2025年山東濟南中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.以下哪種分布常用于描述保險理賠次數(shù)的分布？A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數(shù)分布D.均勻分布答案：B。泊松分布具有獨立增量性和平穩(wěn)性，非常適合描述在一定時間或空間內(nèi)隨機事件（如保險理賠次數(shù)）的發(fā)生次數(shù)，其概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)，其中\(zhòng)(X\)表示事件發(fā)生的次數(shù)，\(\lambda\)是單位時間或空間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)。而正態(tài)分布主要用于描述連續(xù)型隨機變量的對稱分布；指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔；均勻分布表示在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率是均勻的。2.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的均值為\(\overline{x}\)，方差為\(s^{2}\)，若將每個數(shù)據(jù)都加上常數(shù)\(a\)，則新數(shù)據(jù)的均值和方差分別為：A.\(\overline{x}+a\)，\(s^{2}+a\)B.\(\overline{x}+a\)，\(s^{2}\)C.\(\overline{x}\)，\(s^{2}+a\)D.\(\overline{x}\)，\(s^{2}\)答案：B。設(shè)原數(shù)據(jù)為\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，新數(shù)據(jù)為\(y_i=x_i+a\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。新數(shù)據(jù)的均值\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+a)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+a=\overline{x}+a\)。新數(shù)據(jù)的方差\(s_y^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[(x_i+a)-(\overline{x}+a)]^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}=s^{2}\)。3.在回歸分析中，若決定系數(shù)\(R^{2}=0.8\)，這意味著：A.解釋變量能夠解釋因變量\(80\%\)的變異B.因變量能夠解釋解釋變量\(80\%\)的變異C.回歸方程的擬合效果很差D.解釋變量和因變量之間沒有線性關(guān)系答案：A。決定系數(shù)\(R^{2}\)定義為回歸平方和與總離差平方和的比值，即\(R^{2}=\frac{SSR}{SST}\)，其中\(zhòng)(SSR\)是回歸平方和，反映了由解釋變量引起的因變量的變異；\(SST\)是總離差平方和，反映了因變量的總變異。\(R^{2}=0.8\)表示解釋變量能夠解釋因變量\(80\%\)的變異，\(R^{2}\)越接近1，回歸方程的擬合效果越好。4.設(shè)\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的指數(shù)分布，則\(E(X)\)和\(Var(X)\)分別為：A.\(\frac{1}{\lambda}\)，\(\frac{1}{\lambda^{2}}\)B.\(\lambda\)，\(\lambda^{2}\)C.\(\frac{1}{\lambda}\)，\(\frac{1}{\lambda}\)D.\(\lambda\)，\(\frac{1}{\lambda}\)答案：A。指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax}\)，\(x\gt0\)，\(\lambda\gt0\)。期望\(E(X)=\int_{0}^{\infty}x\cdot\lambdae^{-\lambdax}dx\)，利用分部積分法可得\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。方差\(Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)，先求\(E(X^{2})=\int_{0}^{\infty}x^{2}\cdot\lambdae^{-\lambdax}dx\)，通過分部積分法可得\(E(X^{2})=\frac{2}{\lambda^{2}}\)，則\(Var(X)=\frac{2}{\lambda^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{\lambda^{2}}\)。5.某保險公司對100份保單進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)理賠次數(shù)的均值為2次，標準差為0.5次。