青海省黃南州中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案(2025年)一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.已知某風(fēng)險(xiǎn)模型中，損失次數(shù)$N$服從參數(shù)為$\lambda=3$的泊松分布，每次損失的金額$X$服從均值為5的指數(shù)分布，且$N$與$X$相互獨(dú)立。則該風(fēng)險(xiǎn)模型的總理賠額$S$的方差為（）A.15B.30C.45D.60答案：C解析：根據(jù)復(fù)合泊松分布的方差公式$Var(S)=\lambdaE(X^{2})$。對于指數(shù)分布，若均值為$\mu$，則$E(X)=\mu$，$Var(X)=\mu^{2}$，$E(X^{2})=Var(X)+[E(X)]^{2}=2\mu^{2}$。已知$\lambda=3$，$\mu=5$，則$E(X^{2})=2\times5^{2}=50$，所以$Var(S)=\lambdaE(X^{2})=3\times50=45$。2.在數(shù)據(jù)分析中，若變量$X$和$Y$的相關(guān)系數(shù)$r=0.8$，則表明$X$和$Y$之間（）A.不存在線性相關(guān)關(guān)系B.存在較弱的線性相關(guān)關(guān)系C.存在較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系D.存在完全的線性相關(guān)關(guān)系答案：C解析：相關(guān)系數(shù)$r$的取值范圍是$[-1,1]$。當(dāng)$|r|$越接近1時(shí)，表明變量之間的線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)；當(dāng)$|r|$越接近0時(shí)，表明變量之間的線性相關(guān)關(guān)系越弱。本題中$r=0.8$，$|r|$比較接近1，所以$X$和$Y$之間存在較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。3.設(shè)某保險(xiǎn)組合的索賠次數(shù)$N$服從二項(xiàng)分布$B(n,p)$，其中$n=100$，$p=0.1$，每次索賠金額$X$服從均值為2的均勻分布，則該保險(xiǎn)組合的總理賠額$S$的期望為（）A.10B.20C.30D.40答案：B解析：對于復(fù)合二項(xiàng)分布，總理賠額$S$的期望$E(S)=n\timesp\timesE(X)$。已知$n=100$，$p=0.1$，對于均勻分布，若其區(qū)間為$[a,b]$，均值$E(X)=\frac{a+b}{2}$，這里均值為2，所以$E(S)=100\times0.1\times2=20$。4.在時(shí)間序列分析中，若一個(gè)時(shí)間序列滿足$Y_{t}=\varphiY_{t-1}+\epsilon_{t}$，其中$|\varphi|\lt1$，$\epsilon_{t}$是白噪聲序列，則該時(shí)間序列是（）A.自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）B.自回歸模型（AR）C.移動(dòng)平均模型（MA）D.自回歸積分移動(dòng)平均模型（ARIMA）答案：B解析：自回歸模型（AR）的一般形式為$Y_{t}=\varphi_{1}Y_{t-1}+\varphi_{2}Y_{t-2}+\cdots+\varphi_{p}Y_{t-p}+\epsilon_{t}$，當(dāng)$p=1$時(shí)，即$Y_{t}=\varphiY_{t-1}+\epsilon_{t}$，所以該時(shí)間序列是自回歸模型（AR）。5.已知一組數(shù)據(jù)$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的均值為$\overline{x}$，方差為$s^{2}$，若將這組數(shù)據(jù)每個(gè)都加上常數(shù)$c$，則新數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（）A.$\overline{x}+c$，$s^{2}$B.$\overline{x}$，$s^{2}+c$C.$\overline{x}+c$，$s^{2}+c$D.$\overline{x}$，$s^{2}$答案：A解析：設(shè)新數(shù)據(jù)為$y_{i}=x_{i}+c$，$i=1,2,\cdots,n$。新數(shù)據(jù)的均值$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+c)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+c=\overline{x}+c$。新數(shù)據(jù)的方差$Var(y_{i})=Var(x_{i}+c)=Var(x_{i})=s^{2}$，因?yàn)槌?shù)的方差為0，且$Var(a+X)=Var(X)$（$a$為常數(shù)）。6.