專題14幾何綜合六種模型

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一：兩垂一圓構造直角三角形模型

平面內(nèi)有兩點A,B,再找一點C,使得ABC為直角三角形

分類討論：

若NA=90°,則點C在過點A且垂直于AB的直線上（除點A外）;

若NB=90°,則點C在過點B且垂直于AB的直線上（除點B外）；

若NC=90°,則點C在以AB為直徑的圓上（除點A,B外）.

以上簡稱“兩垂一圓”.

“兩垂一圓”上的點能構成直角三角形，但要除去A,B兩點.

題型二：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

分類討論：

若AB=AC,則點C在以點A為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

若BA=BC,則點C在以點B為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

若CA=CB,則點C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”

“兩圓?中垂”上的點能構成等腰三角形，但是要除去原有的點AB,還要除去因共線無法構成三角形的點MN

以及線段AB中點E（共除去5個點）需要注意細節(jié)

題型三：胡不歸模型

【模型解讀】一動點P在直線例/V外的運動速度為力,在直線MN上運動的速度為力，且V遙也，小

8為定點，點C在直線上，確定點C的位置使江+好的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）

CH=kAC

ACBC1I/V記〃=上

1)------+1--—---=—BC+'4C即求8C+k4C的最小值.

匕匕匕

2）構造射線4。使得sinNDAN=k,—=^,CH=k4C,將問題轉(zhuǎn)化為求8C+CH最小值.

3）過8點作8Hl.4。交MN于點C,交4D于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【解題關鍵】在求形如“%+AP8〃的式子的最值問題中，關鍵是構造與AP8相等的線段，將“以+&P8"型問題轉(zhuǎn)

化為“P>4+PU型.（若Q1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短。

題型四：阿氏圓模型

【模型解讀】如圖1所示，。。的半徑為「，點4B都在。。外，P為。。上一動點，已知,=/。8,連

接以、P8,則當“PA+k-PB”的值最小時，P點的位置如何確定？

如圖2,在線段0B上截取0C使OC=kr,則可說明△8P0與△PCO相似，即kPB=PC。

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，

其中與4與C為定點，P為動點，故當小P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示:

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：

在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k,PA+P8”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)?/p>

圓時,即通常我們所說的啊氏圓響題.

【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。

題型五：瓜豆原理模型（點在直線上）

【模型解讀】

瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。

動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學進程影響，估只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。

主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線—上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。

模型1、運動軌跡為直線

1）如圖，P是直線8c上一動點，連接4P,取AP中點Q,當點P在8c上運動時，Q點軌跡是？

解析：當P點軌跡是直線時，。點軌跡也是一條直線.

理由：分別過A、Q向8c作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為4P=24Q,所以QN始

終為AM的一半，即Q點到8c的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線.

2）如圖，在△APQ中4P=AQ,N%Q為定值，當點P在直線8c上運動時，求Q點軌跡？

解析：當4P與AQ夾角固定且AP:4Q為定值的話，P、Q軌跡是同一?種圖形。

理由：當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始

位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。

【最值原理】動點軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短"求最值。

1）當動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動點軌跡的方法（重點）

①當某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為宜線；

②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；

③當一個點的坐標以某個字母的弋數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；

④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；

⑤若動點軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對角線、全等、相似）為

其他已知軌跡的線段求最值。

題型六：瓜豆原理模型（點在圓上）

【模型解讀】

模型1、運動軌跡為圓弧

模型1-L如圖，P是圓。上一個動點，4為定點，連接AP,Q為AP中點.Q點軌跡是？

如圖，連接40,取4。中點M,任意時刻，均有△AMQS/XAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.

則動點。是以M為圓心，必。為半徑的圓。

模型1-2.如圖，△4PQ是直角三角形，/%。=90。且AP=ASQ,當P在圓。運動時，Q點軌跡是？

如圖，連結(jié)八。，作4M_L4。，Aa.AM=k:l；任意時刻均有△APOs4AQM,且相似比為k。

則動點。是以"為圓心，為半徑的圓。

模型1-3.定義型：若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）

如圖，若P為動點，但人BMC-八P,貝IJB、C、P三點共圓，

則動點P是以A圓心，48半徑的圓或圓弧。

模型1-4.定邊對定角（或直角）模型

1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若P為動點，48為定值，/4P8=90°,則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。

2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓弧.

如圖，若P為動點，48為定值，/4P8為定值，則動點P的軌跡為圓弧。

【模型原理】動點的軌跡為定圓時，可利用："一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑

之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。

壓軸摩預測

題型一：兩垂一圓構造直角三角形模型

1.（2023?安溪縣二模）如圖，4B是半圓。的直徑，BPLAB,與半圓O相切于點。，連接并延

長，交8P的延長線于點C.

