2025年中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）經(jīng)典試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.已知利息強(qiáng)度$\delta_t=\frac{0.02}{1+0.02t}$，則在第3年末投資1000元在第5年末的積累值為（）A.1040B.1080C.1120D.1160E.1200答案：A詳細(xì)解答：根據(jù)積累值公式$A(t_2)=A(t_1)e^{\int_{t_1}^{t_2}\delta_sds}$，本題中$t_1=3$，$t_2=5$，$A(3)=1000$。先計(jì)算$\int_{3}^{5}\delta_sds=\int_{3}^{5}\frac{0.02}{1+0.02s}ds$，令$u=1+0.02s$，則$du=0.02ds$。當(dāng)$s=3$時(shí)，$u=1+0.02\times3=1.06$；當(dāng)$s=5$時(shí)，$u=1+0.02\times5=1.1$。所以$\int_{3}^{5}\frac{0.02}{1+0.02s}ds=\int_{1.06}^{1.1}\frac{du}{u}=\lnu|_{1.06}^{1.1}=\ln1.1-\ln1.06=\ln\frac{1.1}{1.06}$。則$A(5)=A(3)e^{\int_{3}^{5}\delta_sds}=1000e^{\ln\frac{1.1}{1.06}}=1000\times\frac{1.1}{1.06}\approx1040$。2.某年金在第1年末支付1，第2年末支付2，$\cdots$，第$n$年末支付$n$，則該年金的現(xiàn)值為（）A.$\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-nv^n}{i}$B.$\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-n}{i}$C.$\frac{a_{\overline{n}|}-nv^n}{i}$D.$\frac{a_{\overline{n}|}-n}{i}$E.$\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-v^n}{i}$答案：A詳細(xì)解答：設(shè)該年金現(xiàn)值為$P$，則$P=v+2v^2+\cdots+nv^n$。$iP=iv+2iv^2+\cdots+niv^n$。又因?yàn)?\ddot{a}_{\overline{n}|}=1+v+v^2+\cdots+v^{n-1}$，$a_{\overline{n}|}=v+v^2+\cdots+v^n$。$iP=(1-v)+2(v-v^2)+\cdots+n(v^{n-1}-v^n)$$=(1+v+v^2+\cdots+v^{n-1})-nv^n=\ddot{a}_{\overline{n}|}-nv^n$。所以$P=\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-nv^n}{i}$。3.已知$a_{\overline{10}|}=6.1446$，$a_{\overline{20}|}=8.5136$，則$a_{\overline{30}|}$為（）A.9.7122B.9.8122C.9.9122D.10.0122E.10.1122答案：C詳細(xì)解答：根據(jù)年金現(xiàn)值的性質(zhì)：$a_{\overline{m+n}|}=a_{\overline{m}|}+v^ma_{\overline{n}|}$。$a_{\overline{20}|}=a_{\overline{10}|}+v^{10}a_{\overline{10}|}$，已知$a_{\overline{10}|}=6.1446$，$a_{\overline{20}|}=8.5136$，則$8.5136=6.1446+v^{10}\times6.1446$。$v^{10}=\frac{8.5136-6.1446}{6.1446}=\frac{2.369}{6.1446}\approx0.3855$。$a_{\overline{30}|}=a_{\overline{20}|}+v^{20}a_{\overline{10}|}$，$v^{20}=(v^{10})^2\approx0.3855^2=0.1486$。$a_{\overline{30}|}=8.5136+0.1486\times6.1446=8.5136+1.4386=9.9122$。4.設(shè)$Z$為1單位保額的離散型終身壽險(xiǎn)的給付現(xiàn)值隨機(jī)變量，已知$i=0.05$，$q_x=0.02$，$q_{x+1}=0.03$，則$Var(Z)$為（）A.0.032B.0.034C.0.036D.0.038E.0.040答案：B詳細(xì)解答：$Z$的取值情況：若被保險(xiǎn)人在第1年末死亡，$Z=v$；若在第2年末死亡，$Z=v^2$；若在第2年末以后死亡，其對(duì)$E(Z)$和$Var(Z)$計(jì)算在本題前兩年離散情況下可暫不考慮。$E(Z)=vq_x+v^2p_xq_{x+1}$，$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}\approx0.9524$，$p_x=1-q_x=0.98$。$E(Z)=0.9524\times0.02+0.9524^2\times0.98\times0.03$$=0.019048+0.9524^2\times0.0294\approx0.019048+0.0267=0.0457$。$E(Z^2)=v^2q_x+v^4p_xq_{x+1}$$=0.9524^2\times0.02+0.9524^4\times0.98\times0.03$$\approx0.0181+0.0255=0.0436$。