在精算模型中，對于一個(gè)離散型風(fēng)險(xiǎn)模型，損失次數(shù)$N$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，每次損失金額$X$取值為1和2的概率分別為$p$和$1-p$，則總理賠額$S$的概率生成函數(shù)為（）A.$G_{S}(z)=\exp\left[\lambda\left(pz+(1-p)z^{2}-1\right)\right]$B.$G_{S}(z)=\exp\left[\lambda\left(pz+(1-p)z^{2}\right)\right]$C.$G_{S}(z)=\exp\left[\lambda\left(pz^{2}+(1-p)z-1\right)\right]$D.$G_{S}(z)=\exp\left[\lambda\left(pz^{2}+(1-p)z\right)\right]$答案：A解析：對于復(fù)合泊松分布，總理賠額$S$的概率生成函數(shù)$G_{S}(z)=\exp\left[\lambda\left(G_{X}(z)-1\right)\right]$，其中$G_{X}(z)$是每次損失金額$X$的概率生成函數(shù)。$G_{X}(z)=pz+(1-p)z^{2}$，所以$G_{S}(z)=\exp\left[\lambda\left(pz+(1-p)z^{2}-1\right)\right]$。7.在多元線性回歸模型$Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}X_{2}+\cdots+\beta_{k}X_{k}+\epsilon$中，若要檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)自變量$X_{j}$對因變量$Y$是否有顯著影響，應(yīng)采用的檢驗(yàn)是（）A.$F$檢驗(yàn)B.$t$檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.秩和檢驗(yàn)答案：B解析：在多元線性回歸中，$t$檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)單個(gè)自變量對因變量的顯著性，即檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)回歸系數(shù)$\beta_{j}$是否為0；$F$檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)整個(gè)回歸模型的顯著性，即檢驗(yàn)所有回歸系數(shù)是否同時(shí)為0?？ǚ綑z驗(yàn)主要用于分類數(shù)據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)等；秩和檢驗(yàn)是一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法。8.設(shè)某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布函數(shù)為$F(x)$，則該風(fēng)險(xiǎn)的生存函數(shù)$S(x)$為（）A.$1-F(x)$B.$F(x)$C.$1+F(x)$D.$F(x)-1$答案：A解析：生存函數(shù)$S(x)$的定義為$S(x)=P(X\gtx)=1-P(X\leqx)=1-F(x)$，其中$F(x)$是損失分布函數(shù)。9.在數(shù)據(jù)分析中，若要對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，對于數(shù)據(jù)$x_{i}$，其標(biāo)準(zhǔn)化后的值$z_{i}$為（）A.$z_{i}=\frac{x_{i}-\overline{x}}{s}$B.$z_{i}=\frac{x_{i}-\overline{x}}{s^{2}}$C.$z_{i}=\frac{x_{i}-s}{\overline{x}}$D.$z_{i}=\frac{x_{i}-s^{2}}{\overline{x}}$答案：A解析：數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的公式為$z_{i}=\frac{x_{i}-\overline{x}}{s}$，其中$\overline{x}$是數(shù)據(jù)的均值，$s$是數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)化的目的是將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的數(shù)據(jù)。10.已知某保險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)收入為$P$，理賠支出為$C$，費(fèi)用支出為$E$，則該保險(xiǎn)產(chǎn)品的賠付率為（）A.$\frac{C}{P}$B.$\frac{C+E}{P}$C.$\frac{P-C}{P}$D.$\frac{P-C-E}{P}$答案：A解析：賠付率的定義是理賠支出與保費(fèi)收入的比值，即賠付率$=\frac{C}{P}$。11.在精算模型中，對于一個(gè)連續(xù)型風(fēng)險(xiǎn)模型，損失密度函數(shù)為$f(x)$，則該風(fēng)險(xiǎn)的期望損失為（）A.