中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案(云南省楚雄州2025年)中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布服從參數(shù)為λ=3的泊松分布，那么該風(fēng)險(xiǎn)損失次數(shù)為2的概率是（）A.$\frac{e^{-3}3^2}{2!}$B.$\frac{e^{-2}2^3}{3!}$C.$e^{-3}3^2$D.$\frac{e^{-3}3^2}{3!}$2.在一個(gè)多元線性回歸模型$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\epsilon$中，若$X_1$和$X_2$高度相關(guān)，則可能會(huì)出現(xiàn)（）A.異方差性B.自相關(guān)性C.多重共線性D.序列相關(guān)性3.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，則$P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)$約為（）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.904.對于一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)$\{y_t\}$，若其自相關(guān)函數(shù)$\rho(k)$在$k=1$時(shí)顯著不為零，在$k>1$時(shí)迅速趨近于零，則該時(shí)間序列可能適合用（）模型來描述。A.AR(1)B.MA(1)C.ARMA(1,1)D.ARIMA(1,1,1)5.已知某保險(xiǎn)標(biāo)的的損失額$X$的概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{5}e^{-\frac{x}{5}},x>0\\0,x\leq0\end{cases}$，則該損失額的期望$E(X)$為（）A.5B.10C.1/5D.16.在擬合風(fēng)險(xiǎn)模型時(shí)，常用的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法不包括（）A.卡方檢驗(yàn)B.Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)C.t檢驗(yàn)D.Anderson-Darling檢驗(yàn)7.若某數(shù)據(jù)集的樣本均值為$\bar{x}=10$，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為$s=2$，現(xiàn)對每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都加上5，則新數(shù)據(jù)集的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為（）A.15，2B.10，2C.15，7D.10，78.對于一個(gè)二項(xiàng)分布$B(n,p)$，當(dāng)$n$很大，$p$很小時(shí)，可近似用（）分布來替代。A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數(shù)分布D.均勻分布9.在建立精算模型時(shí)，以下哪種數(shù)據(jù)預(yù)處理步驟通常是不必要的（）A.數(shù)據(jù)清洗B.數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化C.數(shù)據(jù)加密D.數(shù)據(jù)編碼10.設(shè)$X$和$Y$是兩個(gè)隨機(jī)變量，已知$Cov(X,Y)=2$，$D(X)=4$，$D(Y)=9$，則$X$和$Y$的相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}$為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{6}$C.$\frac{1}{9}$D.$\frac{1}{12}$11.若一個(gè)時(shí)間序列的一階差分序列是平穩(wěn)的，則該時(shí)間序列是（）A.平穩(wěn)序列B.趨勢平穩(wěn)序列C.差分平穩(wěn)序列D.季節(jié)平穩(wěn)序列12.在風(fēng)險(xiǎn)度量中，VaR（ValueatRisk）是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時(shí)間內(nèi)的（）A.最大可能損失B.最小可能損失C.平均損失D.預(yù)期損失13.已知某精算模型中，自變量$X$和因變量$Y$之間的關(guān)系通過對數(shù)變換后滿足線性關(guān)系$\lnY=\beta_0+\beta_1X+\epsilon$，若$\beta_1=0.5$，則$X$每增加1個(gè)單位，$Y$大約增加（）A.50%B.64.9%C.100%D.150%14.在抽樣調(diào)查中，為了提高樣本的代表性，通常采用的抽樣方法不包括（）A.簡單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.隨意抽樣15.對于一個(gè)AR(2)模型$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$，其平穩(wěn)性條件是（）A.$|\phi_1+\phi_2|<1$且$|\phi_2-\phi_1|<1$B.$|\phi_1|+|\phi_2|<1$C.$\phi_1^2+\phi_2^2<1$D.$\phi_1+\phi_2<1$二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下屬于常見的風(fēng)險(xiǎn)分布的有（）A.正態(tài)分布B.泊松分布C.伽馬分布D.對數(shù)正態(tài)分布E.韋布爾分布2.在多元線性回歸分析中，以下哪些方法可以用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行裕ǎ〢.F檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.可決系數(shù)$R^2$D.調(diào)整的可決系數(shù)$\bar{R}^2$E.殘差分析3.時(shí)間序列分析中，常用的平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法有（）A.自相關(guān)函數(shù)檢驗(yàn)B.偏自相關(guān)函數(shù)檢驗(yàn)C.