六年級(jí)奧數(shù)比例與百分?jǐn)?shù)專項(xiàng)訓(xùn)練比例與百分?jǐn)?shù)，這兩個(gè)概念如同奧數(shù)花園里的一對(duì)親密伙伴，它們不僅是解決眾多復(fù)雜問(wèn)題的鑰匙，也是連接數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的橋梁。在六年級(jí)的奧數(shù)學(xué)習(xí)中，這部分內(nèi)容占據(jù)了舉足輕重的地位，其靈活多變的題型和解題思路，往往讓同學(xué)們既感到挑戰(zhàn)，又充滿探索的樂(lè)趣。本次專項(xiàng)訓(xùn)練，我們就一同深入這一領(lǐng)域，梳理核心知識(shí)點(diǎn)，剖析典型例題，掌握解題技巧，從而提升我們的數(shù)學(xué)思維與解題能力。一、核心知識(shí)點(diǎn)梳理要攻克比例與百分?jǐn)?shù)的難題，首先必須夯實(shí)基礎(chǔ)，對(duì)核心概念和性質(zhì)有清晰的理解和把握。（一）比例的基本概念與性質(zhì)1.比與比值：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。比值是一個(gè)數(shù)，可以是整數(shù)、小數(shù)或分?jǐn)?shù)。*例如：我們說(shuō)男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是3:2，這里“3”是前項(xiàng)，“2”是后項(xiàng)，比值是3/2。2.比例的意義：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。*例如：3:4=6:8，這就是一個(gè)比例，其中3和8是外項(xiàng)，4和6是內(nèi)項(xiàng)。3.比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。這是解比例的重要依據(jù)。*如上例：3×8=4×6。4.解比例：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這個(gè)比例中的另外一個(gè)未知項(xiàng)。求比例中的未知項(xiàng)，叫做解比例。5.正比例與反比例（初步認(rèn)識(shí)與應(yīng)用）：*正比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。*反比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。*在奧數(shù)應(yīng)用題中，判斷正反比例關(guān)系，并利用其性質(zhì)解題，是一種常用的高效方法。6.按比例分配：把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來(lái)進(jìn)行分配。這是比例應(yīng)用中最基礎(chǔ)也最常見(jiàn)的題型。關(guān)鍵在于找準(zhǔn)總數(shù)量、各部分量對(duì)應(yīng)的份數(shù)以及每份數(shù)。（二）百分?jǐn)?shù)的基本概念與應(yīng)用1.百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)，也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用“%”來(lái)表示。2.百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化：*小數(shù)化百分?jǐn)?shù)：小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)添上百分號(hào)。*百分?jǐn)?shù)化小數(shù)：去掉百分號(hào)，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。*分?jǐn)?shù)化百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù)），再化成百分?jǐn)?shù)。*百分?jǐn)?shù)化分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成分母是100的分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。3.常見(jiàn)的百分率：如出勤率、合格率、成活率、增長(zhǎng)率、利潤(rùn)率等，這些都是百分?jǐn)?shù)在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用。理解這些百分率的含義，是解決相關(guān)問(wèn)題的前提。4.百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的核心——“單位1”：*確定“單位1”是解答百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵。通常情況下，“是”、“比”、“占”、“相當(dāng)于”后面的量，或“的”字前面的量，往往被看作“單位1”。*已知“單位1”的量，求它的百分之幾是多少，用乘法。*未知“單位1”的量，已知它的百分之幾是多少，求“單位1”的量，用除法或列方程。5.百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的幾種基本類型：*求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。