2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算模型與數據分析）模擬試題及答案商洛中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算模型與數據分析）模擬試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.以下哪種分布常用于描述保險理賠次數？A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數分布D.均勻分布答案：B。泊松分布具有無記憶性且常用于描述單位時間或空間內某事件發(fā)生的次數，保險理賠次數符合這一特征，故常用于描述保險理賠次數；正態(tài)分布主要用于描述連續(xù)型隨機變量且具有對稱性；指數分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔；均勻分布表示在某個區(qū)間內取值的概率是均勻的。2.已知一組數據12，15，18，20，22，其樣本均值為（）A.17B.18C.19D.20答案：C。樣本均值計算公式為\(\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\)，這里\(n=5\)，\(\sum_{i=1}^{5}x_{i}=12+15+18+20+22=87\)，則\(\bar{x}=\frac{87}{5}=17.4\)（此處原答案有誤，正確計算為\(\frac{12+15+18+20+22}{5}=\frac{87}{5}=17.4\)，按照正確計算無符合選項，若按照題目邏輯可能是出題者想表達\(\frac{12+15+18+20+25}{5}=\frac{90}{5}=18\)，以下按照正確邏輯繼續(xù)）3.在多元線性回歸模型\(Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}X_{2}+\cdots+\beta_{p}X_{p}+\epsilon\)中，\(\epsilon\)表示（）A.自變量B.因變量C.隨機誤差項D.回歸系數答案：C。在多元線性回歸模型中，\(Y\)是因變量，\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{p}\)是自變量，\(\beta_{0},\beta_{1},\cdots,\beta_{p}\)是回歸系數，\(\epsilon\)是隨機誤差項，它反映了除自變量對因變量的線性影響之外的其他隨機因素的影響。4.若隨機變量\(X\)服從參數為\(\lambda\)的指數分布，則\(X\)的方差為（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^{2}\)D.\(\frac{1}{\lambda^{2}}\)答案：D。指數分布的概率密度函數為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0\)，其期望\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)，方差\(D(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}\)。5.對于時間序列數據，以下哪種方法常用于平穩(wěn)性檢驗？A.自相關函數分析B.偏自相關函數分析C.單位根檢驗D.以上都是答案：D。自相關函數分析可以觀察序列在不同滯后階數下的相關性，若自相關系數隨滯后階數的增加迅速衰減，可能是平穩(wěn)序列；偏自相關函數分析用于確定自回歸模型的階數，同時也能輔助判斷平穩(wěn)性；單位根檢驗是專門用于檢驗時間序列是否存在單位根，若存在單位根則序列非平穩(wěn)，所以以上三種方法都可用于平穩(wěn)性檢驗。6.在風險理論中，盈余過程\(U(t)=u+ct-S(t)\)，其中\(zhòng)(u\)表示（）A.初始盈余B.保費收入率C.理賠總額D.時間答案：A。在盈余過程\(U(t)=u+ct-S(t)\)中，\(u\)是初始盈余，即保險公司在初始時刻的資金儲備；\(c\)是保費收入率，表示單位時間內收取的保費；\(S(t)\)是到時刻\(t\)的理賠總額；\(t\)是時間。7.已知某隨機變量\(X\)的概率分布為\(P(X=0)=0.2\)，\(P(X=1)=0.3\)，\(P(X=2)=0.5\)，則\(E(X)\)為（）A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5答案：B。離散型隨機變量的期望\(E(X)=\sum_{i}x_{i}P(X=x_{i})\)，則\(E(X)=0\times0.2+1\times0.3+2\times0.5=0+0.3+1=1.3\)。8.以下關于極大似然估計的說法，錯誤的是（）A.極大似然估計是一種參數估計方法B.極大似然估計的基本思想是使樣本出現的概率最大C.極大似然估計一定是無偏估計D.極大似然估計可能不唯一答案：C。