5.4平面向量的綜合問題

考試要求

T

會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題，體會向量在解決

數(shù)學(xué)和實際問題中的作用.

塊鍵能力提升互動悚究?考點精講「

考點1平面向量在幾何中的應(yīng)用

【例1】（1）（2024?湖北武漢模擬）如圖，在△A8C中，NACB=90。，AC=BC=\,。是

BC邊的中點，過點C作CE_LA力于點E,延長CE交4B于點凡則BF=（C）

A.|B.坐

C.乎D.田

【解析】方法一設(shè)后=疝?，

'：ADVCF,.\A￡)CF=0,又。是3C邊的中點，：.Ab=^(AC+AB),

-?1?—?—>

??立(AC+A8)?(A尸一AC)=0,

???(啟+魂)?(信一啟)=0,

???(1-1)贏.危+，施一交=0①，

,

：AC=BC=\tZACfi=90°,

???-8=42+]2=陋,且/BAC=45。，

：.AC2=\,AB2=2,調(diào)?啟=1X45X乎=1,代入①得(2-1)+22—1=0,解得2=*

???喬=|嬴，；.8尸=+8=坐.故選C.

CDHB

方法二因為NAC8=90。，AC=BC=\y所以△ABC為等腰直角三角形，又因為八。為

中線，所以CD=BD=T，ADrAC+CD^yJ尸+鏟=坐因為。石！/1。，所以NCED

lxi廠

22

=90°,所以ADCE=ACCDt即CE*八。=~^=看,所以DE=y/CD-CE=

2

.如圖，過點F作FHVCB交CB干點H,所以NF〃8=90。,因為tan

,2g

==

Z.FCB—~Qp^~Q^y設(shè)FH=HB=x,則CH1—x,所以7^=]—x'解得x=g,所以BF3.

5

故選C.

（2）（多選）在△ABC所在平面內(nèi)有三點O,N,P,則下列命題正確的是（ACD）

A.若麗國=麗辰=正.詼，則P是△A3C的垂心

"AB^AC

B.若AP=2,則直線4。必過△A4C的外心

、麗IIACI.

C.^\OA\=\OB\=\OC\,則。為△ABC的外心

D.若法+油+證=0,則N是△A8C的重心

【解析】由題意可得或?成一兩正=誦?（說一元）=兩不=0,所以PB1AC,同理

1?—?

可得以_L4C,PCVAB,故P為AABC的全心,故A正確；如圖，設(shè)危=芋,后=￥，

而IIACI

則|通=|而=1,以4E,A/7為鄰邊作平行四邊形AEQr，則平行四邊形AEQ廠為菱形，則而

f->AfiACfAJiACf

=AE-{-AF=—+—,所以4尸=2二7+:7=2AQ,又因為AQ平分NBAC,故直線4P必

\AB\\AC\曲\AC\

過△?18c的內(nèi)心，故B錯誤：因為|屈|=|為|=|八I,所以。到△ABC的三個頂點距離相等，

所以。為△48C的外心，故C正確；記AB,BC,C4的中點分別為R,S,T,由題意初+礪

=2而?=一充，則NC=2NA,同理可得NA=2NS,NB=2NT,則N是△A8C的重心，故D

正確.故選ACD.

R-

,規(guī)律總結(jié)

用向量方法解決平面幾何問題的步驟

平面幾何問題選包重向量問題」比解決向量問題且更解決平面幾何問題.

【對點訓(xùn)練1]（1）已知平面四邊形43co的四條邊A4,BC,CD,DA的中點依次為E,

凡G,H,且人加+“=4^+⑶。?，則四邊形EFGH一定為（C）

A.正方形B.菱形

C.矩形D.直角梯形

解析：如圖，由題意結(jié)合中位線定理可得〃G〃AC,

“G=%C,EF//AC,

EF=^AC,：.HG//EF,HG=EF,即四邊形EFG”為平行四邊形.

，

：BC=BA+AD^DC,?,?而+赤=屐）2+反72=病2+屈+病+的2=病2+就2+

份+5^+2詬病+2筋灰+2病灰，，病2+蔭.病+筋.成+病.成=（）,.?.病.（病+

DC）+BA（AD+/5C）=0,二（病+扇）啟=0,即礪疵=0,即肪_1_元，：,BDLAC,又

HG//AC,：.BD±HG,同理由中位線定理可得HE〃3。，

:.HEI.HG,故四邊形E卜GH為矩形.故選C.