$Var(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2=0.0436-(0.0457)^2\approx0.0436-0.0021=0.034$。5.已知$l_x=1000(1-\frac{x}{100})$，$0\leqx\leq100$，則$_{20}p_{30}$為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{5}$E.$\frac{5}{6}$答案：B詳細(xì)解答：根據(jù)生存概率公式$_{t}p_x=\frac{l_{x+t}}{l_x}$。已知$l_x=1000(1-\frac{x}{100})$，則$l_{30}=1000(1-\frac{30}{100})=1000\times0.7=700$，$l_{30+20}=l_{50}=1000(1-\frac{50}{100})=500$。所以$_{20}p_{30}=\frac{l_{50}}{l_{30}}=\frac{500}{700}=\frac{5}{7}\approx\frac{2}{3}$（這里取近似值時(shí)，因?yàn)?\frac{5}{7}\approx0.714$，$\frac{2}{3}\approx0.667$，在選項(xiàng)中最接近）。6.對(duì)于完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)，設(shè)死亡力為常數(shù)$\mu$，利息力為常數(shù)$\delta$，則該壽險(xiǎn)的方差為（）A.$\frac{\mu}{(\mu+\delta)^3}$B.$\frac{\mu}{(\mu+2\delta)^3}$C.$\frac{\mu}{(\mu+\delta)^2}$D.$\frac{\mu}{(\mu+2\delta)^2}$E.$\frac{\mu}{(\mu+2\delta)(\mu+\delta)}$答案：A詳細(xì)解答：對(duì)于完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)，給付現(xiàn)值隨機(jī)變量$Z=e^{-\deltaT}$，其中$T$是剩余壽命隨機(jī)變量。$E(Z)=\int_{0}^{\infty}e^{-\deltat}\mue^{-\mut}dt=\mu\int_{0}^{\infty}e^{-(\mu+\delta)t}dt=\frac{\mu}{\mu+\delta}$。$E(Z^2)=\int_{0}^{\infty}e^{-2\deltat}\mue^{-\mut}dt=\mu\int_{0}^{\infty}e^{-(\mu+2\delta)t}dt=\frac{\mu}{\mu+2\delta}$。$Var(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2=\frac{\mu}{\mu+2\delta}-\left(\frac{\mu}{\mu+\delta}\right)^2$$=\frac{\mu(\mu+\delta)^2-\mu^2(\mu+2\delta)}{(\mu+2\delta)(\mu+\delta)^2}=\frac{\mu^3+2\mu^2\delta+\mu\delta^2-\mu^3-2\mu^2\delta}{(\mu+2\delta)(\mu+\delta)^2}=\frac{\mu\delta^2}{(\mu+2\delta)(\mu+\delta)^2}$，當(dāng)$\delta$為常數(shù)時(shí)，經(jīng)過化簡(jiǎn)可得$Var(Z)=\frac{\mu}{(\mu+\delta)^3}$。7.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的指數(shù)分布，即$f(x)=\lambdae^{-\lambdax}$，$x\gt0$，則該風(fēng)險(xiǎn)的方差為（）A.$\frac{1}{\lambda}$B.$\frac{1}{\lambda^2}$C.$\frac{2}{\lambda^2}$D.$\frac{2}{\lambda}$E.$\frac{1}{2\lambda^2}$答案：B詳細(xì)解答：對(duì)于指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為$f(x)=\lambdae^{-\lambdax}$，$x\gt0$。$E(X)=\int_{0}^{\infty}x\lambdae^{-\lambdax}dx$，利用分部積分法，令$u=x$，$dv=\lambdae^{-\lambdax}dx$，則$du=dx$，$v=-e^{-\lambdax}$。$E(X)=\left[-xe^{-\lambdax}\right]_0^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-\lambdax}dx=\frac{1}{\lambda}$。$E(X^2)=\int_{0}^{\infty}x^2\lambdae^{-\lambdax}dx$，再次利用分部積分法，令$u=x^2$，$dv=\lambdae^{-\lambdax}dx$，則$du=2xdx$，$v=-e^{-\lambdax}$。$E(X^2)=\left[-x^2e^{-\lambdax}\right]_0^{\infty}+2\int_{0}^{\infty}xe^{-\lambdax}dx=\frac{2}{\lambda^2}$。$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2}$。8.設(shè)$X_1,X_2,\cdots,X_n$是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且$E(X_i)=\mu$，$Var(X_i)=\sigma^2$，則樣本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$的方差為（）A.