2.6基函數(shù)及幾類常見的特殊函數(shù)

冢

1

_I2

1.結(jié)合函數(shù)丁=1，>,=人-?y=x,y=.F的圖象，理解它們的變化規(guī)律.

2.了解一次分式困數(shù)、對勾困數(shù)、飄帶函數(shù)、高斯困數(shù)、狄利克雷困數(shù)和最值函數(shù).

陞備知識回顧自主?學(xué)習(xí)?甚”:回扣「

教材回扣

1.鬲函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)v=M叫做得函數(shù),其中x是自變量，a是常數(shù).

(2)常見的五種尋函數(shù)的圖象

(3)帚函數(shù)的性質(zhì)

①基函數(shù)在(0,+8)上都有定義：

②當(dāng)a>0時，基函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)avO時，某函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.一次分式函數(shù)

ex+d

⑴定義：我們把形如尸一^7(g0,adWbc)的函數(shù)稱為一次分式函數(shù).

Icz

(2)圖象

(3)性質(zhì)

①定義域：］初二一詈；值域：

②對稱中心：（一?3.

bc

③漸近線方程：尸一軟y弋

④單調(diào)性：當(dāng)ad>反時，函數(shù)在區(qū)間（-8,一9和（一\+8）上分別單調(diào)遞減；當(dāng)加

〈權(quán)?時，函數(shù)在區(qū)間（-8,一勻和（一1+8）上分別單調(diào)遞增.

3.對勾函數(shù)y=O￥+§（4>0,/?>（））

⑴性質(zhì)

①奇偶性：奇函數(shù).

②單調(diào)性：單調(diào)遞增區(qū)間：（一8,一、噲），（、聆，+8）；單調(diào)遞減區(qū)間：（一、器，0）

③漸近線：y=axftx=0.

(2)圖象

-2麻

4.飄帶函數(shù)），=or-&a>0,/?>0）

⑴性質(zhì)

①奇偶性：奇函數(shù)；

②單調(diào)性：在（一8,0）,（0,+8）上單調(diào)遞增；

③漸近線：4=0.

（2）圖象

5.高斯函數(shù)），=［可

（1）定義：不超過實數(shù)工的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作［戈］,例如，［3,4］=3,

=-3,這一-規(guī)定最早為數(shù)學(xué)家高斯所使用，故函數(shù)y=⑶稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù).

（2）性質(zhì)

①定義域：R;值域：Z.

②不具有單調(diào)性、奇偶性、周期性.

(3)圖象

3

2

-2-10I23

-1

-2

6.狄利克雷函數(shù)。(工)=

(1)定義域：R：值域：｛0，1｝.

(2)奇偶性：偶函數(shù).

(3)周期性：以任意正有理數(shù)為其周期，無最小正周期.

(4)無法畫出函數(shù)的圖象，但其圖象客觀存在.

7.最值函數(shù)的概念

a,aWb,a,a2b,

設(shè)min{a,b]=

h,a<~b.

直觀上來說min｛〃，〃｝的作用就是求a,力的最小值，我們將其稱為最小值函數(shù)，同樣,

max｛a,〃｝用來表示a,b的最大值,稱作最大值函數(shù).

1.(1)嘉函數(shù)y=r中，。的取值影響募函數(shù)的定義域、圖象及性質(zhì).

(2)幕函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限，一定不會出現(xiàn)在第四象限.

2.對勾函數(shù)丁=。、十§(必>0)的極值與圖象的拐點可利用基本不等式求得.

基礎(chǔ)檢測?！?/p>

1.判斷(正確的畫“J”，錯誤的畫“X”)

1

(1)函數(shù)y=z/是基函數(shù).(X)

(2)當(dāng)a>0時，基函數(shù))，=/在(0,+8)上是增函數(shù).(J)

It

(3)當(dāng)〃是偶數(shù)時，暴函數(shù)(〃?，〃《Z,且〃?是奇數(shù))是偶函數(shù).(J)

(4)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(一8,一礪)，(6，+8).(X)

2.若索函數(shù)的圖象經(jīng)過點(27,；),則函數(shù)的解析式為)，=尸1

解析：設(shè)賽函數(shù)的解析式為)，=，?'，因為圖象經(jīng)過點(27,；),則;=27*=3"=332=k=一｛

所以)，=廣3.

A.a<b<cB.c<a<b

C.a>b>cD.b<c<a

=x在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，所以即CV4".故選B.

