2025年江西九江中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(E[(X-1)(X-2)]=1\)，則\(\lambda\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：A解析：已知\(X\simP(\lambda)\)，則\(E(X)=\lambda\)，\(D(X)=\lambda\)，\(E(X^{2})=D(X)+[E(X)]^{2}=\lambda+\lambda^{2}\)。\(E[(X-1)(X-2)]=E(X^{2}-3X+2)=E(X^{2})-3E(X)+2\)將\(E(X^{2})=\lambda+\lambda^{2}\)，\(E(X)=\lambda\)代入上式可得：\(\lambda+\lambda^{2}-3\lambda+2=1\)\(\lambda^{2}-2\lambda+1=0\)\((\lambda-1)^{2}=0\)解得\(\lambda=1\)。2.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的均值為\(\overline{x}\)，方差為\(s^{2}\)，若將這組數(shù)據(jù)每個(gè)數(shù)都加上\(a\)，則新數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（）A.\(\overline{x}+a\)，\(s^{2}+a\)B.\(\overline{x}+a\)，\(s^{2}\)C.\(\overline{x}\)，\(s^{2}+a\)D.\(\overline{x}\)，\(s^{2}\)答案：B解析：設(shè)新數(shù)據(jù)為\(y_i=x_i+a\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。新數(shù)據(jù)的均值\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+a)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a=\overline{x}+a\)。新數(shù)據(jù)的方差\(s_y^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i+a)-(\overline{x}+a)]^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}=s^{2}\)。3.在精算模型中，對(duì)于一個(gè)理賠次數(shù)\(N\)服從二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)的風(fēng)險(xiǎn)模型，若\(n=100\)，\(p=0.1\)，則\(E(N)\)和\(D(N)\)分別為（）A.10，9B.10，10C.9，9D.9，10答案：A解析：若\(N\simB(n,p)\)，則\(E(N)=np\)，\(D(N)=np(1-p)\)。已知\(n=100\)，\(p=0.1\)，則\(E(N)=np=100\times0.1=10\)，\(D(N)=np(1-p)=100\times0.1\times(1-0.1)=9\)。4.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^{2})\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)為樣本均值，\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)為樣本方差，則\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服從（）A.\(N(0,1)\)B.\(t(n-1)\)C.\(\chi^{2}(n-1)\)D.\(F(n-1,n)\)答案：C解析：根據(jù)抽樣分布的性質(zhì)，設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^{2})\)的樣本，則\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)。5.在時(shí)間序列分析中，若一個(gè)時(shí)間序列\(zhòng)(Y_t\)滿足\(Y_t=\varphiY_{t-1}+\epsilon_t\)，其中\(zhòng)(\vert\varphi\vert\lt1\)，\(\epsilon_t\)是白噪聲序列，則該時(shí)間序列是（）A.自回歸過(guò)程\(AR(1)\)B.移動(dòng)平均過(guò)程\(MA(1)\)C.自回歸移動(dòng)平均過(guò)程\(ARMA(1,1)\)D.平穩(wěn)的時(shí)間序列答案：A解析：自回歸過(guò)程\(AR(p)\)的一般形式為\(Y_t=\varphi_1Y_{t-1}+\varphi_2Y_{t-2}+\cdots+\varphi_pY_{t-p}+\epsilon_t\)，當(dāng)\(p=1\)時(shí)，\(Y_t=\varphiY_{t-1}+\epsilon_t\)，所以該時(shí)間序列是自回歸過(guò)程\(AR(1)\)。同時(shí)，當(dāng)\(\vert\varphi\vert\lt1\)時(shí)，\(AR(1)\)過(guò)程是平穩(wěn)的，但題目問(wèn)的是該時(shí)間序列的類型，所以選A。6.