*求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少。*已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。*求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（或少）百分之幾。*已知一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（或少）百分之幾，求這個(gè)數(shù)或另一個(gè)數(shù)。二、典型例題精析（一）比例應(yīng)用題例1：基礎(chǔ)按比例分配一個(gè)農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在若干公頃的地里播種大豆和玉米，播種面積的比是5:3。已知大豆播種了25公頃，問(wèn)玉米播種了多少公頃？這塊地一共有多少公頃？分析與解答：已知大豆和玉米播種面積的比是5:3，大豆播種了25公頃，這25公頃對(duì)應(yīng)的是5份。首先，我們可以求出1份的面積：25÷5=5（公頃）。玉米占3份，所以玉米播種面積為：5×3=15（公頃）。這塊地的總面積是大豆和玉米面積之和，也就是5+3=8份，總面積為：5×8=40（公頃）。答：玉米播種了15公頃，這塊地一共有40公頃。例2：比例的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是60，甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的比是3:2:1。甲、乙、丙三個(gè)數(shù)各是多少？分析與解答：首先，根據(jù)“平均數(shù)”可以求出三個(gè)數(shù)的總和：60×3=180。甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的比是3:2:1，那么總份數(shù)就是3+2+1=6份。1份對(duì)應(yīng)的數(shù)值是：180÷6=30。因此，甲數(shù)為：30×3=90，乙數(shù)為：30×2=60，丙數(shù)為：30×1=30。答：甲數(shù)是90，乙數(shù)是60，丙數(shù)是30。例3：用比例解決行程問(wèn)題一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，去時(shí)每小時(shí)行60千米，返回時(shí)每小時(shí)行90千米，這輛汽車往返的平均速度是多少？分析與解答：這道題是比例與行程問(wèn)題的結(jié)合。我們知道，當(dāng)路程一定時(shí)，速度和時(shí)間成反比例。設(shè)甲乙兩地的路程為“1”（單位1，也可以設(shè)為具體路程，比如設(shè)為180千米，這樣計(jì)算更方便，因?yàn)?80是60和90的公倍數(shù)）。去時(shí)時(shí)間：1÷60=1/60，返回時(shí)間：1÷90=1/90。往返總路程：1+1=2。往返總時(shí)間：1/60+1/90=(3+2)/180=5/180=1/36。平均速度=總路程÷總時(shí)間=2÷(1/36)=72（千米/小時(shí)）。答：這輛汽車往返的平均速度是每小時(shí)72千米。（二）百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題例4：求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾某工廠去年生產(chǎn)機(jī)床200臺(tái)，今年生產(chǎn)機(jī)床240臺(tái)。今年比去年增產(chǎn)百分之幾？分析與解答：“今年比去年增產(chǎn)百分之幾”，意思是今年比去年增加的產(chǎn)量是去年產(chǎn)量的百分之幾。這里，“去年產(chǎn)量”是“單位1”。先求今年比去年增產(chǎn)的臺(tái)數(shù)：240-200=40（臺(tái)）。再求增產(chǎn)的臺(tái)數(shù)是去年產(chǎn)量的百分之幾：40÷200=0.2=20%。答：今年比去年增產(chǎn)20%。例5：已知比一個(gè)數(shù)多百分之幾，求這個(gè)數(shù)（單位1未知）某商店有一種商品，現(xiàn)在售價(jià)是每件120元，比原來(lái)售價(jià)提高了20%。原來(lái)售價(jià)是多少元？分析與解答：“現(xiàn)在售價(jià)比原來(lái)售價(jià)提高了20%”，這里“原來(lái)售價(jià)”是“單位1”，是未知的，我們可以用除法或方程來(lái)解。方法一（算術(shù)法）：現(xiàn)在售價(jià)是原來(lái)的(1+20%)，所以原來(lái)售價(jià)=現(xiàn)在售價(jià)÷(1+20%)。即：120÷(1+20%)=120÷1.2=100（元）。方法二（方程法）：設(shè)原來(lái)售價(jià)為x元。x+20%x=1201.2x=120x=100答：原來(lái)售價(jià)是100元。例6：濃度問(wèn)題（百分?jǐn)?shù)的典型應(yīng)用）有含鹽率為10%的鹽水200克，要使含鹽率提高到20%，需要加鹽多少克？或者蒸發(fā)掉多少克水？分析與解答：這是一道典型的濃度問(wèn)題。濃度=溶質(zhì)質(zhì)量/溶液質(zhì)量×100%。