4.5.3

函數(shù)模型的應(yīng)用第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)①會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.②能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題.③了解擬合函數(shù)模型并解決實(shí)際問題.④認(rèn)識(shí)函數(shù)概念模型的作用，提高數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重點(diǎn)：用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程.難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型分析和解決實(shí)際問題.課堂導(dǎo)入情境復(fù)利，是指在計(jì)算利息時(shí)，某一計(jì)息周期的利息是由本金加上先前周期所積累利息總額來計(jì)算的計(jì)息方式.按復(fù)利計(jì)算利率的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期的利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，要知道存一定期限之后所得的本利和，就要寫出本利和y隨著存期x變化的函數(shù)式.假設(shè)存入的本金為1000元，每期的利率為2.25%.課堂導(dǎo)入問題思考1

五期后的本利和是多少?解決這一問題，首先要建立一個(gè)指數(shù)函數(shù)關(guān)系式，即y=a(1+r)x，將相應(yīng)的數(shù)據(jù)代入該關(guān)系式就可得到五期后的本利和.課堂導(dǎo)入思考2

(1)實(shí)際問題中兩個(gè)變量之間一定是確定的函數(shù)關(guān)系嗎?(2)函數(shù)模型中，要求定義域只需使函數(shù)式有意義就可以嗎？(3)用函數(shù)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果和實(shí)際結(jié)果必須相等嗎？兩個(gè)變量之間可以有關(guān)系，但不一定是確定的函數(shù)關(guān)系.函數(shù)模型中定義域必須滿足實(shí)際意義.擬合函數(shù)預(yù)測(cè)的結(jié)果近似地符合實(shí)際結(jié)果即可.問題課堂探究探究一常見的函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型(2)二次函數(shù)模型(3)指數(shù)函數(shù)模型(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型(5)冪函數(shù)模型

(6)分段函數(shù)模型課堂探究探究一常見的函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型y=bax+c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0，且a≠1)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=mlogax+n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0，且a≠1)(5)冪函數(shù)模型

y=axn+b(a，b為常數(shù)，a≠0)(6)分段函數(shù)模型課堂探究探究二應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程解答函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的步驟：(1)審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；(2)建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模——求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型的解；(4)還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題.注意：要判斷取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符.課堂探究1.判斷(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)在一次函數(shù)模型中，系數(shù)k的取值會(huì)影響函數(shù)的性質(zhì).(

)(2)在冪函數(shù)模型的解析式中，a的正負(fù)會(huì)影響函數(shù)的單調(diào)性.(

)√√【小試牛刀】課堂探究2.某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費(fèi)為：電動(dòng)車每輛一次0.3元，自行車每輛一次0.2元.若該天自行車存車x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為(

)A.y=0.2x(0≤x≤4000)B.y=0.5x(0≤x≤4000)C.y=?0.1x+1200(0≤x≤4000)D.y=0.1x+1200(0≤x≤4000)C【小試牛刀】課堂探究3.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是(

)A.y=2x B.y=2x?1C.y=2x D.y=2x+1D【小試牛刀】課堂探究4.若某物體一天內(nèi)的溫度T(單位：℃)是時(shí)間t(單位：h)的函數(shù)：T(t)=t3?3t+60，t=0時(shí)表示中午12：00，則上午8：00時(shí)的溫度為

℃.

8【小試牛刀】課堂探究例1

目前某縣有100萬人，經(jīng)過x年后為y萬人.如果年平均增長率是1.2%，請(qǐng)回答下列問題：(參考數(shù)據(jù)：1.01210≈1.1267，1.01211≈1.1402，log1.0121.2≈15.3)(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；探究三已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題解(1)當(dāng)x=1時(shí)，y=100+100×1.2%=100(1+1.2%)；當(dāng)x=2時(shí)，y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2；當(dāng)x=3時(shí)，y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2×1.2%=100(1+1.2%)3；….故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=100(1+1.2%)x(x∈N*).課堂探究例1

目前某縣有100萬人，經(jīng)過x年后為y萬人.如果年平均增長率是1.2%，請(qǐng)回答下列問題：(參考數(shù)據(jù)：1.01210≈1.1267，1.01211≈1.1402，log1.0121.2≈15.3)(2)計(jì)算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；探究三已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題(2)當(dāng)x=10時(shí)，y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7.故10年后該縣約有112.7萬人.課堂探究例1

目前某縣有100萬人，經(jīng)過x年后為y萬人.如果年平均增長率是1.2%，請(qǐng)回答下列問題：(參考數(shù)據(jù)：1.01210≈1.1267，1.01211≈1.1402，log1.0121.2≈15.3)(3)計(jì)算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(精確到1年).探究三已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題

課堂探究規(guī)律方法1.指數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸閥=N(1+p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時(shí)間)的形式.課堂探究規(guī)律方法2.對(duì)數(shù)函數(shù)模型有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)關(guān)系式，要求根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)關(guān)系式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入關(guān)系式求值，然后根據(jù)所求值回答其實(shí)際意義.課堂探究規(guī)律方法3.已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題往往給出的函數(shù)解析式含有參數(shù)，需要將題中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型，求得函數(shù)模型中的參數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式求函數(shù)值或自變量的值.【跟蹤訓(xùn)練1】