$\int_{0}^{\infty}xf(x)dx$B.$\int_{0}^{\infty}f(x)dx$C.$\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$D.$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$答案：A解析：對于連續(xù)型隨機(jī)變量$X$，其期望$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$，但在風(fēng)險(xiǎn)模型中，損失通常是非負(fù)的，所以期望損失為$\int_{0}^{\infty}xf(x)dx$。12.在時(shí)間序列的季節(jié)調(diào)整中，若采用移動(dòng)平均法，對于一個(gè)具有季節(jié)周期$s$的時(shí)間序列，通常采用（）項(xiàng)移動(dòng)平均。A.$s$B.$2s$C.$s/2$D.$s+1$答案：A解析：在時(shí)間序列的季節(jié)調(diào)整中，對于具有季節(jié)周期$s$的時(shí)間序列，通常采用$s$項(xiàng)移動(dòng)平均來消除季節(jié)因素的影響。13.設(shè)某保險(xiǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)暴露單位為$n$，每個(gè)單位的索賠概率為$p$，則該保險(xiǎn)組合的索賠次數(shù)$N$服從（）A.泊松分布B.二項(xiàng)分布C.正態(tài)分布D.指數(shù)分布答案：B解析：若有$n$個(gè)獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)暴露單位，每個(gè)單位的索賠概率為$p$，則索賠次數(shù)$N$服從二項(xiàng)分布$B(n,p)$。14.在多元線性回歸中，若回歸模型的決定系數(shù)$R^{2}=0.9$，則說明（）A.自變量對因變量的解釋程度為90%B.自變量對因變量的解釋程度為10%C.因變量對自變量的解釋程度為90%D.因變量對自變量的解釋程度為10%答案：A解析：決定系數(shù)$R^{2}$表示回歸模型中自變量對因變量的解釋程度，$R^{2}=0.9$說明自變量對因變量的解釋程度為90%。15.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布為正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^{2})$，則該風(fēng)險(xiǎn)的中位數(shù)為（）A.$\mu$B.$\sigma$C.$\mu+\sigma$D.$\mu-\sigma$答案：A解析：對于正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^{2})$，其概率密度函數(shù)是關(guān)于$x=\mu$對稱的，所以中位數(shù)等于均值，即中位數(shù)為$\mu$。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下屬于精算模型中常見的風(fēng)險(xiǎn)分布的有（）A.泊松分布B.二項(xiàng)分布C.正態(tài)分布D.指數(shù)分布答案：ABCD解析：在精算模型中，泊松分布常用于描述損失次數(shù)；二項(xiàng)分布也可用于描述索賠次數(shù)等；正態(tài)分布在很多情況下可近似其他分布，也用于一些風(fēng)險(xiǎn)的建模；指數(shù)分布常用于描述每次損失的金額等，所以這四種分布都是精算模型中常見的風(fēng)險(xiǎn)分布。2.在數(shù)據(jù)分析中，常用的特征選擇方法有（）A.過濾法B.包裝法C.嵌入法D.聚類法答案：ABC解析：過濾法是基于特征的統(tǒng)計(jì)特性來選擇特征；包裝法是通過學(xué)習(xí)器的性能來評估特征子集；嵌入法是在模型訓(xùn)練過程中自動(dòng)進(jìn)行特征選擇。而聚類法是一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，用于將數(shù)據(jù)分組，不屬于特征選擇方法。3.對于時(shí)間序列分析，以下說法正確的有（）A.平穩(wěn)時(shí)間序列的均值和方差不隨時(shí)間變化B.自回歸模型（AR）可以用于預(yù)測未來值C.移動(dòng)平均模型（MA）主要用于消除時(shí)間序列中的隨機(jī)波動(dòng)D.自回歸積分移動(dòng)平均模型（ARIMA）適用于非平穩(wěn)時(shí)間序列答案：ABCD解析：平穩(wěn)時(shí)間序列的基本性質(zhì)就是均值和方差不隨時(shí)間變化；自回歸模型（AR）通過歷史數(shù)據(jù)來建立模型，可以用于預(yù)測未來值；移動(dòng)平均模型（MA）通過對過去的隨機(jī)誤差進(jìn)行加權(quán)平均來平滑數(shù)據(jù)，消除隨機(jī)波動(dòng)；自回歸積分移動(dòng)平均模型（ARIMA）通過差分等操作將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列后進(jìn)行建模。