:.ZADE=ZABC=36°.

：于點M,

:.FM=FC,/FMB=ZACB=90°.

,/BF=BF,

???ABCF^ABMF(HL).

,/BC=BM.

???BC=BM,ZABD=NCBD,BD=BD.

???△BCD^ABMD(SAS).

:.DC=DM.

通過上面的閱讀，完成下列任務(wù)：

(1)任務(wù)一：直接寫出依據(jù)1,依據(jù)2,依據(jù)3和依據(jù)4；

(2)任務(wù)二：根據(jù)勒奇小組的解答過程完成該題的證明過程.(提示：先求出4的度數(shù)，

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或判定完成該題的證明過程)

參考答案

1.C

【分析】根據(jù)弧、弦的概念、對稱軸的概念、過三點的圓的條件判斷即可.

解：A、弦不一定是直徑，但直徑是弦，本選項說法錯誤，不符合題意；

8、半圓小于優(yōu)弧，半圓是圓中最長的弧說法錯誤，本選項不符合題意；

C、圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，本選項說法正確，符合題意；

。、過不在同直線上的三點可以作個圓，本選項說法錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點撥】本題考查了圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)，靈活運用它

們解答.

2.A

【分析】根據(jù)題意可知，A3的中點為點0,連接OD,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得

AB=BC,再根據(jù)三角形中位線定理可得從而可得。。為。。的半徑,

22

由此即可得.

解：如圖，由題意可知，A3的中點為點0,連接。。，

?.?△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC,

Q。是AC的中點，。為的中點，

0D=-BC,

2

0D=-AB,

2

即0。為0。的半徑，

???點。在0。上，

故選：A.

【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、點與圓的位置關(guān)系，熟練

掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

3.D

【分析】如圖，令月8、。。的交點為￡,由垂徑定理得CE=OE,證明

Rt^BCE^Rt^ODE(HL),則BE=OE,OE=；OB=g()D=1,在心△ODE中，由勾股定

理得DETOLP—OE?，求出。E的值，根據(jù)。。二2。七計算求解CD的值即可.

解：如圖，令A(yù)3、C。的交點為E,

?；CD1AB,A3是0O的直徑,

:?CE=DE,

在RNBCE和Rt^ODE中，

BC=OD

CE=DE

：.RtJiCE^RtAOD￡(HL),

JBE=OE,

???OE=-OB=-OD=\,

22

在RtAODE中，由勾股定理得mr=>/OD2-OE2=75,

:?CD=2DE=2區(qū)

故選D.

【點撥】本題考查了垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識.解題的關(guān)

鍵在于由垂徑定理得到CE=DE.

4.D

【分析】作AHJL8C于從作直徑C凡連接8F,先利用等角的補角相等得到

ZDAE=ZBAF,再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到DE=8F=6,由4”_LBC,根據(jù)垂徑定理

得C〃=/3〃，則A”為△CBP的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到

解：作4H_L6C丁，，作直徑CF,連接6尸，如圖,

VZBAC+ZEAZ>180°,

而NBAC+NB4F=180。，

；?NDAE=NBAF,

,,DE=BF?

:?DE=BF=6,

AHIBC,

:?CH=BH,

而CA=AFf

???A〃為△C8尸的中位線，

：.AH=^BF=3,

故選：D.

【點撥】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的?半.也考查了垂徑定理和三角形中位線性偵，掌握以I：知以是

解題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】延長/。到M,使。歷二/。，連接CM.想辦法求出CM,證明/￡是△ACW的

中位線即可解決問題.

解：延長〃，到M,使。例=/。，連接CM.

：?41AC=41AB,NICA=NICB,

?:/DIC=/IAC+/ICA,NDCI=/BCD+NICB,

???ZD/C=ZDCZ,

：,DI=DC=DM,

???ZICM=90°t

*.CM=-IC2=8,

'：AI=2CD=\0,

*：AE=EC,

???/E是AACM的中位線，

：.1E=^CM=4,

故選：C.

【點撥】本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓、三角形的中位線定理、直角三角形

的判定、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題.

