2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫——與決策案例分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號內(nèi)。）1.某公司欲了解其產(chǎn)品質(zhì)量是否滿足某個標(biāo)準(zhǔn)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測。這種統(tǒng)計(jì)方法是（）。A.抽樣調(diào)查B.參數(shù)估計(jì)C.假設(shè)檢驗(yàn)D.相關(guān)分析2.在一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)和眾數(shù)都可能不存在的是（）。A.算術(shù)平均數(shù)B.調(diào)和平均數(shù)C.極差D.偏態(tài)分布3.已知兩個變量的相關(guān)系數(shù)為-0.8，這表明這兩個變量之間存在（）。A.強(qiáng)正相關(guān)關(guān)系B.弱負(fù)相關(guān)關(guān)系C.強(qiáng)負(fù)相關(guān)關(guān)系D.不相關(guān)關(guān)系4.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，犯第一類錯誤是指（）。A.接受了真實(shí)的原假設(shè)B.拒絕了真實(shí)的原假設(shè)C.接受了虛假的原假設(shè)D.拒絕了虛假的原假設(shè)5.某工廠生產(chǎn)一批零件，為了檢驗(yàn)其直徑是否符合標(biāo)準(zhǔn)，最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖形是（）。A.條形圖B.折線圖C.散點(diǎn)圖D.直方圖二、填空題（本大題共5小題，每小題2分，共10分。請將答案填寫在題中橫線上。）6.一組數(shù)據(jù){x1,x2,...,xn}的樣本方差定義為s2=________。7.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，當(dāng)σ2未知時(shí)，檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=μ?通常使用________統(tǒng)計(jì)量。8.若變量X和Y之間的相關(guān)系數(shù)r=0，則稱X和Y之間________線性相關(guān)。9.在回歸分析中，因變量的估計(jì)值Y?與其均值E(Y)的離差平方和稱為________。10.根據(jù)樣本信息對總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，置信區(qū)間越寬，估計(jì)的________越小。三、計(jì)算題（本大題共3小題，共30分。請寫出計(jì)算步驟。）11.（10分）某班級30名學(xué)生的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)如下：{165,170,168,165,172,168,170,165,175,170,168,165,172,168,170,165,175,170,168,165,172,168,170,165,175,170,168,165,172,168}。請計(jì)算該班級學(xué)生的平均身高、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。12.（10分）某公司管理人員認(rèn)為員工的工作滿意度（Y）與工作年限（X）之間存在線性關(guān)系。隨機(jī)抽取了10名員工，得到以下數(shù)據(jù)：X（年）：234567891011Y（分）：60657075807882858890請計(jì)算X和Y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)其線性關(guān)系是否顯著（α=0.05）。13.（10分）某快餐店經(jīng)理想要了解顧客等待時(shí)間（分鐘）是否受到高峰時(shí)段（Y）的影響。隨機(jī)觀察了10個非高峰時(shí)段（Y=0）和10個高峰時(shí)段（Y=1）的顧客等待時(shí)間，數(shù)據(jù)如下：非高峰時(shí)段（Y=0）：4563546453高峰時(shí)段（Y=1）：891079810798請使用假設(shè)檢驗(yàn)（α=0.05）分析高峰時(shí)段對顧客等待時(shí)間是否有顯著影響。四、分析與應(yīng)用題（本大題共2小題，共50分。請結(jié)合問題情境進(jìn)行分析和解答。）14.