極大似然估計是一種常用的參數估計方法，其基本思想是在所有可能的參數值中，選擇使樣本觀測值出現的概率最大的那個參數值作為估計值；極大似然估計可能不唯一；但極大似然估計不一定是無偏估計，無偏估計要求估計量的期望等于被估計的參數，而極大似然估計不一定滿足這一條件。9.在精算模型中，以下哪種模型常用于描述保險費率的厘定？A.廣義線性模型B.馬爾可夫鏈模型C.時間序列模型D.以上都不是答案：A。廣義線性模型可以將線性回歸模型推廣到更廣泛的分布族，能夠很好地處理保險數據的非正態(tài)性、異方差性等特點，常用于保險費率的厘定；馬爾可夫鏈模型主要用于描述具有馬爾可夫性質的隨機過程，如保險業(yè)務中的狀態(tài)轉移；時間序列模型主要用于分析時間序列數據的變化規(guī)律。10.若樣本數據\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)的標準差為\(s\)，則數據\(ax_{1}+b,ax_{2}+b,\cdots,ax_{n}+b\)的標準差為（）A.\(s\)B.\(as\)C.\(as+b\)D.\(s+b\)答案：B。設原數據\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)的均值為\(\bar{x}\)，則新數據\(y_{i}=ax_{i}+b\)的均值\(\bar{y}=a\bar{x}+b\)。根據標準差公式\(s_{y}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(ax_{i}+b)-(a\bar{x}+b)]^{2}}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[a(x_{i}-\bar{x})]^{2}}=\verta\verts\)，通常在實際應用中\(zhòng)(a\gt0\)，所以標準差為\(as\)。11.在非壽險精算中，以下哪種方法用于估計未決賠款準備金？A.鏈梯法B.案均賠款法C.準備金進展法D.以上都是答案：D。鏈梯法是基于流量三角形數據，通過歷史賠付數據的比例關系來預測未來賠付，從而估計未決賠款準備金；案均賠款法是根據每個賠案的平均賠款金額來估計未決賠款；準備金進展法也是常用的未決賠款準備金估計方法，它考慮了賠款準備金在不同進展期的變化情況，所以以上三種方法都可用于估計未決賠款準備金。12.已知兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)，若\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)和\(Y\)（）A.一定相互獨立B.一定不相關C.一定有線性關系D.以上都不對答案：B。協方差\(Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)，當\(Cov(X,Y)=0\)時，說明\(X\)和\(Y\)不相關；但不相關并不一定相互獨立，相互獨立是更強的條件；\(Cov(X,Y)=0\)表示\(X\)和\(Y\)不存在線性關系。13.在貝葉斯統計中，先驗分布表示（）A.樣本信息B.總體信息C.主觀信息或歷史信息D.以上都不是答案：C。在貝葉斯統計中，先驗分布是在獲得樣本數據之前，根據主觀判斷、歷史經驗等所確定的關于參數的概率分布，它體現了主觀信息或歷史信息；樣本信息是通過實際觀測得到的樣本數據所提供的信息；總體信息是關于總體分布的信息。14.對于一個二項分布\(B(n,p)\)，當\(n\)很大且\(p\)很小時，可近似為（）A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數分布D.均勻分布答案：B。當\(n\)很大且\(p\)很小時，二項分布\(B(n,p)\)可近似為參數為\(\lambda=np\)的泊松分布；當\(n\)很大且\(np\gt5\)，\(n(1-p)\gt5\)時，二項分布可近似為正態(tài)分布；指數分布和均勻分布與二項分布的近似關系不大。15.在數據分析中，以下哪種方法用于處理缺失值？A.刪除含缺失值的記錄B.用均值、中位數或眾數填充C.基于模型預測填充D.以上都是答案：D。刪除含缺失值的記錄是一種簡單直接的方法，但可能會損失部分信息；用均值、中位數或眾數填充是常用的簡單填充方法；基于模型預測填充是利用其他變量建立模型來預測缺失值，所以以上三種方法都可用于處理缺失值。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.以下哪些分布屬于連續(xù)型分布？A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數分布D.均勻分布答案：ACD。正態(tài)分布、指數分布和均勻分布都是連續(xù)型分布，其隨機變量可以在某個區(qū)間內取任意實數值；泊松分布是離散型分布，用于描述單位時間或空間內某事件發(fā)生的次數。2.在回歸分析中，以下哪些指標可用于評估回歸模型的擬合優(yōu)度？A.決定系數\(R^{2}\)B.調整的決定系數\(\bar{R}^{2}\)C.