（1）求證：PB=PC；

（2）若。。的半徑為5,彳0=8,求8P的長.

【分析】（1〉連接OP,DB,根據(jù)相切等推出zlO。尸主△（為尸，F(xiàn)B=FD,進而證明尸3=尸。，

(2)先證明AJAQSAACQ,進而求出4C的長，根據(jù)第一問，求出4P.

【解答】(1)證明：連接OO,OP,DB,

尸。與半圓。相切于點。，

/.PD1OP,BP1AB

在RtAODP與RtAOBP中,

OD=OB

OP=OP'

RtAODP^RtAOBP(HL),

/.PB=PD,

ZADB=90°,

/./COP=90。，

在RtACDB中，

BP=PD,

點P為8C的中點，

/.PB=PC；

(2)BPLAB,

:"ABD+NCBD=9(f,

NDAB+NABD=90。,

：.NDAB=ZCBD

MBDskBCD,

ADAB

~BD~~BC，

BC=—,

2

八些=2

24

故8尸的長為”.

4

【點評】本題考查圓相切，相似三角形的判定等知識，解題的關鍵是三角形相似推出線段成比例.

2.(2023?平房區(qū)二模)如圖1,AJ8C內(nèi)接于中，48為直徑，點。在弧8C上，連接力0,CD.

(1)求證：ZC^+ZZ)=90°；

(2)如圖2,連接0c交力。于點/，若/。片8+2/以。=90°,求證：AC=CD；

(3)在(2)的條件下，如圖3,點E在線段C/上，連接力E,BE交AD于點H,若NEHA=2NEAH,AE=6,

OF=42,求線段6E的K.

【分析】(1)利直徑所對的圓周角是直角求得乙4C8==90。，再利用同弧所對的圓周角相等即可證明；

(2)根據(jù)圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)可證明/進而得出/1C=C。；

(3)連接。E,BD,證出NHED=NHDE,由圓周角定理得出乙4。8=90。，設乙HED=4HDE=。，則

4DHB=2p,NQ4E=9()?！?月，過點4作8G_L交的延長線于點G,求出8。=26,過點8作

BLA.DG『點乙，證出sinNZJ5G=sinN￡E6，得山區(qū)二也，則(2/『=)(6+2人)，解方程求出心。==1,

BGEG

由勾股定理可得出答案.

【解答】(1)證明：???AJ8C內(nèi)接于。。中，48為直徑，

.-.ZJC5=90°,

ZCJB+Z5=90°,

vAC=AC,

￡B=ZD,

NC48+N0=9O。.

(2)證明：vZDAB+2ZCAD=90°,

NDAB=90。-2NCAD,

在AJC8中，vZJC5=90°,

...2DAB=90°-ZCAD-4B,

/.90°-l^CAD=90°-ACAD-ZB,

ACAD=ZB,

ZB=ZD,

ACAD=ZD，

AC-CD.

(3)解：連接OE,BD,

???OC垂直平分力O,

/.AE=DE=6,

NEDA=Z.EAH，

NEHA=2Z.EAH,

ZEHA=2ZEDA,

ZEHA=NEDH+NHED,

ZHED=ZHDE,

?.F8為直徑，

.?.408=90。,

設AHED=/IIDE=p,

/.NDHB=2夕，NDBE=90。-2￡,

過點B作BG工BE交ED的延長線于點G,

ZGDB=90°-a,/DBG=20.

二.NG=2〃,

BD=BG,

AF-DF,AO-BO,

BD=BG=2OF=25/2，

過點4作4L_LDG于點L,

DL=GL,

設DL=GL=x,

NLBG+NG=/LEB+/G=90°,

/.4BG=NLEB,

/.sinZ.LBG=sinZ.LEB,

,LG_BG

5G-EG*

/.(2j2)2=x(6+2x),

解得X1=-4(舍去)，x2=1,

z.LD=LG=1,

EL=7,LB=E,

BE=[EI?+LB?=廳+訴2=2x/l4.

【點評】本題是圓的綜合題，考瓷了垂徑定理，圓周角定埋，等腰三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的

定義，勾股定理，止確添加輔助線是解決該問題的關鍵.

3.（2022?蔡甸區(qū)校級模擬）如圖，點七是正方形/4CQ邊8C上一點（點￡不與4、C重合），連接OE交

對角線4。于點F,尸的外接圓O交邊/A于點G,連接G。、GE.

