2025年陜西漢中中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.以下哪種分布常用于描述保險(xiǎn)理賠次數(shù)？A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數(shù)分布D.均勻分布答案：B解析：泊松分布具有無記憶性且常用于描述在一定時(shí)間或空間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，保險(xiǎn)理賠次數(shù)符合這種隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)的特征，所以常用于描述保險(xiǎn)理賠次數(shù)。正態(tài)分布主要用于描述連續(xù)型的、對(duì)稱的隨機(jī)變量；指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔；均勻分布是指在某個(gè)區(qū)間內(nèi)每個(gè)值出現(xiàn)的概率相等。2.若隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0\)，則\(X\)的期望\(E(X)\)為：A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^{2}\)D.\(\frac{1}{\lambda^{2}}\)答案：B解析：對(duì)于參數(shù)為\(\lambda\)的指數(shù)分布，其期望\(E(X)=\int_{0}^{\infty}x\cdot\lambdae^{-\lambdax}dx\)，利用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=\lambdae^{-\lambdax}dx\)，則\(du=dx\)，\(v=-e^{-\lambdax}\)。根據(jù)分部積分公式\(\int_{a}^u\mathrmz3jilz61osysv=uv|_{a}^-\int_{a}^v\mathrmz3jilz61osysu\)，可得\(E(X)=\left[-xe^{-\lambdax}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-\lambdax}dx\)。\(\lim_{x\rightarrow\infty}-xe^{-\lambdax}=\lim_{x\rightarrow\infty}-\frac{x}{e^{\lambdax}}\)，使用洛必達(dá)法則，對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，得到\(\lim_{x\rightarrow\infty}-\frac{1}{\lambdae^{\lambdax}}=0\)，\(\left[-xe^{-\lambdax}\right]_{0}^{\infty}=0\)，\(\int_{0}^{\infty}e^{-\lambdax}dx=\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambdax}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{\lambda}\)，所以\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。3.在數(shù)據(jù)分析中，以下哪種方法不屬于數(shù)據(jù)預(yù)處理的范疇？A.數(shù)據(jù)清洗B.數(shù)據(jù)歸一化C.建立回歸模型D.數(shù)據(jù)編碼答案：C解析：數(shù)據(jù)預(yù)處理是在正式進(jìn)行數(shù)據(jù)分析建模之前對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行的一系列處理操作，包括數(shù)據(jù)清洗（去除噪聲數(shù)據(jù)、處理缺失值等）、數(shù)據(jù)歸一化（將數(shù)據(jù)縮放到特定范圍）、數(shù)據(jù)編碼（將分類變量轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量）等。而建立回歸模型是數(shù)據(jù)分析建模階段的操作，不屬于數(shù)據(jù)預(yù)處理范疇。4.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的均值為\(\overline{x}\)，方差為\(s^{2}\)，若將每個(gè)數(shù)據(jù)都加上常數(shù)\(a\)，則新數(shù)據(jù)的均值和方差分別為：A.\(\overline{x}+a\)，\(s^{2}\)B.\(\overline{x}\)，\(s^{2}+a\)C.\(\overline{x}+a\)，\(s^{2}+a\)D.\(\overline{x}\)，\(s^{2}\)答案：A解析：設(shè)原數(shù)據(jù)為\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，新數(shù)據(jù)為\(y_i=x_i+a\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。新數(shù)據(jù)的均值\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+a)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a=\overline{x}+a\)。