河北中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算數(shù)學(xué)）復(fù)習(xí)題庫及答案(2025年)一、單項選擇題1.已知在死亡均勻分布假設(shè)下，\(l_x=1000(1-\frac{x}{100})\)，\(0\leqx\leq100\)，則\(q_{30}\)的值為（）A.0.01B.0.02C.0.03D.0.04E.0.05答案：A解析：根據(jù)死亡均勻分布假設(shè)下\(q_x\)的計算公式\(q_x=\frac{d_x}{l_x}\)，先求\(l_{30}=1000(1-\frac{30}{100})=700\)，\(l_{31}=1000(1-\frac{31}{100})=690\)，則\(d_{30}=l_{30}-l_{31}=700-690=10\)，所以\(q_{30}=\frac{d_{30}}{l_{30}}=\frac{10}{700}\approx0.01\)。2.設(shè)年利率為\(i=0.05\)，則\(10\)年末支付\(1000\)元的現(xiàn)值為（）A.613.91B.620.92C.630.17D.641.12E.650.23答案：A解析：根據(jù)現(xiàn)值公式\(PV=FV(1+i)^{-n}\)，其中\(zhòng)(FV=1000\)，\(i=0.05\)，\(n=10\)，則\(PV=1000\times(1+0.05)^{-10}\approx1000\times0.61391=613.91\)。3.已知\(a_{\overline{n|}}=\frac{1-v^n}{i}\)，\(v=(1+i)^{-1}\)，當\(i=0.06\)，\(n=20\)時，\(a_{\overline{20|}}\)的值為（）A.11.4699B.12.1581C.13.0853D.14.2124E.15.0463答案：A解析：先計算\(v=(1+0.06)^{-1}\approx0.9434\)，\(v^{20}=(0.9434)^{20}\approx0.3118\)，則\(a_{\overline{20|}}=\frac{1-v^{20}}{i}=\frac{1-0.3118}{0.06}\approx11.4699\)。4.在全連續(xù)型終身壽險中，設(shè)死亡力\(\mu_x\)為常數(shù)，年利率\(\delta\)也為常數(shù)，則\(\overline{A}_x\)的值為（）A.\(\frac{\mu}{\mu+\delta}\)B.\(\frac{\delta}{\mu+\delta}\)C.\(\frac{\mu}{\delta}\)D.\(\frac{\delta}{\mu}\)E.\(\frac{\mu\delta}{\mu+\delta}\)答案：A解析：根據(jù)全連續(xù)型終身壽險的精算現(xiàn)值公式\(\overline{A}_x=\int_{0}^{\infty}v^t\mu_{x+t}p_xdt\)，因為\(\mu_x\)為常數(shù)，\(p_x=e^{-\mut}\)，\(v^t=e^{-\deltat}\)，則\(\overline{A}_x=\int_{0}^{\infty}e^{-\deltat}\mue^{-\mut}dt=\mu\int_{0}^{\infty}e^{-(\mu+\delta)t}dt\)，由積分公式\(\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt=\frac{1}{a}(a>0)\)，可得\(\overline{A}_x=\frac{\mu}{\mu+\delta}\)。5.已知某險種的損失額\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的指數(shù)分布，免賠額為\(d=1\)，則理賠額\(Y\)的期望\(E(Y)\)為（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8E.0.9答案：A解析：當損失額\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的指數(shù)分布時，概率密度函數(shù)\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0\)。理賠額\(Y=\max\{X-d,0\}\)，則\(E(Y)=\int_z3jilz61osys^{\infty}(x-d)\lambdae^{-\lambdax}dx\)，令\(t=x-d\)，則\(x=t+d\)，\(dx=dt\)，\(E(Y)=\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambda(t+d)}dt=e^{-\lambdad}\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt\)。