?■?

（2）已知△A8C中，（應(yīng)+前＞/=0,—+4r=小，則此三角形為（B）

依陰\AC\

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

解析:如圖所示，設(shè)〃為AC中點，連接BM,則（扇+南?充=2痂?啟=0,所以加/_1_/,

即△A8C為等腰三角形，

AB,AC

又—+—=小r，

H用\AC\

?2-1AB2=(CJ/-CP)2-^=CA/2+CJ>2-2CMCP-^=^4-1-5cos夕一爭=1-5cos8,

因為cos〃￡[-l,1],所以詼.麗￡[-4,6].故選D.

,規(guī)律總結(jié)

與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題的解法

（1）坐標(biāo)法：通過建立直角坐標(biāo)系，運用向量的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理.

（2）向量法：運用向量數(shù)量積的定義、不等式、極化恒等式等有關(guān)向量知識解決.

?考教銜接

極化恒等式a-b=^［（a-}-b）2—（a—b）2］

1.教材母題：（人教A版必修第二冊P22練習(xí)T3）求證：（〃+力尸一（。一加2=4”功，

變形可得：與2-m一力力，此即為極化恒等式.

2.平行四邊形模型：如圖，靠?有）=/n2一而2）即“從平行四邊形一個頂點出發(fā)的兩

個邊向量的數(shù)量積是和對角線長與差對角線長平方差的;”.

3.三角形模型：如圖，n?忌?=危2一1慶；2即，，從三角形一個頂點出發(fā)的兩個邊向量的

數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差”.

【典例】在△4BC中，。是8c邊上的中點，且讖=頡）,AF=2AE,ABAC=6,FBFC

=-2,則前反=（D）

A.-1B.2

C.D.1

【解析】因為靠=領(lǐng)），AF=2A￡,所以病=海江麗=暴5.因為矗?啟=6,由極

化恒等式可得而2—1正2=6,即瀝2一次2=6同理由前后=-2可得［赤一次2=-2,

聯(lián)立，解得百＞=4,慶?2=］2.所以成反'=應(yīng)）2_；流2=］故選D.

命題角度3與向量的模有關(guān)的最值（范圍）問題

【例4】（2024?陜西咸陽模擬）已知0,一是兩個單位向量,且|。+加=|。一一,若問量c

滿足匕一。一"=2,則|c|的最大值為（B）

A.2一啦B.2+V2

C.72D.2^2

【解析】已知a,b是兩個單位向量，且|。+力|=|。一力|,則a2-}-2ab+b2=a2—2ab+

b2,則。力=0,則。_!_，，在原點為。的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)明力分別是x軸與y軸正方

向上的單位向量，則0=(1,0),Z>=(0,1),a+b=(l,1),設(shè)c=(x,y),則c—。一5=(x—1,

y—1),因為|c—〃一例=)(x—1)2+(y—1)2=2,所以(x—l)2+(y—1>=4,故c=OC中，點C

的軌跡是以(1,1)為圓心，廠=2為半徑的圓，如圖，圓心MU,1)到原點的距離為|。加|=業(yè)2+]2

=啦，|。|0m=|<加|+/=啦+2.故選B.

規(guī)律總結(jié)

求向量模的最值(范圍)的方法

(1)代數(shù)法：把所求的噗表示成某個變量的函數(shù)，或通過建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量

的坐標(biāo)表示來構(gòu)造不等式，利用基本不等式、三角函數(shù)，再用求最值的方法求解.

(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，注意題目中所給的垂直、平行,

以及其他數(shù)量關(guān)系，合理的轉(zhuǎn)化，使得過程更加簡單；結(jié)合動點表示的圖形求解.