新數(shù)據(jù)的方差\(s_y^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i+a)-(\overline{x}+a)]^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2=s^{2}\)。5.對(duì)于一個(gè)二項(xiàng)分布\(X\simB(n,p)\)，其方差\(D(X)\)為：A.\(np\)B.\(np(1-p)\)C.\(n(1-p)\)D.\(p(1-p)\)答案：B解析：二項(xiàng)分布是\(n\)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)的分布。設(shè)\(X\simB(n,p)\)，\(X\)可以表示為\(X=\sum_{i=1}^{n}X_i\)，其中\(zhòng)(X_i\)服從參數(shù)為\(p\)的0-1分布，\(D(X_i)=p(1-p)\)。因?yàn)閈(X_1,X_2,\cdots,X_n\)相互獨(dú)立，根據(jù)方差的性質(zhì)\(D(X)=\sum_{i=1}^{n}D(X_i)=np(1-p)\)。6.在多元線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_kx_k+\epsilon\)中，\(\epsilon\)表示：A.自變量B.因變量C.隨機(jī)誤差項(xiàng)D.回歸系數(shù)答案：C解析：在多元線性回歸模型中，\(y\)是因變量，\(x_1,x_2,\cdots,x_k\)是自變量，\(\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_k\)是回歸系數(shù)，\(\epsilon\)是隨機(jī)誤差項(xiàng)，它反映了除自變量\(x_1,x_2,\cdots,x_k\)對(duì)因變量\(y\)的影響之外的其他隨機(jī)因素的影響。7.以下關(guān)于時(shí)間序列分析中移動(dòng)平均法的說法，錯(cuò)誤的是：A.簡單移動(dòng)平均法對(duì)各期數(shù)據(jù)賦予相同的權(quán)重B.加權(quán)移動(dòng)平均法對(duì)近期數(shù)據(jù)賦予較大的權(quán)重C.移動(dòng)平均法可以用于預(yù)測(cè)時(shí)間序列的未來值D.移動(dòng)平均法適用于具有明顯趨勢(shì)和季節(jié)性的時(shí)間序列答案：D解析：簡單移動(dòng)平均法是對(duì)時(shí)間序列的最近\(n\)個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行平均，各期數(shù)據(jù)權(quán)重相同；加權(quán)移動(dòng)平均法會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)的重要性對(duì)不同時(shí)期的數(shù)據(jù)賦予不同的權(quán)重，通常近期數(shù)據(jù)更能反映當(dāng)前的趨勢(shì)，所以賦予較大的權(quán)重；移動(dòng)平均法可以通過對(duì)歷史數(shù)據(jù)的平均來平滑數(shù)據(jù)并預(yù)測(cè)未來值。但是移動(dòng)平均法對(duì)于具有明顯趨勢(shì)和季節(jié)性的時(shí)間序列效果不佳，因?yàn)樗荒芎芎玫夭蹲节厔?shì)和季節(jié)性變化，更適用于平穩(wěn)的時(shí)間序列。8.已知兩個(gè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則以下說法正確的是：A.\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立B.\(X\)和\(Y\)不相關(guān)C.\(X\)和\(Y\)一定存在線性關(guān)系D.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)一定成立答案：B解析：協(xié)方差\(Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)，當(dāng)\(Cov(X,Y)=0\)時(shí)，稱\(X\)和\(Y\)不相關(guān)。相互獨(dú)立的隨機(jī)變量一定不相關(guān)，但不相關(guān)的隨機(jī)變量不一定相互獨(dú)立，所以A錯(cuò)誤。\(Cov(X,Y)=0\)說明\(X\)和\(Y\)不存在線性關(guān)系，C錯(cuò)誤。只有當(dāng)\(X\)和\(Y\)不相關(guān)時(shí)，\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)\)才成立，但僅\(Cov(X,Y)=0\)不能保證\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)一定成立，因?yàn)榭赡艽嬖谄渌麖?fù)雜的關(guān)系，D錯(cuò)誤。9.在精算模型中，風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)\(VaR\)（在險(xiǎn)價(jià)值）是指：A.在一定置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定時(shí)期內(nèi)的最大可能損失B.在一定置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定時(shí)期內(nèi)的最小可能損失C.某一金融資產(chǎn)或投資組合的平均損失D.某一金融資產(chǎn)或投資組合的損失標(biāo)準(zhǔn)差答案：A解析：VaR是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定時(shí)期內(nèi)的最大可能損失。