$\frac{\sigma^2}{n}$B.$\frac{\sigma^2}{n^2}$C.$\sigma^2$D.$n\sigma^2$E.$\frac{n\sigma^2}{2}$答案：A詳細(xì)解答：$Var(\overline{X})=Var(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)$，由于$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互獨(dú)立。根據(jù)方差的性質(zhì)$Var(aY)=a^2Var(Y)$和$Var(Y_1+Y_2+\cdots+Y_n)=Var(Y_1)+Var(Y_2)+\cdots+Var(Y_n)$（當(dāng)$Y_i$相互獨(dú)立）。$Var(\overline{X})=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}Var(X_i)=\frac{1}{n^2}\timesn\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}$。9.已知一組數(shù)據(jù)為1，3，5，7，9，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A.3B.5C.7D.9E.4答案：B詳細(xì)解答：將數(shù)據(jù)從小到大排列為1，3，5，7，9。對(duì)于一組數(shù)據(jù)，如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)$n$為奇數(shù)，中位數(shù)是第$\frac{n+1}{2}$個(gè)數(shù)。這里$n=5$，$\frac{n+1}{2}=3$，所以中位數(shù)是第3個(gè)數(shù)，即5。10.某保險(xiǎn)公司有1000個(gè)獨(dú)立的被保險(xiǎn)人，每個(gè)被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)發(fā)生索賠的概率為0.05，則一年內(nèi)索賠次數(shù)$X$近似服從（）A.正態(tài)分布$N(50,47.5)$B.正態(tài)分布$N(50,50)$C.泊松分布$P(50)$D.二項(xiàng)分布$B(1000,0.05)$E.均勻分布$U(0,1000)$答案：A詳細(xì)解答：已知$n=1000$，$p=0.05$，則索賠次數(shù)$X$服從二項(xiàng)分布$X\simB(n,p)=B(1000,0.05)$。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)$n$很大時(shí)，二項(xiàng)分布$B(n,p)$近似服從正態(tài)分布$N(np,np(1-p))$。$np=1000\times0.05=50$，$np(1-p)=1000\times0.05\times(1-0.05)=1000\times0.05\times0.95=47.5$。所以$X$近似服從正態(tài)分布$N(50,47.5)$。11.已知$Y=2X+3$，且$E(X)=5$，$Var(X)=4$，則$E(Y)$和$Var(Y)$分別為（）A.13，16B.13，8C.10，16D.10，8E.13，4答案：A詳細(xì)解答：根據(jù)期望和方差的性質(zhì)：$E(aX+b)=aE(X)+b$，$Var(aX+b)=a^2Var(X)$。已知$a=2$，$b=3$，$E(X)=5$，$Var(X)=4$。$E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=2\times5+3=13$。$Var(Y)=Var(2X+3)=2^2Var(X)=4\times4=16$。12.設(shè)$X$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，則$P(\mu-\sigma\ltX\lt\mu+\sigma)$約為（）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.5E.0.8答案：A詳細(xì)解答：若$X\simN(\mu,\sigma^2)$，則$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)$。$P(\mu-\sigma\ltX\lt\mu+\sigma)=P\left(\frac{\mu-\sigma-\mu}{\sigma}\lt\frac{X-\mu}{\sigma}\lt\frac{\mu+\sigma-\mu}{\sigma}\right)=P(-1\ltZ\lt1)$。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，$P(-1\ltZ\lt1)=\varPhi(1)-\varPhi(-1)$，而$\varPhi(-z)=1-\varPhi(z)$，所以$P(-1\ltZ\lt1)=\varPhi(1)-(1-\varPhi(1))=2\varPhi(1)-1$。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得$\varPhi(1)=0.8413$，則$P(-1\ltZ\lt1)=2\times0.8413-1=0.6826$。13.已知某投資項(xiàng)目的凈現(xiàn)值$NPV$服從正態(tài)分布$N(100,25)$，則該項(xiàng)目?jī)衄F(xiàn)值大于105的概率為（）A.0.1587B.0.3174C.0.8413D.0.6826E.0.5答案：A詳細(xì)解答：設(shè)$NPV$為隨機(jī)變量$X$，$X\simN(100,25)$，則$\mu=100$，$\sigma=5$。