中考數(shù)學(xué)題型專項(xiàng)訓(xùn)練單選題

一.選擇題（共20小題）

1.（2025秋?禹城市期末）數(shù)形結(jié)合A,B,C三個(gè)住宅區(qū)分別住有某公司職工30人、15人、10人，

且這三個(gè)住宅區(qū)在一條大道上（A,B,C三點(diǎn)共線），如圖所示，已知A8=100m,BC=200m,

為了方便職工上下班，該公司的接送車打算在此區(qū)間內(nèi)設(shè)一個(gè)停靠點(diǎn)，為使所有的人步行到?？?/p>

點(diǎn)的路程之和最小，那么該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）

|-700米>200米<-----1

金區(qū)5區(qū)C區(qū)

A.點(diǎn)4B.點(diǎn)8C.點(diǎn)A,B之間D.點(diǎn)、B,。之間

2.（2025秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）對(duì)一組代數(shù)式：b,cui,b,cWO）進(jìn)行如下操作：任意相鄰

的兩個(gè)代數(shù)式，都用右邊的代數(shù)式除以左邊的代數(shù)式，所得之商寫在這兩個(gè)代數(shù)式之間，可以產(chǎn)

hr

生一個(gè)新的代數(shù)式列：。，-b,c,記為代數(shù)式列1；將代數(shù)式列1按上述方法再做一次操作，

ab

可以得到代數(shù)式列2；以此類推.通過(guò)實(shí)際操作，得出以下結(jié)論：

①代數(shù)式列2為：a,—T,a,b,白，三b,c；

a*23ftb

②代數(shù)式列3共18個(gè)代數(shù)式；

③代數(shù)式列3的所有代數(shù)式的積是代數(shù)式列2的所有代數(shù)式積的2倍；

a

“2024

④代數(shù)式列2023的所有代數(shù)式的積為FT7.

上述四個(gè)結(jié)論正確的有（）個(gè)

A.0B.1C.2D.3

3.（2025秋?天臺(tái)縣模擬）如圖，。。的半徑為2,圓心。在坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形A8CO的邊長(zhǎng)為2,

點(diǎn)A、8在第二象限，點(diǎn)C、。在。。上，且點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）,現(xiàn)將正方形A4CO繞點(diǎn)C

按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150°,點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到了。。上點(diǎn)加處，點(diǎn)A、。分別運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)4、Di處，即

得到正方形AlZnClDK點(diǎn)Cl與C重合）；再將正方形AlAiCiDi繞點(diǎn)按逆時(shí)旬方向旋轉(zhuǎn)150“，

點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)到了。。上點(diǎn)A2處，點(diǎn)。1、Cl分別運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)Z>2、C2處，即得到正方形A242c2。2（點(diǎn)

治與31重合），…，按上述方法旋轉(zhuǎn)2020次后，點(diǎn)42020的坐標(biāo)為（）

C.（-1-V3,-1-V3）D.（1,-2-百）

4.（2018秋?諸暨市期末）某企業(yè)接到為地震災(zāi)區(qū)生產(chǎn)活動(dòng)房的任務(wù)，此企業(yè)擁有九個(gè)生產(chǎn)車間，

現(xiàn)在每個(gè)車間原有的成品活動(dòng)房一樣多，每個(gè)車間的生產(chǎn)能力也一樣.有4、B兩組檢驗(yàn)員，其中

A組有8名檢驗(yàn)員前兩天時(shí)間將第一、二車間的所有成品（原來(lái)的和這兩天生產(chǎn)的）檢驗(yàn)完畢后，

再去檢驗(yàn)第三、四車間所有成品，又用去三天時(shí)間；同時(shí)這五天時(shí)間8組檢驗(yàn)員也檢驗(yàn)完余下的

五個(gè)車間的所有成品.如果每個(gè)檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度一樣快，那么8組檢驗(yàn)員人數(shù)為（）

A.8人B.10人C.12人D.14人

5.（2025秋?盤州市期末）清初曾傳入中國(guó)兩卷無(wú)作者的代數(shù)學(xué)書，被譯為《阿爾熱巴拉新法》，

后由中國(guó)近代數(shù)學(xué)家李善蘭改譯為《代數(shù)學(xué)》.該書中記載，形如f+10x=56的方程，求正數(shù)解

的幾何方法是："如圖①，先構(gòu)造一個(gè)面積為了的正方形，再以該正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造