6.A

【分析】先由切線長定理和勾股定理算出三角形另外兩邊的長，再根據(jù)圖中陰影部分的

面積二AA3C的面積-。0的面積，然后利用三角形的面積公式和圓的面積公式計算即可.

解：過點。作48、4C、的垂線，垂足分別為Q、E、F,如圖，

-OE±AC,OF±BC,4=90。，

???四邊形C￡。尸是矩形，

OE=OF.

???四邊形尸是正方形，

：.CE=CF=OE=OF=2,

???。。是AABC的內(nèi)切圓，

;.BF=BD,AE=AD=AC-CE=5-2=3,

設(shè)BF=BD=x,

在油△A8C中，AC24-BC2=AB2,

/.52+(2+x)2=(3+x)2,

解得x=10,

/.BC=12,A8=13,

S陰影部分-^J\ABC~^QO=-X5X12—^X2-=30—4TT.

故選A.

【點撥】本題主要考查了切線長定理、勾股定理、三角形與圓的面積公式.

7.C

【分析】先利用垂徑定理，由。為A3的中點得到。則NA+NA0090。，然后

根據(jù)圓周角定理得到/AOC=2/AOC,力口上/A=/8,于是可判斷。選項一定正確.

解：為A3的中點，

:.OCLAB,

:.ZA+ZAOC=90°,

<ZA0C=2ZADC,

???2NAOC+NA=90。，

?：OA=OB,

，NA=NB,

???/2Aoe+NB=90。.

故選：C.

【點撥】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.也考查了垂徑定理.

8.B

【分析】連接0C、0P,易得NOPB=90。，點P是在以0B的中點。為圓心，BD為半

徑的圓上運動，求8〃即可.

解：連接0。、0P,

,:08:0。，

???△/3OC為等腰三角形，

???2為BC中點，

：,OP1BC（三線合一），

即/。尸8=90。，

???點尸是在以。8的中點。為圓心，8。為半徑的圓上運動，如圖所示，

當(dāng)點。運動到點A時，點尸到達P，位置，

點0所經(jīng)過的路徑長為8P，

連接OP'，???Q為OB中點，P'為人B中點,

ADP'//OA,

；?=404=120°,4Q=；OA=3,

即點尸所經(jīng)過的路徑長為2乃，

故選:B.

【點撥】本題考查動點的運動軌跡問題，根據(jù)定弦定角確定圓的所在位置，以及等腰三

角形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、弧長公式，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】連接。4,OF,由題意得OA=OF,設(shè)由勾股定理得

(X+2)2+22=(3-X)2+32,解答方程可得OC的值，再運用勾股定理可得0。的長.

解：連接OA,OF,如圖,

尸是半圓。的半徑，

/.OA=OF,

???四邊形A6C。、EFGC是正方形，

??.ZABC=/DCB=NFEC=90。,AB=BC=CD=3,CE=EF=2

設(shè)OC=x?

：.BO=BC-OC=3-x,OE=OC+CE=x+2,

在拈兇40和RiAEFO中,

AB2+BO2=AO2,OE2+EF2=OF2,

32+(3-x)2=(x+2)2+22=OF2,

,:AO=FO

：.3?+(37)2=(3+2)2+22,

解得，x=\,即。01,

在心△OOC中，DO2=OC2+DC2,

,OD=y/0C2+CD2=Vl2+32=Vio.

故選：B.

【點撥】本題主要考杳了圓的基本概念，勾股定理以及正方形的性質(zhì)，正確作出軸助線

是解答本題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出兩個扇形的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積

公式進行計算即可得出答案.

解：VZBOC=60°,AZTOC是△8OC繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，

AZ^OC=6()°,A?COABVO,

???Z萬0060。，N(790=30°,

???NB'OB=120°,

?.?48=2cm,

OB=Icm,OC--jCin,

...夕。=?m,

2

???SiOBJ。"」=三cnF,

3603

S幅影C0C='2°九*4二7icm2,

360-12

???陰影部分面枳=S炳彩BOB+SABCO-SABCO-S物形COGS扇形BOB-S^C0C=

文兀冗、

—=-cm-；

124

故選：B.

