江蘇宿遷市2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.已知一組數(shù)據(jù)：10，12，15，18，20，22，25。則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.15B.18C.20D.22答案：B解析：將數(shù)據(jù)從小到大排列：10，12，15，18，20，22，25。一共有7個(gè)數(shù)，中間的數(shù)為第4個(gè)數(shù)，即18，所以中位數(shù)是18。2.在精算模型中，泊松分布常用于描述（）A.風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生的次數(shù)B.風(fēng)險(xiǎn)損失的大小C.風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生的時(shí)間間隔D.風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率答案：A解析：泊松分布是一種常見的離散概率分布，常用于描述在一定時(shí)間或空間內(nèi)，某事件發(fā)生的次數(shù)，在精算中常用于描述風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生的次數(shù)。3.假設(shè)某保險(xiǎn)公司承保的某類風(fēng)險(xiǎn)事件的發(fā)生次數(shù)服從參數(shù)為λ=5的泊松分布，則該類風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生次數(shù)為3次的概率是（）A.$\frac{e^{-5}5^3}{3!}$B.$\frac{e^{-3}5^3}{3!}$C.$\frac{e^{-5}3^5}{5!}$D.$\frac{e^{-3}3^5}{5!}$答案：A解析：若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，其概率質(zhì)量函數(shù)為$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，這里λ=5，k=3，所以該類風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生次數(shù)為3次的概率是$\frac{e^{-5}5^3}{3!}$。4.對于線性回歸模型$y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon$，其中$\epsilon$表示（）A.自變量B.因變量C.隨機(jī)誤差項(xiàng)D.回歸系數(shù)答案：C解析：在線性回歸模型中，$y$是因變量，$x$是自變量，$\beta_0$和$\beta_1$是回歸系數(shù)，$\epsilon$是隨機(jī)誤差項(xiàng)，它反映了除自變量$x$之外其他因素對因變量$y$的影響。5.在數(shù)據(jù)分析中，以下哪種方法用于檢測數(shù)據(jù)中的異常值（）A.主成分分析B.聚類分析C.箱線圖法D.因子分析答案：C解析：箱線圖可以直觀地展示數(shù)據(jù)的分布情況，通過箱線圖可以很容易地識別出數(shù)據(jù)中的異常值。主成分分析主要用于數(shù)據(jù)降維；聚類分析是將數(shù)據(jù)對象分組；因子分析也是用于數(shù)據(jù)降維和探索數(shù)據(jù)的潛在結(jié)構(gòu)。6.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，則$P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)$約為（）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.5答案：A解析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，則$P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0.6826$，$P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0.9544$，$P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\approx0.9974$。7.已知某風(fēng)險(xiǎn)模型中，損失次數(shù)$N$服從參數(shù)為λ的泊松分布，每次損失的金額$X$服從均值為μ的指數(shù)分布，且$N$與$X$相互獨(dú)立，則總損失$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的均值為（）A.λB.μC.λμD.λ+μ答案：C解析：根據(jù)復(fù)合泊松分布的均值公式，若總損失$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$，其中$N$服從參數(shù)為λ的泊松分布，$X_i$的均值為$E(X)$，且$N$與$X_i$相互獨(dú)立，則$E(S)=E(N)E(X)$。因?yàn)?E(N)=\lambda$，$E(X)=\mu$，所以$E(S)=\lambda\mu$。8.