四個(gè)面積均為|x的矩形，則大正方形的面積為56+25=81,則原方程的正數(shù)解為9?5=4”.小

聰按此方法解關(guān)于），的方程），2+20尸?〃?一（）時(shí)，構(gòu)造出如圖②所示的圖形，己知陰影部分的面積為

156,則該方程的正數(shù)解為（）

y

2

圖①圖②

A.6B.8C.16D.2V39-5

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家研究過(guò)一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法.以方程7+5.1-14=0,即x（x+5）=

14為例說(shuō)明，《方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖中大正方形的面積是（x+x+5）2同時(shí)它又等

于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4X14+5,因此％=2.小明用此方法解關(guān)于x的

方程.，+/&?〃=（）時(shí)，構(gòu)造HI同樣的圖形，已知大止方形的面枳為14,小止方形的面枳為4,則

)

x4-5

x+5

葉5

x

計(jì)5x

A.〃?=2,〃=3B.m=n=2

C55

--機(jī)-K=-

2D.2,2

7.（2025秋?佳木斯三模）直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活,某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元

的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)每件小商

品售價(jià)每降低1元，口銷存量增加2件.若□利潤(rùn)保持不變.商家想盡快銷售完該款商品.每件

售價(jià)應(yīng)定為多少元.（）

A.45B.50C.55D.60

8.（2025秋?羅山縣校級(jí)月考）生物學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，很多植物的生長(zhǎng)都有下面的規(guī)律，即主干長(zhǎng)出

若干數(shù)FI的支干后，每個(gè)支干又會(huì)長(zhǎng)出同樣數(shù)FI的小分支.現(xiàn)有符合上述生長(zhǎng)規(guī)律的某種植物，

它的主干、支干和小分支的總數(shù)是91,則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是（）

A.9B.10C.-10D.9或10

9.（2025秋?岳陽(yáng)縣期中）如圖，已知太陽(yáng)光線AC和。E是平行的，在同一時(shí)刻，如果將兩根高度

相同的木桿豎直插在地面上，那么在太陽(yáng)光照射下，其影子一樣長(zhǎng).這里判斷影長(zhǎng)相等利用了全

等圖形的性質(zhì)，其中判斷△ABCgZXOFE的依據(jù)是（）

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

10.（2025秋?長(zhǎng)春月考）杜甫曾經(jīng)哀嘆“茅屋為秋風(fēng)所破”，苦于杜甫不曾學(xué)過(guò)今日幾何，不然也

不會(huì)如此絕望.現(xiàn)在我們來(lái)看一茅屋的屋頂剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐A3=AC=5米，橫

梁8。=8米，那么從梁8C上的任意一點(diǎn)。要支一根木頭頂住屋頂A處，這根木頭需要長(zhǎng)度可能

是（）

A

C.4米D.8米

11.（2025秋?驛城區(qū)期末）王林在美術(shù)課上將等腰AABC通過(guò)平移設(shè)計(jì)得到“一棵樹”，己知底邊

A4上的高CD為沿CO方向向卜平移3cm到△A|4|C1的位置，再經(jīng)過(guò)相同的平移到Z1A262c2

的位置，下方樹干EF長(zhǎng)為4cm，則樹的高度C/7長(zhǎng)為（)

C.16cmD.15cw

12.（2025秋?洛寧縣月考D第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（/CME-14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的

圖案來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”.如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形

（△ABE,ABCF,△COG,△D4”）和一個(gè)小正方形拼成的大正方形ABCD若EF：AH

=1：3,則sin/8c尸=()

D

B

圖1圖2

13.（2025秋?龍口市一模）桔棒俗稱“吊桿”“稱桿”（如圖I）,是我國(guó)古代農(nóng)用工具，始見于

《墨子?備城門》，是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械.桔樓示意圖如圖2所示，0M是垂直于水平

