-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊全部內(nèi)容。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知直線與直線垂直，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知向量，，若，則的值為（）A．1B．C． D．3．若橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為8，且過點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．C． D．4．過直線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則線段長度的最小值為（

）A．6 B．4 C． D．5．已知點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)為F，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．36．已知四棱錐的底面為平行四邊形，過點(diǎn)的平面分別交側(cè)棱，，于，，三點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．7．設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．如圖，在棱長為2的正方體中，是正方形的中心，是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的軌跡長度是（

）

A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，，，，則（

）A．直線的單位方向向量是B．平面的一個(gè)法向量是C．四點(diǎn)共面D．點(diǎn)到直線的距離為10．已知直線，圓，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為5B．的最大值為C．的最大值為D．圓心到直線的距離最大為411．已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與的一條漸近線切于點(diǎn)，過的直線與交于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，若的離心率，則（

）A．B．的最小值為C．若，則D．若、同在的左支上，則直線的斜率第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．直線過點(diǎn)與直線平行，則這兩條平行直線之間的距離為．13．在四面體中，點(diǎn)為的重心，，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù).14．拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上兩點(diǎn)滿足：，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若點(diǎn)是圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知直線經(jīng)過點(diǎn).（直線要求化成一般式）(1)若向量是直線的一個(gè)方向向量，求直線的方程；(2)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.16．（15分）已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．(1)求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)設(shè)圓與曲線的交點(diǎn)為M、N，求線段MN的長．17．（15分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，且過點(diǎn)，過點(diǎn)的一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若，試求直線的方程.18．（17分）折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng).“菱角”折紙教程：如圖1，將一張長方形的紙條用虛線分成6個(gè)全等的等腰直角三角形，沿著虛線折疊便可得到一個(gè)如圖2所示的“菱角”.

(1)證明：平面；(2)試判斷該“菱角”所有的頂點(diǎn)是否在同一個(gè)球面上，并說明理由；(3)求二面角的余弦值.19．（17分）已知雙曲線經(jīng)過，，三個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)，若為原點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且.(1)求的漸近線方程：(2)求面積S的最小值：(3)證明：直線與定圓相切，并求出該定圓的方程.

2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊全部內(nèi)容。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知直線與直線垂直，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩直線垂求出直線的斜率，然后求得直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，即，設(shè)直線的傾斜角，則，所以直線的傾斜角.故選：C.2．已知向量，，若，則的值為（）A．1 B．C． D．【答案】D【分析】利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算律與空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可求出的值.【詳解】由已知得，，且，由得，，即，解得故選：D3．若橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為8，且過點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】分焦點(diǎn)在軸上或軸上，兩種情況，結(jié)合橢圓性質(zhì)討論求解即可.【詳解】因?yàn)榻咕酁?，所以，即．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，橢圓過點(diǎn)，則，此時(shí)，橢圓不存在，舍去；若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，橢圓過點(diǎn)，則，此時(shí)，，所以，橢圓存在，故橢圓的焦點(diǎn)在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C4．過直線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則線段長度的最小值為（

）A．6 B．4 C． D．【答案】B【分析】由題意可得，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線段長度的最小，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的最小值即可得解.【詳解】圓的圓心，半徑，由題意可得，則，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線段長度的最小，則，所以.故選：B.5．已知點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)為F，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】利用拋物線定義與三角形兩邊之和大于第三邊計(jì)算即可得.【詳解】過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，由拋物線定義可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線，拋物線的準(zhǔn)線，即時(shí)，有最小值.故選：B.6．已知四棱錐的底面為平行四邊形，過點(diǎn)的平面分別交側(cè)棱，，于，，三點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算表示，利用共面求出參數(shù)，據(jù)此求出即可得解.【詳解】如圖，設(shè)，則．又，，，四點(diǎn)共面，所以，解得，所以，，得．故選：A7．設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式可得，設(shè)，則可借助面積公式與等面積法得到，再利用離心率公式計(jì)算即可得解.【詳解】不妨設(shè)垂足在第一象限，由題意可知與漸近線垂直，如圖所示，則，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，又，所以．設(shè)，則，得，從而，由，解得，由，得，解得．從而可得，所以離心率．故選：D．8．如圖，在棱長為2的正方體中，是正方形的中心，是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的軌跡長度是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目建立空間直角坐標(biāo)系，再利用題干給出的條件列方程，找出軌跡端點(diǎn)進(jìn)而算出軌跡長度.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)，則，，，又，，整理得，聯(lián)立方程，則，可得，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，記的中垂面為，又是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，在空間中滿足，點(diǎn)的軌跡是平面與三角形的公共部分，即點(diǎn)的軌跡為線段,則,故選：.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，，，，則（