【點撥】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和扇形的面積公式，掌握直角三角形的性質(zhì)和扇形的面

積公式是本題的關(guān)鍵.

II.12

【分析】連接OC、OB,根據(jù)作圖可知OC是線段A8的垂直平分線，則有?在

/?/△80c中，利用勾股定理即可求解0C.

解：連接OC、0B,如圖，

根據(jù)作圖可知，0C是線段A8的垂直平分線，

則有BC=AC=^AB=\0x^=5,

又：圓的半徑08=13,

，在心ZiBOC中，利用勾股定理可得：OC=\IOB2-BC2=V132-52=12-

故答案為：12.

【點撥】本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖與性質(zhì)、勾股定理與圓的知識.根據(jù)尺規(guī)作

圖的方法得出所做直線MN是線段/1B的垂直平分線是解答本題的關(guān)鍵.

12.8

【分析】過P點作弦AB,使AB1.OP,則AB為過P點的最短的弦，連結(jié)OA,根據(jù)

垂徑定理得AP=BP,在Rt/iAOP中，根據(jù)勾股定理可計算出AP=4,則AB=2AP=8.

解：過P點作弦AB,使AB_LOP,則AB為過P點的最短的弦，

V0P1AB,

AAP=BP,

在RSA0P中,0A=5,0P=3,

???AP=No#-OP2=V52-32=4，

AAB=2AP=8.

故答案為：8.

【點撥】本題考查了勾股定理和垂徑定理，熟記垂徑定理“平分弦的直徑平分這條弦，

并且平分弦所對的兩條弧”是解題的關(guān)鍵.

13.45/2

【分析】連接0。，交AC于尸，根據(jù)垂徑定理的推論得出0Q_LAC,AF=CF,進而證

DF=BC,根據(jù)三角形中位線定理求得0F=g8C=g0F,從而求得BC=。凡利用勾股定

理即可求得AC

解：如圖，連接。。，交AC于憶

?.?。是AC的中點，

AODLAC,AF=CF,

...ZDFE=90°,

F0A=0B,AF=CF,

：.0F=+BC,

???48是直徑，

???ZACB=90°,

在4￡f。和4EC8中，

NDFE=NBCE=9。。

</DEF=NBEC,

DE=BE

:./\EFD@4ECB(AAS)t

:,DF=BC,

：.OF=；DF,

?/OD=3,

：.OF=\,止200=6,

:.BC=2,

；?AC=>!AB--BC1=V62-22=45/2?

故答案為：4夜.

【點撥】本題考查垂徑定理，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和垂徑定理

及其推論是解題的關(guān)鍵.

14.36

【分析】若要使ZMBP的面積最大，底A3固定，故只要A8邊上的高最大時，即三角

形面積最大；可證NAP8=120。，故可知點。在的外接圓的劣弧.上，當(dāng)點。在劣

弧4B的中點處，△人的面積最大，求出入8邊上的高即可求解?

解：???四邊形A/3CO是菱形，

：.AB=BC=6,ABHCD,

：.乙44。+N4co=18()。，

???ZC=120°,

r.NABC=60。，即ZABP+/PBC=60°,

'：/BAP=NCBE,

:.Z44P+NAAP=60。，

ZAPB=180°-(ZABP+/BAP)=180°-60°=l20°,

???點P在在△APB的外接圓上，

若要使八430的面積最大，底A8固定，ZAPB=120°,故只要48邊上的高最大時，

即三角形面枳最大；此時點P在劣弧A8的中點處，如圖，

設(shè)點。為△AP8的外接圓的圓心，OP_L48于點凡

AAF=-AB=3,ZAPF=-ZAPB=60°,

22

NPA尸=30。，

/.AP=2PF

由勾股定理得，AF2+Pf2=AP2

，32+PF2=4PF2

:.PF;叢

：.S^PB=1x6x75=373

即△人3/＞面積的最大值為3G.

故答案為：動.