在時(shí)間序列分析中，自回歸模型$AR(p)$的階數(shù)$p$表示（）A.模型中使用的滯后變量的個(gè)數(shù)B.模型中使用的時(shí)間周期數(shù)C.模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)的個(gè)數(shù)D.模型中回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)答案：A解析：自回歸模型$AR(p)$的形式為$X_t=\varphi_1X_{t-1}+\varphi_2X_{t-2}+\cdots+\varphi_pX_{t-p}+\epsilon_t$，其中$p$表示模型中使用的滯后變量的個(gè)數(shù)。9.以下關(guān)于方差分析的說法，錯誤的是（）A.方差分析用于檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等B.方差分析的基本思想是將總變異分解為組間變異和組內(nèi)變異C.方差分析要求各總體服從正態(tài)分布D.方差分析不要求各總體的方差相等答案：D解析：方差分析要求各總體服從正態(tài)分布，且各總體的方差相等，其基本思想是將總變異分解為組間變異和組內(nèi)變異，用于檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等。10.若某精算模型中，風(fēng)險(xiǎn)暴露單位為$n$，每個(gè)暴露單位的風(fēng)險(xiǎn)概率為$p$，則該模型中風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生次數(shù)的方差為（）A.$np$B.$np(1-p)$C.$p(1-p)$D.$n^2p(1-p)$答案：B解析：若風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生次數(shù)服從二項(xiàng)分布$B(n,p)$，其中$n$是試驗(yàn)次數(shù)（即風(fēng)險(xiǎn)暴露單位），$p$是每次試驗(yàn)成功的概率（即每個(gè)暴露單位的風(fēng)險(xiǎn)概率），則其方差為$np(1-p)$。11.在數(shù)據(jù)分析中，使用嶺回歸的主要目的是（）A.處理多重共線性問題B.提高模型的預(yù)測精度C.減少模型的計(jì)算復(fù)雜度D.增加模型的可解釋性答案：A解析：當(dāng)自變量之間存在多重共線性時(shí)，普通最小二乘法估計(jì)的回歸系數(shù)不穩(wěn)定，嶺回歸通過在損失函數(shù)中加入一個(gè)正則化項(xiàng)，來處理多重共線性問題。12.設(shè)隨機(jī)變量$X$和$Y$的協(xié)方差$Cov(X,Y)=-2$，$D(X)=4$，$D(Y)=9$，則$X$和$Y$的相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}$為（）A.$-\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{3}$C.$-\frac{2}{3}$D.$\frac{2}{3}$答案：A解析：相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，將$Cov(X,Y)=-2$，$D(X)=4$，$D(Y)=9$代入可得$\rho_{XY}=\frac{-2}{\sqrt{4\times9}}=-\frac{1}{3}$。13.在精算模型中，生存函數(shù)$S(x)$表示（）A.個(gè)體在$x$歲之前死亡的概率B.個(gè)體在$x$歲之后死亡的概率C.個(gè)體在$x$歲時(shí)的生存概率D.個(gè)體在$x$歲時(shí)的死亡概率答案：B解析：生存函數(shù)$S(x)=P(T>x)$，其中$T$表示個(gè)體的未來壽命，所以$S(x)$表示個(gè)體在$x$歲之后死亡的概率。14.對于一個(gè)含有$n$個(gè)樣本的數(shù)據(jù)集，其樣本標(biāo)準(zhǔn)差$s$的計(jì)算公式為（）A.$s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$B.$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$C.$s=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$D.$s=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$答案：B解析：樣本標(biāo)準(zhǔn)差是對總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)，其計(jì)算公式為$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$，其中$\bar{x}$是樣本均值。15.在分類算法中，決策樹的基本思想是（）A.通過不斷劃分特征空間來構(gòu)建分類規(guī)則B.通過尋找數(shù)據(jù)的聚類中心來進(jìn)行分類C.通過計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的相似度來進(jìn)行分類D.