,規(guī)律總結(jié)

1.對嘉函數(shù)圖象的掌握應(yīng)抓住在第一象限內(nèi)三條直淺分第一象限所成的六個區(qū)域，即直

線x=l,），=1,），=x所分區(qū)域，根據(jù)寨指數(shù)a滿足的條件，即aVO,0<a<l,a=l或a>

1確定圖象在第一象限的位置，其余象限部分由奇偶性決定.

2.在比較早的大小時，必須結(jié)合察的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較.

m

【對點訓(xùn)練1］（1）如圖是函數(shù)y=J（〃?，〃均為正整數(shù)且〃互質(zhì)）的圖象，則（B）

A.m,n是奇數(shù)，且片<1

B.加是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且%1

C.機是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，吟>1

D."2,〃是奇數(shù)，且表1

m

解析：由球函數(shù)性質(zhì)可知與y=x的圖象恒過點（I,I）,即在第一象限的交點為（I,

mmm

nnin.n

1）,當(dāng)0<t<l時，x>x,則G<1;又y=x的圖象關(guān)于y鈾對稱，Ay=x為偶函數(shù)，x）

mm

"=XT",又〃?，〃互質(zhì)，???/〃為偶數(shù)，〃為奇數(shù).故選B.

（2）（多選）已知事函數(shù)火的=廣的圖象經(jīng)過點（4,2）,則（ABC）

A.

B./）的圖象經(jīng)過點（1,1）

C./U）在［0，+8）上單調(diào)遞增

D.不等式7U）2x的解集為WAW1}

1I

解析：由解函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4,2）,得2=4。，則a=g,所以球函數(shù)?r）=x=

、6,A正確；又<1）=幣=1,即{r）的圖象經(jīng)過點（1,1）,B正確；且7U）在[0,+8）上單

調(diào)遞增，C正確；不等式即解得OWxWl,D錯誤.故選ABC.

考點2幾類特殊函數(shù)

命題角度1一次分式函數(shù)

〃2—〃

【例2】已知函數(shù)九r）=,’其中a￡R.

人I1

（1）當(dāng)函數(shù)式X）的圖象關(guān)于點p（—l,3）成中心對稱時，求〃的值；

（2）若函數(shù)在（-1,+8）上單調(diào)遞減，求。的取值范圍.

ax-\-2—aa（x+l）+2—2。2—2。

【解】（I求X）=什1=="+7iT，

所以貝x）圖象的對稱中心為點（一1,a）,由題意得。=3.

ax-V2—a

（2）由Qx）=「卜|處直線x=-I為/U）圖象的一條漸近線，

又由一次分式函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)lX（2-4）>lXq,

即〃V1時，7U）在（-1,+8）上單調(diào)遞減，故。的取值范圍是（一8,1）.

命題角度2對勾函數(shù)與飄帶函數(shù)

4「II2

【例3]已知函數(shù)"）=x+:若對任意x\,X2^弓，4,[/Ui）一?T2）區(qū)〃?+募恒成立，

求實數(shù)機的取值范圍.

【解】函數(shù)府）在;，2）上遞減，在（2,4]上遞增"2）=4,而娘=￥A4）=5,所

17r1"I2

以/U）max=~7,7U）min=4,故對任意用，刈金七，4」，飲為）一/（工2）|W〃?+而恒成立等價于雙口）

2|7929

一?T2）|maxW〃?+l，而|/Ul）一/（X2）|max=~7—4=5，即加+￡2弓，顯然當(dāng)〃?<。時不等式不成立，

所以原不等式可變形得2瓶2—9/〃+420且〃?>0,解得或機24,即實數(shù)m的取值范

國為（0,JU[4,+8）.

命題角度3高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù)與最值函數(shù)

【例4】（1）（多選）對于任意的x￡R,國表示不超過x的最大整數(shù).十八世紀，V=[A]

被“數(shù)學(xué)王子”高斯最早使用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”.下列

說法正確的是（BCD）

A.函數(shù)）xWR的圖象關(guān)于原點對稱

B.函數(shù)y=x-[x],x￡R的值域為[0,1）

C.對于任意的.1,yWR,不等式國+口，長口+），]恒成立

D.不等式2lxJ2+[xj-l<0的解集為3（）Wx<l}

【解析】對于A,當(dāng)（）Wxvl時，），=口]=0,當(dāng)一l<x〈O時，），=田=一1,所以），=印，

%￡R不是奇函數(shù)，即函數(shù)y=W,x￡R的圖象不是關(guān)于原點對稱，故A錯誤；對于B,由

取整函數(shù)的定義知，Lr]Wx<[x]+l,所以x-lv㈤Wx,???0W\一㈤vl,；?函數(shù)y=x—因GER)

