流水作業(yè)調(diào)度LET'SEMBARKONTODAY'SSHARINGJOURNEYTOGETHER01問題背景Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogether流水作業(yè)調(diào)度場景在現(xiàn)代制造業(yè)中，流水作業(yè)調(diào)度是一個(gè)關(guān)鍵問題。假設(shè)我們有兩臺(tái)機(jī)器M1和M2，n個(gè)作業(yè)需要依次在這兩臺(tái)機(jī)器上加工。每個(gè)作業(yè)必須先在M1上加工，然后在M2上加工。這種加工順序是固定的，目標(biāo)是找到最優(yōu)的作業(yè)順序，以最小化最后一個(gè)作業(yè)完成的時(shí)間。場景描述在實(shí)際生產(chǎn)中，機(jī)器的空閑時(shí)間和作業(yè)的積壓是兩個(gè)主要的矛盾點(diǎn)。如果機(jī)器M1長時(shí)間空閑，會(huì)導(dǎo)致生產(chǎn)效率低下；而機(jī)器M2如果積壓過多作業(yè)，又會(huì)影響整體的生產(chǎn)進(jìn)度。因此，如何平衡這兩者，找到最優(yōu)的調(diào)度方案，是流水作業(yè)調(diào)度的核心挑戰(zhàn)。問題挑戰(zhàn)問題定義與符號(hào)問題定義流水作業(yè)調(diào)度問題可以形式化為：給定n個(gè)作業(yè)，每個(gè)作業(yè)在兩臺(tái)機(jī)器M1和M2上的加工時(shí)間分別為ai和bi。目標(biāo)是確定這n個(gè)作業(yè)的最優(yōu)加工順序，使得從第一個(gè)作業(yè)在M1上開始加工到最后一個(gè)作業(yè)在M2上完成的總時(shí)間最小。符號(hào)說明我們用N={1,2,…,n}表示所有作業(yè)的集合。對(duì)于任意子集S?N，T(S,t)表示在機(jī)器M2需要等待時(shí)間t時(shí)，完成子集S中所有作業(yè)所需的最短時(shí)間。整個(gè)問題的最優(yōu)值即為T(N,0)。關(guān)鍵變量在調(diào)度過程中，ai表示作業(yè)i在機(jī)器M1上的加工時(shí)間，bi表示作業(yè)i在機(jī)器M2上的加工時(shí)間。這兩個(gè)參數(shù)是調(diào)度決策的重要依據(jù)，通過合理安排作業(yè)順序，可以有效減少機(jī)器的空閑時(shí)間和作業(yè)的等待時(shí)間。02最優(yōu)子結(jié)構(gòu)Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogether最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)流水作業(yè)調(diào)度問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。假設(shè)π是n個(gè)作業(yè)的一個(gè)最優(yōu)調(diào)度，其加工時(shí)間為aπ(1)+T′。其中，T′是在機(jī)器M2的等待時(shí)間為bπ(1)時(shí)，安排作業(yè)π(2),…,π(n)所需的時(shí)間。根據(jù)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的定義，去掉第一個(gè)作業(yè)后，剩余作業(yè)的調(diào)度仍然是最優(yōu)的。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)證明遞歸關(guān)系式01遞歸關(guān)系基于最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，可以得到遞歸關(guān)系式T(S,t)=min{ai+T(S?{i},bi+max{t?ai,0})}。其中，max{t?ai,0}表示在機(jī)器M2上，作業(yè)i必須在max{t,ai}時(shí)間之后才能開工。這個(gè)遞歸關(guān)系為動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法提供了基礎(chǔ)。02動(dòng)態(tài)規(guī)劃局限雖然動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以解決流水作業(yè)調(diào)度問題，但直接應(yīng)用遞歸關(guān)系式會(huì)導(dǎo)致較高的計(jì)算復(fù)雜度。因此，我們需要進(jìn)一步分析，尋找更高效的算法。03Johnson法則Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogetherJohnson不等式Johnson法則的核心是Johnson不等式：如果作業(yè)i和j滿足min{bi,aj}≥min{bj,ai}，則稱這兩個(gè)作業(yè)滿足Johnson不等式。這個(gè)不等式是判斷作業(yè)順序的關(guān)鍵條件。01如果作業(yè)i和j不滿足Johnson不等式，通過交換它們的加工順序，可以使總加工時(shí)間不增加。這意味著，任何最優(yōu)調(diào)度都必須滿足Johnson不等式。