通過主成分分析來進(jìn)行分類答案：A解析：決策樹的基本思想是通過對特征空間進(jìn)行不斷的劃分，根據(jù)特征的取值情況構(gòu)建分類規(guī)則，將數(shù)據(jù)劃分到不同的類別中。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下哪些分布屬于離散概率分布（）A.正態(tài)分布B.泊松分布C.二項(xiàng)分布D.指數(shù)分布E.均勻分布（離散型）答案：BCE解析：正態(tài)分布和指數(shù)分布屬于連續(xù)概率分布；泊松分布、二項(xiàng)分布和離散型均勻分布屬于離散概率分布。2.在數(shù)據(jù)分析中，以下哪些方法可以用于數(shù)據(jù)降維（）A.主成分分析B.因子分析C.聚類分析D.線性回歸E.奇異值分解答案：ABE解析：主成分分析、因子分析和奇異值分解都可以用于數(shù)據(jù)降維，減少數(shù)據(jù)的維度。聚類分析是用于數(shù)據(jù)分組；線性回歸主要用于建立變量之間的線性關(guān)系。3.關(guān)于精算模型中的風(fēng)險(xiǎn)度量，以下說法正確的有（）A.方差可以衡量風(fēng)險(xiǎn)的大小B.標(biāo)準(zhǔn)差可以衡量風(fēng)險(xiǎn)的大小C.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是一種常用的風(fēng)險(xiǎn)度量方法D.條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）是對VaR的改進(jìn)E.期望損失也是一種風(fēng)險(xiǎn)度量方法答案：ABCDE解析：方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以衡量隨機(jī)變量取值的離散程度，從而衡量風(fēng)險(xiǎn)的大小；風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是一種常用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，它表示在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時(shí)間內(nèi)可能遭受的最大損失；條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）是對VaR的改進(jìn)，它考慮了超過VaR的損失情況；期望損失也是一種風(fēng)險(xiǎn)度量方法，它是損失的期望值。4.在時(shí)間序列分析中，以下哪些模型屬于平穩(wěn)時(shí)間序列模型（）A.自回歸模型$AR(p)$B.移動平均模型$MA(q)$C.自回歸移動平均模型$ARMA(p,q)$D.自回歸積分移動平均模型$ARIMA(p,d,q)$（$d>0$）E.季節(jié)性自回歸積分移動平均模型$SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$答案：ABC解析：自回歸模型$AR(p)$、移動平均模型$MA(q)$和自回歸移動平均模型$ARMA(p,q)$都屬于平穩(wěn)時(shí)間序列模型。自回歸積分移動平均模型$ARIMA(p,d,q)$（$d>0$）是對非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行差分后轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列進(jìn)行建模；季節(jié)性自回歸積分移動平均模型$SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$也是用于處理含有季節(jié)性和非平穩(wěn)特征的時(shí)間序列。5.以下關(guān)于線性回歸模型的說法，正確的有（）A.線性回歸模型的回歸系數(shù)可以通過最小二乘法進(jìn)行估計(jì)B.線性回歸模型要求自變量和因變量之間存在線性關(guān)系C.線性回歸模型的殘差應(yīng)該服從正態(tài)分布D.線性回歸模型可以用于預(yù)測因變量的值E.線性回歸模型只能處理一個(gè)自變量的情況答案：ABCD解析：線性回歸模型的回歸系數(shù)通常通過最小二乘法進(jìn)行估計(jì)；線性回歸模型假設(shè)自變量和因變量之間存在線性關(guān)系；為了進(jìn)行有效的統(tǒng)計(jì)推斷，通常要求線性回歸模型的殘差服從正態(tài)分布；線性回歸模型可以根據(jù)自變量的值預(yù)測因變量的值；線性回歸模型可以處理多個(gè)自變量的情況，即多元線性回歸。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述精算模型中復(fù)合泊松分布的概念及應(yīng)用場景。答：復(fù)合泊松分布是一種在精算中常用的概率分布。設(shè)$N$是一個(gè)服從泊松分布的隨機(jī)變量，參數(shù)為$\lambda$，表示風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生的次數(shù)；$X_1,X_2,\cdots$是相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量，與$N$也相互獨(dú)立，$X_i$表示第$i$次風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生時(shí)的損失金額。