的值域為[0,1),故B正確；對于C,由取整函數(shù)的定義知，Vx,y€R,[x]^x,[y]^y,所

以[M+U]=UX]+U]]W[.L)，],故C正確；對于D,由2⑶2+兇一]<0得(2㈤-1)(3+1)<0,

解得-1<口]<4，結(jié)合取整函數(shù)的定義可得"|0Wx<l},故D正確.故選BCD.

1,x￡Q,

(2)(多選)函數(shù)D(x)=\,八稱為狄利克雷函數(shù)，對于狄利克雷函數(shù)，下列結(jié)論正

0,NQ

確的是(ABD)

A.0(。⑵)=。(。(6))

B.D(x)的值域與函數(shù)/U)=.，的值域相同

C.。(1)是非奇非偶函數(shù)

D.對任意實數(shù)X,都有。(1+1)=。(幻

【解析】對于A,根據(jù)狄利克雷函數(shù)定義可知Q(ZX2))=Q⑴=1,￡>(。(6))=￡>(0)=1,

IM+x

故A正確.對于B,易知函數(shù)凡。=萬一的定義域為(-g,0)U(0,十8),當(dāng)X￡(—8,0)

|x|+xIM+xWl+x

時，yu)=萬一=o；當(dāng)x￡(o,+8)時，兀0=力一=1,即函數(shù)yu)=w—的值域為{o,i},

故B正確.對于C,易知函數(shù)QCr)的定義域關(guān)于原點對稱，當(dāng)XWQ時，一x￡Q,則。(一處

=1=0(%)；當(dāng)KQ時，一KQ,則ZX—x)=0=O(x),即。(x)為偶函數(shù)，故C錯誤.對于D,

當(dāng)K￡Q時，x+l￡Q,此時。(工+1)=。(幻=1;當(dāng)KQ時，x+lQQ,此時D(x+l)=D(.v)

=0,故D正確.故選ABD.

(3)(多選)函數(shù)段)=x+l,g(x)=(x+l)2,用M(x)表示於),g(x)中的較大者,記為M(x)

=max{/(.v),g(x)},則下列說法正確的是(BD)

A.M(2)=3B.M(x)24

C.M(x)有最大值D.M(x)最小值為0

【解析】令g(x)>flx),即(x+l)2>x+1,解得x<—1或x>0,所以可知A/(x)=max{/x),

(x+1)2,x<—1或z>0,

g(x)}=S,.ivvn

x+1,—1WkWO,

所以M2)=(2+1)2=9,故A錯誤；當(dāng)時，M(x)=(x+l)22(l+1>=4,故B正確；

由M(x)=(x+D2a<—1或x>0)可知，函數(shù)無最大值，故C錯誤；當(dāng)工<一1或x>0時，M(x)>0,

當(dāng)一IWXWO時，OWM(x)Wl,所以M(x)最小值為0,故D正確.故選BD.

,規(guī)律總結(jié)

這幾類特殊的函數(shù)問題都屬于新定義問題，其解題思想圍繞著知識遷移，就是利用新、

舊知識之間的聯(lián)系，由舊知識的思考方式領(lǐng)會新知識的思考過程，而產(chǎn)生遷移的關(guān)鍵是正確

概括兩種知識之間包含的關(guān)同因素，并與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合.

【對點訓(xùn)練2](I)設(shè)xER,用⑶表示不超過x的最大整數(shù)，則y=R稱為高斯函數(shù)，

1

例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函數(shù)危尸則函數(shù)尸儀幻]的值域是(D)

A.{0,1}B.{-I,1}

C.{-1,0}D.{-I,0,1}

2*12(14-x12)-2]52、]

解析:人幻=點@一§=—=7--3=3-777^因為x￡R,所以

/1,則府)￡當(dāng)於局一孑，0)時，y=[A-r)]=-l;當(dāng)貝x)￡[0,1)時，尸伏刈

=0;當(dāng)yu)￡1,m時，尸[Ax)]=l.所以函數(shù))，=伏刈的值域是{-1,0,1}.故選D.