（1）求/EOG的度數(shù)；

RF5

（2）若一-=一,求tan/DEG.

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出/41C=45。，由圓周角定理可得出答案；

（2）延長84至點P,使V=CE,連接QP,證明ADCEnAD4P（取S）,由全等三角形的性質(zhì)得出DE=DP,

ZCDE=NADP,NP="EC,證明ATOG三APQG（S4S）,由全等三角形的性質(zhì)得出/QEG=/P,則可

得出答案.

【解答】解：（1）?.?四邊形48CZ）是正方形,

AZBJC=45°,

^****-.

?.?GF=GF,

ZEDG=NFAG=45°：

（2）延長84至點P,使/尸=CE,連接OP,

BE5

*.*----=_，

CE2

CE2

?.----=-9

BC7

?.?四邊形力8c。是正方形，

/.AD=DC,NBAD=NDCE=9(f,

.../PAD=NDCE,

XvAP=CE,

ADCE合^DAP(SAS),

DEDP,/CDE=/ADP,Z.P=/DEC,

NADC=/PDE=9V，

/.ZEDG=4PDG=卷，

又DG=DG,

:3DG="DG(SAS),

：.￡DEG=ZF，

：.NDEC=/DEG,

CFCF2

/.tanNDEG=tanNDCE=—=—=-.

CDCB7

【點評】本題考查了圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練

掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

4.（2023?懷化）如圖，48是0。的直徑，點尸是。。外一點，PZ與。。相切于點力，點。為。。上的

一點.連接PC、AC、OC,且PC=P/l.

(1)求證：PC為。。的切線；

(2)延長PC與力8的延長線交于點。，求證：PDOC=PAOD；

(3)若NC4B=3O0,00=8,求陰影部分的面積.

【分析】(1)先由切線的性質(zhì)得/049=9()。，然后依據(jù)“SSS”判定APOC和AP。!全等，從而得

ZPCO=ZPAO=90°,據(jù)此即可得出結(jié)論；

(2)由NOCO=/Q力尸=90。，N0QC=NPD4可判定A0QC和APD4相似，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可

得出結(jié)論；

(3)連接8C,過點。作CE1OB于點E,先證A0C8為等邊三角形，再設0E=。，WOOA=OB=OC=2a.

CE=?,在RtACDE和在RtADOC中，由勾股定理得CO?=。爐+Q￡2一。。？，由此可求出〃的值,

進而得。。的半徑為4,然后根據(jù)S用影=S皿＜.-S叨形8“即可得出答案.

【解答】(1)證明：???/出為。。的直徑，尸力為。。的切線，

PA^OA,

即：ZPAO=90°,

?.?點C在。。上，

OC=OA,

在APOC和A產(chǎn)。/中，

OC=OA

PC=PA.

PO=PO

&POCwAPOA(SSS),

￡PCO=NPAO=9G,

即：PCIOC,

又。。為0。的半徑，

??.PC為OO的切線.

(2)證明：由(1)可知：OCLPD,

NDC0=/DAP=9。。,

又乙ODC=/PDA,

:.bODCsNPDA,

.PC_OD

"~PA~~PD'

即：PD(JC=PAOD.

(3)解：連接4C,過點。作CE_LO8于點E,

/."08=60。，

又OC=OB,

.??AOCB為等邊三角形，

CELOB,

0E=BE,

設。￡=a,顯然。工0,

則04=08=00=2。,

在RtAOCE中，0E=a,0C=2a,

由勾股定理得：CE^OdE：?,

???0。=8,

二.DE=OD-OE=^-a,

在RtACDE中，CE=6a,DE=8-a,

由勾股定理得：CD2=CE2+DE2=(Vi/)2+(8-?)2,

在R3D0C中，OC=2a,00=8,

由勾股定理得：C￡>2=OQ2—OC2=82-(24,

(Ga)、/-4=82_Qq)2,

整理得：2“=0,

「Q。0,

:.a=2?

.?.OC=2〃=4,CE=6=20

S'*=-（9Z）-CF=-x8x2x/3=8V3，

c人人-2

dc604x428乃

又?「%形MC=F-=7'

城形

?t'S陰影=Sg0c-SB0C=j-

【點評】此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，扇形

面積的計算，勾股定理的應用等知識點，解答此題的關鍵是熟練掌握全等三角形、相似三角形的判定方法,

理解切線垂直于過且點的半徑；過半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線；難點是在解答（3）時，設置

適當?shù)奈粗獢?shù)，利用勾股定理構造方程求出圓的半徑.