均方誤差\(MSE\)D.赤池信息準則\(AIC\)答案：ABCD。決定系數\(R^{2}\)表示回歸模型中自變量對因變量的解釋程度，越接近1擬合效果越好；調整的決定系數\(\bar{R}^{2}\)在\(R^{2}\)的基礎上考慮了自變量的個數，避免了過度擬合；均方誤差\(MSE\)衡量了模型預測值與實際值之間的平均誤差，值越小擬合效果越好；赤池信息準則\(AIC\)綜合考慮了模型的擬合優(yōu)度和復雜度，值越小模型越優(yōu)。3.時間序列模型中的ARIMA模型包含以下哪些部分？A.自回歸部分（AR）B.移動平均部分（MA）C.差分部分（I）D.以上都不是答案：ABC。ARIMA模型即自回歸積分移動平均模型，其中AR部分表示自回歸，通過自身的滯后值來預測當前值；MA部分表示移動平均，通過過去的誤差項來預測當前值；I部分表示差分，用于將非平穩(wěn)時間序列轉化為平穩(wěn)時間序列。4.在保險精算中，風險度量指標有（）A.方差B.標準差C.風險價值（VaR）D.條件風險價值（CVaR）答案：ABCD。方差和標準差都可以衡量風險的離散程度，方差越大或標準差越大，說明風險越大；風險價值（VaR）是指在一定的置信水平下，某一金融資產或投資組合在未來特定的一段時間內的最大可能損失；條件風險價值（CVaR）是在VaR的基礎上，考慮了超過VaR的損失情況，是一種更保守的風險度量指標。5.以下關于抽樣方法的說法，正確的有（）A.簡單隨機抽樣是從總體中隨機抽取樣本，每個樣本被抽取的概率相等B.分層抽樣是將總體按照某些特征分成若干層，然后從各層中獨立地進行抽樣C.系統抽樣是將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先規(guī)定的規(guī)則從每一部分抽取一個個體D.整群抽樣是將總體分成若干群，然后隨機抽取部分群，對抽中的群內所有個體進行調查答案：ABCD。簡單隨機抽樣是最基本的抽樣方法，保證了每個樣本被抽取的概率相等；分層抽樣可以提高樣本的代表性，使各層的特征在樣本中得到較好的體現；系統抽樣操作簡便，適用于大規(guī)?？傮w；整群抽樣可以降低抽樣成本，提高抽樣效率。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述極大似然估計的基本思想和步驟?；舅枷耄簶O大似然估計的基本思想是在所有可能的參數值中，選擇使樣本觀測值出現的概率最大的那個參數值作為參數的估計值。也就是說，認為在一次抽樣中得到的樣本觀測值是最有可能出現的，因此要找到一個參數值，使得出現該樣本觀測值的概率達到最大。步驟：（1）寫出似然函數：設總體\(X\)的概率密度函數（或概率分布律）為\(f(x;\theta)\)，其中\(zhòng)(\theta\)是待估計的參數，\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\)是來自總體\(X\)的樣本，樣本觀測值為\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)，則似然函數\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta)\)。（2）取對數：為了方便計算，通常對似然函數取對數，得到對數似然函數\(\lnL(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\lnf(x_{i};\theta)\)。（3）求導數并令其為零：對對數似然函數求關于\(\theta\)的導數，令\(\frac{d\lnL(\theta)}{d\theta}=0\)，解這個方程得到的\(\theta\)值就是極大似然估計值。如果\(\theta\)是多維參數，則求偏導數并令其為零，得到方程組，解方程組得到極大似然估計值。（4）驗證：有時候需要驗證得到的解是否是極大值點，可以通過求二階導數等方法進行驗證。2.說明時間序列平穩(wěn)性的含義，并列舉兩種常用的平穩(wěn)性檢驗方法。時間序列平穩(wěn)性的含義：時間序列的平穩(wěn)性分為嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。嚴平穩(wěn)是指時間序列的聯合概率分布不隨時間的平移而變化，即對于任意的\(t_{1},t_{2},\cdots,t_{k}\)和任意的整數\(h\)，\((X_{t_{1}},X_{t_{2}},\cdots,X_{t_{k}})\)和\((X_{t_{1}+h},X_{t_{2}+h},\cdots,X_{t_{k}+h})\)具有相同的聯合概率分布。寬平穩(wěn)是指時間序列的均值為常數，方差為常數，且自協方差函數只與時間間隔有關，而與時間的起始點無關，即\(E(X_{t})=\mu\)（常數），\(D(X_{t})=\sigma^{2}\)（常數），\(Cov(X_{t},X_{t+h})=\gamma(h)\)（只與\(h\)有關）。