命題角度4與夾角有關(guān)的最值(范圍)問題

【例5】平面向量a,》滿足⑷=3|匹且|0一例=4,則。與。一》夾角的正弦值的最大

值為(B)

i1

ADB

A.4-3

C.；D.I

【解析】如圖所示，設(shè)。=況，b=OB,5!'|a—b=BA,

A

工|5X|2+|法|2一|協(xié)|29〃戶+]6—m22

設(shè)|例=/〃，\a\=3m,1W〃?W2,cosNOAB=---------------=-----------

2\OA\\BA\

221佟?=平，當(dāng)且僅當(dāng)￡=2,即"尸”時等號成立，故""￡（0,虬當(dāng)cosZOAB

Y3DD3/rZ\乙）

最小時，sin/OAB最大，故a與。一》夾角的正弦值的最大值為、1—.故選B.

」規(guī)律總結(jié)

求夾角的最值（范圍）問題要根據(jù)夾角余弦值的表達式，采用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)進

行.

【對點訓(xùn)練2】（1）（2024?湖北黃岡二模）已知e為單位向量，向量。滿足ee=3,|前一

3=1,則同的最大值為（C）

A.9B.3

C.?D.10

解析：根據(jù)條件得（a—/e）2=|aF+下一2ee）.=M—6/+|。|2=1,得到|aF=—（x2—6A—1）=

-（A-3）2+10<10,所以即⑷的最大值為標(biāo).故選C.

（2）（2024?山東煙臺三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O,P為圓O上任一

點，若/=入?壽+）位?，則2v+2y的最大值為（A）

8

-民2

AC.3

4

-D

3*

解析：如圖，作4c的平行線與圓相交于點P,與直線AB相交于點E,與直線八C相交

于點片設(shè)崩=施+〃由；則2+"=1,，：BC//EF,，設(shè)器=釜=上則4仁°，g，屈

=kAB,AF=kAC,AP=AAE-^-/iAF=AkAB+^kACf：?x=/k,.\2x+2y=2a+

Q

2AW?故選A.

（3）（2024.天津卷）在邊長為1的正方形ABC。中，E為線段CQ的三等分點，CE=^DE,

礪=7筋+〃正，則2+"=］：/為線段BE上的動點，G為斯中點，則后沅的最小值為

__5_

—18,

解析：方法一因為CE=3DE,即&:=垢，則讀=成:+無=懸+南可得，尸

4一一一一

4=1,所以2+〃=3；由題意可知，|8C|=|3川=1,BABC=O,因為“為線段4￡上的動點,

設(shè)際=火屏馬法+而，附0,1],則崩=贏+即=贏+底=(4：-1)函+A謊，又因

為G為AF中點，則虎=及+/=一成?+昂=鑒”-1)麗+(丸-1)

'BC,可得A??麗二

&_1)%]=1)1&_1)=2

恁_兼與一擊又因

為左￡[0,1],所以當(dāng)&=1時，辦?比取到最小值一

方法二以B為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(—1,0),B(0,0),C(0,

1),。(一1,1),￡(~1,1),

可得麗=(一1,0),BC=(O,

1

—A=-3,41

所以2十〃=3：因為點尸在線段BE：_y=-3x,x￡|_一3,0」上，設(shè)尸(a.-3a),

l〃=l,

〃￡一3,oj,且G為"'中點，則G\^~,-2a),可得#=3+1,-3a),DG=

(，+l3、__3+4(3)/9\23

[2,—2a—\),則/\>。6=2+(—3a>(一%一U=5(a+亍)-10,且

o]所以當(dāng)〃=一!時，而虎取到最小值一得.

(4)已知矩形八8c。中，入8=2,人。=1,點、E,F,G,〃分別在邊人8,BC,CD,AD

上(包含端點)，若屬麻=2,則反;與加夾角的余弦值的最大值為之

解析：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則可設(shè)反;=(1,1),赤=(2,S),-2W/W2,

一WW1,

：.EGHF=2t+s=2t

（的前〉=前百F=_____2_____22

，，\EG\-\HF\＞產(chǎn)+1/4+$2^/（5/）2+4/24-52+4，（s/尸-4..+（2/+.y+4

22

q（s/）?-4sf+8\（s/—21+4’

當(dāng)sfWO時，（,“一2）224,當(dāng)s/>0時，由2/+s=2,故s>（）,/>0,

；?2=2/+s2262?當(dāng)且僅當(dāng)$=1,/=3時取等號，；?s/的最大值為;,

2

，（夕一2）2的最小值為仁一2）=7，此時1---二r六取得最大值g,即由與赤夾角的余

、乙/QU（SL2）-+4。

4

弦值的最大值為不

課時作業(yè)36

坦基礎(chǔ)鞏固.