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積公式，解直角三角形，垂徑定理等知識,

正確作出輔助圓，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

15.(0,2)

2

【分析】連接A8,過點A分別作AC_Lx軸、A力心軸，利用根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知△用8、

△AOC為直角三角形,A8=AC=|,利用直角三角形中30。角的性質(zhì)和勾股定理分別求出AP、

AD的長度，進而求出OZXP。的長度即可求得答案.

解：如圖，過點A分別作AC_Lx軸于點C、AO_Ly軸于點。，連接48,

?.?AQ_Ly軸，AC_Lx軸，

???四邊形4。。。為矩形.

：.AC=OD,OC=AD.

???。人與x軸相切，

???4C為04的半徑.

???點4坐標為(4,5)，

.\AC=OD=—,OC=AD=4t

2

二/4是切線,

：,ABLPH.

?/NAPB=30。,

：,PA=2AB=5.

在放△以。中，根據(jù)勾股定理，得PD=J%2一=^夕一42=3,

???OP=PD+DO=—.

2

???點P在），軸的正半軸上，

，點P坐標為（0,y）.

故答案為：（0,—）.

【點撥】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵

是把所求的線段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圓的切線作半徑.

16.2

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得出NA8C,N8C。的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)證明8M=CM,?AA例90?,設(shè)8M=a,則CM=?則AM=2a,從而可得答案.

解：???六邊形是正六邊形，

：.ZBCD=^ABC=-（6-2）x180°=120°,AB=BC=CD,

6

:?NBAC=/ACB=/CBD=NCDB=W（180°-120°）=30°,

\CM=8M,NA8M=9O。，

設(shè)則CM=a,

\AM=2BM=2a,

故答案為2.

【點撥】本題考查了正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角與外角以及等腰三角形的性質(zhì)，含好

的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解答本題的關(guān)鍵.

17.巫

3

【分析】由正六邊形4BCOE廠的邊長為4,可得4B=BC=4,ZABC=ZBAF=\20°,進

而求出N84C=30。，NC4E=60。，過8作87/JLAC于”，由等腰三角形的性質(zhì)和含30。直角

三角形的性質(zhì)得到八〃=?！?cè)薈，BH=2.在RsARH中,山勾股定理求得八，=2遂，得

至lJAC=4G.根據(jù)扇形的面積公式可得到陰影部分的面積，即是圓錐的側(cè)面積，最后根據(jù)

圓錐的側(cè)面積公式求解底面半徑即可.

解：???正六邊形44coE〃的邊長為4,

：.AB=BC=4,

ZABC=NBAF=(6-2)x180。=120。，

6

ZABC+ZBAC+ZBCA=180°,

ZBAC=-(1800-=30°,

2

如圖，過B作8,14c于〃，

：.AH=CH=^ACt

BH=—AB=—x4=2,

22

在RsABH中,

AH=yjAB2-BH2=742-22=2G，

4c=24”=46

同理可求NE4F=30。，

Z.CAE=NBAF-ABAC-ZEAF=120°-30o-300=60o,

?c_60小(4/)2_

..無形CAE=—標—=8乃，

SM錐倒=S扇形=8笈,

\*S質(zhì)饞惻=乃〃=萬人AC=4>/3^r,

*,?4y白仃=8乃，

._2x/3

■?J—.

3

故答案為：冬旦.

3

ED

【點撥】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、扇形面積的計算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定

理、圓錐的側(cè)面枳，掌握扇形面積公式和圓錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵.

18.3>/2+1*#1+3>/2

【分析】由“SAS”可證△NBM/△08C,可得MN=OC,則當(dāng)點0在線段MN上時，MN

有最大值，即可求解.

解：如圖，過點8作8NJ_A8,且BN=OB,連接ON,OM,MN,

；?ZNBO=90°=ZMBC,

：./MBN=NOBC,

在478知和4O8C中，

'：MB=BC,NMBN=NOBC,BN=OB,

:,△NBM/4OBC(SAS),

:?MN=OC,

???MMOM+OM

???當(dāng)點O在線段MN上時，MN有最大值,

*：OB=3OA=3,

JOM=l,()N=6()B=372,

，MN的最大值為3亞+1,

???OC的最大值為36+I，

故答案為：3a+1

【點撥】本題考查了圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，

圓的有關(guān)知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

19.ACLBD,答案見分析.