地面的支撐桿，OM=3米，AB是杠桿，4B=6米，。4：OB=2,1.當(dāng)點(diǎn)4位于最高點(diǎn)時(shí)，ZAOM

=120°.此時(shí)，點(diǎn)A到地面的距離為（）

A

圖1

A.(2b+3)米B.5米C.6米D.7米

14.（2025秋?安次區(qū)二模）如圖是一款桌面可調(diào)整的學(xué)習(xí)桌，桌面寬度/1B為6（）5?,桌面平放時(shí)高

度。E為70s?,若書寫時(shí)桌面適宜傾斜角（NABC）的度數(shù)為a,則桌沿（點(diǎn)A）處到地面的高度

〃為（）

A.(60sina+70)cmB.(60cosa+70)cm

C.(60tana+70)cmD.130cm

15.（2025秋?南安市模擬）圭表（如圖1）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天

文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的

長(zhǎng)尺（稱為“圭”），當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上.圖2是一個(gè)根據(jù)某市

地理位置設(shè)計(jì)的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC.已知該市冬至正午太陽(yáng)高度角（即N4BC）

為a,夏至正午太陽(yáng)高度角（即NADC）為由若表AC的長(zhǎng)為/〃，則圭面上冬至線與夏至線之間

的距離（即。B的長(zhǎng)）為（）

圖1圖2

mm

A.///tana-/wlanpB.

tanatanp

mm

C./nsina-wcospD.

sinacos。

16.（2025秋?無(wú)錫期末）如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)QCME）會(huì)徽，選擇其中兩個(gè)相鄰的

直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形Q4BC,若AB=BC,sin/AOB=*則tanC的

值為（）

17.（2025秋?通榆縣一模）“圭表”是中國(guó)古代用來(lái)確定節(jié)氣的儀器.某“圭表”示意圖如圖所示，

ACA.BC,AC=3米，測(cè)得某地夏至正午時(shí)“表”的影長(zhǎng)CD=1米，冬至?xí)r的正午太陽(yáng)高度角N

ABC=a,則旻全到冬至，影長(zhǎng)差的長(zhǎng)為（）

北（子）南（午）

圭

立春春分立夏夏

立冬秋分立秋至

線

B-京T）米

A.(3sina-1)米

C.(3lana-l)米D?襦一迷

18.（2025秋?深圳三模）小明在科普讀物中了解到：每種介質(zhì)都有自己的折射率，當(dāng)光從空氣射入

該介質(zhì)時(shí)，折射率為入射角正弦值與折射角正弦值之比，即折射率九=舞㈠為入射角，「為折射

角）.如圖，一束光從空氣射向橫截面為直角三角形的玻璃透鏡斜面，經(jīng)折射后沿垂直4C邊的方

向射出，已知i=3（r,AB=\5cm,BC=5crn,則該玻璃透鏡的折射率〃為（）

法線

19.（2025秋?長(zhǎng)仔月考）如圖所示，學(xué)校九年級(jí)舉行跳繩比賽，圖中的四個(gè)點(diǎn)分別描述了九年級(jí)的

四個(gè)班級(jí)競(jìng)賽成績(jī)的優(yōu)秀率），（班級(jí)優(yōu)秀人數(shù)占班級(jí)參加競(jìng)賽人數(shù)的百分率）與該班參加競(jìng)賽人數(shù)

工的情況，其中描述1班和3班兩個(gè)班級(jí)情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，貝!成績(jī)優(yōu)秀

C.3班D.4班

20.（2025秋?順德區(qū)期中）《墨經(jīng)》中有：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端”，大約在兩千四

百年前，墨子和他的學(xué)生做的世界上第1個(gè)小孔成像的實(shí)驗(yàn).如圖所示的實(shí)驗(yàn)中，若物距為10?！?

像距為18口〃，蠟燭火焰倒立的像的高度是則蠟燭火焰的高度是（）cm.

13

A.—B.4C.——D.5

33

參考答案與試題解析

一.選擇題（共20小題）

1.（2025秋?禹城市期末）數(shù)形結(jié)合A,B,。三個(gè)住宅區(qū)分別住有某公司職工30人、15人、10人，

且這三個(gè)住宅區(qū)在一條大道上（4,B，C三點(diǎn)共線），如圖所示，已知A4=100〃?，4c=200〃?，

為了方便職工上下班，該公司的接送車打算在此區(qū)間內(nèi)設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有的人步行到停靠

點(diǎn)的路程之和最小，那么該停靠點(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）

|~700米T>200米<------1

金區(qū)5區(qū)C區(qū)

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)A,8之間D.點(diǎn)B,。之間

【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離.