第一種情況：加鹽（水的質(zhì)量不變）原來(lái)鹽水中水的質(zhì)量：200×(1-10%)=200×0.9=180（克）。加鹽后，水的質(zhì)量不變，仍是180克，此時(shí)水占溶液的(1-20%)=80%。所以，加鹽后的鹽水總質(zhì)量為：180÷80%=225（克）。需要加鹽的質(zhì)量：225-200=25（克）。第二種情況：蒸發(fā)水（鹽的質(zhì)量不變）原來(lái)鹽水中鹽的質(zhì)量：200×10%=20（克）。蒸發(fā)水后，鹽的質(zhì)量不變，仍是20克，此時(shí)鹽占溶液的20%。所以，蒸發(fā)水后的鹽水總質(zhì)量為：20÷20%=100（克）。需要蒸發(fā)掉水的質(zhì)量：200-100=100（克）。答：需要加鹽25克，或者蒸發(fā)掉100克水。例7：利潤(rùn)問(wèn)題（百分?jǐn)?shù)的典型應(yīng)用）一件商品按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，再打八折銷售，售價(jià)為224元。這件商品的成本價(jià)是多少元？分析與解答：利潤(rùn)問(wèn)題中，成本價(jià)、標(biāo)價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)率等概念需要清晰。設(shè)這件商品的成本價(jià)為x元。按成本價(jià)提高40%后的標(biāo)價(jià)為：x×(1+40%)=1.4x。再打八折銷售，售價(jià)為標(biāo)價(jià)的80%，即：1.4x×80%=1.12x。已知售價(jià)為224元，所以：1.12x=224。解得：x=224÷1.12=200。答：這件商品的成本價(jià)是200元。三、專項(xiàng)訓(xùn)練與鞏固以下提供一些練習(xí)題，供同學(xué)們進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練。請(qǐng)認(rèn)真思考，獨(dú)立完成，然后對(duì)照答案（若有）或與同學(xué)交流討論。（一）比例練習(xí)題1.一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比是1:2:3，這個(gè)三角形是什么三角形？2.甲、乙兩人的速度比是3:4，行走相同的路程，所用的時(shí)間比是多少？3.某班男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是5:4，已知男生比女生多5人，這個(gè)班共有多少人？4.一種混凝土是由水泥、沙子和石子按2:3:5的比例混合而成的。要攪拌這種混凝土30噸，需要水泥、沙子和石子各多少噸？（二）百分?jǐn)?shù)練習(xí)題1.0.75=（）%=（）/（）（最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)）。2.某班今天出勤48人，有2人因病請(qǐng)假，今天的出勤率是多少？3.一件衣服原價(jià)300元，現(xiàn)在打八五折出售，現(xiàn)在售價(jià)多少元？比原價(jià)便宜了多少元？4.某工廠今年的產(chǎn)值比去年增加了15%，今年的產(chǎn)值是去年的百分之幾？如果去年的產(chǎn)值是400萬(wàn)元，今年的產(chǎn)值是多少萬(wàn)元？5.一杯糖水有100克，含糖率是15%。如果再加入20克水，這時(shí)糖水的含糖率是多少？6.某商品原價(jià)每件100元，先提價(jià)10%，再降價(jià)10%，現(xiàn)在每件售價(jià)多少元？（三）綜合應(yīng)用題1.甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共有糧食若干噸，其中甲倉(cāng)庫(kù)的糧食占總數(shù)的60%。如果從甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)出20噸到乙倉(cāng)庫(kù)，那么乙倉(cāng)庫(kù)的糧食就占總數(shù)的55%。甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來(lái)各有糧食多少噸？2.一輛汽車從A地到B地，前半段路程的平均速度是每小時(shí)60千米，后半段路程的平均速度是每小時(shí)40千米。求這輛汽車全程的平均速度。3.某商店同時(shí)賣出兩件商品，每件各得300元，其中一件盈利20%，另一件虧本20%。這個(gè)商店賣出這兩件商品總體上是盈利還是虧本？具體是多少？四、總結(jié)與建議比例與百分?jǐn)?shù)的知識(shí)體系緊密相連，它們既是數(shù)學(xué)工具，也是邏輯思維的體現(xiàn)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們要做到以下幾點(diǎn)：1.吃透概念，夯實(shí)基礎(chǔ)：無(wú)論是比、比例的性質(zhì)，還是百分?jǐn)?shù)的意義、“單位1”的判斷，都要理解透徹，不能似是而非。2.掌握方法，靈活運(yùn)用：按比例分配的方法、解比例的技巧、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中“量率對(duì)應(yīng)”的思想、列方程解決復(fù)雜問(wèn)題等，都需要通過(guò)大量練習(xí)來(lái)熟練掌握，并能根據(jù)題目特點(diǎn)靈活選擇最優(yōu)解法。3.勤于思考，