單位根檢驗(yàn)D.卡方檢驗(yàn)E.游程檢驗(yàn)4.精算模型中，數(shù)據(jù)質(zhì)量的重要性體現(xiàn)在（）A.影響模型的準(zhǔn)確性B.影響模型的穩(wěn)定性C.影響模型的可解釋性D.影響模型的計(jì)算效率E.影響模型的預(yù)測能力5.在風(fēng)險(xiǎn)評估中，常用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)有（）A.VaRB.CVaR（ConditionalValueatRisk）C.標(biāo)準(zhǔn)差D.變異系數(shù)E.期望損失三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述精算模型中數(shù)據(jù)清洗的主要步驟和目的。2.解釋什么是多重共線性，并說明它對多元線性回歸模型的影響以及解決方法。3.請說明ARIMA模型的基本原理和適用場景。四、計(jì)算題（每題12.5分，共25分）1.某保險(xiǎn)公司承保了1000份獨(dú)立的保單，每份保單在一年內(nèi)發(fā)生損失的概率為0.02。假設(shè)損失發(fā)生時(shí)，每份保單的損失額服從均值為5000元的指數(shù)分布。（1）計(jì)算一年內(nèi)發(fā)生損失的保單份數(shù)的期望和方差。（2）利用中心極限定理近似計(jì)算一年內(nèi)總損失超過120000元的概率。2.已知某時(shí)間序列數(shù)據(jù)$\{y_t\}$的自相關(guān)函數(shù)$\rho(k)$和偏自相關(guān)函數(shù)$\varphi_{kk}$如下：|$k$|$\rho(k)$|$\varphi_{kk}$||----|----|----||1|0.8|0.8||2|0.64|0||3|0.512|0||4|0.4096|0|（1）根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征，判斷該時(shí)間序列適合用哪種ARMA模型來描述，并說明理由。（2）寫出該模型的具體形式。答案一、單項(xiàng)選擇題1.答案：A-泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，已知$\lambda=3$，$k=2$，代入可得$P(X=2)=\frac{e^{-3}3^2}{2!}$。2.答案：C-當(dāng)多元線性回歸模型中自變量之間高度相關(guān)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)多重共線性問題。異方差性是指誤差項(xiàng)的方差不是常數(shù)；自相關(guān)性和序列相關(guān)性是指誤差項(xiàng)之間存在相關(guān)性。3.答案：B-對于正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，$P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0.9544$，$P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0.6826$，$P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\approx0.9974$。4.答案：A-AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)$\rho(k)$在$k=1$時(shí)顯著不為零，在$k>1$時(shí)按指數(shù)衰減趨近于零；MA(1)模型的自相關(guān)函數(shù)在$k=1$后為零；ARMA(1,1)和ARIMA(1,1,1)的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)特征更為復(fù)雜。5.答案：A-對于指數(shù)分布$X\simExp(\lambda)$，其概率密度函數(shù)為$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0$，期望$E(X)=\frac{1}{\lambda}$。本題中$\lambda=\frac{1}{5}$，所以$E(X)=5$。6.答案：C-t檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)單個(gè)變量的顯著性，卡方檢驗(yàn)、Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)和Anderson-Darling檢驗(yàn)常用于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。7.答案：A-設(shè)原數(shù)據(jù)為$x_i$，新數(shù)據(jù)為$y_i=x_i+5$。樣本均值$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+5)=\bar{x}+5=15$，樣本標(biāo)準(zhǔn)差$s_y=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[(x_i+5)-(\bar{x}+5)]^2}=s_x=2$。8.答案：B-當(dāng)二項(xiàng)分布$B(n,p)$中$n$很大，$p$很小時(shí)，可近似用泊松分布$P(\lambda)$來替代，其中$\lambda=np$。9.答案：C-數(shù)據(jù)清洗、數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化和數(shù)據(jù)編碼是建立精算模型時(shí)常見的數(shù)據(jù)預(yù)處理步驟，數(shù)據(jù)加密主要用于保護(hù)數(shù)據(jù)安全，并非建立模型的必要步驟。10.答案：A-相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{2}{\sqrt{4\times9}}=\frac{1}{3}$。11.答案：C-若一個(gè)時(shí)間序列的一階差分序列是平穩(wěn)的，則該時(shí)間序列是差分平穩(wěn)序列。平穩(wěn)序列是指均值、方差和自協(xié)方差不隨時(shí)間變化；趨勢平穩(wěn)序列是指通過去除趨勢后變?yōu)槠椒€(wěn)序列；季節(jié)平穩(wěn)序列是指消除季節(jié)因素后平穩(wěn)。12.答案：A-VaR是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時(shí)間內(nèi)的最大可能損失。13.