(1,x￡Q,

(2)已知狄利克雷函數(shù)/)(?=八4c則下列結(jié)論正確的是(A)

0,"Q,

A.。(4)是偶函數(shù)

B.D(x)是單調(diào)函數(shù)

C.Q(x)的值域為[0，1]

D.D(n)>D(3.14)

解析：對于A,當(dāng)x￡Q時，顯然一xWQ,此時恒有。(x)=D(—x)=1,當(dāng)KQ時：x是

無理數(shù)，顯然一工也是無理數(shù)，此時恒有。(x)=Q(—x)=0,所以Q(x)是偶函數(shù)，因此A正確；

對于B,因為。(0)=。(1)=1,所以函數(shù)。(處不是實數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)，因此B不正確；對

于C,由函數(shù)的解析式可知，D(x)的值域為{0,1},因此C不正確；對于D,因為。(兀)=0,

D(3.14)=l,所以。(兀)<。(3.14),因此D不正確.故選A.

課時作業(yè)11

/亞基礎(chǔ)鞏固4

1.(5分)十九世紀德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就卓著，函數(shù)久6=

1,x￡Q,

八Pc被稱為狄利克雷函數(shù).狄利克雷函數(shù)是無法畫出圖象的，但它的圖象卻客觀存

0，%￡LRQ

在，若點(港，y)在其圖象上，則)，的值是(A)

A.0B.1

C.-72D.小

fl,xeQ,

解析：因為函數(shù)4r)=jP而也￡[RQ,于是得y=0,所以y的值是。故選

,0,XWLRQ,

A.

2.(5分)(2024.山東日照二模)已知哥函數(shù)的圖象過點(2,4),則函數(shù)的解析式為(B)

A.y~2xB.y~x^

C.>'=log2XD.y=sinx

解析：設(shè)軍函數(shù)的解析式為y=L,由于函數(shù)過點（2,4）,故4=2”，解得。=2,該福函

數(shù)的解析式為.故選B.

3.（5分）如圖，已知基函數(shù)y=L,），=/,y=/在（0,+8）上的圖象分別是下降，急速

上升，緩慢上升，貝lj（B）

A.c<b<a

B.a<c<b

C.c<a<b

D.a<b<c

解析：由題意結(jié)合圖象可知a<O<cvl<b.故選B.

4.（5分）已知函數(shù)危）=f（x>0）,a為實數(shù)，危）的導(dǎo)函數(shù)為/（x）,在同■直角坐標(biāo)系中,

人幻與/"）的大致圖象不可能是（C）

解析：由兀t）=d,可得/（x）=ar“/，對于A,當(dāng)a=-l時，在（0,十8）上，火?=/

單調(diào)遞減，"#=一”=一±單調(diào)遞增且圖象在第四象限，故A符合；對于B,C,D,人工）

與八x）的圖象在（0,+8）上都單調(diào)遞增，故。>0且。一|>0,則心1,又由危）=/（?可得x

=a>l,即人］）=/與=的圖象交點橫坐標(biāo)應(yīng)大于1,顯然C不符合，B,D均符合.故

選C.

5.（5分）己知〃=（）.31°/，/?=0.3102,。=0.32°［，則［D）

A.a>h>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

解析：山）=0.31”單調(diào)遞減可知0.31°」>0.31°2,即a>b;由y=x01單調(diào)遞增可知

O.32OI>O.31OJ,即c>a,所以c>?.故選D.

6.（5分）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.設(shè)

x￡R,用［幻表示不超過x的最大整數(shù)，），=卬也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：［-3.5］=-4,

［2.1］=2.已知函數(shù)yu）=［x+1］—X,下列說法中正確的是［A）

A.人用是周期函數(shù)

B./U）的值域是［（）,1］

C.於）在（0,1）上是增函數(shù)

D.V.v=R,[/(x)]=0

"-1,—,

0,-l<x<0,

解析：由題意可得部分定義域內(nèi)的函數(shù)y=[X+1]=<八?

1,0〈x<l,

、2,lWx<2,

C—1—x,—2Wx<—1,

?—Xy—iWxVO,

所以部分定義域內(nèi)的函數(shù)/U)=口+1]一1=V?

I-x,OWx<l,

<2—x,lWx<2,

可畫出圖象，如圖，

可得到函數(shù)7U）是周期為1的函數(shù)，且值域為（0,ib在（（），1）上單調(diào)遞減，故A正確,

B,C錯誤；4=一1,火-1）=1,則伏-1）］=1,故D錯誤.故選A.

