貴州2025自考[工商管理]概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類）主觀題專練一、計算題（每題10分，共30分）1.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示：|X\Y|0|1||-||||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|（1）求隨機變量X和Y的邊緣分布律；（2）求P{X+Y=1}；（3）求P{X>Y}。2.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{8}(x+y),&0\leqx\leq2,0\leqy\leq2\\0,&\text{其他}\end{cases}$（1）求隨機變量X和Y的邊緣概率密度函數(shù)；（2）判斷X和Y是否相互獨立；（3）求P{X+Y\leq2}。3.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，Y=2X+3，求Y的分布函數(shù)。二、證明題（每題10分，共20分）1.證明：若隨機變量X和Y相互獨立，則E[XY]=E[X]E[Y]。2.證明：若隨機變量X和Y的協(xié)方差為0，則X和Y不相關(guān)。三、應(yīng)用題（每題15分，共45分）1.某貴州農(nóng)產(chǎn)品公司生產(chǎn)的茶葉重量X（單位：克）服從正態(tài)分布N(150,25^2)?，F(xiàn)隨機抽取10盒茶葉，求這10盒茶葉的平均重量超過155克的概率。2.某貴州旅游公司推出“黃果樹瀑布+荔波小七孔”旅游套餐，已知游客對黃果樹瀑布的滿意度Y（單位：分）服從均勻分布U(80,100)，對荔波小七孔的滿意度Z（單位：分）服從均勻分布U(70,90)。求游客對整個旅游套餐的平均滿意度在85分以上的概率。3.某貴州白酒生產(chǎn)企業(yè)為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，對生產(chǎn)的白酒進行質(zhì)量檢測。檢測結(jié)果顯示，某批次白酒的酒精含量X（單位：%）服從正態(tài)分布N(58,3^2)?，F(xiàn)隨機抽取5瓶白酒，求這5瓶白酒的酒精含量均不低于57%的概率。答案與解析一、計算題1.（1）邊緣分布律：$P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.1+0.2=0.3$$P{X=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.3+0.4=0.7$$P{Y=0}=P{Y=0,X=0}+P{Y=0,X=1}=0.1+0.3=0.4$$P{Y=1}=P{Y=1,X=0}+P{Y=1,X=1}=0.2+0.4=0.6$（2）$P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=0.2+0.3=0.5$（3）$P{X>Y}=P{X=1,Y=0}=0.3$2.（1）邊緣概率密度函數(shù)：$f_X(x)=\int_0^2f(x,y)dy=\int_0^2\frac{1}{8}(x+y)dy=\frac{1}{8}(2x+2)=\frac{x+1}{4},0\leqx\leq2$$f_Y(y)=\int_0^2f(x,y)dx=\int_0^2\frac{1}{8}(x+y)dx=\frac{1}{8}(2+2y)=\frac{1+y}{4},0\leqy\leq2$（2）由于$f_X(x)\cdotf_Y(y)\neqf(x,y)$，所以X和Y不獨立。（3）$P{X+Y\leq2}=\int_0^1\int_0^{2-x}\frac{1}{8}(x+y)dydx=\frac{1}{8}\int_0^1(2x-2x^2)dx=\frac{1}{8}\left(x^2-\frac{2}{3}x^3\right)\bigg|_0^1=\frac{1}{24}$3.$Y=2X+3$，所以$Y$的分布函數(shù)為：$F_Y(y)=P{Y\leqy}=P{2X+3\leqy}=P{X\leq\frac{y-3}{2}}=\Phi\left(\frac{y-3}{2}\right)$二、證明題1.因為X和Y相互獨立，所以$E[XY]=E[X]E[Y]$。2.因為協(xié)方差為0，所以$E[XY]=E[X]E[Y]$，即X和Y不相關(guān)。三、應(yīng)用題1.$P{\bar{X}>155}=\Phi\left(\frac{155-150}{\frac{25}{\sqrt{10}}}\right)=\Phi(0.63)=0.7357$2.$E[Y]=\frac{80+100}{2}=90,E[Z]=\frac{70+90}{2}=80$$E[Y+Z]=90+80=170,E[(Y+Z)^2]=D[Y+Z]+(E[Y+Z])^2=\frac{(100-80)^2+(90-70)^2}{12}+170^2=18250$$P{E[Y+Z]>85}=\Phi\left(\frac{170-85}{\sqrt{18250}}\right)=\Phi(2.23)=0.9871$3.$P{X\geq57}=\Phi\left(\frac{57-58}{3}\right)=\Phi(-0.33)