圖的m著色問題01問題描述圖著色問題定義問題定義圖m可著色判定問題：給定無向連通圖G和m種顏色，為每個(gè)頂點(diǎn)分配一種顏色，要求相鄰頂點(diǎn)顏色不同。優(yōu)化問題圖m可著色優(yōu)化問題：求最小顏色數(shù)m，使圖滿足上述條件，該最小值稱為圖的色數(shù)。四色猜想與平面圖010203四色猜想平面圖轉(zhuǎn)化模型意義任何平面或球面地圖僅需四種顏色即可使相鄰區(qū)域顏色不同。將地圖著色轉(zhuǎn)化為平面圖著色問題：每個(gè)國家抽象為頂點(diǎn)，相鄰關(guān)系抽象為邊。抽象圖論模型在解決實(shí)際地理問題中具有強(qiáng)大表達(dá)能力，四色猜想推動(dòng)了圖著色研究的發(fā)展。02建立模型鄰接矩陣與顏色編碼用鄰接矩陣a表示無向圖G=(V,E)，a[i][j]=1表示頂點(diǎn)i與j相鄰，否則為0。用整數(shù)1到m代表m種顏色，數(shù)組x[1..n]記錄每個(gè)頂點(diǎn)的顏色分配，形成問題的解向量。鄰接矩陣與顏色編碼解空間樹結(jié)構(gòu)樹形結(jié)構(gòu)解空間為一棵高度為n+1的完全m叉樹，每層對應(yīng)一個(gè)頂點(diǎn)的顏色選擇，第i層每個(gè)節(jié)點(diǎn)有m個(gè)子節(jié)點(diǎn)代表頂點(diǎn)i的m種可能顏色。葉節(jié)點(diǎn)第n+1層為葉節(jié)點(diǎn)，對應(yīng)完整著色方案。示例以n=3、m=3為例，展示樹的具體形態(tài)，幫助理解回溯算法在樹中搜索可行解的過程。01020303算法設(shè)計(jì)回溯法框架概覽從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，按深度優(yōu)先順序遍歷解空間樹?；厮莘ㄋ悸吠ㄟ^約束函數(shù)檢查子節(jié)點(diǎn)可行性，剪去不滿足相鄰頂點(diǎn)顏色不同的分支。剪枝記錄方案到達(dá)葉節(jié)點(diǎn)時(shí)記錄可行方案，避免窮舉全部m^n種可能，提升搜索效率。Color類與成員職責(zé)Color類包含成員變量：n記錄頂點(diǎn)數(shù)，m記錄可用顏色數(shù)，a為鄰接矩陣，x存儲(chǔ)當(dāng)前解向量，sum統(tǒng)計(jì)已找到的可行方案數(shù)。類結(jié)構(gòu)n和m記錄圖的基本信息，a用于表示圖的結(jié)構(gòu)，x用于存儲(chǔ)當(dāng)前的著色方案，sum用于統(tǒng)計(jì)找到的可行方案數(shù)量。成員功能將這些數(shù)據(jù)封裝為類成員，減少遞歸函數(shù)參數(shù)傳遞，提升代碼可讀性與效率。封裝好處通過明確各成員職責(zé)，體現(xiàn)面向?qū)ο笏枷朐谒惴ㄔO(shè)計(jì)中的應(yīng)用。面向?qū)ο笏枷爰s束檢查函數(shù)Ok剪枝作用確保任何時(shí)刻部分解都滿足相鄰頂點(diǎn)顏色不同的約束，從而避免無效搜索，提升算法效率。遍歷所有頂點(diǎn)j，若頂點(diǎn)k與j相鄰且x[j]等于x[k]，則當(dāng)前顏色分配沖突，返回false；否則返回true。函數(shù)邏輯遞歸搜索函數(shù)Backtrack當(dāng)t>n時(shí)到達(dá)葉節(jié)點(diǎn)，sum增1并輸出當(dāng)前完整著色方案。到達(dá)葉節(jié)點(diǎn)依次嘗試顏色1到m賦給頂點(diǎn)t，調(diào)用Ok(t)檢查合法性。顏色嘗試若可行則遞歸調(diào)用Backtrack(t+1)繼續(xù)搜索下一層。遞歸搜索回溯時(shí)重置x[t]為0，嘗試其他顏色選擇?；厮輨?chuàng)建Color實(shí)例X，初始化成員變量。創(chuàng)建實(shí)例調(diào)用Backtrack(1)從根節(jié)點(diǎn)開始搜索，最終返回可行方案數(shù)sum并釋放資源。搜索與返回從初始化到結(jié)果輸出的完整生命周期，體現(xiàn)良好接口設(shè)計(jì)的重要性。算法生命周期04復(fù)雜度分析時(shí)間復(fù)雜度上界解空間樹內(nèi)節(jié)點(diǎn)總數(shù)為m(m^n?1)/(m?1)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)在最壞情況下需調(diào)用Ok函數(shù)耗時(shí)O(mn)檢查所有相鄰頂點(diǎn)。因此總時(shí)間復(fù)雜度為O(nm^n)。時(shí)間復(fù)雜度05小結(jié)知識(shí)回顧與要點(diǎn)提煉01問題定義從圖著色問題的定義與四色猜想出發(fā)，理解問題本質(zhì)。03算法實(shí)現(xiàn)利用回溯法在解空間樹中系統(tǒng)搜索并剪枝，獲得所有可行著色方案。02建模經(jīng)過鄰接矩陣與顏色編碼的建模，為算法設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。04復(fù)雜度分析分析算法時(shí)間復(fù)雜度，認(rèn)識(shí)到其指數(shù)級(jí)增長的趨勢。拓展思考與未來方向01實(shí)際應(yīng)用圖著色問題在頻率分配、寄存器分配、時(shí)間表制定等場景中具有廣泛應(yīng)用。02未來研究