若理賠次數(shù)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，則大約有多少份保單的理賠次數(shù)在\(1.5\)次到\(2.5\)次之間？A.68份B.95份C.99份D.無法確定答案：A。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，若\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，則\(P(\mu-\sigma\ltX\lt\mu+\sigma)\approx0.68\)，\(P(\mu-2\sigma\ltX\lt\mu+2\sigma)\approx0.95\)，\(P(\mu-3\sigma\ltX\lt\mu+3\sigma)\approx0.997\)。已知\(\mu=2\)，\(\sigma=0.5\)，\(1.5=\mu-\sigma\)，\(2.5=\mu+\sigma\)，所以理賠次數(shù)在\(1.5\)次到\(2.5\)次之間的保單比例約為\(68\%\)，則大約有\(zhòng)(100\times0.68=68\)份保單。6.在時間序列分析中，自相關(guān)函數(shù)\(ACF(k)\)用于衡量：A.序列在不同時刻的取值之間的線性相關(guān)性B.序列的季節(jié)性C.序列的趨勢性D.序列的隨機性答案：A。自相關(guān)函數(shù)\(ACF(k)=\frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}\)，其中\(zhòng)(\gamma(k)\)是\(k\)階自協(xié)方差，它衡量了時間序列在不同時刻的取值之間的線性相關(guān)性。季節(jié)性通常通過季節(jié)性分解等方法來分析；趨勢性可以通過擬合趨勢線等方法來判斷；序列的隨機性可以通過白噪聲檢驗等方法來確定。7.若\(X\)和\(Y\)是兩個隨機變量，且\(Cov(X,Y)=0\)，則以下說法正確的是：A.\(X\)和\(Y\)相互獨立B.\(X\)和\(Y\)不相關(guān)C.\(X\)和\(Y\)一定有線性關(guān)系D.\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合分布是正態(tài)分布答案：B。協(xié)方差\(Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)，當\(Cov(X,Y)=0\)時，稱\(X\)和\(Y\)不相關(guān)。但不相關(guān)并不意味著相互獨立，相互獨立是比不相關(guān)更強的條件；\(Cov(X,Y)=0\)說明\(X\)和\(Y\)之間不存在線性關(guān)系；僅由\(Cov(X,Y)=0\)不能得出\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合分布是正態(tài)分布。8.某精算師要對一組保險理賠數(shù)據(jù)進行異常值檢測，以下哪種方法最適合？A.均值-標準差法B.相關(guān)分析法C.回歸分析法D.聚類分析法答案：A。均值-標準差法是一種常用的異常值檢測方法，通常將偏離均值一定倍數(shù)標準差的數(shù)據(jù)點視為異常值。相關(guān)分析法主要用于分析變量之間的相關(guān)性；回歸分析法用于建立變量之間的回歸模型；聚類分析法用于將數(shù)據(jù)點劃分為不同的類別。9.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的簡單隨機樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)是樣本均值，\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)是樣本方差，則\(E(S^{2})\)等于：A.\(E(X)\)B.\(Var(X)\)C.\(\frac{1}{n}Var(X)\)D.\(nVar(X)\)答案：B?？梢宰C明樣本方差\(S^{2}\)是總體方差\(Var(X)\)的無偏估計，即\(E(S^{2})=Var(X)\)。10.在多元線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p+\epsilon\)中，若某個解釋變量\(X_j\)的\(t\)檢驗不顯著，可能的原因是：A.該解釋變量對因變量沒有影響B(tài).該解釋變量與其他解釋變量存在多重共線性C.樣本容量太小D.以上都有可能答案：D。當某個解釋變量\(X_j\)的\(t\)檢驗不顯著時，可能是該解釋變量對因變量確實沒有影響；也可能是該解釋變量與其他解釋變量存在多重共線性，導(dǎo)致其系數(shù)的估計不準確；樣本容量太小也可能使得檢驗的功效不足，無法檢測出顯著的關(guān)系。11.設(shè)\(X\)是一個離散型隨機變量，其概率分布為\(P(X=1)=0.2\)，\(P(X=2)=0.3\)，\(P(X=3)=0.5\)，則\(E(2X+1)\)為：A.4.2B.5.2C.6.2D.7.2答案：B。首先根據(jù)期望的性質(zhì)\(E(aX+b)=aE(X)+b\)，先求\(E(X)=1\times0.2+2\times0.3+3\times0.5=2.3\)，則\(E(2X+1)=2E(X)+1=2\times2.3+1=5.2\)。12.在風(fēng)險度量中，以下哪種風(fēng)險度量指標考慮了損失的分布情況？A.期望損失B.方差C.在險價值（VaR）D.以上都是答案：D。