1.（5分）已知向量。=（一I,2）,力=（3,4）,/ER,則一小"的最小值為（D）

A.3B.小

C.2D.10

解析：因為向量。=（一1,2）,5=（3,4）,所以切一小力=（一L3小，2L4?。?，因此|勿

~y[5b\=4（一/-3?。?+（21-4?。?=[5尸一1（m1+125=^5（/-^5）2+100>10,當(dāng)且僅當(dāng)，

=小時，取得最小值.故選D.

2.（5分）已知。為平面直角坐標(biāo)系的原點，向量a=（1,3）,贏=（-2,-1）,AP=（\t

-2）,設(shè)M是直線0。上的動點，當(dāng)就V而取得最小值時，原=（A）

解析：OP=OA+AP=（2,I）,M是直線OP上的動點，則可設(shè)麗=2。力=（22,2）,則防I

=OA-dM=（\-2Xt3-A）,MB=MA+AB=（-1-2A,2-2）,而贏=5萬-5/+5=59—￡）

+*所以當(dāng)2=3時，忌忌方取得最小值，此時為f=lj,.故選A.

3.（5分）（2024?北京東城區(qū)三模）如圖，已知點N在邊長為2的正八邊形A4…As的邊上，

點M在邊4A2上，則由，加的取值范圍是（C）

A

4.4

4

4M42

A.[-4-2^2,2的B.[-4,4+2的

C.[-2啦，4+2的D.[一26，4]

解析：如圖，以A為原點，A|A?所在直線為x軸，44所在直線為y軸建立千面直角坐

標(biāo)系,

設(shè)N（xi,y\）,M（X2,0）,則A]M=（X2,0）,4N=（k,y\）,所以4MAN=xp：2,由于正

八邊形的每個外角都為:，則心右。2],?￡[—隹24-72],所以解3G=1陽￡[一2啦，

4+26].故選C.

4.（5分）（2024.江蘇二州模擬）在平行四邊形458中,4=45°,AB=\fAD=@,若布

=AB+xAD（x^R）,則油的最小值為（B）

A/B.坐

C.1D.6

解析：由弱=公+工力可得|力|2=（而+犬?。?=|京F+F|AbF+2r癌病=1+2^+

ZrXlX^Xcos45°=2r4-2v4-1=2（x+1）+1,x￡R,故尸一：時，認評的最小值為今

即麗的最小值為坐故選B.

5.（5分）（2024?山西太原三模）已知△ABC中，A=120。，。是BC的中點，且AO=1,則

△ABC面積的最大值為（A）

A.小B.26

C.1D.2

解析：設(shè)48=c,AC"因為A=120。，所以矗?危=麗||而3120。=一凱*,因為A。

—?I,?—?—?-1-?-—?--??--

是中線，所以4￡>=z（AB+AC）,AD2=^（AB2+AC2+2ABAC）,所以4=。2+。2—兒力反，當(dāng)且

僅當(dāng)Z?=c時，等號成立.所以△A8C的面積為5=/3114封義4乂平=小.故選A.

乙乙乙

6.（5分）（2024?江西鷹潭二模）在Rt△八BC中，角4,B,C所對的邊分別為“，h,c,A

=T,C=?,c=2,。是△"€1外接圓上一點，則正?（說+麗的最大值為（A）

A.4B.2+VIO

C.3D.1+VlO

解析：如圖，設(shè)Rt&SC的外心為O,則點。是AB的中點，由元?（謖+兩）=24?歷

=2（PO+OC）Pb=2Pb2^2Pbdc,因為。=2,所以|歷|=|又1=1,所以歷33=cos〈歷,

dc>,所以正?（麗+麗）W2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)必與女同向時取等號.故選A.

7.（5分）如圖所示，點。在△ABC內(nèi)部，D,E分另J是邊AC,8C的中點，且有昂+

2油+3歷=0,則△AEC的面積與ZkAOC的面積的比值為（A）

32

--

23

B.

