專題02反比例函數(shù)與幾何綜合問題的五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、反比例函數(shù)與三角形的綜合問題 2類型二、反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題 12類型三、反比例函數(shù)與矩形的綜合問題 19類型四、反比例函數(shù)與菱形的綜合問題 28類型五、反比例函數(shù)與正方形的綜合問題 34壓軸能力測評（10題） 43解題知識必備1.反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；特別說明：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號.2.反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過雙曲線()上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.要點(diǎn)詮釋：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點(diǎn)的位置如何變化，這一點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.壓軸題型講練類型一、反比例函數(shù)與三角形的綜合問題例題：（2023·陜西西安·三模）如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)C在雙曲線上，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，且是以為斜邊的等腰直角三角形．

(1)填空：______；(2)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，且以點(diǎn)D、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．若將線段AB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AC，點(diǎn)C恰好在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求，的值；(2)若P，Q分別為反比例函數(shù)，圖象上一點(diǎn)，且以點(diǎn)O，P，Q，A為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）定義：有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長邊稱為智慧邊，這兩邊的夾角叫做智慧角(1)如圖①，在中，，，求證：是智慧三角形；(2)如圖②，已知是智慧三角形，BC為智慧邊，∠B為智慧角，且，，點(diǎn)B、C在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，求k的值．3．（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，其中，，且、、．(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)將沿軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)、兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)、正好落在某反比例函數(shù)圖像上．請求出這個(gè)反比例函數(shù)和此時(shí)的直線的解析式；(3)在（2）的條件下，直線交軸于點(diǎn)．若存在軸上的點(diǎn)和反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，使得由、、、四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形．請直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在滿足題意的平行四邊形，請說明理由．類型二、反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題例題：（2024·江蘇常州·二模）如圖，四邊形是平行四邊形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和的中點(diǎn)D，，平行四邊形的面積是48．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為___________；(2)求反比例函數(shù)的表達(dá)式．【變式訓(xùn)練】1．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，四邊形是平行四邊形，原點(diǎn)是其對角線的交點(diǎn)，軸，點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，直線的解析式為．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)寫出不等式時(shí)，的取值范圍；(3)求圖中陰影部分的面積之和．2．（2024·江蘇常州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，，，以A，B，C為頂點(diǎn)作平行四邊形，點(diǎn)D落在第二象限，與y軸交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)()經(jīng)過點(diǎn)A，與邊交于點(diǎn)F，反比例函數(shù)()經(jīng)過點(diǎn)D．(1)求和的值；(2)連接，判斷四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由3．（2024·河南南陽·二模）如圖，平行四邊形的邊在軸正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)．(1)直接寫出的值為_________；點(diǎn)的坐標(biāo)為_________；(2)尺規(guī)作圖：在邊上求作一點(diǎn)，連接，使軸（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)若交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)．連接、，求．類型三、反比例函數(shù)與矩形的綜合問題例題：（23-24九年級下·吉林·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，點(diǎn)，在軸上，軸，對角線，相交于點(diǎn)，，，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，解答下列問題．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．（用含的代數(shù)式表示）(2)若反比例函數(shù)經(jīng)過，兩點(diǎn)，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·江蘇常州·期末）如圖，矩形在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)分別與邊、交于E、F兩點(diǎn)，連接、，作直線EF分別交y軸、x軸于點(diǎn)G、H．(1)_______（填“”、“”、“”）；(2)若，，，求k的值；(3)當(dāng)，時(shí)，求的值．2．（23-24九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象與，分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，．(1)若的面積為3，①當(dāng)，求k的值和的面積；②當(dāng)直線的解析式為，求的面積．(2)我們定義有一個(gè)內(nèi)角為的三角形稱為“半直角三角形”，這個(gè)角所對的邊為“半直角邊”．若，當(dāng)為“半直角三角形”時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式．3．（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，，，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)．