（25分）某汽車銷售公司銷售部經(jīng)理希望了解廣告投入（X萬元）與月銷售量（Y輛）之間的關(guān)系，以便制定更有效的廣告策略。隨機(jī)收集了過去12個月的廣告投入和銷售量數(shù)據(jù)。通過分析發(fā)現(xiàn)，Y與X之間存在一定的線性關(guān)系，并得到了回歸方程：Y?=50+5X。假設(shè)下個月計(jì)劃投入廣告費(fèi)80萬元。（1）請解釋回歸系數(shù)“5”的含義。（2）根據(jù)回歸方程，預(yù)測下個月的月銷售量。（3）如果該公司的月銷售目標(biāo)為150輛，根據(jù)當(dāng)前趨勢，是否需要增加廣告投入？請說明理由。（4）在制定廣告策略時(shí)，除了廣告投入，該經(jīng)理還應(yīng)該考慮哪些因素？請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識簡要說明。15.（25分）一家網(wǎng)上書店想要提高用戶的購買轉(zhuǎn)化率。管理部門提出兩種新的推薦算法（算法A和算法B），并希望判斷哪種算法更有效。為了進(jìn)行比較，書店選擇了兩個規(guī)模和用戶特征相似的測試群體，分別隨機(jī)使用了兩種算法一周。算法A測試群體共1000人，其中200人完成了購買；算法B測試群體共1200人，其中300人完成了購買。（1）請計(jì)算兩種算法的購買轉(zhuǎn)化率。（2）為了檢驗(yàn)兩種算法的購買轉(zhuǎn)化率是否存在顯著差異，請?jiān)O(shè)立原假設(shè)和備擇假設(shè)。（3）選擇合適的統(tǒng)計(jì)方法，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（α=0.05），并說明檢驗(yàn)過程的關(guān)鍵步驟（如計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、查找臨界值或P值、做出統(tǒng)計(jì)決策）。（4）根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，書店應(yīng)該做出怎樣的決策？如果決定采用效果更好的算法，可能存在哪些潛在風(fēng)險(xiǎn)或需要進(jìn)一步考慮的問題？---試卷答案一、選擇題1.A2.D3.C4.B5.D二、填空題6.∑(xi-x?)2/(n-1)7.t8.完全9.殘差平方和（或SSR，或SSE，取決于具體定義但殘差平方和更常用指代總變異中被模型解釋的部分）10.精確度（或可靠性）三、計(jì)算題11.解：（1）平均身高x?=(165*5+170*5+168*4+172*3+175*2)/30=1700/30≈166.67cm（2）排序后找中位數(shù)：中位數(shù)=(168+168)/2=168cm（3）方差s2=[5*(165-166.67)2+5*(170-166.67)2+4*(168-166.67)2+3*(172-166.67)2+2*(175-166.67)2]/30≈[5*2.78+5*10.78+4*1.78+3*27.78+2*68.78]/30≈[13.9+53.9+7.12+83.34+137.56]/30≈294.72/30≈9.82cm2（4）標(biāo)準(zhǔn)差s=√9.82≈3.14cm12.解：（1）計(jì)算協(xié)方差：cov(X,Y)=[Σ(xi-x?)(yi-?)]/(n-1)x?=(2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)/10=65/10=6.5?=(60+65+70+75+80+78+82+85+88+90)/10=825/10=82.5Σ(xi-x?)(yi-?)=(-4.5)*(-22.5)+(-3.5)*(-17.5)+...+(4.5)*(7.5)+(5.5)*(7.5)=637.5cov(X,Y)=637.5/9≈70.83（2）計(jì)算方差：s?2=[Σ(xi-x?)2]/(n-1)=[(-4.5)2+...+(5.5)2]/9=140/9≈15.56s<0xE1><0xB5><0xA3>2=[Σ(yi-?)2]/(n-1)=[(-22.5)2+...+(7.5)2]/9=517.5/9≈57.50（3）計(jì)算相關(guān)系數(shù)：r=cov(X,Y)/(s?s<0xE1><0xB5><0xA3>)=70.83/(√15.56*√57.50)≈70.83/(3.94*7.58)≈70.83/29.93≈0.97（4）檢驗(yàn)H?:ρ=0vsH?:ρ≠0t=r*√(n-2)/√(1-r2)=0.97*√8/√(1-0.972)=0.97*2.83/√(1-0.941)=0.97*2.83/√0.059≈0.97*2.83/0.243≈11.24查t分布表，df=8，α=0.05雙側(cè)，臨界值約為±2.306。因11.24>2.306，拒絕H?。