5.（2023?廣陵區(qū)二模）如圖，頂點為4-4,4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（0,0）,點P在該圖象上，OP交其

對稱軸/于點加，點M、N關于點力對稱，連接PN,ON.

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）若點P的坐標是（-6,3）,求AOP/V的面積：

（3）當點尸在對稱軸/左側(cè)的二次函數(shù)圖象I：運動時，請解答〈面問題:

①求證：4PNM=40NM；

②若AOPN為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標.

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的頂點設出二次函數(shù)的關系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點，求出。的值,

即可得出二次函數(shù)的關系式：

（2）設直線OP的解析式為y=將/點代入，求出直線。戶的解析式，再把工=-4代入y=-3丫，求出

歷的坐標，根據(jù)點M、N關于點。對稱，求出N的坐標，從而得出的長，再根據(jù)三角形的面積公式

即可得出答案.

(3)①設對稱軸，交x軸于點4,作尸C_L/于點C,由尸在二次函數(shù)圖象上，設尸。,-'『一力)，再由。的

4

坐標，表示出直線OP的解析式，進而表示出M,N及〃的坐標，設對稱軸/交x軸于點8,作PC_U于

點C,構建相似三角形：&VCPSAN8O.由相似三角形的對應角相等證得結(jié)論；

②AOPN能為直角三角形，理由為：分三種情況考慮：若NCW尸為直角，由①得到/尸NM=/CWM=45。，

可得出三角形/CN為等腰直角三角形，得到PC=CN,將表示出的PC及CN代入，得到關于加的方程，

求出方程的解得到機的值為0或4土灰,進而得到此時力與P重合，不合題意，故/ONP不能為直角；若

4P0N為直角，利用勾股定理得到。產(chǎn)+。漢2=。乂2,由夕的坐標，利用勾股定理表示出OP2，過OB及BN,

利用勾股定理表示出。小，由尸。及CN,利用勾股定理表示出ON?,《弋入OP2+ON?=PN?,得到關于機

的方程，求出方程的解得到〃，的情為4土4&或0,然后判斷NPON是否為直角：若NNPO為直角,則有

△PMNs'BMOsbBON,由相似得比例，將各自的值代人得到關于m的方程，求出方程的解得到，〃的值為

4,此時力與尸重合，故NN尸O不能為直角，綜上，點P在對稱軸/左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，NOPN

不能為直角三角形.

【解答】(1)解：設二次函數(shù)的表達式為y=〃(x+4)2+4,

把點(0,0)代入表達式，解得a=-!.

4

二次函數(shù)的表達式為y=-工。+4)2+4,

4

即u=-?-x2-2x；

4

(2)解：設直線。2為丁=化/工0),

將尸(-6,3)代入y=h,解得R=-g,

1

y=—x.

2

當x=-4時，y=2.

?.?點M、N關于點力對稱，

/.?/(-4,6).

:.MN=4.

-S居ON=SaoMN+SAPMN=12；

(3)①證明：設點。的坐標為2z),

4

其中/<-4，

設直線^?為卜二火武/工。)，

將2。代入y=k'x,解得太=.

44

/+8

y=-------x.

'4

當x=-4時，y=t+S.

.—+8).

AN=AM+=.

設對稱軸/交x軸于點8,作PC_L/于點C,

則8(-4,0),C(-4,--/2-2r).

4

...08=4,N8=4+(T-4)=T,PC=-4-Z

^C=-t-(--t2-2t)=-t2+t.

44

==-

則算=*?=-55T4

NCNB

~PC~~OB

又丁ZNCP=NNB0=9伊,

/.MCPskNBO.

￡PNM=NONM.

②AOPN能為直角三角形，理由如下：

解：分三種情況考慮：

⑺若/ONP為直角，由①得：NPNM=NONM=45。,

??.APCN為等腰直角三角形，

2

CP—NC，HP/JI-4=—m—m?