4.在精算中，影響保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的因素有（）A.損失概率B.損失程度C.費(fèi)用率D.利潤率答案：ABCD解析：保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定需要考慮損失概率，它決定了可能發(fā)生損失的頻率；損失程度影響著每次損失的大小；費(fèi)用率包括運(yùn)營費(fèi)用等，需要分?jǐn)偟奖ＹM(fèi)中；利潤率是保險(xiǎn)公司期望獲得的利潤，也會(huì)影響保費(fèi)的確定。5.以下關(guān)于相關(guān)系數(shù)的說法正確的有（）A.相關(guān)系數(shù)的取值范圍是$[-1,1]$B.相關(guān)系數(shù)為1表示兩個(gè)變量完全正相關(guān)C.相關(guān)系數(shù)為-1表示兩個(gè)變量完全負(fù)相關(guān)D.相關(guān)系數(shù)為0表示兩個(gè)變量不存在任何關(guān)系答案：ABC解析：相關(guān)系數(shù)$r$的取值范圍是$[-1,1]$，當(dāng)$r=1$時(shí)，兩個(gè)變量之間存在完全正相關(guān)關(guān)系；當(dāng)$r=-1$時(shí)，兩個(gè)變量之間存在完全負(fù)相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)為0只是表示兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，但可能存在其他非線性關(guān)系。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述精算模型中復(fù)合泊松分布的特點(diǎn)。復(fù)合泊松分布在精算模型中具有重要地位，它主要用于描述總理賠額的分布情況。其特點(diǎn)如下：-獨(dú)立性：損失次數(shù)$N$與每次損失金額$X_{i}$相互獨(dú)立。即損失發(fā)生的次數(shù)不會(huì)影響每次損失的金額大小，每次損失金額的大小也不會(huì)影響損失發(fā)生的次數(shù)。例如，在一個(gè)保險(xiǎn)組合中，索賠次數(shù)的多少與每次索賠金額的大小沒有直接關(guān)聯(lián)。-可加性：若$S_{1}$和$S_{2}$是兩個(gè)相互獨(dú)立的復(fù)合泊松分布的總理賠額，那么$S=S_{1}+S_{2}$仍然是復(fù)合泊松分布。這一性質(zhì)在處理多個(gè)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)組合或不同風(fēng)險(xiǎn)類型的合并時(shí)非常有用。比如，將兩個(gè)不同險(xiǎn)種的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)合并，其總的理賠額分布依然可以用復(fù)合泊松分布來描述。-矩的性質(zhì)：復(fù)合泊松分布的均值和方差有特定的計(jì)算公式。均值$E(S)=\lambdaE(X)$，方差$Var(S)=\lambdaE(X^{2})$，其中$\lambda$是泊松分布的參數(shù)，代表損失次數(shù)的期望，$E(X)$是每次損失金額的期望，$E(X^{2})$是每次損失金額平方的期望。這些公式使得在計(jì)算復(fù)合泊松分布的矩時(shí)更加方便，便于進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評估和保費(fèi)計(jì)算等工作。-概率生成函數(shù)：復(fù)合泊松分布的概率生成函數(shù)為$G_{S}(z)=\exp\left[\lambda\left(G_{X}(z)-1\right)\right]$，其中$G_{X}(z)$是每次損失金額$X$的概率生成函數(shù)。通過概率生成函數(shù)，可以方便地計(jì)算分布的各階矩，并且在一些理論推導(dǎo)和模型分析中具有重要作用。2.簡述在數(shù)據(jù)分析中進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗的主要步驟。數(shù)據(jù)清洗是數(shù)據(jù)分析過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它可以提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量，為后續(xù)的分析和建模提供可靠的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。主要步驟如下：-數(shù)據(jù)收集與理解：首先要收集相關(guān)的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)的來源、含義、格式等進(jìn)行全面的了解。明確數(shù)據(jù)中各個(gè)字段的定義和取值范圍，例如在一個(gè)客戶信息數(shù)據(jù)集中，了解“年齡”字段是按照周歲還是虛歲記錄的，“收入”字段是否包含獎(jiǎng)金等額外收入。-缺失值處理：檢查數(shù)據(jù)中是否存在缺失值。