例如，在95%的置信水平下，1天的VaR為100萬元，表示在未來1天內(nèi)，該資產(chǎn)或投資組合有95%的可能性損失不超過100萬元。10.若\(X\)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布\(N(0,1)\)，\(\varPhi(x)\)是其分布函數(shù)，則\(P(-1<X<1)\)等于：A.\(2\varPhi(1)-1\)B.\(\varPhi(1)-\varPhi(-1)\)C.\(1-2\varPhi(1)\)D.\(\varPhi(1)+\varPhi(-1)\)答案：A解析：因?yàn)閈(X\simN(0,1)\)，\(P(-1<X<1)=\varPhi(1)-\varPhi(-1)\)，又因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱性，\(\varPhi(-x)=1-\varPhi(x)\)，所以\(\varPhi(-1)=1-\varPhi(1)\)，則\(P(-1<X<1)=\varPhi(1)-(1-\varPhi(1))=2\varPhi(1)-1\)。11.在數(shù)據(jù)分析中，主成分分析（PCA）的主要目的是：A.尋找數(shù)據(jù)的主成分，將高維數(shù)據(jù)降維B.建立回歸模型C.進(jìn)行聚類分析D.檢測(cè)異常值答案：A解析：主成分分析是一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，其主要目的是通過線性變換將原始的高維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為一組各維度線性無關(guān)的主成分，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的降維，減少數(shù)據(jù)的維度同時(shí)保留數(shù)據(jù)的主要信息。建立回歸模型是為了分析自變量和因變量之間的關(guān)系；聚類分析是將數(shù)據(jù)對(duì)象分組；檢測(cè)異常值是識(shí)別數(shù)據(jù)中與其他數(shù)據(jù)明顯不同的值，這些都不是主成分分析的主要目的。12.對(duì)于一個(gè)離散型隨機(jī)變量\(X\)，其概率分布為\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots\)，則\(E(X^2)\)等于：A.\(\sum_{i}x_i^2p_i\)B.\((\sum_{i}x_ip_i)^2\)C.\(\sum_{i}x_ip_i^2\)D.\(\sum_{i}(x_i-E(X))^2p_i\)答案：A解析：根據(jù)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式，若\(Y=g(X)\)，則\(E(Y)=\sum_{i}g(x_i)p_i\)。對(duì)于\(Y=X^2\)，\(E(X^2)=\sum_{i}x_i^2p_i\)。\((\sum_{i}x_ip_i)^2\)是\(E(X)\)的平方；\(\sum_{i}x_ip_i^2\)沒有實(shí)際的統(tǒng)計(jì)意義；\(\sum_{i}(x_i-E(X))^2p_i\)是\(X\)的方差\(D(X)\)。13.在保險(xiǎn)精算中，純保費(fèi)是指：A.保險(xiǎn)公司為了彌補(bǔ)風(fēng)險(xiǎn)損失而收取的保費(fèi)B.包含了保險(xiǎn)公司經(jīng)營費(fèi)用的保費(fèi)C.保險(xiǎn)公司的利潤部分D.用于投資的保費(fèi)答案：A解析：純保費(fèi)是根據(jù)保險(xiǎn)標(biāo)的的風(fēng)險(xiǎn)程度和損失概率計(jì)算出來的，是保險(xiǎn)公司為了彌補(bǔ)風(fēng)險(xiǎn)損失而收取的保費(fèi)。包含保險(xiǎn)公司經(jīng)營費(fèi)用的保費(fèi)是毛保費(fèi)；保險(xiǎn)公司的利潤部分是在保費(fèi)中扣除純保費(fèi)和經(jīng)營費(fèi)用后的剩余部分；用于投資的保費(fèi)是保費(fèi)在扣除賠付和費(fèi)用等之后可用于投資的部分。14.以下哪種模型常用于信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估？A.線性回歸模型B.邏輯回歸模型C.時(shí)間序列模型D.主成分分析模型答案：B解析：邏輯回歸模型是一種廣義線性模型，它的輸出是一個(gè)概率值，非常適合用于分類問題，在信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中，可以將客戶分為違約和不違約兩類，通過邏輯回歸模型計(jì)算客戶違約的概率，從而進(jìn)行信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。線性回歸模型主要用于預(yù)測(cè)連續(xù)型變量；時(shí)間序列模型用于分析時(shí)間序列數(shù)據(jù)；主成分分析模型主要用于數(shù)據(jù)降維，它們都不太適用于信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估這種分類問題。15.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，則\(X+Y\)服從：A.\(N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})\)B.\(N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}-\sigma_2^{2})\)C.