整理得：〃/一8，〃+16=0,即(〃L4)2=0,

解得：小=4,

此時點A與點P重合，故不存在P點使AOPN為直角三角形；

(ii)若NPON為直角,根據(jù)勾股定理得：OP2+ON2=PN2,

?/OP2=m1+(--m2-2m)2,ON2=42+m2,AN2=(m-4)2+(--m2-2m+m)2,

A4

/.m2+(-—w2-2m)2+42+m1=(同-4)2+(-—7n2-2m+m)2,

44

整理得:m(m2-8w-16)=0,

解得：加=0或/〃=—4-4/或-4+4行(舍去)，

當陽=0時，P點與原點重合，故NPON不能為直角，

當陽二-4-4及，即。(-4-4貶，4)時，N為第四象限點，成立，故/尸ON能為直角;

(iii)若/NPO為直角，可得NNPM=NOBM=90。,且NPMN=NBMO,

"MNsbBMO，

乂?/4MPN=ZOBN=90°,且4PNM=40ND,

APMNS'BON,

???XPMNs'BMOs'BON,

MBOBHn8-w4

OBNB4m

整理得:(〃-4)2=0,

解得：〃?=4,

此時力與尸重合，故ZNPO不能為直角，

綜上，點P在對稱軸/左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，AOPN能為直角三角形，當機=4+4拉，即

P（-4-4及,-4）時，N為第四象限的點成立.

【點評】此題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點坐標確定一次函數(shù)解析式，相似三角形的判

定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，本題（3）中的第②

小問利用的是反證法，先假設結(jié)論成立，利用邏輯推理的方法得出與已知條件，定理，公理矛盾，可得出

假設錯誤，原結(jié)論不成立.

6.（2024?寶安區(qū)二模）“海之躍”摩天輪是某地區(qū)的城市名片.濱城學校九年級（3）班的項目式學習團隊

計劃在摩天輪上測量一座寫字樓的高度.

【素材一】如圖1,“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上.擬測算的寫字樓與摩天輪在同一

平面內(nèi).

【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測角儀器（如圖2）.

【素材三】若學生身高和轎廂大小忽略不計，如圖3,摩天輪的最高高度為128米，半徑為60米，該團隊

分戌三組分別乘坐1號、4號和10號轎廂，當1號轎廂運動到摩天輪最高點時，三組隊員同時使用測角儀

觀測寫字樓最高處。點，觀測數(shù)據(jù)如表（觀測誤差忽略不計）.

（1）如圖3,請連接力。、BO,則NAOB=45。：

（2）求出1號轎廂運動到最高點時，4號轎廂所在位置6點的高度.（結(jié)果保留根號）

【任務二】推理分析，估算實際高度

（3）根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，計算寫字樓的實際窗度。N.（結(jié)果用四舍五入法取整數(shù)，&=

【分析】（1）由題可知，“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上，其中包含了3個橋

廂，因此乙40B=—x360°=45°：

24

（2）過點B作BEL40于點、E,由題可知，點力此時的高度為最高為128米，半徑為6（）米，因此。點高

度為68米，根據(jù)8EJ.4O,408=45。，可得OE=?cos45。=30夜，即可；

（3）連接。8,OC,BC,由素材1,素材3可得NCOA=90。，NOBC=NAOB=45。,則BC=60人,

2

過點。作_16c于點/，令BF=n,由素材2,3得：DF=5BF=5n,CF=-DF,=2n,可得

8c=60&=3〃，UPn=2072,因此產(chǎn)點的高度為：68+30及-20&=68+10后。82（米），即可.

【解答】解：任務一：（1）連接A。、80,如下圖所示：

.?“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上，其中乙408包含了3個橋廂,

3

/.408=±x360°=45。，

24

故答案為：45.

(2)過點8作8E1XO于點￡,

?.?點A此時的高度為最高為128米,半徑為60米,

???。點高度為68米，

?/BE1AO,ZAOB=45°,

OE=OBcos450=3042,

:.B點的高度為（68十30、5）米，

答：8點的高度為（68+30及）米.

任務二：（3）連接08,OC,BC，

由素材1，素材3可得NCOS=90。，4OBC=4AOB=45。，

則8c=60后，過點。作。/J.8C于點尸，

7

令BF=n,由素材2,素材3的4號轎廂測量情況和10號轎廂測量情況得：DF=5BF=5/z,CF=-DF=2〃，

5

:.BC=6（）72=3〃，即〃=2（）五，

??.尸點的高度為：68+30及-20、回=68+10后力82（米）,

答：寫字樓的實際高度。N約為X2米.

【點評】本題考查的是三角形的綜合體，熟練掌握勾股定理和余弦定理的運用是解題的關鍵.

7.（2022?江北區(qū)一模）如圖1,四邊形力歐?。是。。的內(nèi)接四邊形，其中49=4。，對角線4C、相交

于點E,在4c上取一點尸，使得力b=44,過點F作G〃_L<C交。。于點G、H.

（1）證明：MED-MDC.

（2）如圖2,若力E=l,且G”恰好經(jīng)過圓心。，求8c-CQ的值.

（3）若4E=1,EF=2,設8E的長為x.