【分析】利用直徑所對的圓周角是直角，以及等角對等弦，先求出。F,再證明8C=。/

即可.

證明：連接A。并延長交。。于點匕連接。尸，如圖所示，

為0。直徑，

AZADF=90°,即AO_L皿，

又「OE1AD,

AOE//FD,

?；AO=OF,

:?AE=ED,

OE是△AD戶的中位線，

DF=2OE,

???ZAFD+ZDAF=ZABD+Z.BAC=90°,ZAFD=ZABD,

J/DAF=/BAC,

:.FD=BC,

：.BC=2OE.

【點撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，平行線的判定，三

角形的中位線，圓周角、弧與弦的關(guān)系，構(gòu)造直徑，靈活運用平行線的判定，三角形的中位

線定理是解題的關(guān)鍵.

20.（I）證明見分析；（2）8-2萬

【分析】（1）過。作0E_L48,根據(jù)垂徑定理得到AE=BE,CE=DE,從而得到AC二BD；

（2）由（1）可知，OE_LAB且OE_LCQ,連接OC,OAf再根據(jù)勾股定理求出CE及

AE的長，根據(jù)4C=AE-CE即可得出結(jié)論.

（1）證明：如答圖，過點。作OEL4B于點E,

VAE=BE,CE=DE,

:.BE-DE=AE-CE,

即AC=BD

(2)由(1)可知，。石_L44且OE_LC。，

連接OC,OA,

70/1=10,OC=8,OE=6,

?*-CE=y]0C2-0E2=>/82-62=2V7,AE=ylo^-OE2=V102-62=8.

：.AC=AE-CF=8-2x/7.

【點撥】本題考查的是垂徑定理.，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出在角三角形是解答此題

的關(guān)鍵.

21.(1)52°,45°；(2)26°

分析：（I）運用直密所對的圓周角是直角以及圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)求解

即可;

（II）運用圓周角定理求解即可.

解：（I）;AB是。。的直徑，???NAC8=90".

NBAC+/ABC=9(f.

又工ABAC=38°,JZABC=90-38°=520.

由。為A8的中點，得AO=50?

NACD=/BCD=；ZACB=45°.

工乙480=乙4C￡>=45.

(H)如圖，連接。D.

???DP切。0于點D,

：,OD1DP,即NODP=90.

rt!OP〃AC,又N84C=38\

???ZA。。是△。勿的外角，

:.ZAOD=NODP+NP=128°.

ZS4CD=-ZAOD=64.

2

乂04=。。，得NACO=NA=38°.

/.ZOCD=ZACD-ZACO=64’-38=26°.

【點撥】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

22.(1)見分析(2)見分析(3)4E=26

【分析】(1)連接OC.證NO=NCO從由OQ_LAB,得NCO8+NCOO=90。.可證

NQ+NCOO=90°.即NQCO=90。；

(2)由NDCE+N人CO=90°,NAEO+N4=90°和NA=NACO,NDEC=NAEO,

可得//)EC=NDCE,BPDE=DC.

(3)先求得OC=4,AB=2OC=S,OE=OD-DE=2,SiiEA得

OE=AO

~CB~~AC'

(1)證明：連接。C,如圖，

D

?：OA=OC,

???N4C0=NA,

：,ZCOB=ZA+ZAC0=2ZA,

又???NO=2NA,

:,/D=/COB.

^?：ODA.AB,

.\ZCOB+ZCO/9=90°,

.??ND+NCOQ=90°,即NOCO=90。，

???OCJ_OC,

又點C在(DO上，

???CO是0。的切線；

(2)證明：VZDCO=90°,

???NQCE+NACO=90°,

XVODLAB,

：./AEO+/A=90。，

又?.?NA=NACO,NDEC=/AEO,

：?/DEC=/DCE,

：.DE=DC；

(3)解：：NQCO=