對(duì)于一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)模型，理賠額\(X\)服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0\)，若\(E(X)=5\)，則\(\lambda\)的值為（）A.0.2B.0.5C.2D.5答案：A解析：若\(X\)服從指數(shù)分布\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0\)，則\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。已知\(E(X)=5\)，則\(\frac{1}{\lambda}=5\)，解得\(\lambda=0.2\)。7.在多元線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p+\epsilon\)中，\(\epsilon\)服從（）A.正態(tài)分布\(N(0,\sigma^{2})\)B.均勻分布\(U(a,b)\)C.二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)D.泊松分布\(P(\lambda)\)答案：A解析：在多元線性回歸模型中，通常假設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon\)服從正態(tài)分布\(N(0,\sigma^{2})\)，這樣可以進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷。8.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，已知\(Cov(X,Y)=2\)，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{1}{6}\)D.\(\frac{1}{9}\)答案：B解析：相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)。已知\(Cov(X,Y)=2\)，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則\(\rho_{XY}=\frac{2}{\sqrt{4\times9}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)。9.在精算中，對(duì)于一個(gè)聚合風(fēng)險(xiǎn)模型\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，其中\(zhòng)(N\)是理賠次數(shù)，\(X_i\)是第\(i\)次理賠的金額，若\(N\)服從泊松分布\(P(\lambda)\)，\(X_i\)相互獨(dú)立且同分布，\(E(X_i)=\mu\)，則\(E(S)\)為（）A.\(\lambda\)B.\(\mu\)C.\(\lambda\mu\)D.\(\lambda+\mu\)答案：C解析：根據(jù)全期望公式\(E(S)=E[E(S|N)]\)。已知\(S|N=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，則\(E(S|N)=E(\sum_{i=1}^{N}X_i)=N\cdotE(X_i)=N\mu\)。又因?yàn)閈(N\simP(\lambda)\)，\(E(N)=\lambda\)，所以\(E(S)=E[E(S|N)]=E(N\mu)=\muE(N)=\lambda\mu\)。10.若一個(gè)時(shí)間序列\(zhòng)(Y_t\)經(jīng)過(guò)一階差分后得到的序列\(zhòng)(\DeltaY_t=Y_t-Y_{t-1}\)是平穩(wěn)的，則原時(shí)間序列\(zhòng)(Y_t\)是（）A.平穩(wěn)時(shí)間序列B.一階單整序列\(zhòng)(I(1)\)C.二階單整序列\(zhòng)(I(2)\)D.非平穩(wěn)時(shí)間序列答案：B解析：如果一個(gè)時(shí)間序列\(zhòng)(Y_t\)經(jīng)過(guò)\(d\)階差分后成為平穩(wěn)序列，則稱該時(shí)間序列是\(d\)階單整序列，記為\(I(d)\)。已知\(Y_t\)經(jīng)過(guò)一階差分后得到的序列\(zhòng)(\DeltaY_t\)是平穩(wěn)的，所以原時(shí)間序列\(zhòng)(Y_t\)是一階單整序列\(zhòng)(I(1)\)。11.在回歸分析中，判定系數(shù)\(R^{2}\)的取值范圍是（）A.\([-1,1]\)B.\([0,1]\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)答案：B解析：判定系數(shù)\(R^{2}=\frac{SSR}{SST}\)，其中\(zhòng)(SSR\)是回歸平方和，\(SST\)是總離差平方和，且\(0\leqSSR\leqSST\)，所以\(0\leqR^{2}\leq1\)。12.設(shè)\(X\)是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(P(a\ltX\leqb)\)等于（）A.\(F(b)-F(a)\)B.\(F(b)+F(a)\)C.\(F(a)-F(b)\)D.\(1-[F(b)-F(a)]\)答案：A解析：根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，\(P(a\ltX\leqb)=F(b)-F(a)\)。13.