\(N(\mu_1-\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})\)D.\(N(\mu_1-\mu_2,\sigma_1^{2}-\sigma_2^{2})\)答案：A解析：若\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，且\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合仍然服從正態(tài)分布，\(X+Y\)服從\(N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})\)。其期望\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\mu_1+\mu_2\)，方差\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)=\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}\)。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下屬于數(shù)據(jù)挖掘常用方法的有：A.決策樹B.支持向量機(jī)C.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)D.關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘答案：ABCD解析：決策樹是一種基于樹結(jié)構(gòu)進(jìn)行決策的模型，可用于分類和回歸；支持向量機(jī)是一種有監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，通過尋找最優(yōu)超平面來進(jìn)行分類和回歸；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是模仿人類神經(jīng)系統(tǒng)的計(jì)算模型，具有強(qiáng)大的非線性擬合能力，可用于分類、回歸等多種任務(wù)；關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘用于發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)集中不同項(xiàng)目之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，例如購物籃分析中發(fā)現(xiàn)哪些商品經(jīng)常一起被購買。2.在精算模型中，風(fēng)險(xiǎn)的特征包括：A.客觀性B.不確定性C.可測(cè)性D.發(fā)展性答案：ABCD解析：風(fēng)險(xiǎn)是客觀存在的，不依賴于人的意志而轉(zhuǎn)移，具有客觀性；風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生時(shí)間、損失程度等是不確定的，具有不確定性；通過歷史數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)方法等可以對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生概率和損失程度進(jìn)行測(cè)量，具有可測(cè)性；隨著社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、技術(shù)等的發(fā)展，風(fēng)險(xiǎn)的形式和特征也會(huì)發(fā)生變化，具有發(fā)展性。3.關(guān)于線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)，以下說法正確的有：A.\(\beta_0\)是截距項(xiàng)B.\(\beta_1\)是斜率項(xiàng)C.\(\epsilon\)服從正態(tài)分布是最小二乘法估計(jì)的必要條件D.可以通過最小二乘法估計(jì)\(\beta_0\)和\(\beta_1\)的值答案：ABD解析：在線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)中，\(\beta_0\)是截距項(xiàng)，表示當(dāng)\(x=0\)時(shí)\(y\)的取值；\(\beta_1\)是斜率項(xiàng)，表示\(x\)每增加一個(gè)單位，\(y\)的平均變化量。最小二乘法是通過最小化殘差平方和來估計(jì)\(\beta_0\)和\(\beta_1\)的值，不需要\(\epsilon\)服從正態(tài)分布，\(\epsilon\)服從正態(tài)分布是進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)等的條件。4.時(shí)間序列的組成部分通常包括：A.長期趨勢(shì)B.季節(jié)變動(dòng)C.循環(huán)變動(dòng)D.不規(guī)則變動(dòng)答案：ABCD解析：時(shí)間序列通常由長期趨勢(shì)（數(shù)據(jù)隨時(shí)間的長期變化方向）、季節(jié)變動(dòng)（以一定的周期重復(fù)出現(xiàn)的變化）、循環(huán)變動(dòng)（周期較長且不規(guī)則的波動(dòng)）和不規(guī)則變動(dòng)（由偶然因素引起的無規(guī)律變化）組成。5.在數(shù)據(jù)分析中，常用的評(píng)估模型性能的指標(biāo)有：A.準(zhǔn)確率B.召回率C.均方誤差D.