【專題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識(shí).

【答案】A

【分析】此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，由題意設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有的人步行到?？奎c(diǎn)的路程之和

最小，肯定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點(diǎn)間線段最短定理.

【解答】解：①以點(diǎn)4為?？奎c(diǎn)，則所有人的路程的和=15X100+10X300=4500（米），

②以點(diǎn)8為?？奎c(diǎn)，則所有人的路程的和=30X100+10X200=5000（米），

③以點(diǎn)。為停靠點(diǎn)，則所有人的路程的和=30X300+15X200=12000（米），

④當(dāng)在A/3之間?？繒r(shí)，設(shè)?？奎c(diǎn)到4的距離是〃?，則（0V〃?V100）,則所有人的路程的和是:

30/〃+15（100-m）+10（300-m）=4500+5m>4500,

⑤當(dāng)在之間?？繒r(shí)，設(shè)?？奎c(diǎn)到B的距離為〃，則（0<n<200）,則總路程為30（100+〃）

+15n+10（200-n）=5000+35心4500.

???該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在點(diǎn)A；

故選：A,

【點(diǎn)評(píng)】此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，考查知識(shí)點(diǎn)為兩點(diǎn)之間線段最短.

2.（2025秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）對(duì)一組代數(shù)式：小b,cImb,c關(guān)（））進(jìn)行如下操作：任意相鄰

的兩個(gè)代數(shù)式，都用右邊的代數(shù)式除以左邊的代數(shù)式，所得之商寫在這兩個(gè)代數(shù)式之間，可以產(chǎn)

bc

生一個(gè)新的代數(shù)式列：。，一，b,o記為代數(shù)式列1；將代數(shù)式列1按上述方法再做一次操作，

ab

可以得到代數(shù)式列2；以此類推.通過(guò)實(shí)際操作，得出以下結(jié)論：

-bbcc

①代數(shù)式列2為：a,―,a,b,―,b,c；

azab*2b

②代數(shù)式列3共18個(gè)代數(shù)式;

③代數(shù)式列3的所有代數(shù)式的積是代數(shù)式列2的所有代數(shù)式積的一倍；

a

be2024

④代數(shù)式歹U2023的所有代數(shù)式的積為

a2022

上述四個(gè)結(jié)論正確的有（）個(gè)

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；列代數(shù)式.

【專題】計(jì)算題；猜想歸納；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可解決.

【解答】解：根據(jù)題意，由a,b,c（小b,cWO）,

bc

?.?代數(shù)列1為：a,—,b,c,

ab

b匕QQ

則代數(shù)列2為：a,―,一，a,b,―,b,c,故①對(duì)：

a2abzb

bbba2bcccb2c

代數(shù)列3為：a,—>—,一，a,—?b,,b,―,一,b,—,c共17個(gè)代數(shù)式，

a3azabab3bzbcb

故②錯(cuò)誤；

???代數(shù)式列2的所有代數(shù)式積為：”提x[xaXbx芻X,X〃xc二警，

代數(shù)式列3的所有代數(shù)式的枳是:ax/x/xaxxyx“x'x/?x親父親xbx卡x"x/?x彳xc=

be4be3c

kha'

???代數(shù)式列3的所有代數(shù)式的積是代數(shù)式列2的所有代數(shù)式積的￡倍，故③對(duì)；

a

???代數(shù)式列1的所有代數(shù)式的積是ax紈乂髀=仄2=尻2乂（：）r,,

匕6?3r

代數(shù)式列2的所有代數(shù)式的積是：一=hc2X（-）21,

aa

be，c

代數(shù)式列3的所有代數(shù)式的積是：—=bc2X（-）3,,

a2a

故代數(shù)式歹2023的所有代數(shù)式的積是：bJx（?）20237=^^,故④對(duì)，

故答案選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列代數(shù)式以及根據(jù)新定義解決問(wèn)題，難度較大切繁瑣，細(xì)心認(rèn)真耐心是解決問(wèn)

題的關(guān)鍵.