在精算中，對(duì)于一個(gè)復(fù)合泊松分布\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，其中\(zhòng)(N\simP(\lambda)\)，\(X_i\)相互獨(dú)立且同分布，若\(E(X_i)=m\)，\(D(X_i)=\sigma^{2}\)，則\(D(S)\)為（）A.\(\lambdam\)B.\(\lambda\sigma^{2}\)C.\(\lambda(m^{2}+\sigma^{2})\)D.\(\lambdam^{2}\)答案：C解析：根據(jù)復(fù)合泊松分布的方差公式\(D(S)=\lambdaE(X^{2})\)，又因?yàn)閈(E(X^{2})=D(X)+[E(X)]^{2}=\sigma^{2}+m^{2}\)，所以\(D(S)=\lambda(\sigma^{2}+m^{2})\)。14.對(duì)于一個(gè)線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)，用最小二乘法估計(jì)參數(shù)\(\beta_0\)和\(\beta_1\)時(shí)，是使（）最小。A.\(\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)\)B.\(\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^{2}\)C.\(\sum_{i=1}^{n}\verty_i-\hat{y}_i\vert\)D.\(\max_{1\leqi\leqn}\verty_i-\hat{y}_i\vert\)答案：B解析：最小二乘法的基本思想是使樣本觀測(cè)值\(y_i\)與回歸方程預(yù)測(cè)值\(\hat{y}_i\)的誤差平方和\(\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^{2}\)達(dá)到最小，從而估計(jì)出回歸模型的參數(shù)。15.在時(shí)間序列的季節(jié)調(diào)整中，常用的方法是（）A.移動(dòng)平均法B.指數(shù)平滑法C.季節(jié)指數(shù)法D.差分法答案：C解析：季節(jié)指數(shù)法是時(shí)間序列季節(jié)調(diào)整中常用的方法，它通過(guò)計(jì)算季節(jié)指數(shù)來(lái)消除時(shí)間序列中的季節(jié)變動(dòng)影響。移動(dòng)平均法主要用于平滑時(shí)間序列；指數(shù)平滑法用于對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)；差分法用于使非平穩(wěn)時(shí)間序列平穩(wěn)化。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下關(guān)于正態(tài)分布的說(shuō)法正確的有（）A.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是關(guān)于均值對(duì)稱的B.若\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，則\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)C.正態(tài)分布的均值和中位數(shù)相等D.正態(tài)分布的方差越大，其概率密度函數(shù)的曲線越“瘦高”答案：ABC解析：-選項(xiàng)A：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\)是關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱的，所以A正確。-選項(xiàng)B：若\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)可得\(Z\simN(0,1)\)，B正確。-選項(xiàng)C：由于正態(tài)分布的概率密度函數(shù)關(guān)于均值對(duì)稱，所以均值和中位數(shù)相等，C正確。-選項(xiàng)D：正態(tài)分布的方差越大，其概率密度函數(shù)的曲線越“矮胖”，方差越小，曲線越“瘦高”，D錯(cuò)誤。2.在精算模型中，常見(jiàn)的理賠次數(shù)分布有（）A.泊松分布B.二項(xiàng)分布C.負(fù)二項(xiàng)分布D.正態(tài)分布答案：ABC解析：-選項(xiàng)A：泊松分布是精算中常用的理賠次數(shù)分布，它具有無(wú)記憶性等特點(diǎn)，適用于描述單位時(shí)間或空間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，A正確。-選項(xiàng)B：二項(xiàng)分布也可用于描述理賠次數(shù)，例如在\(n\)次獨(dú)立試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功（發(fā)生理賠）的概率為\(p\)，則理賠次數(shù)服從二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，B正確。-選項(xiàng)C：負(fù)二項(xiàng)分布常用于理賠次數(shù)的建模，它可以看作是泊松分布的一種擴(kuò)展，能更好地處理理賠次數(shù)的過(guò)度分散問(wèn)題，C正確。