決定系數(shù)\(R^{2}\)答案：ABCD解析：準(zhǔn)確率是分類模型中預(yù)測(cè)正確的樣本數(shù)占總樣本數(shù)的比例；召回率是分類模型中實(shí)際為正例且被預(yù)測(cè)為正例的樣本數(shù)占實(shí)際正例樣本數(shù)的比例；均方誤差常用于回歸模型，是預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間誤差平方的平均值；決定系數(shù)\(R^{2}\)也是用于回歸模型，衡量回歸模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述數(shù)據(jù)清洗的主要內(nèi)容和方法。數(shù)據(jù)清洗是數(shù)據(jù)預(yù)處理的重要環(huán)節(jié)，其主要目的是去除數(shù)據(jù)中的噪聲、處理缺失值和異常值，以提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量。主要內(nèi)容包括：-處理缺失值：數(shù)據(jù)中可能存在某些變量的值缺失的情況，如調(diào)查問卷中某些問題未回答。-處理噪聲數(shù)據(jù)：噪聲數(shù)據(jù)是指數(shù)據(jù)中存在的錯(cuò)誤或偏差，可能是由于數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤、測(cè)量誤差等原因?qū)е隆?處理異常值：異常值是指與其他數(shù)據(jù)明顯不同的值，可能會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)分析結(jié)果產(chǎn)生較大影響。主要方法包括：-處理缺失值的方法：-刪除法：如果缺失值的比例較小，可以直接刪除包含缺失值的記錄或變量。-填充法：可以用均值、中位數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計(jì)量填充缺失值，也可以使用回歸模型等方法根據(jù)其他變量的值來預(yù)測(cè)缺失值。-處理噪聲數(shù)據(jù)的方法：-分箱法：將數(shù)據(jù)進(jìn)行分箱，然后對(duì)每個(gè)箱內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，如用箱的均值、中位數(shù)等代替箱內(nèi)的數(shù)據(jù)。-回歸法：通過建立回歸模型來預(yù)測(cè)噪聲數(shù)據(jù)的值并進(jìn)行修正。-處理異常值的方法：-基于統(tǒng)計(jì)的方法：如通過計(jì)算數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，將偏離均值超過一定倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)視為異常值。-基于距離的方法：計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離，將距離其他數(shù)據(jù)點(diǎn)較遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)視為異常值。2.解釋泊松分布在保險(xiǎn)精算中的應(yīng)用。泊松分布在保險(xiǎn)精算中有廣泛的應(yīng)用，主要用于描述保險(xiǎn)理賠次數(shù)的分布。-理賠次數(shù)建模：在一定的時(shí)間或空間范圍內(nèi)，保險(xiǎn)理賠事件的發(fā)生可以看作是一系列獨(dú)立的隨機(jī)事件。例如，在一年中某一地區(qū)的汽車保險(xiǎn)理賠次數(shù)、某一時(shí)間段內(nèi)某家保險(xiǎn)公司的火災(zāi)保險(xiǎn)理賠次數(shù)等。泊松分布具有無記憶性，即過去的理賠情況不影響未來理賠的概率，符合保險(xiǎn)理賠事件的特點(diǎn)。如果假設(shè)理賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布\(P(N=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，其中\(zhòng)(\lambda\)表示單位時(shí)間或空間內(nèi)理賠事件發(fā)生的平均次數(shù)。-保費(fèi)計(jì)算：通過泊松分布可以計(jì)算出不同理賠次數(shù)的概率，結(jié)合每次理賠的平均損失金額，就可以計(jì)算出保險(xiǎn)公司的期望理賠成本，從而為制定合理的保費(fèi)提供依據(jù)。例如，設(shè)每次理賠的平均損失為\(L\)，則保險(xiǎn)公司的期望理賠成本為\(E=\lambdaL\)，在考慮經(jīng)營費(fèi)用和利潤等因素后，可以確定保費(fèi)的水平。-風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估：泊松分布可以幫助保險(xiǎn)公司評(píng)估理賠次數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)。通過計(jì)算理賠次數(shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量，可以了解理賠次數(shù)的波動(dòng)情況，從而評(píng)估保險(xiǎn)公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)大小。如果方差較大，說明理賠次數(shù)的波動(dòng)較大，保險(xiǎn)公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)也較高。3.簡述主成分分析的基本步驟。主成分分析的基本步驟如下：-數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：由于不同變量的量綱和取值范圍可能不同，為了消除量綱的影響，需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。