Ac.43

-D.-

34

解析：由51+2加+3元=0可得8+次=-2（d+次7）,又因為。，E分別是邊AC,

8c的中點，所以蘇+次=2麗，OB+OC=2OE,所以2而=-4無，即而=一2五，所

以O(shè),D,七三點共線，且*=5，所以七到AC的距離與。到AC的距離的比值也為又

3

△AEC的面積與△AOC的面積都以AC為底，所以叢AEC的面枳與△AOC的面積的比值為不

故選A.

8.（5分）在△ABC中，A8=3,BC=5,。為BC邊上一點，且滿足麗=5成'，MZADC

7jr

則（）

=-Jr,AC=D

A.由B.\

C.4D.Vl9

解析：因為8C=5,Rb=15c,所以80=3,QC=2,因為/4/17=寸，所以N/ID8=

率在△AB。中,心+附一482=2><4￡）乂3。義8$NADB,即AZ）2+32-32=2X/ADX3x1,

解得40=3或AO=（）（舍去），所以八。=3,在△AOC中，A3+QCZ-ACZMZXAOXOCXCOS

ZADC,即32+22—402=2X3X2x（-，，解得AC=、而.故選D.

9.（8分）（多選）已知尸為△ABC所在平面內(nèi)一點，貝］下列正確的是（ABD）

A.若預(yù)+3而+2元=0,則點尸在△ABC的中位線上

13.若無+協(xié)+元=仇則。為8c的重心

C.若油?/>0,則△48C為銳角三角形

D.若而=?靠+制乙則△ABC與AABP的面積比為3：2

解析：設(shè)A3中點為0,3C中點為E,：無+3麗+2正=0,??.該+兩=-2（兩十元），

：.2PD=-4PE,即麗=2崩，:?P,D,E三點共線，又OE為△A8C的中位線，???點

P在△ABC的中位線上，A正確；設(shè)A8中點為D,由詼+而+元=0得詼+兩=一元=才\

又謖+協(xié)=2歷，：.CP=2PD,在中線CO上，且器=2,為△ABC的重心，B正

確；

?/ABACX）,???花與啟夾角為銳角，即人為銳角，但此時從C有可能是直角或鈍角，

故無法說明△A8C為銳南三角形，C錯誤；???蘇=3贏+孤?，??/為線段8C上靠近。的

三等分點，即加反?，：?S冽8C：SdABP=BC：8P=3：2,D正確.故選ABD.

10.（8分）（多選）（2024?江蘇南京二模）已知△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,

。為△ABC的重心，cosA=1,A0=2,貝U（ABC）

A.AO=\AB-\~\AC

JJ

B.ABAC^

C.△ABC的面積的最大值為3#

D.a的最小值為2小

解析：如圖，延長A。交8c于點D因為。是△ABC的重心，所以點。是BC中點，公

=玄力，則由）=；（初+證）.因為40=玄力=權(quán)；（贏+就）=；嬴+與2,故A正確.由超=

得公+公=3而，所以9歷2=（筋+公）2=茄2+危2+2加?危22|成H正|十

2ABAC,當(dāng)且僅當(dāng)|贏|=|花時等號成立.又因為贏?就=|檢|瑟18$人=1|油|由工即|晶|?位?

\=5ABACt40=2,所以2乂5贏后+2命后或9乂22,即加彳&W3,當(dāng)且僅當(dāng)|成|=|族1

A?

時等號成立，故B正確.3\AB\\AC\=^^-=5ABAC^15,當(dāng)且僅當(dāng)|贏|=|啟|時等號成

COS

立，

sinA=W-cos2A=半,所以S&A8C=*贏H而siMW；X15X乎=3#,故C正確.由9AO

2=（AB+AC）2=A^2+AC2+2ABAC,A0=2,|A?|2+|Aq2=OAO2-2A/^AC=36-2AI^AC=

36一§懿|?|/I,所以由余弦定理42=62+。2-2和8$人可得病=|嬴F+lAZF—21前HnlcosA

=36—51ABMc|236—5乂15=24,即當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=|AC|時等號成立，所以a的最

小值是2#,故D錯誤.故選ABC.