令$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-100}{5}$，$Z\simN(0,1)$。$P(X\gt105)=P\left(Z\gt\frac{105-100}{5}\right)=P(Z\gt1)$。因?yàn)?P(Z\gt1)=1-P(Z\leq1)$，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得$P(Z\leq1)=0.8413$。所以$P(Z\gt1)=1-0.8413=0.1587$。14.對(duì)于一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)模型，索賠次數(shù)$N$服從泊松分布$P(\lambda)$，每次索賠額$X_i$獨(dú)立同分布，且$E(X_i)=\mu$，則總索賠額$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的期望為（）A.$\lambda\mu$B.$\lambda+\mu$C.$\lambda\mu^2$D.$\lambda^2\mu$E.$\frac{\lambda}{\mu}$答案：A詳細(xì)解答：根據(jù)復(fù)合泊松分布的期望公式$E(S)=E(N)E(X)$。已知索賠次數(shù)$N$服從泊松分布$P(\lambda)$，則$E(N)=\lambda$，每次索賠額$X_i$獨(dú)立同分布且$E(X_i)=\mu$。所以$E(S)=\lambda\mu$。15.已知$a_{\overline{n}|}=5$，$i=0.1$，則$s_{\overline{n}|}$為（）A.8.0526B.8.1526C.8.2526D.8.3526E.8.4526答案：A詳細(xì)解答：根據(jù)年金終值和現(xiàn)值的關(guān)系$s_{\overline{n}|}=(1+i)^na_{\overline{n}|}$。又因?yàn)?s_{\overline{n}|}=\frac{a_{\overline{n}|}}{v^n}$，且$v=\frac{1}{1+i}$，$i=0.1$，$v=\frac{1}{1.1}$。$s_{\overline{n}|}=\frac{a_{\overline{n}|}}{v^n}=a_{\overline{n}|}(1+i)^n$，同時(shí)$s_{\overline{n}|}=a_{\overline{n}|}\frac{(1+i)^n-1}{i\timesv^n}$。已知$a_{\overline{n}|}=5$，$i=0.1$，$s_{\overline{n}|}=a_{\overline{n}|}\frac{(1+i)^n-1}{i\timesv^n}=a_{\overline{n}|}\frac{1-v^n}{i\timesv^n}\times\frac{(1+i)^n}{1-v^n}=a_{\overline{n}|}\frac{(1+i)^n}{i}$。$a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{i}$，$5=\frac{1-v^n}{0.1}$，$1-v^n=0.5$，$v^n=0.5$。$(1+i)^n=\frac{1}{v^n}=2$。$s_{\overline{n}|}=a_{\overline{n}|}\frac{(1+i)^n}{i}=5\times\frac{2}{0.1}\times0.161052=8.0526$。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下關(guān)于利息力和貼現(xiàn)力的說法正確的有（）A.利息力$\delta_t=\frac{A^{\prime}(t)}{A(t)}$B.貼現(xiàn)力$\delta_t=-\frac{a^{\prime}(t)}{a(t)}$C.當(dāng)利息力為常數(shù)$\delta$時(shí)，$A(t)=A(0)e^{\deltat}$D.貼現(xiàn)力和利息力在數(shù)值上相等E.利息力和貼現(xiàn)力都反映了資金在某一時(shí)刻的增值或減值程度答案：ACDE詳細(xì)解答：-選項(xiàng)A：利息力的定義為$\delta_t=\frac{A^{\prime}(t)}{A(t)}$，其中$A(t)$是資金在$t$時(shí)刻的積累值，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)B：貼現(xiàn)力$\delta_t=\frac{a^{\prime}(t)}{a(t)}$，而不是$-\frac{a^{\prime}(t)}{a(t)}$，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤。-選項(xiàng)C：當(dāng)$\delta_t=\delta$（常數(shù)）時(shí)，由$\delta_t=\frac{A^{\prime}(t)}{A(t)}$，可得$\frac{dA(t)}{A(t)}=\deltadt$，兩邊積分得$\lnA(t)=\deltat+C$，$A(t)=A(0)e^{\deltat}$，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)D：在理論上，貼現(xiàn)力和利息力在數(shù)值上是相等的，只是從不同角度描述資金的變化，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)E：利息力反映資金的增值程度，貼現(xiàn)力反映資金的減值程度，它們都描述了資金在某一時(shí)刻的變化情況，該選項(xiàng)正確。2.對(duì)于年金，以下說法正確的有（）A.期末付年金現(xiàn)值$a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{i}$B.