對于指數(shù)分布\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)，\(\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt=\frac{1}{\lambda}\)，已知\(\lambda=2\)，\(d=1\)，所以\(E(Y)=e^{-2}\times\frac{1}{2}\approx0.5\)。二、多項選擇題1.以下關(guān)于利息力\(\delta\)和年利率\(i\)的關(guān)系，正確的有（）A.\(i=e^{\delta}-1\)B.\(\delta=\ln(1+i)\)C.\(v=e^{-\delta}\)，其中\(zhòng)(v=(1+i)^{-1}\)D.當\(i\)較小時，\(\delta\approxi\)E.\(i\)和\(\delta\)的大小關(guān)系不確定答案：ABCD解析：根據(jù)利息力和年利率的定義及關(guān)系，由\(e^{\delta}=1+i\)可得\(i=e^{\delta}-1\)，\(\delta=\ln(1+i)\)；又因為\(v=(1+i)^{-1}\)，\(e^{\delta}=1+i\)，所以\(v=e^{-\delta}\)；當\(i\)較小時，利用泰勒展開\(e^{\delta}=1+\delta+\frac{\delta^2}{2!}+\cdots\)，\(i=e^{\delta}-1\approx\delta\)。而一般情況下\(i>0\)時，\(e^{\delta}=1+i>1\)，\(\delta>0\)且\(i>\delta\)。2.在生命表中，以下指標之間的關(guān)系正確的有（）A.\(l_{x+1}=l_x-d_x\)B.\(q_x=\frac{d_x}{l_x}\)C.\(p_x=1-q_x\)D.\(l_{x+n}=l_x\times_np_x\)E.\(d_{x+n}=l_{x+n}-l_{x+n+1}\)答案：ABCDE解析：在生命表中，\(l_x\)表示\(x\)歲的生存人數(shù)，\(d_x\)表示\(x\)歲到\(x+1\)歲死亡的人數(shù)，所以\(l_{x+1}=l_x-d_x\)；\(q_x\)是\(x\)歲的死亡概率，\(q_x=\frac{d_x}{l_x}\)；\(p_x\)是\(x\)歲的生存概率，\(p_x=1-q_x\)；\(_np_x\)表示\(x\)歲的人活過\(n\)年的概率，\(l_{x+n}=l_x\times_np_x\)；\(d_{x+n}\)表示\(x+n\)歲到\(x+n+1\)歲死亡的人數(shù)，\(d_{x+n}=l_{x+n}-l_{x+n+1}\)。3.對于年金的計算，以下說法正確的有（）A.期末付年金\(a_{\overline{n|}}=\sum_{k=1}^{n}v^k\)B.期初付年金\(\ddot{a}_{\overline{n|}}=\sum_{k=0}^{n-1}v^k\)C.\(\ddot{a}_{\overline{n|}}=(1+i)a_{\overline{n|}}\)D.\(a_{\overline{n|}}=\frac{1-v^n}{i}\)E.\(\ddot{a}_{\overline{n|}}=\frac{1-v^n}z3jilz61osys\)，其中\(zhòng)(d=\frac{i}{1+i}\)答案：ABCDE解析：期末付年金是在每期期末支付，\(a_{\overline{n|}}=\sum_{k=1}^{n}v^k\)；期初付年金是在每期期初支付，\(\ddot{a}_{\overline{n|}}=\sum_{k=0}^{n-1}v^k\)；因為\(\ddot{a}_{\overline{n|}}=\sum_{k=0}^{n-1}v^k=(1+i)\sum_{k=1}^{n}v^k=(1+i)a_{\overline{n|}}\)；根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得\(a_{\overline{n|}}=\frac{1-v^n}{i}\)；又因為\(\ddot{a}_{\overline{n|}}=(1+i)a_{\overline{n|}}=(1+i)\frac{1-v^n}{i}=\frac{1-v^n}z3jilz61osys\)，其中\(zhòng)(d=\frac{i}{1+i}\)。4.在壽險精算中，關(guān)于躉繳純保費的計算，以下正確的有（）A.定期壽險躉繳純保費\(A_{x:\overline{n|}}^1=\int_{0}^{n}v^t\mu_{x+t}p_xdt\)（全連續(xù)型）B.終身壽險躉繳純保費\(\overline{A}_x=\int_{0}^{\infty}v^t\mu_{x+t}p_xdt\)（全連續(xù)型）C.