結(jié)論：在α=0.05水平上，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為X和Y之間存在顯著的線性關(guān)系。13.解：（1）計(jì)算兩組均值：x??=(4+5+6+3+5+4+6+4+5+3)/10=45/10=4.5；x??=(8+9+10+7+9+8+10+7+9+8)/10=85/10=8.5（2）計(jì)算總體均值和組內(nèi)平方和：合并數(shù)據(jù)，總體均值為(45+85)/20=130/20=6.5。SSw=Σ(xi-x??)2+Σ(xi-x??)2=[(4-4.5)2+...+(3-4.5)2]+[(8-8.5)2+...+(8-8.5)2]=[2.5+0+2.25+2.25+0+0.25+2.25+0+0.25+2.25]+[0.25+0.25+2.25+0.25+0.25+0+2.25+0.25+0.25+0.25]=12.5+8.5=21（3）計(jì)算組間平方和：SSb=n?(x??-μ)2+n?(x??-μ)2=10(4.5-6.5)2+10(8.5-6.5)2=10(4)+10(4)=40（4）計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：MSb=SSb/(k-1)=40/1=40；MSw=SSw/(n-k)=21/(20-1)=21/19≈1.11F=MSb/MSw=40/1.11≈36.04（5）查F分布表，df?=1,df?=19，α=0.05，臨界值約為4.38。因36.04>4.38，拒絕H?。結(jié)論：在α=0.05水平上，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為高峰時(shí)段對顧客等待時(shí)間有顯著影響。四、分析與應(yīng)用題14.解：（1）“5”的含義是：當(dāng)廣告投入每增加1萬元時(shí)，預(yù)計(jì)月銷售量將平均增加5輛。（2）預(yù)測銷售量Y?=50+5*80=50+400=450輛。（3）根據(jù)預(yù)測模型，銷售量與廣告投入正相關(guān)。當(dāng)前預(yù)測值為450輛，低于目標(biāo)150輛。因此，需要考慮增加廣告投入。理由是：雖然預(yù)測銷售量450輛高于150輛目標(biāo)，但這只是基于歷史數(shù)據(jù)和當(dāng)前投入水平的估計(jì)。增加投入是否一定能達(dá)到150輛的目標(biāo)需要進(jìn)一步分析。需要考慮投入增加后的邊際效益（即每增加一單位投入帶來的額外銷售量是否仍為5輛，是否存在飽和點(diǎn)等）以及投入成本效益比。如果投入成本過高，即使銷售量增加，也可能得不償失。建議在增加投入前進(jìn)行更細(xì)致的敏感性分析和成本效益分析。（4）除了廣告投入（X），影響銷售量（Y）的因素還包括：產(chǎn)品價(jià)格、產(chǎn)品質(zhì)量、顧客口碑、促銷活動、競爭對手策略、宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境、季節(jié)性因素、目標(biāo)客戶群體的特征與偏好、渠道分銷能力等。統(tǒng)計(jì)學(xué)上，可以構(gòu)建多元回歸模型Y=β?+β?X?+β?X?+...+βkXk+ε，將其他因素作為自變量（X?,X?,...,Xk）納入模型，更全面地分析其對銷售量的影響。此外，還需要考慮模型的擬合優(yōu)度（R2）、各系數(shù)的顯著性以及模型是否存在多重共線性等問題。15.解：（1）算法A轉(zhuǎn)化率=200/1000=0.20=20%；算法B轉(zhuǎn)化率=300/1200=0.25=25%。（2）設(shè)立原假設(shè)H?:pA=pB（兩種算法的轉(zhuǎn)化率相同）；備擇假設(shè)H?:pA≠pB（兩種算法的轉(zhuǎn)化率不同）。（3）使用兩樣本比例Z檢驗(yàn)。（1）計(jì)算合并比例p?=(pA*nA+pB*nB)/(nA+nB)=(0.20*1000+0.25*1200)/(1000+1200)=(200+300)/2200=500/2200≈0.2273（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=|p?A-p?B|/√[p?(1-p?)(1/nA+1/nB)]=|0.20-0.25|/√[0.2273*(1-0.2273)*(1/1000+1/1200)]=0.05/√[0.2273*0.7727*(0.001+0.000833)]=0.05/√[0.1757*(0.001833)]=0.05/√0.000321≈0.05/0.0179≈2.79（3）查找臨界值或P值：對于α=0.05雙側(cè)檢驗(yàn)，臨界值約為±1.96。或查找Z=2.79的P值，P≈2*P(Z>2.79