-選項(xiàng)D：正態(tài)分布主要用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量，而理賠次數(shù)是離散型隨機(jī)變量，一般不使用正態(tài)分布來(lái)描述理賠次數(shù)，D錯(cuò)誤。3.關(guān)于線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)的假設(shè)條件有（）A.解釋變量\(x\)是非隨機(jī)變量B.隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon\)的均值為0C.隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon\)的方差為常數(shù)D.隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon\)之間相互獨(dú)立答案：ABCD解析：-選項(xiàng)A：在經(jīng)典線性回歸模型中，通常假設(shè)解釋變量\(x\)是非隨機(jī)變量，這樣可以保證回歸系數(shù)估計(jì)的有效性和無(wú)偏性，A正確。-選項(xiàng)B：假設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon\)的均值為0，即\(E(\epsilon)=0\)，這是保證回歸系數(shù)估計(jì)無(wú)偏性的重要條件，B正確。-選項(xiàng)C：要求隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon\)的方差為常數(shù)，即\(D(\epsilon)=\sigma^{2}\)（同方差性），否則會(huì)導(dǎo)致估計(jì)量的有效性降低，C正確。-選項(xiàng)D：隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon\)之間相互獨(dú)立，即\(Cov(\epsilon_i,\epsilon_j)=0\)，\(i\neqj\)，這是保證回歸模型合理性和估計(jì)量有效性的重要假設(shè)，D正確。4.在時(shí)間序列分析中，平穩(wěn)時(shí)間序列的特征有（）A.均值為常數(shù)B.方差為常數(shù)C.自協(xié)方差只與時(shí)間間隔有關(guān)D.具有周期性答案：ABC解析：-選項(xiàng)A：平穩(wěn)時(shí)間序列的均值不隨時(shí)間變化，是一個(gè)常數(shù)，A正確。-選項(xiàng)B：平穩(wěn)時(shí)間序列的方差也不隨時(shí)間變化，保持為常數(shù)，B正確。-選項(xiàng)C：平穩(wěn)時(shí)間序列的自協(xié)方差只與時(shí)間間隔\(k\)有關(guān)，而與時(shí)間\(t\)無(wú)關(guān)，即\(Cov(Y_t,Y_{t+k})\)只與\(k\)有關(guān)，C正確。-選項(xiàng)D：平穩(wěn)時(shí)間序列不具有周期性，周期性是時(shí)間序列的一種非平穩(wěn)特征，D錯(cuò)誤。5.對(duì)于一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)模型\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，其中\(zhòng)(N\)是理賠次數(shù)，\(X_i\)是第\(i\)次理賠的金額，以下說(shuō)法正確的有（）A.若\(N\)和\(X_i\)相互獨(dú)立，則\(E(S)=E(N)E(X_i)\)B.若\(N\)和\(X_i\)相互獨(dú)立，則\(D(S)=D(N)[E(X_i)]^{2}+E(N)D(X_i)\)C.當(dāng)\(N\)服從泊松分布時(shí)，\(S\)是復(fù)合泊松分布D.若\(X_i\)服從指數(shù)分布，則\(S\)一定服從指數(shù)分布答案：ABC解析：-選項(xiàng)A：若\(N\)和\(X_i\)相互獨(dú)立，根據(jù)全期望公式\(E(S)=E[E(S|N)]=E(N\cdotE(X_i))=E(N)E(X_i)\)，A正確。-選項(xiàng)B：若\(N\)和\(X_i\)相互獨(dú)立，\(D(S)=E[D(S|N)]+D[E(S|N)]\)，\(D(S|N)=N\cdotD(X_i)\)，\(E(S|N)=N\cdotE(X_i)\)，則\(D(S)=E(N\cdotD(X_i))+D(N\cdotE(X_i))=D(N)[E(X_i)]^{2}+E(N)D(X_i)\)，B正確。-選項(xiàng)C：當(dāng)\(N\)服從泊松分布時(shí)，\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)是復(fù)合泊松分布，這是復(fù)合泊松分布的定義，C正確。-選項(xiàng)D：若\(X_i\)服從指數(shù)分布，\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)一般不服從指數(shù)分布，因?yàn)閈(S\)的分布與\(N\)的分布和\(X_i\)的分布都有關(guān)，D錯(cuò)誤。三、簡(jiǎn)答題（每題10分，共30分）1.簡(jiǎn)述精算模型中聚合風(fēng)險(xiǎn)模型\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的含義，并說(shuō)明如何計(jì)算其均值和方差（假設(shè)\(N\)和\(X_i\)相互獨(dú)立）。