對于缺失值，可以采用不同的處理方法。如果缺失值較少，可以直接刪除包含缺失值的記錄；如果缺失值較多，可以采用均值、中位數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計(jì)量來填充缺失值。例如，對于客戶的年齡字段存在缺失值，可以用所有客戶年齡的均值來填充。還可以使用更復(fù)雜的方法，如基于機(jī)器學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行缺失值預(yù)測。-異常值檢測與處理：識別數(shù)據(jù)中的異常值。異常值可能是由于數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤、測量誤差等原因?qū)е碌摹？梢允褂媒y(tǒng)計(jì)方法，如基于標(biāo)準(zhǔn)差的方法（如果數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，通常將距離均值超過3倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)視為異常值），或者基于箱線圖的方法來檢測異常值。對于異常值，可以根據(jù)具體情況進(jìn)行修正、刪除或保留。如果是數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤導(dǎo)致的異常值，可以進(jìn)行修正；如果是真實(shí)存在但偏離正常范圍的數(shù)據(jù)，可以根據(jù)分析目的決定是否保留。-重復(fù)值處理：檢查數(shù)據(jù)中是否存在重復(fù)記錄。如果存在重復(fù)記錄，需要將其刪除，以避免數(shù)據(jù)的冗余和分析結(jié)果的偏差。例如，在一個(gè)客戶交易記錄數(shù)據(jù)集中，可能會(huì)存在重復(fù)的交易記錄，需要將這些重復(fù)記錄刪除。-數(shù)據(jù)格式標(biāo)準(zhǔn)化：確保數(shù)據(jù)的格式一致。例如，日期格式要統(tǒng)一，字符編碼要一致等。如果數(shù)據(jù)集中的日期字段有的是“YYYY-MM-DD”格式，有的是“MM/DD/YYYY”格式，需要將其統(tǒng)一為一種格式。-數(shù)據(jù)驗(yàn)證：對清洗后的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和一致性?？梢酝ㄟ^統(tǒng)計(jì)分析、可視化等方法來檢查數(shù)據(jù)是否符合預(yù)期。例如，檢查清洗后的數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量是否合理，繪制直方圖等可視化圖表來觀察數(shù)據(jù)的分布情況。3.簡述多元線性回歸模型的基本假設(shè)。多元線性回歸模型的基本假設(shè)是保證模型有效性和可靠性的基礎(chǔ)，主要包括以下幾個(gè)方面：-線性關(guān)系假設(shè)：因變量$Y$與自變量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{k}$之間存在線性關(guān)系，即$Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}X_{2}+\cdots+\beta_{k}X_{k}+\epsilon$，其中$\beta_{i}$是回歸系數(shù)，$\epsilon$是隨機(jī)誤差項(xiàng)。這意味著自變量的變化對因變量的影響是線性的。例如，在研究房價(jià)與房屋面積、臥室數(shù)量等因素的關(guān)系時(shí)，假設(shè)房價(jià)與這些因素之間是線性關(guān)系。-獨(dú)立性假設(shè)：隨機(jī)誤差項(xiàng)$\epsilon_{i}$相互獨(dú)立。即不同觀測值的誤差之間沒有關(guān)聯(lián)。在實(shí)際應(yīng)用中，這意味著每個(gè)樣本的誤差不會(huì)受到其他樣本誤差的影響。例如，在對不同客戶的消費(fèi)金額進(jìn)行建模時(shí)，每個(gè)客戶的消費(fèi)誤差應(yīng)該是相互獨(dú)立的。-同方差性假設(shè)：隨機(jī)誤差項(xiàng)$\epsilon_{i}$具有相同的方差$\sigma^{2}$，即$Var(\epsilon_{i})=\sigma^{2}$，對于所有的$i=1,2,\cdots,n$。這意味著無論自變量取何值，誤差的波動(dòng)程度是相同的。如果不滿足同方差性，可能會(huì)導(dǎo)致回歸系數(shù)的估計(jì)不準(zhǔn)確，影響模型的可靠性。-正態(tài)性假設(shè)：隨機(jī)誤差項(xiàng)$\epsilon_{i}$服從正態(tài)分布，即$\epsilon_{i}\simN(0,\sigma^{2})$。這一假設(shè)使得可以進(jìn)行基于正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)推斷，如進(jìn)行參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間估計(jì)等。