期望損失\(E(L)\)是損失\(L\)的均值，它考慮了損失的平均水平；方差\(Var(L)\)衡量了損失圍繞期望損失的波動程度，也與損失的分布有關(guān)；在險價值（VaR）是在一定置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時間內(nèi)的最大可能損失，它同樣考慮了損失的分布情況。13.若要對保險理賠數(shù)據(jù)進行分組分析，選擇合適的分組方法時不需要考慮的因素是：A.數(shù)據(jù)的分布特征B.分析的目的C.分組的數(shù)量D.數(shù)據(jù)的采集時間答案：D。在進行分組分析時，需要考慮數(shù)據(jù)的分布特征，例如數(shù)據(jù)是正態(tài)分布、偏態(tài)分布等，以便選擇合適的分組區(qū)間；分析的目的決定了分組的方式和重點；分組的數(shù)量也會影響分析的結(jié)果和精度。而數(shù)據(jù)的采集時間與分組分析本身并沒有直接的關(guān)聯(lián)。14.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機變量，已知\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)，則\(E(XY)\)為：A.6B.7C.8D.9答案：B。根據(jù)協(xié)方差的定義\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)，可得\(E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y)=1+2\times3=7\)。15.在建立精算模型時，以下哪個步驟是最先進行的？A.模型評估B.數(shù)據(jù)收集與整理C.模型選擇與擬合D.模型應(yīng)用答案：B。建立精算模型的一般步驟為：數(shù)據(jù)收集與整理、模型選擇與擬合、模型評估、模型應(yīng)用。只有先收集和整理好相關(guān)的數(shù)據(jù)，才能進行后續(xù)的模型選擇、擬合、評估和應(yīng)用等工作。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.以下哪些分布屬于連續(xù)型概率分布？A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數(shù)分布D.均勻分布答案：ACD。正態(tài)分布、指數(shù)分布和均勻分布都是連續(xù)型概率分布，它們的隨機變量取值可以是某一區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)。泊松分布是離散型概率分布，用于描述在一定時間或空間內(nèi)隨機事件的發(fā)生次數(shù)。2.在回歸分析中，可能導(dǎo)致多重共線性的原因有：A.解釋變量之間存在高度的線性關(guān)系B.樣本數(shù)據(jù)的局限性C.模型中包含了過多的解釋變量D.解釋變量與因變量之間的關(guān)系不明確答案：ABC。多重共線性是指解釋變量之間存在高度的線性關(guān)系，可能是由于解釋變量本身的性質(zhì)導(dǎo)致它們之間存在線性關(guān)聯(lián)；樣本數(shù)據(jù)的局限性，例如樣本量過小或數(shù)據(jù)的取值范圍有限等，也可能使得解釋變量之間表現(xiàn)出較強的線性關(guān)系；模型中包含了過多的解釋變量，容易導(dǎo)致變量之間出現(xiàn)多重共線性。解釋變量與因變量之間的關(guān)系不明確與多重共線性并無直接關(guān)系。3.時間序列的組成部分通常包括：A.趨勢成分B.季節(jié)性成分C.周期性成分D.隨機成分答案：ABCD。時間序列通常由趨勢成分（反映數(shù)據(jù)隨時間的長期變化趨勢）、季節(jié)性成分（呈現(xiàn)出周期性的、固定周期的變化）、周期性成分（與季節(jié)性不同，周期不固定）和隨機成分（由各種隨機因素引起的不規(guī)則波動）組成。4.以下關(guān)于風(fēng)險度量指標的說法正確的有：A.期望損失是損失的平均值B.方差越大，風(fēng)險越大C.在險價值（VaR）可以給出損失的具體分布情況D.條件在險價值（CVaR）是在VaR基礎(chǔ)上考慮了超過VaR的損失情況答案：ABD。期望損失\(E(L)\)就是損失\(L\)的平均值；方差\(Var(L)\)衡量了損失的波動程度，方差越大，說明損失的不確定性越大，風(fēng)險也就越大；在險價值（VaR）只是給出了在一定置信水平下的最大可能損失，并沒有給出損失的具體分布情況；條件在險價值（CVaR）是在VaR基礎(chǔ)上，考慮了超過VaR的損失的平均值。5.在數(shù)據(jù)預(yù)處理過程中，常見的數(shù)據(jù)清洗操作包括：A.缺失值處理B.異常值處理C.數(shù)據(jù)標準化D.數(shù)據(jù)編碼答案：AB。數(shù)據(jù)清洗主要是對數(shù)據(jù)中的缺失值和異常值進行處理，以提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量。數(shù)據(jù)標準化是將數(shù)據(jù)進行變換，使其具有特定的均值和標準差；數(shù)據(jù)編碼是將分類變量轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量，它們屬于數(shù)據(jù)預(yù)處理的其他環(huán)節(jié)，不屬于數(shù)據(jù)清洗操作。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述指數(shù)分布在保險精算中的應(yīng)用。