則總損失$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$服從復(fù)合泊松分布。其應(yīng)用場景主要包括：-保險(xiǎn)領(lǐng)域：在財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)中，用于描述一定時(shí)期內(nèi)保險(xiǎn)公司面臨的總索賠損失。例如，在車險(xiǎn)中，$N$可以表示一定時(shí)間內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù)，$X_i$表示第$i$次交通事故的賠償金額，總損失$S$就是保險(xiǎn)公司在這段時(shí)間內(nèi)的車險(xiǎn)總賠償金額。-再保險(xiǎn)領(lǐng)域：再保險(xiǎn)公司對原保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行再保險(xiǎn)時(shí)，復(fù)合泊松分布可以幫助再保險(xiǎn)公司評估其可能承擔(dān)的總損失，從而確定再保險(xiǎn)費(fèi)率和再保險(xiǎn)合同條款。-風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域：企業(yè)在評估自身面臨的各種風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，如果風(fēng)險(xiǎn)事件的發(fā)生次數(shù)和每次風(fēng)險(xiǎn)事件造成的損失可以用上述模型描述，就可以使用復(fù)合泊松分布來計(jì)算總風(fēng)險(xiǎn)損失，并制定相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)管理策略。2.請說明主成分分析的基本思想和主要步驟。答：主成分分析的基本思想是將多個(gè)相關(guān)的變量通過線性變換轉(zhuǎn)化為一組不相關(guān)的綜合變量（主成分），在盡量保留原始數(shù)據(jù)信息的前提下，達(dá)到數(shù)據(jù)降維的目的。主要步驟如下：-數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，消除不同變量之間量綱的影響。設(shè)原始數(shù)據(jù)矩陣為$X=(x_{ij})_{n\timesp}$，其中$n$是樣本數(shù)量，$p$是變量數(shù)量。標(biāo)準(zhǔn)化公式為$z_{ij}=\frac{x_{ij}-\bar{x}_j}{s_j}$，其中$\bar{x}_j$是第$j$個(gè)變量的均值，$s_j$是第$j$個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。-計(jì)算協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)計(jì)算變量之間的協(xié)方差矩陣$S$或相關(guān)系數(shù)矩陣$R$。-求特征值和特征向量：對協(xié)方差矩陣$S$或相關(guān)系數(shù)矩陣$R$進(jìn)行特征值分解，求解其特征值$\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_p\geq0$和對應(yīng)的特征向量$e_1,e_2,\cdots,e_p$。-確定主成分：主成分$Y_i$是原始變量的線性組合，$Y_i=e_{i1}z_1+e_{i2}z_2+\cdots+e_{ip}z_p$（$i=1,2,\cdots,p$），其中$e_{ij}$是第$i$個(gè)特征向量的第$j$個(gè)分量，$z_j$是標(biāo)準(zhǔn)化后的第$j$個(gè)變量。通常選擇特征值較大的前$k$個(gè)主成分（$k<p$），使得累積貢獻(xiàn)率$\frac{\sum_{i=1}^{k}\lambda_i}{\sum_{i=1}^{p}\lambda_i}$達(dá)到一定的閾值（如80%-90%）。-主成分解釋：對選取的主成分進(jìn)行解釋，根據(jù)主成分系數(shù)的大小和正負(fù)，分析主成分所代表的實(shí)際意義。3.解釋風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）的概念，并比較它們的優(yōu)缺點(diǎn)。答：-風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）：是指在一定的置信水平$\alpha$下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時(shí)間$\Deltat$內(nèi)可能遭受的最大損失。數(shù)學(xué)表達(dá)式為$P(L\leqVaR)=\alpha$，其中$L$表示損失隨機(jī)變量。例如，在95%的置信水平下，某投資組合的1天VaR為100萬元，意味著在未來1天內(nèi)，該投資組合有95%的可能性損失不超過100萬元。-條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）：也稱為平均超出損失或期望短缺，是指在一定的置信水平$\alpha$下，當(dāng)損失超過VaR時(shí)的平均損失。