常用的平穩(wěn)性檢驗方法：（1）自相關函數分析：計算時間序列的自相關函數\(\rho(h)=\frac{Cov(X_{t},X_{t+h})}{\sqrt{D(X_{t})D(X_{t+h})}}\)，觀察自相關系數隨滯后階數\(h\)的變化情況。如果自相關系數隨滯后階數的增加迅速衰減到零，說明序列可能是平穩(wěn)的；如果自相關系數衰減緩慢或不衰減，則序列可能是非平穩(wěn)的。（2）單位根檢驗：單位根檢驗是專門用于檢驗時間序列是否存在單位根的方法。常見的單位根檢驗方法有Dickey-Fuller檢驗（DF檢驗）和擴展的Dickey-Fuller檢驗（ADF檢驗）。如果時間序列存在單位根，則序列是非平穩(wěn)的；如果不存在單位根，則序列是平穩(wěn)的。3.簡述保險費率厘定的基本原則和常用方法。基本原則：（1）公平性原則：保險費率的厘定應該使投保人所繳納的保費與其所獲得的保險保障程度相匹配，即風險程度高的投保人應繳納較高的保費，風險程度低的投保人應繳納較低的保費。（2）充足性原則：保險費率應該能夠保證保險公司在一定時期內收取的保費足以支付保險賠款、經營費用和獲得合理的利潤，以保證保險公司的財務穩(wěn)定性。（3）合理性原則：保險費率應該在公平性和充足性的基礎上，既不過高也不過低，符合市場的實際情況和投保人的承受能力。（4）穩(wěn)定性原則：保險費率在一定時期內應該保持相對穩(wěn)定，避免頻繁變動給投保人帶來不必要的困擾和不確定性。（5）彈性原則：保險費率應該具有一定的彈性，能夠根據市場環(huán)境、風險狀況等因素的變化進行適當的調整。常用方法：（1）分類法：將保險標的按照風險特征進行分類，對同一類別的保險標的制定相同的保險費率。例如，在車險中，根據車輛的使用性質、車型、車齡等因素進行分類，對每一類車輛制定相應的費率。（2）增減法：在分類費率的基礎上，根據投保人的具體風險狀況對費率進行適當的增減調整。例如，對于安全記錄良好的投保人給予費率優(yōu)惠，對于風險較高的投保人提高費率。（3）觀察法：對于一些特殊的、難以進行分類的保險標的，根據個別標的的具體情況單獨厘定保險費率。例如，對于大型工程項目、特殊風險的保險等，需要對項目的具體情況進行詳細的評估和分析，然后確定合適的費率。（4）廣義線性模型法：廣義線性模型可以將線性回歸模型推廣到更廣泛的分布族，能夠很好地處理保險數據的非正態(tài)性、異方差性等特點。通過建立廣義線性模型，將保險費率與各種風險因素聯系起來，進行費率的厘定。四、計算題（每題15分，共25分）1.已知某保險公司的理賠次數\(N\)服從參數為\(\lambda=3\)的泊松分布，每次理賠的金額\(X_{i}\)相互獨立且都服從均值為2的指數分布，且理賠次數\(N\)與每次理賠金額\(X_{i}\)相互獨立。設\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)為理賠總額。（1）求理賠次數\(N\)的期望和方差。（2）求理賠總額\(S\)的期望。解：（1）對于泊松分布\(N\simP(\lambda)\)，其期望\(E(N)=\lambda\)，方差\(D(N)=\lambda\)。已知\(\lambda=3\)，所以\(E(N)=3\)，\(D(N)=3\)。（2）根據復合泊松分布的期望公式\(E(S)=E(N)E(X)\)。已知\(E(N)=3\)，對于指數分布\(X_{i}\)，其期望\(E(X_{i})=\frac{1}{\mu}\)，已知均值為2，即\(E(X_{i})=2\)。所以\(E(S)=E(N)E(X)=3\times2=6\)。2.某公司收集了10組數據\((x_{i},y_{i})\)，\(i=1,2,\cdots,10\)，經計算得到\(\sum_{i=1}^{10}x_{i}=50\)，\(\sum_{i=1}^{10}y_{i}=80\)，\(\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=300\)，\(\sum_{i=1}^{10}y_{i}^{2}=700\)，\(\sum_{i=1}^{10}x_{i}y_{i}=450\)。（1）求樣本相關系數\(r\)。（2）建立一元線性回歸方程\(\hat{y}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x\)。解：（1）樣本相關系數\(r\)的計算公式為：\[r=\frac{n\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{i=1}^{n}y_{i}}{\sqrt{n\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}\sqrt{n\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}-(\sum_{i=1}^{n}y_{i})^{2}}}\]已知\(n=10\)，\(\sum_{i=1}^{10}x_{i}=50\)，\(\sum_{i=1}^{10}y_{i}=80\)，\(\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=300