答案：-含義：聚合風(fēng)險(xiǎn)模型\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)用于描述在一定時(shí)期內(nèi)（或某個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位）的總損失。其中\(zhòng)(N\)表示理賠次數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量，代表在該時(shí)期內(nèi)發(fā)生理賠的次數(shù)；\(X_i\)表示第\(i\)次理賠的金額，也是隨機(jī)變量，且\(X_1,X_2,\cdots\)通常是相互獨(dú)立且同分布的?？倱p失\(S\)就是這\(N\)次理賠金額的總和。-均值計(jì)算：根據(jù)全期望公式\(E(S)=E[E(S|N)]\)。已知\(S|N=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，則\(E(S|N)=E(\sum_{i=1}^{N}X_i)\)。因?yàn)閈(X_i\)相互獨(dú)立且同分布，\(E(X_i)=\mu\)（設(shè)\(E(X_i)\)為常數(shù)\(\mu\)），所以\(E(S|N)=N\cdotE(X_i)=N\mu\)。又因?yàn)閈(N\)是隨機(jī)變量，\(E(S)=E[E(S|N)]=E(N\mu)=\muE(N)\)。-方差計(jì)算：根據(jù)公式\(D(S)=E[D(S|N)]+D[E(S|N)]\)。首先求\(D(S|N)\)，由于\(S|N=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，且\(X_i\)相互獨(dú)立，\(D(X_i)=\sigma^{2}\)（設(shè)\(D(X_i)\)為常數(shù)\(\sigma^{2}\)），則\(D(S|N)=D(\sum_{i=1}^{N}X_i)=N\cdotD(X_i)=N\sigma^{2}\)。所以\(E[D(S|N)]=E(N\sigma^{2})=\sigma^{2}E(N)\)。再求\(D[E(S|N)]\)，因?yàn)閈(E(S|N)=N\mu\)，所以\(D[E(S|N)]=D(N\mu)=\mu^{2}D(N)\)。則\(D(S)=E[D(S|N)]+D[E(S|N)]=\sigma^{2}E(N)+\mu^{2}D(N)\)。2.說(shuō)明線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)中參數(shù)\(\beta_0\)和\(\beta_1\)的含義，并簡(jiǎn)述最小二乘法估計(jì)參數(shù)的基本原理。答案：-參數(shù)含義：在線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)中，\(\beta_0\)是截距項(xiàng)，表示當(dāng)解釋變量\(x=0\)時(shí)，被解釋變量\(y\)的期望取值。它反映了除\(x\)以外的其他因素對(duì)\(y\)的影響。\(\beta_1\)是斜率項(xiàng)，它表示解釋變量\(x\)每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，被解釋變量\(y\)的平均變動(dòng)量。-最小二乘法估計(jì)參數(shù)的基本原理：設(shè)樣本觀測(cè)值為\((x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)\)，對(duì)于每個(gè)樣本點(diǎn)\((x_i,y_i)\)，回歸方程的預(yù)測(cè)值為\(\hat{y}_i=\beta_0+\beta_1x_i\)，實(shí)際觀測(cè)值\(y_i\)與預(yù)測(cè)值\(\hat{y}_i\)之間存在誤差\(e_i=y_i-\hat{y}_i=y_i-(\beta_0+\beta_1x_i)\)。最小二乘法的基本思想是使所有樣本點(diǎn)的誤差平方和\(Q(\beta_0,\beta_1)=\sum_{i=1}^{n}e_i^{2}=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)^{2}\)達(dá)到最小。通過(guò)分別對(duì)\(Q(\beta_0,\beta_1)\)關(guān)于\(\beta_0\)和\(\beta_1\)求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得到一個(gè)方程組：\(\begin{cases}\frac{\partialQ}{\partial\beta_0}=-2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)=0\\\frac{\partialQ}{\partial\beta_1}=-2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)x_i=0\end{cases}\)解這個(gè)方程組就可以得到\(\beta_0\)和\(\beta_1\)的最小二乘估計(jì)值\(\hat{\beta}_0\)和\(\hat{\beta}_1\)。3.簡(jiǎn)述時(shí)間序列平穩(wěn)性的概念，并說(shuō)明如何判斷一個(gè)時(shí)間序列是否平穩(wěn)。答案：-平穩(wěn)性概念：時(shí)間序列的平穩(wěn)性分為嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。