02不等式意義不等式定義法則的充分必要性如果一個(gè)調(diào)度π滿足Johnson法則，即對(duì)任意i<j，有min{bπ(i),aπ(j)}≥min{bπ(j),aπ(i)}，那么這個(gè)調(diào)度的總加工時(shí)間是最優(yōu)的。這是通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃遞歸式和不等式性質(zhì)證明的。充分性證明反之，如果一個(gè)調(diào)度是最優(yōu)的，那么它也必須滿足Johnson法則。這是因?yàn)槿绻粷M足，可以通過調(diào)整作業(yè)順序來減少總加工時(shí)間。必要性證明結(jié)論因此，滿足Johnson法則的調(diào)度就是最優(yōu)調(diào)度。這個(gè)結(jié)論大大簡化了求解過程，使得我們可以通過簡單的排序算法來找到最優(yōu)調(diào)度。04算法實(shí)現(xiàn)Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogetherJohnson算法步驟010203步驟一：劃分作業(yè)集步驟二：排序步驟三：拼接將所有作業(yè)分為兩組：N1={i|ai<bi}和N2={i|ai≥bi}。這種劃分是基于作業(yè)在兩臺(tái)機(jī)器上的加工時(shí)間關(guān)系，為后續(xù)排序提供依據(jù)。對(duì)N1中的作業(yè)按照ai的非減序排序，對(duì)N2中的作業(yè)按照bi的非增序排序。這種排序方式確保了作業(yè)滿足Johnson不等式。將排序后的N1和N2作業(yè)依次拼接，得到最終的最優(yōu)調(diào)度順序。這個(gè)順序保證了總加工時(shí)間最小。偽代碼解析排序與結(jié)果生成排序完成后，根據(jù)job標(biāo)志將作業(yè)分配到最終的調(diào)度順序中。通過遞推計(jì)算總完工時(shí)間，最終返回最優(yōu)調(diào)度的總時(shí)間。算法的核心是通過結(jié)構(gòu)體保存每個(gè)作業(yè)的關(guān)鍵信息，如key、index和job標(biāo)志。根據(jù)ai和bi的關(guān)系為每個(gè)作業(yè)分配key值，然后進(jìn)行排序。偽代碼結(jié)構(gòu)05計(jì)算復(fù)雜度Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogether時(shí)空復(fù)雜度分析主要耗時(shí)空間復(fù)雜度Johnson算法的主要計(jì)算時(shí)間花在對(duì)作業(yè)集的排序上。排序的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)，因此整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度也是O(nlogn)。算法的空間復(fù)雜度為O(n)，主要用于存儲(chǔ)作業(yè)信息和排序后的結(jié)果。這種高效的復(fù)雜度使得算法適用于大規(guī)模實(shí)例。關(guān)鍵結(jié)論回顧01流水作業(yè)調(diào)度問題可以通過Johnson法則在O(nlogn)時(shí)間內(nèi)獲得最優(yōu)調(diào)度順序。最優(yōu)調(diào)度02Johnson法則保證了相鄰作業(yè)滿足特定的不等式，從而確保整個(gè)調(diào)度的總加工時(shí)間最小。法則意義03Johnson算法實(shí)現(xiàn)簡單高效，適用于實(shí)際生產(chǎn)中的大規(guī)模作業(yè)調(diào)度問題。算法優(yōu)勢06案例演示Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogether實(shí)例介紹假設(shè)我們有4個(gè)作業(yè)，每個(gè)作業(yè)在兩臺(tái)機(jī)器上的加工時(shí)間分別為(a1,b1)=(2,5)，(a2,b2)=(3,2)，(a3,b3)=(1,4)，(a4,b4)=(4,1)。劃分與排序根據(jù)Johnson算法，將作業(yè)分為N1={2,3}和N2={1,4}。對(duì)N1按ai升序排序，對(duì)N2按bi降序排序，得到最終調(diào)度順序?yàn)?,3,1,4?？倳r(shí)間計(jì)算按照這個(gè)順序計(jì)算總加工時(shí)間，最終結(jié)果為10。通過這個(gè)實(shí)例，我們可以直觀地看到Johnson算法的有效性。小規(guī)模實(shí)例演練結(jié)果驗(yàn)證與思考結(jié)果驗(yàn)證將上述實(shí)例的結(jié)果與暴