高中集合的概念及練習(xí)題大全集合，作為高中數(shù)學(xué)的開篇內(nèi)容，不僅是整個數(shù)學(xué)體系中的基礎(chǔ)語言，也是我們后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)、不等式、概率統(tǒng)計等眾多知識的重要工具。掌握集合的概念、表示方法以及基本運算，對于培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和解決實際問題的能力至關(guān)重要。本文將系統(tǒng)梳理高中階段集合的核心知識，并配以精心挑選的練習(xí)題，希望能幫助同學(xué)們扎實掌握這一基礎(chǔ)內(nèi)容。一、集合的基本概念1.1集合與元素我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集）。集合通常用大寫拉丁字母表示，如A、B、C等；元素則用小寫拉丁字母表示，如a、b、c等。元素的特性：*確定性：給定一個集合，任何一個元素是否屬于這個集合是確定的。也就是說，對于一個集合A和一個元素x，要么x屬于A，記作x∈A；要么x不屬于A，記作x?A，二者必居其一。例如，“所有成績好的同學(xué)”不能構(gòu)成集合，因為“成績好”沒有明確標(biāo)準(zhǔn)；而“某次考試中成績在80分以上的同學(xué)”則可以構(gòu)成集合。*互異性：一個集合中的元素是互不相同的。也就是說，集合中的元素不會重復(fù)出現(xiàn)。例如，集合{1,2,2,3}應(yīng)簡化為{1,2,3}。*無序性：集合中的元素沒有先后順序之分。例如，集合{1,2,3}與{3,2,1}是同一個集合。1.2集合的表示方法常用的集合表示方法有以下幾種：*列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法。例如：由數(shù)字1，2，3組成的集合可表示為{1,2,3}；方程x2-5x+6=0的解集可表示為{2,3}。列舉法適用于元素個數(shù)有限且較少的集合，或元素有明顯規(guī)律的無限集（如正整數(shù)集可表示為{1,2,3,...}）。*描述法：用集合所含元素的共同特征來表示集合的方法。一般形式為{x|P(x)}，其中x是集合的代表元素，P(x)是元素x所滿足的條件（或?qū)傩裕?。例如：不等式x-3>0的解集可表示為{x|x>3}；所有偶數(shù)組成的集合可表示為{x|x是偶數(shù)}，或更簡潔地，{x|x=2k,k∈Z}（其中Z表示整數(shù)集）。描述法是表示集合的一種重要方法，尤其適用于元素個數(shù)較多或無限的集合。*圖示法（Venn圖）：用平面上封閉曲線的內(nèi)部來表示集合的方法。這種方法直觀形象，常用于表示集合之間的關(guān)系和運算。在解題思路分析時非常有用，但一般不作為集合的嚴(yán)格表示形式。1.3常用數(shù)集及其記法為了方便，數(shù)學(xué)中常用一些特定的符號來表示某些數(shù)集：*N：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），包括0,1,2,3,...*N\*或N?：正整數(shù)集，即1,2,3,...（注意：有些教材中N可能不包含0，具體請以所用教材為準(zhǔn)，此處采用多數(shù)教材的定義）*Z：整數(shù)集，包括...,-2,-1,0,1,2,...*Q：有理數(shù)集，即整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱。*R：實數(shù)集，即有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱。這些符號是數(shù)學(xué)交流的通用語言，同學(xué)們務(wù)必牢記。二、集合間的基本關(guān)系我們研究集合時，常常需要比較不同集合之間的關(guān)系。2.1子集如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作A?B（或B?A），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）。例如：集合{1,2}是集合{1,2,3}的子集，即{1,2}?{1,2,3}。任何一個集合都是它本身的子集，即A?A。我們規(guī)定：空集是任何集合的子集，即??A（其中?表示空集，即不含任何元素的集合）。2.2真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，記作A?B（或B?A），讀作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。例如：集合{1,2}是集合{1,2,3}的真子集，即{1,2}?{1,2,3}?？占侨魏畏强占系恼孀蛹?。2.3集合相等如果集合A的所有元素都是集合B的元素，同時集合B的所有元素也都是集合A的元素，那么就說集合A與集合B相等，記作A=B。也就是說，若A?B且B?A，則A=B。例如：若A={x|x2-4=0}，B={-2,2}，則A=B。三、集合的基本運算集合的運算主要包括交集、并集和補集。3.1交集由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的交集，記作A∩B（讀作“A交B”），即A∩B={x|x∈A且x∈B}。交集的Venn圖表示為兩個集合重疊的部分。例如：若A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，則A∩B={3,4}。性質(zhì)：A∩A=A；A∩?=?；A∩B=B∩A。3.2并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的并集，記作A∪B（讀作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。