課堂探究

課堂探究例2

某市“網(wǎng)約車”的現(xiàn)行計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是：路程在2km以內(nèi)(含2km)按起步價(jià)8元收取，超過2km后的路程按1.9元/km收取，但超過10km后的路程需加收50%的返空費(fèi)(即單價(jià)為1.9×(1+50%)=2.85元/km).(1)將某乘客搭乘一次“網(wǎng)約車”的費(fèi)用f(x)(單位：元)表示為行程x(0<x≤60，單位：km)的分段函數(shù)；探究四建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問題

課堂探究例2

某市“網(wǎng)約車”的現(xiàn)行計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是：路程在2km以內(nèi)(含2km)按起步價(jià)8元收取，超過2km后的路程按1.9元/km收取，但超過10km后的路程需加收50%的返空費(fèi)(即單價(jià)為1.9×(1+50%)=2.85元/km).(2)某乘客的行程為16km，他準(zhǔn)備先乘一輛“網(wǎng)約車”行駛8km后，再換乘另一輛“網(wǎng)約車”完成余下行程，請(qǐng)問：他這樣做是否比只乘一輛“網(wǎng)約車”完成全部行程更省錢?請(qǐng)說明理由.探究四建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問題(2)只乘一輛車的車費(fèi)為f(16)=2.85×16?5.3=40.3(元)，換乘2輛車的車費(fèi)為2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元).因?yàn)?0.3>38.8，所以該乘客換乘比只乘一輛車更省錢.課堂探究規(guī)律方法

課堂探究規(guī)律方法2.利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)方法：根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法及利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題.注意：取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符.課堂探究規(guī)律方法3.應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.(3)分段函數(shù)的值域求法為逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.【跟蹤訓(xùn)練2】

課堂探究

【跟蹤訓(xùn)練2】

課堂探究(2)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，f(x)=?(x?150)2+12500，所以當(dāng)x=150時(shí)，有最大值12500；當(dāng)x>200時(shí)，f(x)=30000?100x是減函數(shù)，f(x)<30000?100×200<12500.所以當(dāng)x=150時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為12500.所以當(dāng)每月生產(chǎn)150臺(tái)儀器時(shí)，利潤最大，最大利潤為12500元.課堂探究例3

某紀(jì)念章從2024年6月1日起開始上市.通過市場(chǎng)調(diào)查，得到該紀(jì)念章每枚的市場(chǎng)價(jià)y(單位：元)與上市時(shí)間x(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)結(jié)合散點(diǎn)圖，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說明理由：①y=ax+b；②y=ax2+bx+c；③y=alogbx；(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格.探究五根據(jù)擬合效果選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問題上市時(shí)間x天41036市場(chǎng)價(jià)y元905190課堂探究

課堂探究規(guī)律方法建立函數(shù)模型應(yīng)遵循的三個(gè)原則簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素、主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型.可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能做理論分析，又能計(jì)算、推理，且能得出正確結(jié)論.反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題.【跟蹤訓(xùn)練3】蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)價(jià)值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場(chǎng).某人準(zhǔn)備進(jìn)軍蘆薈市場(chǎng)，栽培蘆薈，為了了解行情，進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/10kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)情況如表：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)最能反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a·bt，Q=alogbt，并說明理由；(2)利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本.課堂探究t50110250Q150108150課堂探究

評(píng)價(jià)反饋解析由題中圖象知，在不同時(shí)段內(nèi)，路程折線圖不同，故對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型為分段函數(shù).1.

如果一輛汽車在某段路途中的行駛路程s關(guān)于時(shí)間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是(

)A.分段函數(shù)

B.二次函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù)

D.對(duì)數(shù)型函數(shù)A評(píng)價(jià)反饋解析當(dāng)x=1時(shí)，由3000=alog3(1+2)，得a=3000，所以到2026年冬，即第7年，y=3000×log3(7+2)=6000.故選C.2.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y(單位：只)與時(shí)間x(單位：年)近似滿足關(guān)系y=alog3(x+2)，觀測(cè)發(fā)現(xiàn)2020年冬(作為第1年)有越冬白鶴3000只，估計(jì)到2026年冬有越冬白鶴(

)A.4000只 B.5000只C.6000只 D.7000只C評(píng)價(jià)反饋解析設(shè)甲地銷售x輛，則乙地銷售(15?x)輛，從而總利潤為S=(5.06x?0.15x2)+2(15?x)=?0.15x2+3.06x+30(0≤x≤15，x∈N).顯然，當(dāng)x=10時(shí)，S取得最大值S=45.6.故選B.3.

某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1=5.06x?0.15x2和L2=2x，其中x為銷售量(單位：輛).若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為(

)A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51B評(píng)價(jià)反饋解析由平均增長率的定義可知，(1+x)20=4.故選D.4.某工廠引進(jìn)先進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)，產(chǎn)品產(chǎn)量從2023年1月到2024年8月的20個(gè)月間翻了兩番，設(shè)月平均增長率為x，則有(

)A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=4D評(píng)價(jià)反饋5.

某種計(jì)算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的，下表是某公司前5天監(jiān)測(cè)到的數(shù)據(jù)：則下列函數(shù)模型中，能較好地反映計(jì)算機(jī)在第x天被感染的數(shù)量y與x之間的關(guān)系的是(

)A.y=10x B.y=5x2?5x+10 C.y=10log2x+10 D.y=5×2xD第x天12345被感染的計(jì)算機(jī)數(shù)量y/臺(tái)10203981160評(píng)價(jià)反饋解析對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x=1，2，3，4，5時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值分別為10，20，30，40，50；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)x=1，2，3，4，5時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值分別為10，20，40，70，110；對(duì)于C