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)樣本量較大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，即使誤差項(xiàng)不嚴(yán)格服從正態(tài)分布，也可以近似認(rèn)為滿足正態(tài)性假設(shè)。-無多重共線性假設(shè)：自變量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{k}$之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系。如果存在多重共線性，會(huì)導(dǎo)致回歸系數(shù)的估計(jì)不穩(wěn)定，難以準(zhǔn)確解釋每個(gè)自變量對因變量的影響。例如，在建立一個(gè)關(guān)于企業(yè)銷售額的回歸模型時(shí)，如果使用了企業(yè)的總收入和總利潤作為自變量，而總收入和總利潤之間可能存在較強(qiáng)的線性關(guān)系，就會(huì)出現(xiàn)多重共線性問題。四、計(jì)算題（每題12.5分，共25分）1.已知某保險(xiǎn)組合的索賠次數(shù)$N$服從參數(shù)為$\lambda=5$的泊松分布，每次索賠金額$X$服從均值為10的指數(shù)分布。求該保險(xiǎn)組合的總理賠額$S$的均值和方差。首先，明確復(fù)合泊松分布的均值和方差計(jì)算公式。對于復(fù)合泊松分布，總理賠額$S$的均值$E(S)$和方差$Var(S)$有如下公式：均值公式：$E(S)=\lambdaE(X)$方差公式：$Var(S)=\lambdaE(X^{2})$已知$\lambda=5$，對于指數(shù)分布，若其均值為$\mu$，則$E(X)=\mu$，$Var(X)=\mu^{2}$，且$E(X^{2})=Var(X)+[E(X)]^{2}$。因?yàn)槊看嗡髻r金額$X$服從均值為10的指數(shù)分布，所以$E(X)=10$，$Var(X)=10^{2}=100$。則$E(X^{2})=Var(X)+[E(X)]^{2}=100+100=200$。計(jì)算均值：$E(S)=\lambdaE(X)=5\times10=50$計(jì)算方差：$Var(S)=\lambdaE(X^{2})=5\times200=1000$所以，該保險(xiǎn)組合的總理賠額$S$的均值為50，方差為1000。2.某公司收集了過去10年的銷售額數(shù)據(jù)（單位：萬元）：200，220，230，250，260，280，300，320，350，380。試計(jì)算該時(shí)間序列的簡單移動(dòng)平均（移動(dòng)步長$k=3$）和指數(shù)平滑值（平滑系數(shù)$\alpha=0.3$），并預(yù)測第11年的銷售額。-簡單移動(dòng)平均（移動(dòng)步長$k=3$）簡單移動(dòng)平均的計(jì)算公式為$M_{t}=\frac{y_{t}+y_{t-1}+\cdots+y_{t-k+1}}{k}$，其中$M_{t}$是第$t$期的移動(dòng)平均值，$y_{i}$是第$i$期的觀測值，$k$是移動(dòng)步長。當(dāng)$t=3$時(shí)，$M_{3}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}=\frac{200+220+230}{3}=\frac{650}{3}\approx216.67$當(dāng)$t=4$時(shí)，$M_{4}=\frac{y_{2}+y_{3}+y_{4}}{3}=\frac{220+230+250}{3}=\frac{700}{3}\approx233.33$當(dāng)$t=5$時(shí)，$M_{5}=\frac{y_{3}+y_{4}+y_{5}}{3}=\frac{230+250+260}{3}=246.67$當(dāng)$t=6$時(shí)，$M_{6}=\frac{y_{4}+y_{5}+y_{6}}{3}=\frac{250+260+280}{3}=263.33$當(dāng)$t=7$時(shí)，$M_{7}=\frac{y_{5}+y_{6}+y_{7}}{3}=\frac{260+280+300}{3}=280$當(dāng)$t=8$時(shí)，$M_{8}=\frac{y_{6}+y_{7}+y_{8}}{3}=\frac{280+300+320}{3}=300$當(dāng)$t=9$時(shí)，$M_{9}=\frac{y_{7}+y_{8}+y_{9}}{3}=\frac{300+320+350}{3}=323.33$當(dāng)$t=10$時(shí)，$M_{10}=\frac{y_{8}+y_{9}+y_{10}}{3}=\frac{320+350+380}{3}=350$-指數(shù)平滑值（平滑系數(shù)$\alpha=0.3$）指數(shù)平滑值的計(jì)算公式為$S_{t}=\alphay_{t}+(1-\alpha)S_{t-1}$，通常初始值$S_{1}=y_{1}=200$。$S_{1}=200$$S_{2}=\alphay_{2}+(1-\alpha)S_{1}=0.3\times220+(1-0.3)\times200=66+140=206$$S_{3}=\alphay_{3}+(1-\alpha)S_{2}=0.3\tim