）A．直線的單位方向向量是B．平面的一個(gè)法向量是C．四點(diǎn)共面D．點(diǎn)到直線的距離為【答案】BC【分析】對于A：利用直線的單位方向向量為，可判斷；對于B：設(shè)平面的法向量是，利用，可得；對于C：利用向量共面定理與向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷；對于D：利用空間向量點(diǎn)到線的距離公式可判斷.【詳解】對于A：因?yàn)?，，所以直線的單位方向向量是或（注意直線的單位方向向量有2個(gè)，是相反向量），故A錯(cuò)誤；對于B：設(shè)平面的法向量是，因?yàn)?，，所以則.令，可得，故B正確；對于C：由題意得，則，所以，四點(diǎn)共面，故C正確;對于D：，，，則點(diǎn)到直線的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．已知直線，圓，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為5B．的最大值為C．的最大值為D．圓心到直線的距離最大為4【答案】BC【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于A，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.，是圓上的點(diǎn)，所以的最大值為，A錯(cuò)誤.對于B，如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，且，B正確.對于C，設(shè)，則，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以C正確.對于D，圓心到直線的距離，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以D錯(cuò)誤.故選：BC11．已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與的一條漸近線切于點(diǎn)，過的直線與交于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，若的離心率，則（

）A．B．的最小值為C．若，則D．若、同在的左支上，則直線的斜率【答案】ACD【分析】利用焦點(diǎn)到漸近線的距離可得出的值，再結(jié)合雙曲線的離心率可求得、的值，再結(jié)合余弦定理可求出，可判斷A選項(xiàng)；取直線的斜率為，求出的值，可判斷B選項(xiàng)；利用雙曲線的定義可判斷C選項(xiàng)；設(shè)直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及判別式求出的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，設(shè)雙曲線的一條漸近線為，即，則到直線的距離為，因?yàn)橐詾閳A心的圓與相切于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，即，則，又，即，所以，.在中，，在中，，，，所以，故A正確；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，、兩點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，則，又因?yàn)?，即的最小值不可能為，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，又，且，所以在的右支上，所以，所以，故C正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，因?yàn)橹本€與雙曲線交于右支的兩點(diǎn)，所以，，解得或，D對.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．直線過點(diǎn)與直線平行，則這兩條平行直線之間的距離為．【答案】/【分析】先直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求直線的方程，再利用兩直線平行求出的值，最后利用平行直線間距離公式計(jì)算.【詳解】直線的斜率為，則直線的方程為，即，因直線與直線平行，則，得，則直線與之間的距離為.故答案為：13．在四面體中，點(diǎn)為的重心，，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù).【答案】3【分析】以為基底，將均用基底表示出來，利用表示的唯一性即可求出k的值．【詳解】如圖，連接，則，故，而，故．故答案為：3．14．拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上兩點(diǎn)滿足：，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若點(diǎn)是圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出直線過定點(diǎn)，進(jìn)而確定點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求出的最大值.【詳解】在拋物線中，若，即，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知直線過定點(diǎn).下面證明：設(shè)，.因?yàn)?，則，時(shí)，.直線的斜率.直線方程為，即.把代入得.所以直線過定點(diǎn)，如下圖：因?yàn)?，所以點(diǎn)是以為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn).的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.則點(diǎn)的軌跡方程為（）.點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（除去原點(diǎn)），點(diǎn)在圓上，圓的圓心為，半徑.兩圓的圓心距.的最大值為圓心距加上兩圓的半徑，即.故答案為：8.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知直線經(jīng)過點(diǎn).(1)若向量是直線的一個(gè)方向向量，求直線的方程；(2)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)給定的方向向量，求出直線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否為0，結(jié)合直線的截距式方程分類求解即得.【詳解】（1）由向量是直線的一個(gè)方向向量，得直線的斜率，又經(jīng)過點(diǎn)，則方程為：，即：，所以直線的方程為.（2）依題意，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，而直線又過點(diǎn)，則直線的方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則有，解得，即直線的方程為，所以直線的方程為或.16．（15分）已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．(1)求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)設(shè)圓與曲線的交點(diǎn)為M、N，求線段MN的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，分別設(shè)出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合圓的方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，先得到兩圓的公共弦方程，再由弦長公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，所以，，于是有①，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，即：②，把①代入②，得，整理，得，所以點(diǎn)P的軌跡的方程為．（2）將圓與圓的方程相減得：，由圓的圓心為，半徑為1，且到直線的距離，則.17．（15分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，且過點(diǎn)，過點(diǎn)的一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若，試求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用橢圓過已知點(diǎn)以及向量數(shù)量積的條件，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.（2）先分析特殊情況（直線與軸垂直），再設(shè)出直線的斜截式方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合線段長度的比例關(guān)系建立方程，求解直線的斜率，進(jìn)而得到直線方程.【詳解】（1）根據(jù)題意作圖如下：

設(shè)，橢圓過點(diǎn)，所以有，，又，則，所以，則，所以，整理得，因?yàn)椋越獾?，故橢圓的方程為.（2）根據(jù)題意作圖如下：

若，則.當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，其方程為，則，，不滿足題意.設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得，整理得，即.設(shè)，則①，②.因?yàn)?，在直線上，且在的兩側(cè)，所以，則，所以③.由①③解得，代入②，得解得，所以直線的方程為，即或，綜上，直線的方程是或.18．（17分）折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng).“菱角”折紙教程：如圖1，將一張長方形的紙條用虛線分成6個(gè)全等的等腰直角三角形，沿著虛線折疊便可得到一個(gè)如圖2所示的“菱角”.

(1)證明：平面；(2)試判斷該“菱角”所有的頂點(diǎn)是否在同一個(gè)球面上，并說明理由；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)不是，理由見解析；(3).【分析】（1）首先利用線面垂直證明得平面，則，同理得，最后利用線面垂直的判定即可證明；（2）假設(shè)所有頂點(diǎn)在同意球面