3.（2025秋?天臺(tái)縣模擬）如圖，。0的半徑為2,圓心0在坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形A8C。的邊長(zhǎng)為2,

點(diǎn)A、8在第二象限，點(diǎn)C、。在。0上，且點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）,現(xiàn)將正方形A8CO繞點(diǎn)C

按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150。，點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)到了OO上點(diǎn)小處，點(diǎn)A、。分別運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)4、。處，即

得到正方形點(diǎn)。與C重合）;再將正方形A\B\C\D\繞點(diǎn)Bi按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150°,

點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)到了。。上點(diǎn)42處，點(diǎn)。1、。分別運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)￡>2、C2處，即得到正方形42及C2D2（點(diǎn)

治與囪重合），…，按上述方法旋轉(zhuǎn)2020次后，點(diǎn)A2O2O的坐標(biāo)為（)

B.(2+V3,-I)

C.(-I-V3,-1-V3)D.(1,-2-V3)

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化■旋轉(zhuǎn)：規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo).

【專題】動(dòng)點(diǎn)型；規(guī)律型；應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

【分析】如圖，由題意發(fā)現(xiàn)12次一個(gè)循環(huán)，由2020+12=168余數(shù)為4,推出人2。2。的坐標(biāo)與A4

相同，由此即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，由題意發(fā)現(xiàn)12次一個(gè)循環(huán),

A2020的坐標(biāo)與A4相同,

V/14（2+V3,-I）,

.*.42020（2+V3,-1）,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，

屬于中考選擇題中的壓軸題.

4.（2018秋?諸暨市期末）杲企業(yè)接到為地震災(zāi)區(qū)生產(chǎn)活動(dòng)房的任務(wù)，此企業(yè)擁有九個(gè)生產(chǎn)車間，

現(xiàn)在每個(gè)車間原有的成品活動(dòng)房一樣多，每個(gè)車間的生產(chǎn)能力也一樣.有小B兩組檢驗(yàn)員，其中

A組有8名檢驗(yàn)員前兩天時(shí)間將第一、二車間的所有成品（原來(lái)的和這兩天生產(chǎn)的）檢驗(yàn)完畢后，

再去檢驗(yàn)第三、四車間所有成品，又用去三天時(shí)間；同時(shí)這五天時(shí)間8組檢驗(yàn)員也檢驗(yàn)完余下的

五個(gè)車間的所有成品.如果每個(gè)檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度一樣快，那么8組檢驗(yàn)員人數(shù)為（）

A.8人B.10人C.12人D.14人

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用.

【專題】應(yīng)用題；應(yīng)用意識(shí).

【答案】C

【分析】設(shè)4組所檢驗(yàn)的每個(gè)車間原有成品。件，每個(gè)車間1天生產(chǎn)力件，可得A組前兩天檢驗(yàn)

的總件數(shù)和后三天檢驗(yàn)的總件數(shù)為.根據(jù)檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度相同，可列式等式得到。和〃的關(guān)系，

即可得A組一名檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù).再根據(jù)B組檢驗(yàn)員的人數(shù)=五個(gè)車間的所有成品+A

組一名檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)，列式即可得解.

【解答】解：設(shè)每個(gè)車間原有成品〃件，每個(gè)車間每天生產(chǎn)〃件產(chǎn)品，根據(jù)檢驗(yàn)速度相司得：

2u+2X2b2a+2x5。

,

23

解得。=4方：

則A組每名檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)為：2（a+2b）+（2X8）=12獷16=?.

32

那么B組檢驗(yàn)員的人數(shù)為：5（"5-+（產(chǎn)+5=45〃+引+5=12（人）.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，本題是一道敘述比較長(zhǎng)的題目，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真讀題，

理解各種量之間的關(guān)系列出等式.