指數(shù)分布在保險精算中有廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：-理賠時間間隔建模：在保險業(yè)務(wù)中，兩次理賠事件之間的時間間隔往往可以用指數(shù)分布來描述。例如，對于財產(chǎn)保險中的火災(zāi)理賠，相鄰兩次火災(zāi)理賠的時間間隔可能服從指數(shù)分布。指數(shù)分布具有無記憶性，即\(P(X\gts+t|X\gts)=P(X\gtt)\)，這意味著在已經(jīng)等待了\(s\)時間沒有發(fā)生理賠的情況下，再等待\(t\)時間才發(fā)生理賠的概率與從開始就等待\(t\)時間發(fā)生理賠的概率相同。這種無記憶性使得指數(shù)分布在描述隨機事件的發(fā)生時間間隔時具有很好的適用性。-壽命分布近似：在人壽保險中，對于一些短期的風(fēng)險或者特定人群的壽命分布，指數(shù)分布可以作為一種近似。雖然人類的壽命分布通常更符合其他復(fù)雜的分布，但在某些情況下，指數(shù)分布可以簡化模型，便于進行初步的分析和計算。例如，對于一些高風(fēng)險職業(yè)人群在短期內(nèi)的生存概率分析，可以使用指數(shù)分布來近似。-風(fēng)險評估：指數(shù)分布的參數(shù)\(\lambda\)表示單位時間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)，在保險中可以理解為理賠發(fā)生的平均頻率。通過估計\(\lambda\)的值，精算師可以評估保險業(yè)務(wù)的風(fēng)險水平。如果\(\lambda\)較大，說明理賠發(fā)生的頻率較高，保險風(fēng)險較大；反之，如果\(\lambda\)較小，保險風(fēng)險相對較低。基于此，精算師可以制定合理的保險費率。2.解釋在回歸分析中多重共線性的概念、產(chǎn)生的后果以及解決方法。-概念：多重共線性是指在多元線性回歸模型中，解釋變量之間存在高度的線性關(guān)系。也就是說，一個或多個解釋變量可以用其他解釋變量的線性組合來近似表示。例如，在回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_3+\epsilon\)中，如果\(X_3\)可以近似表示為\(X_3=aX_1+bX_2\)（\(a\)和\(b\)為常數(shù)），則說明解釋變量\(X_1\)、\(X_2\)和\(X_3\)之間存在多重共線性。-產(chǎn)生的后果：-參數(shù)估計不穩(wěn)定：多重共線性會導(dǎo)致回歸系數(shù)的估計值不穩(wěn)定，其方差會增大。這使得估計值對樣本數(shù)據(jù)的微小變化非常敏感，不同的樣本可能會得到差異較大的回歸系數(shù)估計值。-系數(shù)符號異常：由于多重共線性的影響，回歸系數(shù)的符號可能與理論預(yù)期相反。例如，在正常情況下，某個解釋變量與因變量應(yīng)該是正相關(guān)關(guān)系，但在存在多重共線性時，其回歸系數(shù)可能為負。-模型預(yù)測能力下降：雖然多重共線性可能不會顯著影響回歸方程的整體擬合優(yōu)度（如\(R^{2}\)值），但會降低模型的預(yù)測精度。因為參數(shù)估計的不穩(wěn)定會導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的可靠性降低。-解決方法：-剔除變量：通過分析解釋變量之間的相關(guān)性，剔除一些相關(guān)性較高的變量?？梢杂嬎憬忉屪兞恐g的相關(guān)系數(shù)矩陣，選擇相關(guān)系數(shù)較高的變量對，保留其中一個對因變量影響更顯著的變量。-增加樣本容量：增加樣本容量可以在一定程度上緩解多重共線性的問題。更多的數(shù)據(jù)可以提供更豐富的信息，使得參數(shù)估計更加穩(wěn)定。-主成分分析：將原始的解釋變量進行線性組合，生成一組新的互不相關(guān)的主成分。然后用這些主成分作為新的解釋變量進行回歸分析。主成分分析可以提取原始變量的主要信息，同時消除變量之間的相關(guān)性。-嶺回歸：嶺回歸是一種有偏估計方法，通過在回歸系數(shù)的估計中加入一個正則化項，來減小回歸系數(shù)的方差，從而緩解多重共線性的影響。3.說明時間序列分析中自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）的作用，并簡述如何根據(jù)它們來識別AR、MA和ARMA模型。-自相關(guān)函數(shù)（ACF）的作用：自相關(guān)函數(shù)\(ACF(k)\)用于衡量時間序列在不同滯后階數(shù)\(k\)下的自相關(guān)性。它反映了時間序列中相隔\(k\)期的觀測值之間的線性相關(guān)程度。通過計算和分析\(ACF(k)\)，可以了解時間序列的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，判斷序列是否具有某種周期性或趨勢性。例如，如果\(ACF(k)\)在某些滯后階數(shù)上有明顯的非零值，說明時間序列在這些滯后階數(shù)上存在較強的相關(guān)性。-偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）的作用：偏自相關(guān)函數(shù)\(PACF(k)\)是在控制了中間\(k-1\)個觀測值的影響后，衡量時間序列中相隔\(k\)期的觀測值之間的線性相關(guān)程度。它可以更準確地反映時間序列在不同滯后階數(shù)下的直接相關(guān)性。