7.（6分）（多選）黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，其基本定

義是：

flP，，?WN”,￡為既約真分數(shù),

犬“）=，夕qq

lo,x=0,1或9，1）上的無理數(shù)

（注：分了與分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)，稱為既約分數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（BC）

A?砥H

B.黎曼函數(shù)的定義域為［0,1］

c.黎曼函數(shù)的最大值為:

D.若公）是奇函數(shù)，且川一x）=/3，當(dāng)x￡［0,1］時，"i）=R（?,則腭）+人取+6）

=1

=5

解析:磁）=呢）=；,A錯誤.因為〃，:是既約真分數(shù)，x與0,1或（0,I）

上的無理數(shù)，所以黎曼函數(shù)的定義域為［0,1］,B正確.又p,q￡N",々為既約其分數(shù)，所以

5的最大值為宗c正確.因為火1—x）=yu）,所以x）=/u+i）.所以y（—x—i）=/u+2）.因為

Kx）是奇函數(shù)，所以八一八-1）=一/U+i）=-y（一％）=yu）,所以/（x）=yu+2）,即凡外是以2為

周期的周期函數(shù)，腭）=（18_§=/（_護一值=_1八反+6）=人46）=/（4W-6）=

一加一46）=0,所以端）+/（4強+6）=一/，D錯誤.故選BC.

8.（6分）（多選）設(shè)函數(shù)段）=f一點（〃￡2）,則（BCD）

A./U）在（0,+8）上單調(diào)遞減

B.當(dāng)〃為偶數(shù)時，火幻為偶函數(shù)

C.人x）有兩個零點

D.當(dāng)〃為奇數(shù)時，在（-8,0）上單調(diào)遞增

解析：對于A,因為〃￡N"，所以尸H在（0,+叼上單調(diào)遞增，尸方在（0,+8）上單

調(diào)遞減，所以/U）在（0,+?>）上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B,當(dāng)〃為偶數(shù)時，兒丫）=廣一%的

1=v-/；=yu）,所以yu）=v—￡為偶函數(shù)，故

定義域為｛小H0｝,且火一》）=（一x）”一B

正確；對于c,令yu）=o,則入"一F=0,則『"=i,所以入"=1或亡=—1,當(dāng)〃為偶數(shù)時，

由V=l,解得K=±l,由爐=—i,方程無解；當(dāng)〃為寺數(shù)時，由爐=1,解得X=l,由/

=-i,解得x=-l.綜上可得yu）有兩個零點1,-1,故c正確；對于D,當(dāng)〃為奇數(shù)時,/U）

=?一9的定義域為“氏工0｝,且.?—x）=（—x）"-g^=一/一4；=-A-v）,所以?￥）=/一｝

為奇函數(shù)，又yu）在（0,十8）上單調(diào)遞增，所以*x）在（一8,0）上單調(diào)遞增，故D正確.故

選BCD.

9.（5分）因為函數(shù)—）=x+L>0）的圖象形狀像對勾，我們稱形如"危）=彳+%>0）”的

人人

函數(shù)為“對么J函數(shù)若對勾函數(shù)仆）=x+5（〉0）對干任意的〃都有./（一

則實數(shù)，的最大值為

解析：因為、則分一1）-7（火+3卜0,Z:-1+—

k-22+/Ar—J

—1W0,即一當(dāng)產(chǎn)一30,即一我v；時，因為3Z,則仁0,.當(dāng)然一；>0,

即因苗時，/WR—"恒成立，所以.￡（爐一.綜上可得一所以實數(shù)t的最大

值若.

10.（5分）高斯，德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有

“數(shù)學(xué)王子”之美稱.函數(shù)），=同稱為高斯函數(shù)，其中團表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例

如：［-3.4］=—4,［2.7］=2,當(dāng)］￡（一3.5,7］時，函數(shù)y=［三」］的值域為｛-2,—1,0,1,

21.

X—1

解析：由x￡(—3.5,7],得一1.5〈二一W2,

x-IX—1X—1X—

＜0-1;當(dāng)0W刀一＜1=0;當(dāng)1W-^一＜2時,)=

=1；當(dāng)一=2時，)，=[—^']=2.所以函數(shù)y=[y-^]的值域為｛一2,—1,0,1,2).