5.（2025秋?盤州市期末）清初曾傳入中國(guó)兩卷無(wú)作者的代數(shù)學(xué)書，被譯為《阿爾熱巴拉新法》，

后由中國(guó)近代數(shù)學(xué)家李善蘭改譯為《代數(shù)學(xué)》.該書中記載，形如/+IOx=56的方程，求正數(shù)解

的幾何方法是："如圖①，先構(gòu)造一個(gè)面積為小的正方形，再以該正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造

四個(gè)面積均為的矩形，則大正方形的面積為56+25=81,則原方程的正數(shù)解為9-5=4”.小

聰按此方法解關(guān)于），的方程尸+20）葉〃?=0時(shí)，構(gòu)造出如圖②所示的圖形，已知陰影部分的面積為

156,則該方程的正數(shù)解為（）

D.2V39-5

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】A

【分析】先構(gòu)造一個(gè)面積為，的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為號(hào)的矩形，

利用大正方形的面積=陰影部分的面積+4X小正方形的面積，可得出大正方形的面積，再利用該

方程的正數(shù)解=大正方形的邊長(zhǎng)-2X小正方形的邊長(zhǎng)，即可得出結(jié)論.

【解答】解：先構(gòu)造一個(gè)面積為』的正方形，再以該正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積均為

5>'的矩形，

???陰影部分的面積為156,

???/4X5y=/+20v=156,

???大正方形的面積=156+4X52=256,

，大正方形的邊長(zhǎng)=V256=16,

J方程)2+20)，+用=0的正數(shù)解為16-2X5=16?10=6,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，模仿案例，構(gòu)造出符合題意的大正方形是解題的關(guān)鍵.

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家研窕過(guò)一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法.以方程/+5x-14=(),即x(x+5)=

14為例說(shuō)明，《方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖中大正方形的面積是(x+x+5)2同時(shí)它又等

于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4X14+5?,因此x=2.小明用此方法解關(guān)于x的

方程V+〃a-〃=0時(shí)，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為14,小正方形的面積為4,則

x4-5

x+5

葉5

x

計(jì)5x

/14

A.〃?=2,〃=3B.m=—2~,n=2

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】。

【分析】畫出方程/+〃”?-〃=。的拼圖過(guò)程，由面積之間的關(guān)系得加2=%4,/+4=14,即可得出

結(jié)論.

.*.772=V4=2?〃=5'

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法是解題的關(guān)鍵.

7.（2025秋?佳木斯三模）直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活.某電商在抖音，對(duì)一款成本價(jià)為40元

的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)每件小商

品售價(jià)每降低1元，日銷售量增加2件.若日利潤(rùn)保持不變.商家想盡快銷售完該款商品.每件

售價(jià)應(yīng)定為多少元.（）

A.45B.50C.55D.60

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

【分析】設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為x元，根據(jù)按每件60元俏售，每天可賣出20件.每降低1元，日俏

售量增加2件.日利潤(rùn)保持不變.列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可.

【解答】解：設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為X元，

根據(jù)題意得：（x-40）[20+2（60-x）]=（60-40）X20,

解得：川=50,%2=60（不符合題意，舍去），

即商家想盡快銷售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為50元.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

8.（2025秋?羅山縣校級(jí)月考）生物學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，很多植物的生長(zhǎng)都有下面的規(guī)律，即主干長(zhǎng)出

若干數(shù)目的支干后，每個(gè)支干又會(huì)長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支.現(xiàn)有符合上述生長(zhǎng)規(guī)律的某種植物，

它的主干、支干和小分支的總數(shù)是91,則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是（）

A.9B.10C.-1（）D.9或10

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】A

【分析】設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是x,根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是91,列

出一元二次方程，解之取其正值即可得出答案.

【解答】解：設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是工，

根據(jù)題意得：l+x+f=91,

整理得：A2+X-90=0,

解得：川=9,X2=-10（不合題意，舍去），

即這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是9,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了?元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出?元二次方程是解題的關(guān)鍵.

9.（2025秋?岳陽(yáng)縣期中）如圖，己知太陽(yáng)光線AC和是平行的，在同一時(shí)刻，如果將兩根高度

相同的木桿豎直插在地面上，那么在太陽(yáng)光照射下，其影子一樣長(zhǎng).這里判斷影長(zhǎng)相等利用了全

等圖形的性質(zhì)，其中判斷△ABCg△。尸E的依據(jù)是（）

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

【考點(diǎn)】平行投影；全等圖形；全等三角形的判定.