設(shè)原始數(shù)據(jù)為\(X=(x_{ij})_{n\timesp}\)，其中\(zhòng)(n\)是樣本數(shù)量，\(p\)是變量數(shù)量。標(biāo)準(zhǔn)化公式為\(z_{ij}=\frac{x_{ij}-\overline{x}_j}{s_j}\)，其中\(zhòng)(\overline{x}_j\)是第\(j\)個(gè)變量的均值，\(s_j\)是第\(j\)個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。-計(jì)算協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣：標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣\(Z=(z_{ij})_{n\timesp}\)，協(xié)方差矩陣\(S=\frac{1}{n-1}Z^TZ\)，相關(guān)系數(shù)矩陣\(R\)可以通過對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得到。-計(jì)算特征值和特征向量：對(duì)協(xié)方差矩陣\(S\)或相關(guān)系數(shù)矩陣\(R\)進(jìn)行特征值分解，即求解方程\(\vert\lambdaI-S\vert=0\)或\(\vert\lambdaI-R\vert=0\)，得到\(p\)個(gè)特征值\(\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_p\geq0\)以及對(duì)應(yīng)的特征向量\(u_1,u_2,\cdots,u_p\)。-選擇主成分：根據(jù)特征值的大小確定主成分的個(gè)數(shù)。通常選擇特征值較大的前\(k\)個(gè)主成分，使得累積貢獻(xiàn)率\(\frac{\sum_{i=1}^{k}\lambda_i}{\sum_{i=1}^{p}\lambda_i}\geq80\%\)或\(90\%\)等，其中\(zhòng)(k<p\)。-計(jì)算主成分得分：將標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)\(Z\)與選擇的特征向量矩陣\(U=(u_1,u_2,\cdots,u_k)\)相乘，得到主成分得分矩陣\(Y=ZU\)，其中\(zhòng)(Y\)的每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)主成分。四、計(jì)算題（每題15分，共30分）1.某保險(xiǎn)公司承保了1000份同類保險(xiǎn)合同，每份合同的理賠概率為0.02，且各合同的理賠情況相互獨(dú)立。設(shè)\(X\)表示這1000份合同中發(fā)生理賠的合同份數(shù)。（1）求\(X\)服從的分布，并寫出其概率分布公式。（2）計(jì)算\(X\)的期望和方差。（3）利用泊松近似計(jì)算\(P(X\leq2)\)。解：（1）因?yàn)槊糠莺贤睦碣r情況相互獨(dú)立，且每份合同的理賠概率\(p=0.02\)固定，合同份數(shù)\(n=1000\)，所以\(X\)服從二項(xiàng)分布\(X\simB(n,p)\)，即\(X\simB(1000,0.02)\)。其概率分布公式為\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)，其中\(zhòng)(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)，\(k=0,1,\cdots,n\)，所以\(P(X=k)=C_{1000}^{k}0.02^{k}(0.98)^{1000-k}\)，\(k=0,1,\cdots,1000\)。（2）對(duì)于二項(xiàng)分布\(X\simB(n,p)\)，期望\(E(X)=np\)，方差\(D(X)=np(1-p)\)。將\(n=1000\)，\(p=0.02\)代入可得：\(E(X)=np=1000\times0.02=20\)\(D(X)=np(1-p)=1000\times0.02\times(1-0.02)=1000\times0.02\times0.98=19.6\)（3）當(dāng)\(n\)很大，\(p\)很小時(shí)，二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)可以用參數(shù)為\(\lambda=np\)的泊松分布\(P(\lambda)\)近似。這里\(n=1000\)，\(p=0.02\)，則\(\lambda=np=20\)。泊松分布的概率分布公式為\(P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)。\(P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\)\(P(X=0)=\frac{e^{-20}\times20^{0}}{0!}=e^{-20}\)\(P(X=1)=\frac{e^{-20}\times20^{1}}{1!}=20e^{-20}\)\(P(X=2)=\frac{e^{-20}\times20^{2}}{2!}=200e^{-20}\)\(P(X\leq2)=e^{-20}(1+20+200)=221e^{-20}\approx221\times2.061\times10^{-9}\approx4.55\times10^{-7}\)2.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4,x_5=5\)，\(y_1=2,y_2=4,y_3