3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)明確目標發(fā)展素養(yǎng)1.掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型及特點2.能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實際問題1.通過建立函數(shù)模型解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)2.借助實際問題中的最值問題，提升數(shù)學運算素養(yǎng)知識點函數(shù)的應(yīng)用(一)教材梳理填空1．三類常見函數(shù)模型：2.數(shù)學建模、解模的過程：(二)基本知能小試1．判斷正誤：(1)用來擬合散點圖的函數(shù)圖象一定要經(jīng)過所有點．

(

)(2)當x每增加一個單位時，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數(shù)．(

)(3)在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度y(單位：℃)隨著時間t(單位：min)變化的情況由計算機記錄后顯示的圖象如圖所示．由圖可知前5min溫度升高越來越快．

(

)答案：(1)×

(2)√

(3)×2．某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費為：電動自行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛．若該天普通自行車存車x輛次，存車費總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為

(

)A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)答案：C題型一一次函數(shù)模型

【學透用活】[典例1]某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價為50元，其成本為25元，因為在生產(chǎn)過程中，平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，為了凈化環(huán)境，所以工廠設(shè)計兩個方案進行污水處理，并準備實施．方案1：工廠污水先凈化后再排出，每處理1立方米污水所耗原料費2元，并且每月排污設(shè)備損耗費為30000元．方案2：工廠污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元排污費．(1)若工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品，你作為廠長，在既不污染環(huán)境又節(jié)約資金的前提下，應(yīng)選擇哪個處理污水的方案？請通過計算加以說明．(2)若工廠每月生產(chǎn)6000件時，你作為廠長又該如何決策呢？[解]

設(shè)工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品時，依方案1的利潤為y1，依方案2的利潤為y2，則y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000，y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)當x＝3000時，y1＝42000，y2＝54000.因為y1<y2，故應(yīng)選擇方案2處理污水．(2)當x＝6000時，y1＝114000元，y2＝108000元．因為y1>y2，故應(yīng)選擇方案1處理污水．建立一次函數(shù)模型，常設(shè)為y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系數(shù)法求出k，b的值，再根據(jù)單調(diào)性求最值，或利用方程、不等式思想解題．【對點練清】車管站在某個星期日保管的自行車和電動車共3500輛次，其中電動車保管費是每輛一次0.5元，自行車保管費是每輛一次0.3元．(1)若設(shè)自行車停放的輛次為x，總的保管費收入為y元，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若估計前來停放的3500輛次自行車和電動車中，電動車的輛次數(shù)不小于25%，但不大于40%，試求該車管站這個星期日收入保管費總數(shù)的范圍．解：(1)由題意得y＝0.3x＋0.5(3500－x)＝－0.2x＋1750(x∈N*且0≤x≤3500)．(2)若電動車的輛次數(shù)不小于25%，但不大于40%，則3500×(1－40%)≤x≤3500×(1－25%)，即2100≤x≤2625.畫出函數(shù)y＝－0.2x＋1750(2100≤x≤2625)的圖象(圖略)，可得函數(shù)y＝－0.2x＋1750(2100≤x≤2625)的值域是[1225,1330]，即收入在1225元至1330元之間．題型二二次函數(shù)模型

【學透用活】[典例2]牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實際蓄養(yǎng)量不能達到最大蓄養(yǎng)量，必須留出適當?shù)目臻e率．已知羊群的年增長量y只和實際蓄養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)求羊群年增長量的最大值；(3)當羊群的年增長量達到最大值時，求k的取值范圍．解決二次函數(shù)模型應(yīng)用題的四個步驟題型三冪函數(shù)模型

【學透用活】能用冪型函數(shù)f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)表達的函數(shù)模型叫做冪函數(shù)模型，其增長情況隨xα中α的取值而定，常見的有二次函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型．[典例3]眾所周知，大包裝商品的成本要比小包裝商品的成本低．某種品牌的餅干，其100克裝的售價為1.6元，400克裝的售價為4.8元，假定該商品的售價由三部分組成：生產(chǎn)成本、包裝成本、利潤．生產(chǎn)成本與餅干質(zhì)量成正比且系數(shù)為m，包裝成本與餅干質(zhì)量的算術(shù)平方根成正比且系數(shù)為n，利潤率為20%，試寫出該種餅干900克裝的合理售價．解決冪函數(shù)模型的四個步驟(1)認真閱讀，理解題意．(2)用數(shù)學符號表示相關(guān)量，列出函數(shù)解析式．(3)根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)推導運算，求得結(jié)果．(4)轉(zhuǎn)化成具體問題，給出解答．

【對點練清】在固定壓力差(壓力差為常數(shù))下，當氣體通過圓形管道時，其流量R與管道半徑r的四次方成正比．(1)寫出函數(shù)解析式；(2)假設(shè)氣體在半徑為3cm的管道中的流量為400cm3/s，求該氣體通過半徑為rcm的管道時，其流量R的函數(shù)解析式；(3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5cm，計算該氣體的流量．(1)現(xiàn)實生活中有很多問題都是用分段函數(shù)表示的，如出租車計費、個人所得稅等．分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型．(2)分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其看成幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

【對點練清】某公司為提高員工的綜合素質(zhì)，聘請專業(yè)機構(gòu)對員工進行專業(yè)技術(shù)培訓，其中培訓機構(gòu)費用成本為12000元．公司每位員工的培訓費用按以下方式與該機構(gòu)結(jié)算：若公司參加培訓的員工不超過30人時，每人的培訓費用為850元；若公司參加培訓的員工多于30人時，則給予優(yōu)惠，每多一人，培訓費減少10元．已知該公司最多有60位員工可參加培訓，設(shè)參加培訓的員工為x人，每位員工的培訓費為y元，培訓機構(gòu)的利潤為Q元．(1)寫出y與x(x＞0，x∈N*)之間的函數(shù)解析式．(2)當公司參加培訓的員工為多少人時，培訓機構(gòu)可獲得最大利潤？請求出最大利潤．解：(1)當0＜t≤10時，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函數(shù)，當20＜t≤40時，f(t)＝－7t＋380是減函數(shù)，且f(10)＝f(20)＝240，所以講課開始10min，學生的注意力最集中，能持續(xù)10min.(2)因為f(5)＝195，f(25)＝205，所以講課開始后25min比講課開始后5min學生的注意力更集中．(