定期生存保險躉繳純保費\(A_{x:\overline{n|}}^1=v^n\times_np_x\)D.兩全保險躉繳純保費\(A_{x:\overline{n|}}=A_{x:\overline{n|}}^1+A_{x:\overline{n|}}^2\)，其中\(zhòng)(A_{x:\overline{n|}}^2\)是生存保險躉繳純保費E.延期定期壽險躉繳純保費\(_m|A_{x:\overline{n|}}^1=\int_{m}^{m+n}v^t\mu_{x+t}p_xdt\)（全連續(xù)型）答案：ABCDE解析：全連續(xù)型定期壽險躉繳純保費是在\(n\)年內(nèi)死亡才給付，\(A_{x:\overline{n|}}^1=\int_{0}^{n}v^t\mu_{x+t}p_xdt\)；全連續(xù)型終身壽險躉繳純保費是在任何時候死亡都給付，\(\overline{A}_x=\int_{0}^{\infty}v^t\mu_{x+t}p_xdt\)；定期生存保險躉繳純保費是在\(n\)年末生存才給付，\(A_{x:\overline{n|}}^1=v^n\times_np_x\)；兩全保險是死亡和生存都有給付，躉繳純保費\(A_{x:\overline{n|}}=A_{x:\overline{n|}}^1+A_{x:\overline{n|}}^2\)；延期定期壽險是在延期\(m\)年后的\(n\)年內(nèi)死亡才給付，躉繳純保費\(_m|A_{x:\overline{n|}}^1=\int_{m}^{m+n}v^t\mu_{x+t}p_xdt\)。5.在風(fēng)險理論中，關(guān)于風(fēng)險度量的指標，以下屬于的有（）A.方差B.標準差C.變異系數(shù)D.偏度E.峰度答案：ABCDE解析：方差反映了隨機變量取值的離散程度，是衡量風(fēng)險的一個重要指標；標準差是方差的平方根，與方差一樣用于衡量風(fēng)險；變異系數(shù)是標準差與均值的比值，用于比較不同均值下的風(fēng)險；偏度衡量了分布的不對稱程度，反映了風(fēng)險在左右兩側(cè)的分布情況；峰度衡量了分布的尾部厚度，對于評估極端風(fēng)險有重要意義。三、簡答題1.簡述利息力\(\delta\)的概念及其與年利率\(i\)的關(guān)系。利息力\(\delta\)是衡量在某一時刻利息增長強度的指標。它表示在某一時刻，單位本金在該時刻的瞬時利息率。年利率\(i\)是指在一年的時間內(nèi)，本金所產(chǎn)生的利息與本金的比率。它們之間的關(guān)系為：\(i=e^{\delta}-1\)，這是通過對連續(xù)復(fù)利的推導(dǎo)得出的。假設(shè)本金為\(P\)，按利息力\(\delta\)進行連續(xù)復(fù)利計算，經(jīng)過一年后本利和為\(P\timese^{\delta}\)，則利息為\(P\timese^{\delta}-P\)，年利率\(i=\frac{P\timese^{\delta}-P}{P}=e^{\delta}-1\)；反之，\(\delta=\ln(1+i)\)。當\(i\)較小時，利用泰勒展開\(e^{\delta}=1+\delta+\frac{\delta^2}{2!}+\cdots\)，\(i=e^{\delta}-1\approx\delta\)。2.解釋生命表中\(zhòng)(l_x\)、\(d_x\)、\(q_x\)和\(p_x\)的含義，并說明它們之間的關(guān)系。在生命表中：-\(l_x\)表示\(x\)歲的生存人數(shù)，它是生命表的基本數(shù)據(jù)，反映了在特定的死亡率假設(shè)下，\(x\)歲時存活的個體數(shù)量。-\(d_x\)表示\(x\)歲到\(x+1\)歲死亡的人數(shù)，即\(x\)歲的生存人群在接下來一年中死亡的數(shù)量。-\(q_x\)是\(x\)歲的死亡概率，它表示\(x\)歲的人在未來一年內(nèi)死亡的可能性，計算公式為\(q_x=\frac{d_x}{l_x}\)。-\(p_x\)是\(x\)歲的生存概率，即\(x\)歲的人在未來一年內(nèi)生存的可能性，\(p_x=1-q_x\)。它們之間的關(guān)系為：\(l_{x+1}=l_x-d_x\)，因為\(x\)歲的生存人數(shù)減去\(x\)歲到\(x+1\)歲死亡的人數(shù)就是\(x+1\)歲的生存人數(shù)；\(q_x=\frac{d_x}{l_x}\)體現(xiàn)了死亡概率與死亡人數(shù)和生存人數(shù)的關(guān)系；\(p_x=1-q_x\)表明生存概率和死亡概率之和為\(1\)。3.說明全連續(xù)型終身壽險躉繳純保費\(\overline{A}_x\)的含義，并推導(dǎo)其計算公式。全連續(xù)型終身壽險躉繳純保費\(\overline{A}_x\)表示在全連續(xù)的情況下，對于\(x\)歲的被保險人，為了在其未來任何時刻死亡時都能獲得單位保額的給付，在投保時一次性繳納的純保費。