①如圖3,用含有x的代數(shù)式表示MC。的周長.

②如圖4,8C恰好經(jīng)過圓心。，求ABCT）內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值.

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)與圓周角定理解得即可；

（2）利用垂徑定理和（1）的結(jié)論求得力C,CE的長，通過證明AOECSAJBC,利用相似三角形的性質(zhì)

即可得出結(jié)論；

（3）①利用垂徑定理和（1）的結(jié)論求得力（7,CE的長，再通過證明&4石/>2^爪7和A4石8s八￡歷c,利

用相似三角形的性質(zhì)求得AC,DE,CQ的關系式，利用三角形周長的意義解答即可；

②利用勾股定理求得BC,則MCD的外接圓半徑可得，設NBCD內(nèi)切圓半徑為，利用①中的紜論求得BD,

CQ和&5CQ的周長，利用三角形的面枳公式列出方程，解方程即可求得ABCQ內(nèi)切圓半徑.

【解答】（1）證明：vAB=AD,

AB=AD.

￡ADB=NACD.

???ZDAE=/CAD,

MEDSMDC.

(2)解：vMED^MDC,

?AE_A_D_

"7D~7C'

??,GH為。。的直徑，GH±AC,

AF=F'C=-AC.

2

vAB=AD,AF=AB,

AB=AD=AF,

：.AC=2AD.

AE_AD_\

"~AD~^C~1'

vAE-1,

/.AD=2.

AB=2,力。=4.

EC=AC-AE=3.

vAB=AD,

AB=AD.

；.NACB=NACD.

NBDC=NBAC,

WECs\ABC.

?_C_D_EC

"~AC~~BC'

：.BCCD=ACEC=4x3=\2.

(3)解：?vJ￡=l,EF=2,

/.AB=AD=AF=AE+EF=3.

MEDSMDC,

AEAD1

,——==-.

ADAC3

:.AC=3AD=9.

\CE=AC-AE=^.

:ACAD=^CBD,ACEB=ZDEA,

?.MEDSABEC.

.BEECBC

~AE~~ED~~AD'

xBC

*.—=------=------?

DE3

Q

..DE=-,8C=3x.

x

.?ZABD=ZACD,NAEB=NDEC,

\MEBS'DEC.

.4E二AB

■~DE~~CD'

I3

DC=—

x

24??2

/.ABCD的周長=8C+CZ)+8E+Of=3x+—+x+—=4x+—.

XXX

②；8c為。。的直徑,

ZBAC=900.

BC=>!AB2+AC2=X/32+92=3x/10.

??.MCZ)外接圓半徑為九w.

2

在RtAABE中，

BE=\IAE2+AB2=Vl2+32=ViO.

由①的結(jié)論可得：?！?3=±、而，

Vio5

8喘

△8CO的周氏=4而+推=史、伍',

V105

BD=BE+DE=2廂.

5

設A8C。內(nèi)切圓半徑為廠，

...上xABC'O的周長xr=-x5OC。.

22

555

/.r=—V10.

5

>2

.?.△8CO內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值—=-.

3業(yè)5

2

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形

的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，熟練掌握圓的有關性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵

題型二：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

1.（2022?開州區(qū)模擬）如圖，在等腰RtAABC中，AB=BC,。是BC的中點，￡為力C邊上任意一點，

連接。將線段OE繞點。逆時針旋較90。得到線段連接￡尸，交43于點G.

(1)如圖1,若AB-6,AE=-J1?求ED的長;

(2)如圖2,點G恰好是燈的中點，連接8/，求證：CD=6BF；

連接b,當b+咨

(3)如圖3,若AB=4及,4/取得最小值時.請直接寫出幾匹尸的值?

5

【分析】（1）過點E作EH工BC于點H,得ACHE=90°,在等腰直角三角形ABC中，求出BC=6,4C=6及，

再證明ACHE也是等腰直角三角形，最后在RtADHE中，求出OE即可；

（2）過點E作EM//BF于/1B交點、M,過點。作QN_L4。交力。于N,得出AaW為等腰直角三角形，

再證明三NEQ（S4S）,XEMGw&FBGQAS）,最后在等腰RtACDN中，求出CO與所關系；

（3）如圖3-1中，取力C的中點7,連接。7,BT,則ABOT是等腰直角三角形.首先證明點/在直線87

上運動，如圖3-2中，取,47的中點。，連接AQ,作尸〃_LA。干點〃，CJ工BQ于E.J,交力廠于點A.再

證明當點尸與H重合時，W+弓8尸的值最小，即可解決問題.