與\(ACF(k)\)不同，\(PACF(k)\)排除了中間觀測值的間接影響。-模型識別：-AR（自回歸）模型：對于\(AR(p)\)模型，其自相關(guān)函數(shù)\(ACF(k)\)呈現(xiàn)出拖尾的特征，即隨著滯后階數(shù)\(k\)的增加，\(ACF(k)\)逐漸衰減但不會突然截斷。而偏自相關(guān)函數(shù)\(PACF(k)\)在\(k=p\)之后截尾，即\(PACF(p+1)=PACF(p+2)=\cdots=0\)。例如，對于\(AR(1)\)模型\(X_t=\varphi_1X_{t-1}+\epsilon_t\)，\(ACF(k)\)會隨著\(k\)的增加呈指數(shù)衰減，而\(PACF(1)\neq0\)，\(PACF(k)=0\)（\(k\gt1\)）。-MA（移動平均）模型：對于\(MA(q)\)模型，其自相關(guān)函數(shù)\(ACF(k)\)在\(k=q\)之后截尾，即\(ACF(q+1)=ACF(q+2)=\cdots=0\)。而偏自相關(guān)函數(shù)\(PACF(k)\)呈現(xiàn)出拖尾的特征，隨著滯后階數(shù)\(k\)的增加逐漸衰減。例如，對于\(MA(1)\)模型\(X_t=\epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}\)，\(ACF(1)\neq0\)，\(ACF(k)=0\)（\(k\gt1\)），\(PACF(k)\)會逐漸衰減。-ARMA（自回歸移動平均）模型：對于\(ARMA(p,q)\)模型，自相關(guān)函數(shù)\(ACF(k)\)和偏自相關(guān)函數(shù)\(PACF(k)\)都呈現(xiàn)出拖尾的特征。即隨著滯后階數(shù)\(k\)的增加，\(ACF(k)\)和\(PACF(k)\)都不會突然截斷，而是逐漸衰減。四、計算題（每題15分，共30分）1.某保險公司對某類保險業(yè)務(wù)的理賠數(shù)據(jù)進行分析，已知理賠金額\(X\)服從對數(shù)正態(tài)分布\(LN(\mu,\sigma^{2})\)，其中\(zhòng)(\mu=5\)，\(\sigma=1\)。-計算理賠金額的均值和方差。-若該保險公司設(shè)定的理賠上限為\(e^{7}\)，求理賠金額超過理賠上限的概率。解：-計算均值和方差：若\(X\simLN(\mu,\sigma^{2})\)，則\(X=e^{Y}\)，其中\(zhòng)(Y\simN(\mu,\sigma^{2})\)。理賠金額的均值\(E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}\)，將\(\mu=5\)，\(\sigma=1\)代入可得\(E(X)=e^{5+\frac{1}{2}}=e^{5.5}\approx244.69\)。理賠金額的方差\(Var(X)=e^{2\mu+\sigma^{2}}(e^{\sigma^{2}}-1)\)，將\(\mu=5\)，\(\sigma=1\)代入可得\(Var(X)=e^{2\times5+1}(e^{1}-1)=e^{11}(e-1)\approx59873.97\)。-計算理賠金額超過理賠上限的概率：已知\(X\simLN(5,1)\)，則\(\lnX\simN(5,1)\)。要求\(P(X\gte^{7})\)，令\(Z=\frac{\lnX-\mu}{\sigma}\)，其中\(zhòng)(Z\simN(0,1)\)。\(P(X\gte^{7})=P(\lnX\gt7)=P\left(Z\gt\frac{7-5}{1}\right)=P(Z\gt2)\)。根據(jù)標準正態(tài)分布的性質(zhì)，\(P(Z\gt2)=1-P(Z\leqslant2)\)，查標準正態(tài)分布表可得\(P(Z\leqslant2)=0.9772\)，則\(P(Z\gt2)=1-0.9772=0.0228\)。2.某保險公司收集了10份保單的理賠數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_{10}\)如下：\(2,3,5,7,8,10,12,15,18,20\)。-計算樣本均值、樣本中位數(shù)和樣本方差。-若假設(shè)理賠數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，求\(\mu\)和\(\sigma^{2}\)的最大似然估計值。解：-計算樣本均值、樣本中位數(shù)和樣本方差：樣本均值\(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{2+3+5+7+8+10+12+15+18+20}{10}=\frac{100}{10}=10\)。樣本中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排序后，由于\(n=10\)為偶數(shù)，中位數(shù)\(M=\frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}=\frac{8+10}{2}=9\)。樣本方差\(s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}\)\(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}=(2-10)^{2}+(3-10)^{2}+(5-10)^{2}+(7-10)^{2}+(8-10)^{2}+(10-10)^{2}+(12-10)