推導(dǎo)過程如下：設(shè)死亡力為\(\mu_{x+t}\)，年利率為\(\delta\)，\(p_x\)表示\(x\)歲的人存活\(t\)年的概率。在時刻\(t\)死亡的概率密度為\(\mu_{x+t}p_x\)，在時刻\(t\)死亡時，給付的保額為\(1\)，其現(xiàn)值為\(v^t=e^{-\deltat}\)。根據(jù)精算等價原理，躉繳純保費等于未來給付的現(xiàn)值的數(shù)學(xué)期望。所以\(\overline{A}_x=\int_{0}^{\infty}v^t\mu_{x+t}p_xdt\)。如果死亡力\(\mu_x\)為常數(shù)\(\mu\)，則\(p_x=e^{-\mut}\)，\(\overline{A}_x=\int_{0}^{\infty}e^{-\deltat}\mue^{-\mut}dt=\mu\int_{0}^{\infty}e^{-(\mu+\delta)t}dt\)。由積分公式\(\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt=\frac{1}{a}(a>0)\)，這里\(a=\mu+\delta\)，可得\(\overline{A}_x=\frac{\mu}{\mu+\delta}\)。4.簡述風(fēng)險理論中風(fēng)險度量的意義，并列舉常見的風(fēng)險度量指標。風(fēng)險理論中風(fēng)險度量的意義在于：-幫助決策者評估和比較不同風(fēng)險的大小。在保險、金融等領(lǐng)域，面臨著各種不同類型和程度的風(fēng)險，通過風(fēng)險度量可以明確各種風(fēng)險的相對大小，從而做出合理的決策，如選擇合適的保險產(chǎn)品、投資組合等。-為風(fēng)險管理提供依據(jù)。知道了風(fēng)險的大小，就可以采取相應(yīng)的措施來降低風(fēng)險，如通過再保險分散風(fēng)險、調(diào)整投資策略等。-進行風(fēng)險定價。在保險中，根據(jù)風(fēng)險的度量結(jié)果來確定保險費率，使保費能夠合理地反映風(fēng)險的大小，保證保險公司的穩(wěn)健經(jīng)營。常見的風(fēng)險度量指標有：-方差：它反映了隨機變量取值相對于均值的離散程度，方差越大，說明風(fēng)險越大。-標準差：是方差的平方根，與方差一樣用于衡量風(fēng)險，其優(yōu)點是與原隨機變量具有相同的量綱，更直觀地反映了風(fēng)險的大小。-變異系數(shù)：是標準差與均值的比值，用于比較不同均值下的風(fēng)險，它消除了均值不同對風(fēng)險比較的影響。-偏度：衡量了分布的不對稱程度，正偏度表示分布的右尾較長，可能存在較大的正向極端值；負偏度表示分布的左尾較長，可能存在較大的負向極端值。-峰度：衡量了分布的尾部厚度，峰度較高說明分布的尾部比正態(tài)分布更厚，意味著出現(xiàn)極端風(fēng)險的可能性更大。5.解釋年金的概念，并說明期末付年金和期初付年金的區(qū)別。年金是指在一定時期內(nèi)，每隔相同的時間間隔，支付或收入相等金額的款項。在精算學(xué)中，年金常用于計算養(yǎng)老金、保險費等。期末付年金和期初付年金的區(qū)別主要體現(xiàn)在以下幾個方面：-支付時間：期末付年金是在每期期末進行支付，例如每年年末支付一定金額；而期初付年金是在每期期初進行支付，如每年年初支付。-現(xiàn)值和終值的計算：-現(xiàn)值計算：期末付年金現(xiàn)值\(a_{\overline{n|}}=\sum_{k=1}^{n}v^k=\frac{1-v^n}{i}\)，其中\(zhòng)(v=(1+i)^{-1}\)，\(i\)是利率，\(n\)是期數(shù)；期初付年金現(xiàn)值\(\ddot{a}_{\overline{n|}}=\sum_{k=0}^{n-1}v^k=\frac{1-v^n}z3jilz61osys\)，\(d=\frac{i}{1+i}\)。并且\(\ddot{a}_{\overline{n|}}=(1+i)a_{\overline{n|}}\)，因為期初付年金比期末付年金提前一期支付，所以在相同的利率和期數(shù)下，期初付年金現(xiàn)值大于期末付年金現(xiàn)值。-終值計算：期末付年金終值\(s_{\overline{n|}}=\frac{(1+i)^n-1}{i}\)；期初付年金終值\(\ddot{s}_{\overline{n|}}=\frac{(1+i)^n-1}z3jilz61osys\)，且\(\ddot{s}_{\overline{n|}}=(1+i)s_{\overline{n|}}\)，同樣由于支付時間的不同，期初付年金終值大于期末付年金終值。四、計算題1.