【解答】解：（1）如圖，過點芯作￡H_L8C于點〃，

:.NCHE=90。,

在等腰直角三角形48。中，

vAB=6,

/.BC=6,AC=6^/2,

???/)為BC中點,

：.CD=-BC，

2

vAE=y/2,

:.CE=AC-CE=5y[2,

ZC=45°,

.?.△?！ā暌彩堑妊苯侨切危?/p>

CH=EH=5,

HD=CH-CD=2,

.?.在RtADHE中，DE=\lEH2+HD2=729.

(2)如圖，過點E作EW//8產(chǎn)于交點M,過點。作。NJ.8c交力。于N,

D

/.ACON為等腰直角三角形，

:.CD=ND,

???BD=CD,

：.BD=DN,

???Z5+NBDE=Z6+iBDE，

Z5=Z6,

在.ABFD和hNED中,

BD=DN

</5=N6,

DF=DE

ABFD蘭NED(SAS),

BF=EN,N3=N4,

在.AEA/G和AMG中，

Z1=Z2

NMGE=/BGF,

GF=GE

XEMG^AFBG(AAS),

/.ME=BF,

ME=EN,

???Z2+Z3=45°,

Z1+Z4=45°,

NMEN=Z1+Z4+/FED=90°,

NAEM=90°,

:.MEM是等腰直角三角形，

:.AE=ME=BF=EN,

：.BF==AN,

2

-DN//BC,。是6C的中點，

CN=AN,

:.BF=-CN,

2

又???在等腰RtACDN中，CD=—CN,

2

CD=6BF.

（3）如圖3-1中，取4C的中點7,連接。7,BT,則是等腰直角三角形.

F

圖3-1

???NEDF=NTDB=90。,

/.Z.BDF=4TDE,

vDB=DT,DF=DE,

XBDFN^TDE{SAS),

ZDBF=NDTE=\35。，

NDBT=135。,

:.F,B,r共線，

點尸在直線ST上運動,

如圖3-2中，取力7的中點。，連接4。，作尸HLBQ于點H,CJ上BQ于點、J,交BT于點R.

BDC

圖3-2

FHQT1

?.*tanZ.FBH===—=—,

BHBT2

：.FH=-BF,

5

:.CF+—BF=CF+FH..CJ,

5

當點廠與火重合時，W+當P的值最小，

?：ZBTQ=NCTR=9G,RT=CT,NQBT=4RCT,

...^BTQ^\CTR（ASA）,

TR=QT,

?;AB=BC=4丘,ZABC=90°,

：.AC=QAB=8,

.-.AT=CT=BT=4,QT=RT=2,

:.BF=TE=2,

S&CEF=g,CE-FT=gx2x2=2.

【點評】本題考查/幾何變換的綜合應用，解題關鍵是正確作出輔助線，能判定出全等三角形，解直角等

腰三角形.

2.（2023春?璧山區(qū)校級期中）如圖，直線丁=去+6經(jīng)過點4（8,0）和以0,4）兩點，將AJO4沿直線/對折使

點,4和點8重合，直線/與x軸交于點C與48交于點。，點。的縱坐標為2,連接8C.

（1）求直線力3的解析式；

（2）若點E在x軸的負半軸上，且A8EQ的面積為1（）,求A80E的周長；

（3）已知歹軸上有一點尸，若以點8,C,P為頂點的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點

【分析】（1）根據(jù)給出的力、3兩點坐標，代入表達式，即可求出力8的解析式；

（2）根據(jù)AD=BD可以得出MDE的面積和\BDE的面積相等，然后過。作0"_Lx軸，可以求出/E的長,

然后得到。石的長，通過勾股定理，可以得到8f的長，即可得到ABOE的周長；

（3）根據(jù)題意，當BP=BC時,可得到兩個P點，通過8點的縱坐標±8。長可以得到對應的P點坐標，

當BC=CP,可以得到一個。點坐標，通過等腰三角形，可以得到〃點坐標，當PB=RC,可知小點在5C

的垂直平分線上，通過等腰三角形，導邊可以得出。點的坐標.

【解答】解:(1)將點/(8,0)和B(0,4)代入7=6+6中,得：

0=8k+/)

'4=b'

L-_l

解得：2，

6=4

故48的解析式為：y=--X+4；

2

(2)

將MOB沿直線/對折使點力和點B重合,

/.AC=BC,

設OC=x,貝ij8C=4C=8—x,

在RtAOBC中，

x2+42=(8-x)2,

A=3,

???。。=3,

?.AD=BD,

S'ADE=S他DE=10

?.?點。的縱坐標為2,

過。作。M1.x軸交x軸于點M,

DM=2,

'：S：W)E=AE-DM?