11.(16分)已知七函數(shù)危)=彳3—〃汽切￡2)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,

函數(shù)觀幻滿足g(x-2)=J(x).

(1)求函數(shù)人幻和g(x)的解析式；

(2)對任意實數(shù)工￡[-3,0),g(x)—；U)2aF恒成立，求a的取值范圍.

解：(1)依題意察函數(shù)人幻為偶函數(shù)，且在區(qū)間(()，+8)上單調(diào)遞增，

可得3—nr>()，解得一小<〃?〈布,

由于5WZ,故加=0,1,—1,

當(dāng)機=0時，3一加2=3,此時凡￥)=^為奇函數(shù)，不符合題意，

當(dāng)〃?=1或一1時，3—"尸=2,此時yu)=f為偶函數(shù)，符合題意，

故火x)=『；

由g(x-2)=?x),可得g(x-2)=f,令x-2=r,則x=z+2,

所以&(。=(/+2)2=尸+4/+4,故式￥)=/+4%+4.

(2)由工￡[-3,0),8。)一兒0262恒成立，可得aW*+5,xe[-3,0)恒成立.

44<1H244

又A+；=4(；+5)-I,所以當(dāng)犬=-2時，取得最小值一1,

故aW-l,即。的取值范圍為(一8,-1J.

12.(16分)對于定義域分別為白，Dg的函數(shù)y=K。,1y=g(x)，規(guī)定：函數(shù)/?(%)=

M-g(x),x^D/Hx^Df.,

人幻，工￡。且遙。夕

g(x),工右劣且居功.

(1)若y=yu)，其中11)=占"，y=g(x)，其中g(shù)a)=f，求Iy=/?(x)；

(2)對(1)中的爾x),求y=/?(x)的值域.

解：(1)由函數(shù)yu)=」7的定義域為大￡(-8,i)u(i,-i-oo),函數(shù)ga)=f的定義域

?X1

2

為R,所以當(dāng)X￡(-8,1)U(1,+8)時，//(A)=fix).g(x)=-^-

當(dāng)x=I時，h(x)=g(x)=1.

綜上所述，

■^7,%￡(-8,i)U(|,+8),

/心)=

I,x=1.

.2

(2)由(1)得當(dāng)XW(—8,1)U(1,+8),y=士,

41

“+1)2I

設(shè)，=x-l,則，￡(一8,0)U(0,+8),y=—J—=f+7+2,

當(dāng)化(。，十8)時，)=*+2孑2yl+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)/=；,即1=1時等號成立，

當(dāng)小(一8,0)時,產(chǎn)/+:+2,即一)，=(一。+(一；)-22萬“^^一2=0,即戶0,

當(dāng)且僅當(dāng)一/=一1,即/=一1時，等號成立，

即當(dāng)工￡(一8,1)U(|,+8)時,)，W(_8,0]U[4,+00)；

當(dāng)工=1時，y=\)

綜上所述，y的值域為(-8,0]U{l}U[4,+8).

典提升.

13.(5分)(2024.湖北荊州三模)任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1；若

是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈

1-4-2fl.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù)〃?=6,

根據(jù)上述運算法則得出6f3-10-5fl6f8f4f2-1,共需經(jīng)過8個步驟變成1(簡稱為8

步“雹程”).我們記一個正整數(shù)經(jīng)過K(〃)次上述運算法則后首次得到1(若〃經(jīng)過有限

次上述運算法則均無法得到1,則記K(〃)=+8),以下說法正確的是(C)

A.K(〃)可看作一個定義域和值域均為N“的函數(shù)

B.K(〃)在其定義域上不單調(diào)，有最小值，有最大值

C.對任意正整數(shù)都有K(〃)K(2)=K(2〃)一I

D.K(2”-l)WK(2"+l)

解析：對于A,依題意，K(〃)的定義域是大于1的正整數(shù)集，A錯誤；對于B,由K(4)

=2,K(5)=5,K(8)=3,得K(〃)在其定義域上不單調(diào)，而K(2)=l,K(〃)￡N"，則K(〃)有最

小值1,由〃經(jīng)過有限次角谷運算均無法得到I,記K(〃)=+8,得K(〃)無最大值，B錯誤；

對于C,對任意正整數(shù)〃K(2〃)=K(〃)+1,而K(2)=1,因此K5)K(2)=K(〃)=K(2〃)

-1,C正確；對于D