【專題】投影與視圖；應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

【分析】先根據(jù)題意得出AHLGT,DTA.GT,AH=DT,進(jìn)而得N4G"=NQAT,ZAHG

=NQTK=90°,據(jù)此即可判定AAG〃和△OAT全等，從而得出答案.

【解答】解：如圖，

■:ACHED,AHA.GT,DT工GT,AH=DT,

：./AGH=4DKT,NAHG=/DTK=9G,

在△AG"和△QKT中，

(LAGH=Z.DKT

\z.AHG=乙DTK=90%

(AH=DT

：./^AGH^ADKT(AAS).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，找出

AC//ED,AHLGT,DT±GT,AH=DT,進(jìn)而找出判定三角形全等的判定條件.

10.(2025秋?長(zhǎng)春月考)杜甫曾經(jīng)哀嘆“茅屋為秋風(fēng)所破”，苦于杜甫不曾學(xué)過(guò)今日幾何，不然也

不會(huì)如此絕望.現(xiàn)在我們來(lái)看一茅屋的屋頂剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐A4=AC=5米，橫

梁BC=8米，那么從梁上的任意一點(diǎn)。要支一根木頭頂住屋頂4處，這根木頭需要長(zhǎng)度可能

是()

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；等腰一角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推埋能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE_L8c于點(diǎn)E,由等腰三角形的性質(zhì)得8E=CE=4米，中由勾股定理求出AE

=3米，然后山AEWADVAC,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作4E_L8C于點(diǎn)E,

???A8=AC=5米，8c=8米，

/.BE=CE=ifiC=1x8=4（米），

乙乙

在RtZ\43E中，由勾股定理得：AE=y/AB2-BE2=V52-42=3（米），

由題意可知，AEW4OVAC,

即3米WAQV5米，

故這根木頭需要長(zhǎng)度可能是4米，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和等腰三角形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.（2025秋?驛城區(qū)期末）王林在美術(shù)課上將等腰△ABC通過(guò)平移設(shè)計(jì)得到“一棵樹”，已知底邊

AB上的高CD為5以〃,沿CD方向向下平移3cm到△4B1C1的位置，再經(jīng)過(guò)相同的平移到△上82。2

的位置，下方樹干E廠長(zhǎng)為4cm,則樹的高度。尸長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；平移的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；應(yīng)用意識(shí).

【答案】。

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到Ca=GC2=3c〃?，根據(jù)題意計(jì)算，得到答案.

【解答】解：由平移的性質(zhì)可知：CCI=CIC2=3C〃?，

由題意得：底邊八B上的高。。為55?，沿CO方向向卜平移3cm,

CiE=5cm，EF=4cm,

???CF=CCHC\C2^CZE\EF

=3+3+5+4=15(cm),

故選：O.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳的是圖形的平移，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2025秋?洛寧縣月考)第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(1CME-14)會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的

圖案來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”.如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形

(△ABE,ABCF,ACDG.ADAH)和一個(gè)小正方形E/P”拼成的人正方形A8CZ).若EF：AH

=1：3,則sin/8C/=()

D

B

圖1圖2

【考點(diǎn)】解宜角三角形的應(yīng)用；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力；應(yīng)

用意識(shí).

【答案】C

【分析】設(shè)七尸=筋則A”=3x,根據(jù)全等三角形，正方形的性質(zhì)可得AE=4x,再根據(jù)勾股定理

可得A8=5x,即可求出sin/A3￡的值.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)七尸=工，則4H=3x,

?:MBEq△DAgXBCF、四邊形EFGH為正方形，

：.AH=BE=3x,EF=HE=x,NABE=NBCF,

.\AE=4x,

VZAEB=90a,

在直角三角形A8E中，由勾股定理得：AB=ylAE2+BE2=5x,

??力￡4%4

,，Sin/-ABE~AB~Sx~5!

*//ABE=/BCF,

4

AsinZBCF=l

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

13.（2025秋?龍口市一模）桔棒俗稱“吊桿”“稱桿”（如圖1）,是我國(guó)古代農(nóng)用工具，始見于

《墨子?備城門》，是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械.桔梓示意圖如圖2所示，OM是垂直于水平

地面的支撐桿，0M=3米，AB是杠桿，A8=6米，OA：08=2：1.當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)，ZAOM

=120°.此時(shí)，點(diǎn)4到地面的距離為（）

圖1

A.（28+3）米B.5米C.6米D.7米

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

【分析】過(guò)。作過(guò)A作AG_LE/于G,求出4OE=30°,進(jìn)而求出AG=AOXsin30°

=2,即可求解.

