專題03三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（零點(diǎn)或根的問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-1"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1三、專項(xiàng)訓(xùn)練 7一、必備秘籍實(shí)根問題，換元法令將函數(shù)化簡為，在利用正弦函數(shù)的圖象來解決交點(diǎn)（根，零點(diǎn)）的問題.二、典型題型1．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.2．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)．若關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解α，β，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，所得函數(shù)的解析式為，因?yàn)樗煤瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，則有，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以，所以由，可得，所以，且，則，所以，故選:B.3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知，的最小正周期，因?yàn)椋芍獮榈囊粭l對稱軸，所以在之后的零點(diǎn)依次為，，，，…，若在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以.故選：C.4．（2023·上海嘉定·?？既＃┤絷P(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】原方程等價(jià)于即函數(shù)，在上有交點(diǎn)，∵，∴，，故，則.故答案為：5．（2023·全國·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，然后再向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則的解析式為；若方程在的解為、，則.【答案】【詳解】將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，然后再向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，，由題意可得，即，令，得，可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，所以，，且，，，，，，.故答案為：；.6．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎瘮?shù)，其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標(biāo)相差，______，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在空白橫線中.①函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱且；②函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心為且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，，由于其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標(biāo)相差，故,故.若選①，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，由題意知該函數(shù)為偶函數(shù)，故，由于且，即，故，故；若選②，函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心為且，則，由于且，即，故，故；（2）由題意可得，由于在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，故，即.7．（2023秋·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市第70中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象．

(1)求與的解析式；(2)令，求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解的和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由圖可知，，函數(shù)的周期，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以；（2），由，得，因?yàn)椋?，所以或或或，所以或或或，所以方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解的和為．三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）將函數(shù)圖象所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，并沿x軸向左平移個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到的圖象．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】將圖象所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，得到的圖象，繼續(xù)沿x軸向左平移個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到的圖象，∵的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，得，．又∵，∴，∴．令，當(dāng)時(shí)，有，由，可得，，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，在上只有2個(gè)解，即函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2．故選：B.2．（多選）（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若時(shí)，方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】因?yàn)?，將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，，則，由得，可得，所以，，解得，故選：CD.3．（多選）（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，且對于任意，不等式恒成立，則（

）A．B．的取值范圍為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若實(shí)數(shù)使得方程在恰有，，三個(gè)實(shí)數(shù)根，則的最小值為【答案】AC【詳解】由題意，，，圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，最小正周期，，A正確．此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，，，對，不等式恒成立，，解得，故B錯(cuò)誤．對于，當(dāng)時(shí)，，，，．所以，在此區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確．對于，令，則當(dāng)時(shí)，，作出在上的圖象，如圖所示，設(shè)與圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)從左至右依次為，，，由圖可知：，關(guān)于對稱，，關(guān)于對稱，故，，．又，，，所以，由可得，，即的最小值為，D錯(cuò)誤．故選：AC．4．（2023·黑龍江大慶·大慶中學(xué)校考模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的一個(gè)取值為.【答案】（答案不唯一）【詳解】由題設(shè)，在，則，要使在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，故滿足要求.故答案為：（答案不唯一）5．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，當(dāng)（其中）時(shí)，有且只有一個(gè)解，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由于，所以有且只有一個(gè)解，即有且只有一個(gè)解，因?yàn)?，所以，由題意知，解得，即的取值范圍是為，故答案為：6．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┖瘮?shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求的值．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）由圖可知，，∵，∴，∴，又，∴，，∴，由可得，∴；（2）將向右平移個(gè)單位得到，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，令，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，∴；由對稱性可知，∴，∴，∴．7．（2023·寧夏銀川·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)（，）.再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)的解析式的兩個(gè)作為已知.條件①：函數(shù)的最小正周期為；條件②：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；條件③：函數(shù)的最大值為.(1)求的解析式及最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間（）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)選擇①②，的最小值為；選擇①③，的最小值為(2)選擇①②；選擇①③【詳解】（1）由題可知，，選擇①②：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以．所以．?dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)的最小值為．選擇①③：因?yàn)椋?，又因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為，所以．所以，當(dāng)，即時(shí)，．所以函數(shù)的最小值為．選擇②③：因?yàn)?，所以．又因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為，所以，與矛盾，不符合題意．（2）選擇①②：因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間（）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，所以，所以，所以．選擇①③：因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間（）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，又時(shí)，或，所以，所以，所以．8．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；【答案】(1)或；【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到2，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到，方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即直線與函數(shù)在的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)在的圖象，如圖，

觀察圖象，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)在的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.9．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知曲線（，）相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，若將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，且為奇函數(shù).(1)求函數(shù)的的解析式和其圖象的對稱中心；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；對稱中心為，(2)【詳解】（1）由題意可知，∴，∴，將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后得到的新函數(shù)為：，又為奇函數(shù)，且定義域?yàn)椋嗲?，，，∴，，∴，令，，解得，，∴的對稱中心為，.（2）由（1）可知，設(shè)，∵，∴，∴，∴，由關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且另一個(gè)根不等于1或在內(nèi)有兩個(gè)相等的根，令，則，故或，解得或.所以.10．（2023秋·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），再向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、、，求實(shí)數(shù)的取值范圍和的值.【答案】(1)(2)，【詳解】（1）解：，因，則，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由可得，即函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）解：將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象，再把所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向上平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，令，可得，其中，作出函數(shù)與函數(shù)在時(shí)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在時(shí)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，其中，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以，，，則，所以，，解得.11．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高三衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)相鄰兩條對稱軸的距離為，將的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．(1)求；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解，因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩條對稱軸的距離為，可得，即，所以，即，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，又因?yàn)?，所以，所以．?）解：由（1）可知，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，要使得有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即和的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．

12．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，其中，，，且滿足，．(1)求的解析式；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）由題意，函數(shù)，由得，，又因?yàn)?，由，得：，所以，所以的解析式為?（2）由（1）得，因?yàn)?，所以，所以，則有，即又因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上總有實(shí)數(shù)解，所以在區(qū)間上成立，所以，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.13．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)校考期中）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的解析式及對稱軸方程；(2)若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，.①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；②求的值.【答案】(1)，對稱軸方程(2)①；②0．【詳解】（1），的最小正周期為，，，解得，故；由，解得的對稱軸方程.（2）①，即，關(guān)于的方程在區(qū)間上有相異兩解，，則函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，在上的圖象如圖：

由圖象可知，若函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；②由（1）和正弦函數(shù)的對稱性可知，與關(guān)于直線對稱，則，解得，故．14．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期．(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間．(3)若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)最小正周期為(2)．(3)【詳解】（1）函數(shù)故函數(shù)的最小正周期為．（2）令，解得，∴單調(diào)遞增區(qū)間為．（3）因?yàn)?，所以，所以，所以的值域?yàn)?，關(guān)于的方程在上有解，則關(guān)于的方程在上有解，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若的最小值為﹣1，求實(shí)數(shù)m的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)，有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，則；（2）∵，∴，∴，則，令，則，則，對稱軸，①當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值，得（舍），②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值，得或（舍去），③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值，得（舍），綜上：若的最小值為﹣1，則實(shí)數(shù)．（3）令，得或，∴方程或在上有四個(gè)不同的實(shí)根，則，解得，則，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．16．（2023秋·遼寧沈陽·高三新民市高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)方程在上的兩解分別為，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：.（2）設(shè)，則，由于正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由，得，因?yàn)榉匠淘谏系膬山夥謩e為，則，必有，所以，，同理，，由于且，則，由，可得.17．（2023春·重慶長壽·高一重慶市長壽中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減