（注意：這里的“或”是數(shù)學(xué)中的“可兼或”，即可以同時屬于A和B）并集的Venn圖表示為兩個集合所覆蓋的全部區(qū)域。例如：若A={1,2,3}，B={3,4,5}，則A∪B={1,2,3,4,5}。性質(zhì)：A∪A=A；A∪?=A；A∪B=B∪A。3.3補集一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U。對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫做集合A相對于全集U的補集（或余集），記作?UA（讀作“A在U中的補集”），即?UA={x|x∈U且x?A}。補集的Venn圖表示為全集U中除去集合A所占區(qū)域后剩余的部分。例如：設(shè)全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，則?UA={2,4}。性質(zhì)：A∪?UA=U；A∩?UA=?；?U(?UA)=A。四、練習(xí)題大全基礎(chǔ)鞏固1.選擇題(1)下列各組對象中，能構(gòu)成集合的是（）A.所有高個子的人B.著名的科學(xué)家C.小于5的正整數(shù)D.非常接近0的數(shù)(2)若集合A={x|x2-4=0}，則下列關(guān)系正確的是（）A.2?AB.-2∈AC.?∈AD.A={-2}(3)已知集合M={0,1,2}，則下列各式正確的是（）A.{0}∈MB.0?MC.{1}?MD.2?M(4)設(shè)集合A={x|x<3}，B={x|x≥1}，則A∩B=（）A.{x|x<3}B.{x|x≥1}C.{x|1≤x<3}D.?(5)設(shè)全集U=R，集合A={x|x>1}，則?UA=（）A.{x|x>1}B.{x|x≤1}C.{x|x<1}D.R2.填空題(1)用列舉法表示集合：{x|x是不大于10的正奇數(shù)}=____________。(2)集合A={a,b,c}的所有子集個數(shù)為______，真子集個數(shù)為______。(3)已知集合A={1,2,m}，B={2,3}，若B?A，則m=______。(4)設(shè)A={x|-1<x<2}，B={x|0≤x≤3}，則A∪B=____________，A∩B=____________。(5)已知全集U={1,2,3,4,5}，A={2,4}，則?UA=____________，?U(?UA)=____________。3.解答題(1)已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|x2-x-6=0}，求A∩B，A∪B。(2)已知全集U={x|x是小于9的正整數(shù)}，集合A={1,2,3}，B={3,4,5,6}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)。能力提升1.已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}。若B?A，求實數(shù)m的取值范圍。2.設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，且A∪B=A，求實數(shù)a組成的集合C。3.已知集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若A∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍。4.設(shè)全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥5}，B={x|2<x<6}，求(?UA)∩B，A∪(?UB)。5.某班有學(xué)生50人，其中參加數(shù)學(xué)興趣小組的有28人，參加物理興趣小組的有23人，既參加數(shù)學(xué)興趣小組又參加物理興趣小組的有10人，問：(1)只參加數(shù)學(xué)興趣小組的有多少人？(2)只參加物理興趣小組的有多少人？(3)至少參加一個興趣小組的有多少人？(4)兩個興趣小組都不參加的有多少人？五、練習(xí)題答案與提示基礎(chǔ)鞏固1.選擇題(1)C（提示：A、B、D中的對象不具有確定性）(2)B（提示：A={-2,2}）(3)C（提示：元素與集合是屬于關(guān)系，集合與集合是包含關(guān)系）(4)C(5)B2.填空題(1){1,3,5,7,9}(2)8,7（提示：n個元素的集合子集數(shù)為2?，真子集數(shù)為2?-1）(3)3（提示：B中的元素都在A中）(4){x|-1<x≤3},{x|0≤x<2}(5){1,3,5},{2,4}3.解答題(1)解：A={2,3}，B={-2,3}。所以A∩B={3}，A∪B={-2,2,3}。(2)解：U={1,2,3,4,5,6,7,8}。?UA={4,5,6,7,8}，?UB={1,2,7,8}。(?UA)∩(?UB)={7,8}，(?UA)∪(?UB)={1,2,4,5,6,7,8}。（也可利用德摩根定律：(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)進行驗證）能力提升1.提示：注意B可能為空集的情況。解：①當(dāng)B=?時，m+1>2m-1，解得m<2。②當(dāng)B≠?時，需滿足m+1≤2m-1，m+1≥-2，2m-1≤5。解得2≤m≤3。綜上，m的取值范圍是m≤3。2.提示：A∪B=A意味著B?A。注意B可能為空集。解：A={1,2}。因為A∪B=A，所以B?A。①當(dāng)B=?時，ax-2=0無解，即a=0。②當(dāng)B≠?時，x=2/a∈A。若2/a=1，則a=2；若2/a=2，則a=1。所以實數(shù)a組成的集合C={0,1,2}。3.提示：A∩B=B意味著B?A。注意B可能為空集。解：因為A∩B=B，所以B?A。①當(dāng)B=?時，2a>a+3，解得a>3。②當(dāng)B≠?時，需滿足a+3<-1或2a>4，且2a≤a+3。即a<-4或2<a≤