-嚴(yán)平穩(wěn)：如果時(shí)間序列\(zhòng)(Y_t\)的聯(lián)合概率分布不隨時(shí)間的平移而變化，即對(duì)于任意的正整數(shù)\(n\)和\(h\)，\((Y_1,Y_2,\cdots,Y_n)\)和\((Y_{1+h},Y_{2+h},\cdots,Y_{n+h})\)具有相同的聯(lián)合概率分布，則稱\(Y_t\)是嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列。-寬平穩(wěn)：如果時(shí)間序列\(zhòng)(Y_t\)滿足以下三個(gè)條件，則稱\(Y_t\)是寬平穩(wěn)時(shí)間序列：-均值為常數(shù)，即\(E(Y_t)=\mu\)，對(duì)任意的\(t\)都成立；-方差為常數(shù)，即\(D(Y_t)=\sigma^{2}\)，對(duì)任意的\(t\)都成立；-自協(xié)方差只與時(shí)間間隔\(k\)有關(guān)，而與時(shí)間\(t\)無(wú)關(guān)，即\(Cov(Y_t,Y_{t+k})=\gamma_k\)，對(duì)任意的\(t\)和\(k\)都成立。在實(shí)際應(yīng)用中，通?？紤]的是寬平穩(wěn)時(shí)間序列。-判斷方法：-圖形法：繪制時(shí)間序列的折線圖，如果時(shí)間序列的均值、方差等特征不隨時(shí)間變化，即序列圍繞某一水平線上下波動(dòng)，且波動(dòng)幅度大致相同，則可能是平穩(wěn)時(shí)間序列；如果序列存在明顯的趨勢(shì)（上升或下降）、季節(jié)性變化或方差隨時(shí)間變化等情況，則可能是非平穩(wěn)時(shí)間序列。-自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）法：計(jì)算時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。平穩(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)會(huì)隨著時(shí)間間隔\(k\)的增大而迅速衰減；而非平穩(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)通常衰減緩慢，甚至不衰減。-單位根檢驗(yàn)法：常用的單位根檢驗(yàn)方法有Dickey-Fuller檢驗(yàn)（DF檢驗(yàn)）和增廣Dickey-Fuller檢驗(yàn)（ADF檢驗(yàn)）。這些檢驗(yàn)通過(guò)建立回歸模型，檢驗(yàn)時(shí)間序列是否存在單位根。如果存在單位根，則時(shí)間序列是非平穩(wěn)的；如果不存在單位根，則時(shí)間序列是平穩(wěn)的。四、計(jì)算題（每題15分，共25分）1.已知某風(fēng)險(xiǎn)的理賠次數(shù)\(N\)服從泊松分布\(P(\lambda)\)，其中\(zhòng)(\lambda=2\)，每次理賠的金額\(X\)服從均值為5的指數(shù)分布，且\(N\)和\(X\)相互獨(dú)立。求該風(fēng)險(xiǎn)的總損失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的均值和方差。答案：-計(jì)算均值：根據(jù)前面提到的聚合風(fēng)險(xiǎn)模型均值計(jì)算公式\(E(S)=E(N)E(X)\)。已知\(N\simP(\lambda)\)，\(\lambda=2\)，則\(E(N)=\lambda=2\)。又因?yàn)閈(X\)服從均值為5的指數(shù)分布，所以\(E(X)=5\)。則\(E(S)=E(N)E(X)=2\times5=10\)。-計(jì)算方差：根據(jù)聚合風(fēng)險(xiǎn)模型方差計(jì)算公式\(D(S)=D(N)[E(X)]^{2}+E(N)D(X)\)。由于\(N\simP(\lambda)\)，\(\lambda=2\)，則\(D(N)=\lambda=2\)，\(E(N)=\lambda=2\)。對(duì)于指數(shù)分布\(X\)，若\(E(X)=\mu=5\)，則\(D(X)=\mu^{2}=25\)。所以\(D(S)=D(N)[E(X)]^{2}+E(N)D(X)=2\times5^{2}+2\times25=2\times25+2\times25=100\)。2.某保險(xiǎn)公司收集了10個(gè)客戶的年齡\(x\)（歲）和年保費(fèi)\(y\)（千元）的數(shù)據(jù)，如下表所示：|客戶編號(hào)|年齡\(x\)|年保費(fèi)\(y\)||----|----|----||1|20|2||2|25|3||3|30|4||4|35|5||5|40|6||6|45|7||7|50|8||8|55|9||9|60|10||10|65|11|（1）建立年保費(fèi)\(y\)關(guān)于年齡\(x\)的線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)；（2）計(jì)算判定系數(shù)\(R^{2}\)，并說(shuō)明其含義。答案：（1）-首先計(jì)算所需的統(tǒng)計(jì)量：\(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{20+25+\cdots+65}{10}=\frac{(20+65)\times10\div2}{10}=42.5\)\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{2+3+\cdots+11}{10}=\frac{(2+11)\ti