已知年利率\(i=0.08\)，某人在第\(1\)年末存入\(100\)元，第\(2\)年末存入\(200\)元，第\(3\)年末存入\(300\)元，求這三筆存款在第\(3\)年末的終值。解：根據(jù)終值公式\(FV=PV(1+i)^n\)，其中\(zhòng)(PV\)是現(xiàn)值，\(i\)是年利率，\(n\)是期數(shù)。第\(1\)年末存入的\(100\)元，到第\(3\)年末經(jīng)過了\(2\)年，其終值為\(100\times(1+0.08)^2=100\times1.1664=116.64\)元。第\(2\)年末存入的\(200\)元，到第\(3\)年末經(jīng)過了\(1\)年，其終值為\(200\times(1+0.08)^1=200\times1.08=216\)元。第\(3\)年末存入的\(300\)元，其終值就是\(300\)元。則這三筆存款在第\(3\)年末的終值為\(116.64+216+300=632.64\)元。2.設(shè)死亡力\(\mu_x=\frac{1}{100-x}\)，\(0\leqx<100\)，求\(q_{30}\)和\(p_{30}\)。解：首先根據(jù)死亡概率的計算公式\(q_x=1-e^{-\int_{0}^{1}\mu_{x+t}dt}\)。對于\(x=30\)，\(\mu_{30+t}=\frac{1}{100-(30+t)}=\frac{1}{70-t}\)。則\(\int_{0}^{1}\mu_{30+t}dt=\int_{0}^{1}\frac{1}{70-t}dt\)，令\(u=70-t\)，\(du=-dt\)，當\(t=0\)時，\(u=70\)；當\(t=1\)時，\(u=69\)。\(\int_{0}^{1}\frac{1}{70-t}dt=-\int_{70}^{69}\frac{1}{u}du=\int_{69}^{70}\frac{1}{u}du=\lnu|_{69}^{70}=\ln\frac{70}{69}\)。所以\(q_{30}=1-e^{-\ln\frac{70}{69}}=1-\frac{69}{70}=\frac{1}{70}\approx0.0143\)。因為\(p_{30}=1-q_{30}\)，所以\(p_{30}=1-\frac{1}{70}=\frac{69}{70}\approx0.9857\)。3.已知某全連續(xù)型定期壽險，保險期限為\(n=10\)年，被保險人年齡\(x=30\)歲，死亡力\(\mu_{x+t}=0.02\)（常數(shù)），年利率\(\delta=0.05\)，求該定期壽險的躉繳純保費\(A_{30:\overline{10|}}^1\)。解：根據(jù)全連續(xù)型定期壽險躉繳純保費公式\(A_{x:\overline{n|}}^1=\int_{0}^{n}v^t\mu_{x+t}p_xdt\)，其中\(zhòng)(v^t=e^{-\deltat}\)，\(p_x=e^{-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds}\)。因為\(\mu_{x+t}=0.02\)為常數(shù)，所以\(p_x=e^{-0.02t}\)，\(v^t=e^{-0.05t}\)。則\(A_{30:\overline{10|}}^1=\int_{0}^{10}e^{-0.05t}\times0.02\timese^{-0.02t}dt=0.02\int_{0}^{10}e^{-(0.02+0.05)t}dt\)。由積分公式\(\int_{0}^{n}e^{-at}dt=\frac{1-e^{-an}}{a}(a>0)\)，這里\(a=0.07\)。\(A_{30:\overline{10|}}^1=0.02\times\frac{1-e^{-0.07\times10}}{0.07}=\frac{0.02}{0.07}(1-e^{-0.7})\)。\(e^{-0.7}\approx0.4966\)，則\(A_{30:\overline{10|}}^1=\frac{0.02}{0.07}(1-0.4966)=\frac{0.02}{0.07}\times0.5034\approx0.1438\)。4.某期末付年金，每年支付\(100\)元，年利率\(i=0.06\)，支付期數(shù)\(n=20\)年，求該年金的現(xiàn)值和終值。解：-現(xiàn)值：根據(jù)期末付年金現(xiàn)值公式\(a_{\overline{n|}}=\frac{1-v^n}{i}\)，其中\(zhòng)(v=(1+i)^{-1}=(1+0.06)^{-1}\approx0.9434\)，\(n=20\)。\(a_{\overline{20|}}=\frac{1-0.9434^{20}}{0.06}\)，\(0.9434^{20}\approx0.3118\)，\(a_{\overline{20|}}=\frac{1-0.3118}{0.06}=\frac{0.6882}{0.06}=11.47\)。該年金現(xiàn)值