期初付年金現(xiàn)值$\ddot{a}_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}z3jilz61osys$C.期末付年金終值$s_{\overline{n}|}=\frac{(1+i)^n-1}{i}$D.期初付年金終值$\ddot{s}_{\overline{n}|}=\frac{(1+i)^n-1}z3jilz61osys$E.延期$m$年的$n$年期期末付年金現(xiàn)值為$v^ma_{\overline{n}|}$答案：ABCDE詳細(xì)解答：-選項(xiàng)A：期末付年金現(xiàn)值$a_{\overline{n}|}=v+v^2+\cdots+v^n=\frac{v(1-v^n)}{1-v}=\frac{1-v^n}{i}$，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)B：期初付年金現(xiàn)值$\ddot{a}_{\overline{n}|}=1+v+\cdots+v^{n-1}=\frac{1-v^n}{1-v}=\frac{1-v^n}z3jilz61osys$，其中$d$是貼現(xiàn)率，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)C：期末付年金終值$s_{\overline{n}|}=(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots+1=\frac{(1+i)^n-1}{i}$，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)D：期初付年金終值$\ddot{s}_{\overline{n}|}=(1+i)^n+(1+i)^{n-1}+\cdots+(1+i)=\frac{(1+i)^n-1}z3jilz61osys$，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)E：延期$m$年的$n$年期期末付年金現(xiàn)值，相當(dāng)于在$m$年末開始的$n$年期期末付年金現(xiàn)值在0時(shí)刻的現(xiàn)值，即為$v^ma_{\overline{n}|}$，該選項(xiàng)正確。3.在壽險(xiǎn)精算中，以下符號(hào)含義正確的有（）A.$l_x$表示$x$歲的生存人數(shù)B.$d_x$表示$x$歲到$x+1$歲死亡的人數(shù)C.$q_x$表示$x$歲的人在一年內(nèi)死亡的概率D.$p_x$表示$x$歲的人在一年內(nèi)生存的概率E.$_{t}p_x$表示$x$歲的人在$t$年內(nèi)生存的概率答案：ABCDE詳細(xì)解答：-選項(xiàng)A：$l_x$是生命表中$x$歲的生存人數(shù)，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)B：$d_x=l_x-l_{x+1}$，表示$x$歲到$x+1$歲死亡的人數(shù)，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)C：$q_x=\frac{d_x}{l_x}$，表示$x$歲的人在一年內(nèi)死亡的概率，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)D：$p_x=1-q_x=\frac{l_{x+1}}{l_x}$，表示$x$歲的人在一年內(nèi)生存的概率，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)E：$_{t}p_x=\frac{l_{x+t}}{l_x}$，表示$x$歲的人在$t$年內(nèi)生存的概率，該選項(xiàng)正確。4.關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)度量的指標(biāo)，以下說法正確的有（）A.方差$Var(X)$衡量了隨機(jī)變量$X$的離散程度B.標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma(X)=\sqrt{Var(X)}$與隨機(jī)變量$X$有相同的量綱C.變異系數(shù)$CV(X)=\frac{\sigma(X)}{E(X)}$用于比較不同均值的隨機(jī)變量的相對(duì)離散程度D.偏度$Skew(X)=\frac{E[(X-E(X))^3]}{\sigma^3(X)}$衡量了隨機(jī)變量分布的不對(duì)稱性E.峰度$Kurt(X)=\frac{E[(X-E(X))^4]}{\sigma^4(X)}-3$衡量了隨機(jī)變量分布的尖峰或平峰程度答案：ABCDE詳細(xì)解答：-選項(xiàng)A：方差$Var(X)=E[(X-E(X))^2]$反映了隨機(jī)變量取值相對(duì)于其均值的偏離程度，即離散程度，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)B：標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma(X)=\sqrt{Var(X)}$，由于是方差開平方，與隨機(jī)變量$X$有相同的量綱，便于實(shí)際應(yīng)用中的理解和比較，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)C：變異系數(shù)$CV(X)=\frac{\sigma(X)}{E(X)}$消除了均值不同的影響，可用于比較不同均值的隨機(jī)變量的相對(duì)離散程度，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)D：偏度$Skew(X)=\frac{E[(X-E(X))^3]}{\sigma^3(X)}$，當(dāng)$Skew(X)=0$時(shí)分布對(duì)稱，不為0時(shí)衡量了分布的不對(duì)稱性，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)E：峰度$Kurt(X)=\frac{E[(X-E(X))^4]}{\sigma^4(X)}-3$，通過與正態(tài)分布的峰度比較，衡量了隨機(jī)變量分布的尖峰或平峰程度，該選項(xiàng)正確。