答案：B-已知$\lnY=\beta_0+\beta_1X+\epsilon$，當(dāng)$X$變?yōu)?X+1$時(shí)，$\lnY_1=\beta_0+\beta_1(X+1)+\epsilon$，$\lnY_1-\lnY=\beta_1$，即$\ln\frac{Y_1}{Y}=\beta_1$。當(dāng)$\beta_1=0.5$時(shí)，$\frac{Y_1}{Y}=e^{0.5}\approx1.649$，所以$Y$大約增加$64.9\%$。14.答案：D-簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和整群抽樣都是為了提高樣本代表性的抽樣方法，隨意抽樣不能保證樣本的代表性。15.答案：A-AR(2)模型$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$的平穩(wěn)性條件是$|\phi_1+\phi_2|<1$且$|\phi_2-\phi_1|<1$。二、多項(xiàng)選擇題1.答案：ABCDE-正態(tài)分布、泊松分布、伽馬分布、對數(shù)正態(tài)分布和韋布爾分布都是精算模型中常見的風(fēng)險(xiǎn)分布。2.答案：ABCDE-F檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)整個(gè)回歸模型的顯著性；t檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)單個(gè)自變量的顯著性；可決系數(shù)$R^2$和調(diào)整的可決系數(shù)$\bar{R}^2$用于衡量模型的擬合優(yōu)度；殘差分析用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷募僭O(shè)是否成立。3.答案：ABC-自相關(guān)函數(shù)檢驗(yàn)、偏自相關(guān)函數(shù)檢驗(yàn)和單位根檢驗(yàn)是時(shí)間序列分析中常用的平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法?？ǚ綑z驗(yàn)主要用于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)；游程檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。4.答案：ABCDE-數(shù)據(jù)質(zhì)量直接影響精算模型的準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性、可解釋性、計(jì)算效率和預(yù)測能力。5.答案：ABCDE-VaR、CVaR、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)和期望損失都是風(fēng)險(xiǎn)評估中常用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。三、簡答題1.數(shù)據(jù)清洗的主要步驟和目的如下：-步驟：-數(shù)據(jù)識別：識別數(shù)據(jù)中的缺失值、異常值和重復(fù)值等問題。-缺失值處理：可以采用刪除缺失值、插補(bǔ)（如均值插補(bǔ)、中位數(shù)插補(bǔ)、回歸插補(bǔ)等）等方法。-異常值處理：可以通過統(tǒng)計(jì)方法（如3σ原則）識別異常值，然后根據(jù)情況進(jìn)行修正或刪除。-重復(fù)值處理：刪除重復(fù)的數(shù)據(jù)記錄。-目的：-提高數(shù)據(jù)質(zhì)量：去除數(shù)據(jù)中的錯(cuò)誤和噪聲，使數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確和可靠。-保證模型的準(zhǔn)確性：高質(zhì)量的數(shù)據(jù)可以提高精算模型的擬合效果和預(yù)測能力。-增強(qiáng)模型的穩(wěn)定性：減少數(shù)據(jù)中的異常因素對模型的影響，使模型更加穩(wěn)定。2.多重共線性是指在多元線性回歸模型中，自變量之間存在高度的線性相關(guān)關(guān)系。-影響：-估計(jì)系數(shù)的方差增大，導(dǎo)致系數(shù)估計(jì)值不穩(wěn)定，標(biāo)準(zhǔn)誤差增大，t檢驗(yàn)不顯著。-系數(shù)的符號可能與理論預(yù)期不符，難以解釋自變量對因變量的單獨(dú)影響。-模型的預(yù)測能力可能受到影響，雖然模型整體的擬合優(yōu)度可能較高，但對新數(shù)據(jù)的預(yù)測效果可能不佳。-解決方法：-增加樣本量：可以在一定程度上降低估計(jì)系數(shù)的方差。-剔除變量：去除相關(guān)性較高的自變量中的一個(gè)或幾個(gè)。-主成分分析：將原始自變量轉(zhuǎn)換為一組不相關(guān)的主成分，然后用主成分進(jìn)行回歸。-嶺回歸：通過對回歸系數(shù)施加一定的約束，減小系數(shù)的方差。3.ARIMA模型即自回歸積分滑動(dòng)平均模型，基本原理是將非平穩(wěn)時(shí)間序列通過差分轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后用ARMA模型進(jìn)行擬合。-基本原理：-AR（自回歸）部分：利用時(shí)間序列的過去值來預(yù)測未來值，即$X_t=\sum_{i=1}^{p}\phi_iX_{t-i}+\epsilon_t$，其中$p$為自回歸階數(shù)。-I（積分）部分：通過差分將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)時(shí)間序列，如$d$階差分后序列平穩(wěn)。-MA（滑動(dòng)平均）部分：利用過去的誤差項(xiàng)來預(yù)測未來值，即$X_t=\epsilon_t+\sum_{j=1}^{q}\theta_j\epsilon_{t-j}$，其中$q$為滑動(dòng)平均階數(shù)。-適用場景：-適用于具有趨勢和季節(jié)性的非平穩(wěn)時(shí)間序列分析和預(yù)測。例如，經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、保險(xiǎn)理賠數(shù)據(jù)等往往具有一定的趨勢和季節(jié)性，ARIMA模型可以較好地捕捉這些特征。四、計(jì)算題1.-（1）設(shè)一年內(nèi)發(fā)生損失的保單份數(shù)為$N$，$N\simB(n,p)$，其中$n=1000$，$p=0.02$。-期望$E(N)=np=1000\times0.02=20$。-方差$D(N)=np(1-p)=1000\times0.02\times(1-0.02)=19.6$。-（2）設(shè)每份保單的損失額為$X$，$X\simExp(\l