/.AE=\0,

OE=2,

08=4,

/.BE=\IOE2+OB2=2N/5,

??^.\HOE=2+4+2\/5=6+2\/5；

(3)以8點為圓心，4c長為半徑作圓，交y軸于R、g兩點，以。點為圓心，C8長為半徑作圓，交y軸

于點《，在y軸上找一點乙，使P48=P4C,

???。。=3,08=4,

/.BC-5,

?.?8(0,4),BP\=BP】=BC=5

.?.。4=08+%=4+5=9,。6=8鳥-8。=5-4=1,

隼0,9),呂(0,-1),

?/CP3=BC=5,

在RtAOCPj中，

OR=4,

??4(0,-4)，

BP，=CPq,

設。則。6=84=4一加，

在RtAOCPq中，

M+3?=(4-w)2,

故P點坐標為(0,9),(0,-1),(0,-4),(0,：).

X

【點評】本題考查了求一次函數(shù)解析式的方法，考查了一次函數(shù)的應用，考查了兩元一線的模型應用，通

過折疊求出對應邊相等，然后通過勾股定理來求對應的邊長.

題型三：胡不歸模型

1.（2023?湘潭縣校級三模）如圖，拋物線夕=?2+加：+33工0）與1￥軸相交于點4（_1,0）,8（3,0）,與y軸

交于點C,連接AC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點。為），軸上一個動點，連接8P,求JmCP+IOBP的最小值；

（3）連接XC,在x軸上是否存在一點P,使得NPCO+N4co=45。？若存在，求出點尸的坐標：若不存

【分析】（1）待定系數(shù)法求拋物線的解析式;

（2）對條件加。尸+104戶提取系數(shù)1（）,再利用胡不歸模型;

（3）構造和4CO相等的角，利用相似或三角函數(shù)值建立方程解決.

【解答】解:（1）?.?拋物線），=/+辰+35/0）與％軸相交于點4（TO）,8（3,0）,

。-6+3=0

,94+3力+3=0'

a=-\

解得

b—2

拋物線的解析式為歹=-/+2%+3；

（2）過點尸作尸垂足為過點4作8N_L4C,垂足為N,

在y=-x2+2x+3中，令x=0,則y=3,

?.C(0,3),

在A/iOC中，OA=\,OC=3,JC=VH),

OA廂

/.sin//CO=

~AC~~W

在ACM尸中，sinZACO=—=—

CP10

M嚕6

=-XxOC=-X4x3=-XACxBN=-xMxBN，

MBC2222

/.而CA+108P=10(*CP+8尸)=10(MP+8〃)..108N=10x縉F2府,

河CP+108尸的最小值為12布.

yA

:.ZACP=45°,

OA=OB=3,

：.ACOB是等腰直角三角形，

￡OCB=45°,

，AACO=NPCB,

過點8作PQJ.8C,垂足為。，

tan4PCB=絲=tanZACO=,

CQOC3

CQ=3P°,

設=則尸4=3-x,〃Q=PQ=￥(3-X),

又CQ+PQ=BC=36,

3x(3—x)+'^^(3—x)=35^",

3

/.A=—?

2

3

??.pg，o).

由對稱性得,P（-1,。）也滿足題意,

【點評】本題考查了二次函數(shù)用待定系數(shù)法求表達式，胡不歸模型等.第（3）問關鍵是構造和/力CO相等

的角，利用相似或三角函數(shù)值建立方程解決.

2.12023?徐州二模）拋物線），=--+云+3與直線》=工+1相交于4、8兩點，與歹軸相交于點C,點力在

x軸的負半軸上.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點。的坐標；

（2）如圖1,直線48上方的拋物線上有一動點P,過EP作PH上4B于點H,求垂線段P〃的最大值；

（3）如圖2,當點〃運動到拋物線對稱軸右側(cè)時，連接4尸，交拋物線的對稱軸于點當/1M+M

5

最小時，直接寫出此時力〃的長度.

圖1佟12

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解:

（2）證明APN”是等腰直角三角形，則P//=與N,進而求解；

2

（3）證明“&=。加5畝/乙。7'=正。加，得到故當力、M、R共線時，4W+正。為最小,

55

進而求解.

【解答】解：（1）?「y=x+l與x軸交于點力.

將y=0代入得x=-1,

.?.點4（一1,0）,

將點力的坐標代入拋物線表達式得：