數(shù)學(xué)表達(dá)式為$CVaR_{\alpha}=E(L|L>VaR_{\alpha})$。優(yōu)缺點(diǎn)比較：-VaR的優(yōu)點(diǎn)：-直觀易懂：能夠以一個(gè)數(shù)值直觀地表示在一定置信水平下的最大可能損失，便于管理者和投資者理解和溝通。-廣泛應(yīng)用：是金融機(jī)構(gòu)和監(jiān)管部門廣泛使用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，具有良好的通用性。-VaR的缺點(diǎn)：-缺乏次可加性：不滿足風(fēng)險(xiǎn)度量的次可加性公理，即組合的VaR可能大于各組成部分VaR之和，這與分散投資降低風(fēng)險(xiǎn)的原則相悖。-未考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)：只給出了在一定置信水平下的最大損失，沒有考慮超過VaR的損失情況，對尾部風(fēng)險(xiǎn)的刻畫不足。-CVaR的優(yōu)點(diǎn)：-次可加性：滿足風(fēng)險(xiǎn)度量的次可加性公理，符合分散投資降低風(fēng)險(xiǎn)的原則，更適合用于投資組合的風(fēng)險(xiǎn)度量和優(yōu)化。-考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)：它考慮了超過VaR的損失情況，能夠更全面地刻畫尾部風(fēng)險(xiǎn)，為投資者提供更準(zhǔn)確的風(fēng)險(xiǎn)信息。-CVaR的缺點(diǎn)：-計(jì)算復(fù)雜：相比VaR，CVaR的計(jì)算通常更為復(fù)雜，需要更多的計(jì)算資源和時(shí)間。-解釋難度較大：CVaR的概念相對較難理解，不如VaR直觀。四、計(jì)算題（每題12.5分，共25分）1.某保險(xiǎn)公司承保的某類風(fēng)險(xiǎn)，已知風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生次數(shù)$N$服從參數(shù)為$\lambda=3$的泊松分布，每次風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生時(shí)的損失金額$X$服從均值為5的指數(shù)分布，且$N$與$X$相互獨(dú)立。（1）計(jì)算總損失$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的均值和方差。（2）若保險(xiǎn)公司為該類風(fēng)險(xiǎn)設(shè)定的安全附加系數(shù)為0.2，計(jì)算保險(xiǎn)公司應(yīng)收取的保費(fèi)。解：（1）-首先求總損失$S$的均值：已知$N$服從參數(shù)為$\lambda=3$的泊松分布，則$E(N)=\lambda=3$；$X$服從均值為5的指數(shù)分布，則$E(X)=5$。因?yàn)?N$與$X$相互獨(dú)立，根據(jù)復(fù)合泊松分布的均值公式$E(S)=E(N)E(X)$，可得$E(S)=3\times5=15$。-然后求總損失$S$的方差：對于指數(shù)分布，$D(X)=E(X)^2=25$。根據(jù)復(fù)合泊松分布的方差公式$D(S)=E(N)E(X^2)$，又因?yàn)?E(X^2)=D(X)+E(X)^2=25+25=50$，所以$D(S)=3\times50=150$。（2）保險(xiǎn)公司應(yīng)收取的保費(fèi)$P$通常由純保費(fèi)和安全附加保費(fèi)組成。純保費(fèi)等于總損失的均值$E(S)$，安全附加保費(fèi)為安全附加系數(shù)乘以純保費(fèi)。已知安全附加系數(shù)為0.2，純保費(fèi)$E(S)=15$，則安全附加保費(fèi)為$0.2\times15=3$。所以保險(xiǎn)公司應(yīng)收取的保費(fèi)$P=E(S)+0.2E(S)=15+3=18$。2.某公司收集了10組關(guān)于產(chǎn)品銷售額$y$（萬元）和廣告投入$x$（萬元）的數(shù)據(jù)，經(jīng)過計(jì)算得到以下結(jié)果：$\sum_{i=1}^{10}x_i=50$，$\sum_{i=1}^{10}y_i=80$，$\sum_{i=1}^{10}x_i^2=300$，$\sum_{i=1}^{10}y_i^2=700$，$\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=450$。（1）建立線性回歸模型$y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon$，并求出回歸系數(shù)$\beta_0$和$\beta_1$的估計(jì)值。（2）計(jì)算判定系數(shù)$R^2$，并解釋其含義。解：（1）-首先計(jì)算$\bar{x}$和$\bar{y}$：$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{50}{10}=5$，$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{80}{10}=8$。-然后計(jì)算回歸系數(shù)$\beta_1$的估計(jì)值：$\beta_1=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\b