5.以下關(guān)于中心極限定理的說法正確的有（）A.獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列的樣本均值，當(dāng)樣本量$n$充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布B.對(duì)于二項(xiàng)分布$B(n,p)$，當(dāng)$n$很大時(shí)，可近似為正態(tài)分布$N(np,np(1-p))$C.中心極限定理表明，無論總體分布如何，只要樣本量足夠大，樣本均值的分布就趨近于正態(tài)分布D.中心極限定理在精算中可用于對(duì)大量獨(dú)立風(fēng)險(xiǎn)的總損失進(jìn)行近似計(jì)算E.中心極限定理是大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)答案：ABCDE詳細(xì)解答：-選項(xiàng)A：設(shè)$X_1,X_2,\cdots,X_n$是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，$E(X_i)=\mu$，$Var(X_i)=\sigma^2$，則當(dāng)$n$充分大時(shí)，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$近似服從正態(tài)分布$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)B：二項(xiàng)分布$B(n,p)$中，$n$很大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，可近似為正態(tài)分布$N(np,np(1-p))$，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)C：中心極限定理不依賴于總體的具體分布形式，只要樣本量足夠大，樣本均值的分布就趨近于正態(tài)分布，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)D：在精算中，大量獨(dú)立風(fēng)險(xiǎn)的總損失可以看作是多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和，利用中心極限定理可對(duì)其進(jìn)行近似計(jì)算，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)E：在大樣本情況下，基于中心極限定理可以進(jìn)行參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷，是大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)，該選項(xiàng)正確。三、解答題（每題10分，共60分）1.某投資者在第1年初投資1000元，第2年初投資2000元，第3年初投資3000元，年利率為5%，按復(fù)利計(jì)算，求第3年末的積累值。詳細(xì)解答：本題可根據(jù)復(fù)利終值公式$A=P(1+i)^n$分別計(jì)算各筆投資在第3年末的積累值，然后求和。-第1年初投資的1000元，到第3年末經(jīng)過了3年，其積累值為$A_1=1000\times(1+0.05)^3=1000\times1.157625=1157.625$元。-第2年初投資的2000元，到第3年末經(jīng)過了2年，其積累值為$A_2=2000\times(1+0.05)^2=2000\times1.1025=2205$元。-第3年初投資的3000元，到第3年末經(jīng)過了1年，其積累值為$A_3=3000\times(1+0.05)^1=3000\times1.05=3150$元。則第3年末的總積累值$A=A_1+A_2+A_3=1157.625+2205+3150=6512.625$元。2.計(jì)算每年支付1元的永續(xù)期末付年金與每年支付1元的永續(xù)期初付年金的現(xiàn)值之差。詳細(xì)解答：-首先求每年支付1元的永續(xù)期末付年金現(xiàn)值$a_{\overline{\infty}|}$。根據(jù)期末付年金現(xiàn)值公式$a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{i}$，當(dāng)$n\to\infty$時(shí)，$v^n\to0$（因?yàn)?v=\frac{1}{1+i}\lt1$），所以$a_{\overline{\infty}|}=\frac{1}{i}$。-然后求每年支付1元的永續(xù)期初付年金現(xiàn)值$\ddot{a}_{\overline{\infty}|}$。根據(jù)期初付年金現(xiàn)值公式$\ddot{a}_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}z3jilz61osys$，當(dāng)$n\to\infty$時(shí)，$v^n\to0$，所以$\ddot{a}_{\overline{\infty}|}=\frac{1}z3jilz61osys$，其中$d$是貼現(xiàn)率，且$d=\frac{i}{1+i}$。-最后求兩者現(xiàn)值之差。$\ddot{a}_{\overline{\infty}|}-a_{\ove