【解答】解：過(guò)。作E/_L0M,過(guò)A作AG_LE/于G,

???OA=4米，

VZAOM=\2（r,NEOM=90°，

：.ZAOE=30°,

在RL^AOG中，AG=AO?sin30°=2（米），

點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)到地面的距離為2+3=5（米），

所以點(diǎn)A到地面的距離為5米；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件，構(gòu)造直角三角形.

14.（2025秋?安次區(qū)二模）婦圖是一款桌面可調(diào)整的學(xué)習(xí)矣，桌面寬度AB為60s?,桌面平放時(shí)高

度OE為70s?,若書寫時(shí)桌面適宜傾斜角（ZABC）的度數(shù)為a,則桌沿（點(diǎn)A）處到地面的高度

。為（）

A.(60sina+70)cmB.(60cosa+70)cm

C.(60tana+70)cmD.130tvn

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】4

【分析】根據(jù)題意可得：ACLCB,然后在RtZLACB中，利用銳知三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，

從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：由題意得：ACA.CI3,

在RlAACB中，AB=60cm,NA8C=a,

.??4C=4B?sina=60sina（cm）,

VDE=70c/n,

J桌沿（點(diǎn)A）處到地面的高度//=AC+OE=（60sina+70）cm,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

15.（2025秋?南安市模擬）圭表（如圖1）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午口影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天

文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的

長(zhǎng)尺（稱為“圭”），當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上.圖2是一個(gè)根據(jù)某市

地理位置設(shè)計(jì)的圭表平面示意圖，表AC垂直圭3C.已知該市冬至正午太陽(yáng)高度角（即N48C）

為a，夏至正午太陽(yáng)高度角（即N4QC）為由若表AC的長(zhǎng)為加，則圭面上冬至線與夏至線之間

的距離（即。8的長(zhǎng)）為（）

圖1圖2

mm

A./ntana-B.--------------

tanatanp

mm

C./nsina-z/zcosBD.———------

sinacos/?

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；平行投影.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】先在RtZ^ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CO的長(zhǎng)，然后在RtZSACB中，利用銳

角三角函數(shù)的定義求出8C的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：在R【Z\ACO中，AC=m,ZADC=p,

?rn-_m

在RtZXACB中，NABC=a,

.BC—_m

??一tana~tana'

?38C?贏一贏

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直憑三角形的應(yīng)用，平行投影，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)

鍵.

16.（2025秋?無(wú)錫期末）如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)UCME）會(huì)徽，選擇其中兩個(gè)相鄰的

直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形04BC若AB=8C,sin/408=不則lanC的

值為（）

3772V10

A.-B.-c.—D.------

7347

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】設(shè)48=3%，則BC=3x,由sin/AOB=*可得BO=7x,因lanC=餐，可得tanC的值.

【解答】解：設(shè)A5=3x,則BC=3x,

3

???sin/A08=熱

：.B0=7x,

?，1B。7

..tanC=-^=3>

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握正切、正弦的定義.

17.（2025秋?通榆縣一模）“圭表”是中國(guó)古代用來(lái)確定節(jié)氣的儀器.某“圭表”示意圖如圖所示，

AC.LBC,AC=3米，測(cè)得某地夏至正午時(shí)“表”的影長(zhǎng)。。=1米，冬至?xí)r的正午太陽(yáng)高度角N

ABC=a,則夏至到冬至，影長(zhǎng)差8。的長(zhǎng)為（）

迸，

A，滋-

北（子）南（午）

圭

冬立春春分立夏熨

至立冬秋分立秋至

線線

B-島T）米

A.(3sina-1)米

C.(3lana-l)米D?（嬴T）米

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；平行投影.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)垂直定義可得NAC4=90°,然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出3C

的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：VAC±BC,

???NACB=90°,

在中，ZABC=a,AC=3米,

AC3

=（米）

：,BC=tana~tana

VCD=1米，

3,

：.BD=BC-CD=（--------