11.（8分）（多選）在△A8C所在的平面上存在一點P,崩=癡+〃位?（2,4￡R）,則下列

說法錯誤的是（ABC）

A.若A+〃=l,則點P的軌跡不可能經(jīng)過△48C的外心

B.若2+4=1,則點P的軌跡不可能經(jīng)過△ABC的垂心

C.若2+4=],則點P的軌跡可能經(jīng)過△人BC的重心

D.若7=〃，則點P的軌跡可能經(jīng)過△A3C的內(nèi)心

解析：若2+〃=1,枝據(jù)共線向量基本定理的推論知P,B,C三點共線，即尸在直線

8c上，△ABC中，當(dāng)4=90。時，則8c的中點為三角形外心，故P有可能為外心，A錯；

若7+4=1,當(dāng)8=90。或C=90。時，則B或。為三角形的垂心，故P有可能為三角形的垂

—2I-?1-?1——?2

心，B錯；若P為△ABC的重心，必有AP=]X5（A8+AC）=I（AB+AC）,此時/+〃=？C

錯；若％=〃，設(shè)△48C為等邊三角形，結(jié)合力=/腦+求（1￡R）,則點P在8c的中線上，

也在NBAC的平分線上，P的軌跡可能經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，D正確.故選ABC.

12.（5分）（2024?河北滄州模擬）已知單位向量a,向量力與。不共線，且（a—b,b）=手

則向的最大值為2.

解析：方法一設(shè)C8=a,CA=b,^\Ali=a—b,如圖所示.因為（a-h,b）="，所

以在△48C中，A=j,由正弦定理，得熱=黑，即2=熱，得制=2sinB,

當(dāng)B=^,|Hnax=2sinW=2.

B

ab

5'、'

方法二設(shè)@=a,&=h,則/市=a—6作出△ABC的外接圓，如圖所示.

因為〈。一力，b〉=蕓所以人號，因為⑷=|CB|=1,當(dāng)AC為圓的直徑，即8=3時，

UU乙

I際ax=2⑷=2.

B

13.(5分)平面向量。，力滿足⑷=|力|,且|。一3加=1,則cos4b,3b—a)的最小值是今R

?0Q2—j

解析：由|。一3"=1兩邊平方得標(biāo)-6a6+媯2=1.又因為同=向，所以〃仍=——,所

/、b(3b-a)3b2~ah18Z>2-(10a2-1)8|肝+1.I

以cos〈b,3b-a)=^^=-^-=------------=_^_=/8|力(I1|+而)27X2mr

=莘，當(dāng)且僅當(dāng)步|=坐時取等號，所以cos〈兒3b-a')的最小值是平.

J?J

14.(5分)已知正方形A8CQ的邊長為2,四個半圓的圓心均為正方形4BCO各邊的中點

(如圖)，若〃在廢?上，且力=：勵+〃病，則的最大值為3彳立.

解析：如圖，以線段Z?C所在直線為x軸，線段4c的垂直平分線為)，軸建立平面直角坐

標(biāo)系，設(shè)P(cos仇sin0),［北,2旬,又A(—1,2),1,0),C(l,0),0(1,2),則成=

(cosO+1,sin0-2),AD=(2,0),嘉=(0,—2).因為崩=).矗+“俞，即(cos0+1,sin0

cose+1

cos<9+1=24，yl~2'2-sin。

-2)f(0,-2)+"(2,0),所以.q>解得彳..力%+〃=「一-

[sin夕-2=—2/t,2—sin0z

5=-5—,

cos1+1=3(C0S0—sin0+3)=豆啦cos(什j)+3,因為〃￡[兀，2n],則苧，苧]

所以當(dāng)。+：=2兀時，cos。+習(xí)取得最大值1,則i+"的最大值為巧亞.

過素養(yǎng)提升4

15.（5分）（2024?天津河北區(qū)二模）/MBC是等腰直角三角形，其中A8_LAC,\AB\=\,P

是△AAC所在平面內(nèi)的一點，若不=疝^+比取220,420且i+24=2）,則以在辦上的投

影向量的長度的取值范圍是（B）

A,卜,