(1)求的值．(2)點(diǎn)為反比例圖象上的一點(diǎn)，作直線，軸，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)為坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)組成的平行四邊形面積為14？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．類型四、反比例函數(shù)與菱形的綜合問題例題：（2024·河北唐山·三模）如圖，菱形的邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，直線經(jīng)過點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)E，連接．(1)分別求B點(diǎn)、C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求k，b的值；(3)求的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，四邊形為菱形，且點(diǎn)A在軸正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)．(1)求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)判斷點(diǎn)是否為邊的中點(diǎn)，并說明理由．2．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，菱形的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)D．(1)求的長及k的值；(2)反比例的圖像上存在點(diǎn)E，使得的面積為，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)所在直線解析式為．(1)求的值，并根據(jù)圖象直接寫出關(guān)于的不等式的解集；(2)若將菱形沿x軸正方向平移個(gè)單位，在平移中，若反比例函數(shù)圖象與菱形的邊始終有交點(diǎn)，求m的取值范圍．類型五、反比例函數(shù)與正方形的綜合問題例題：（23-24八年級下·浙江金華·期末）如下圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，以為邊作正方形（點(diǎn)A、B、C、D逆時(shí)針排列）．(1)求m的值和一次函數(shù)的解析式．(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(3)將正方形平移得到正方形，在平移過程中，使點(diǎn)A的對應(yīng)頂點(diǎn)M始終在第一象限內(nèi)且在反比例函數(shù)的圖象上（點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合），當(dāng)正方形與正方形的重疊部分為正方形時(shí)，求重疊正方形的邊長．【變式訓(xùn)練】1．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)在軸的正半軸上，以線段為邊向上作正方形，頂點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖象上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與邊相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)連接，若的面積為，求的值．2．（2023·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，正方形中，，過點(diǎn)作軸的垂線交過點(diǎn)的反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；不存在請說明理由．3．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A、B分別為、，頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)上，頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)上．(1)如圖1，當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)．①求的值；②求m，n的值；(2)如圖2，當(dāng)m，n滿足什么關(guān)系時(shí)，，并說明理由；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，在的延長線上取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交x軸于點(diǎn)F，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)G，當(dāng)G為的中點(diǎn)，對于每一個(gè)給定的m值，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)總是一個(gè)定值，則該定值為______．（用含m的代數(shù)式表示）壓軸能力測評（10題）一、單選題1．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖，將直角三角板放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為將三角板沿軸正方向平移，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)剛好落在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)平移的距離等于（

）A．3 B．4 C．7 D．102．（23-24八年級下·山西臨汾·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，連接，，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）

①；②；③直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；④的值隨．的增大而增大．A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③二、填空題3．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，對于不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，我們把點(diǎn)稱為點(diǎn)A的“逆倒數(shù)點(diǎn)”．如圖，正方形的頂點(diǎn)C為，頂點(diǎn)E在y軸正半軸上，函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)D和點(diǎn)A，連結(jié)交正方形的一邊于點(diǎn)B，若點(diǎn)B是點(diǎn)A的“逆倒數(shù)點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．4．（23-24八年級下·四川宜賓·期末）如圖，矩形頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸上，雙曲線分別交于點(diǎn)D、E，連接并延長交x軸于點(diǎn)F，連接．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，且，則；其中正確的有．（填寫所有正確結(jié)論的序號）

三、解答題5．（2024·河南洛陽·二模）如圖，菱形的邊在x軸正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點(diǎn)D．(1)求k的值；(2)的垂直平分線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，連接、，求的面積．6．（2024·山西太原·三模）如圖示，矩形的邊分別在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過邊的中點(diǎn)D，與邊交于點(diǎn)E．(1)如果點(diǎn)D的坐標(biāo)為，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)試判斷的中點(diǎn)是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．7．（2024·黑龍江大慶·一模）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，的頂點(diǎn)在軸上，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，．(1)______；______；點(diǎn)的坐標(biāo)______；(2)直接寫出不等式的解集；(3)求的面積．8．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B、C兩點(diǎn)在x軸的正半軸上，以線段為邊向上作正方形，頂點(diǎn)A在正比例函數(shù)的圖象上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，且與邊相交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)時(shí)，①若，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②連接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．(2)若，求的值（用含n的代數(shù)式表示）．9．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和．點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)求與的值；(2)①點(diǎn)的坐標(biāo)是______（用含的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象上，求的值；(3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(4)當(dāng)為何值時(shí)，的值最小？請直接寫出的值．10