第3課時專題強化：電場中的圖像問題電場中的功能

關系

【目標要求】1.掌握靜電力做功的計算方法及電場中常用的功能關系。2.掌握電場中的幾種常

見圖像。

考點一電場中的功能關系

幾種常見的功能關系：

(1)合外力做功等于動能的變化，即卬合=反2—反1=八反(動能定理)。

(2)重力做功等于物體重力勢能的變化，即WG=￡pGl-￡p32=-A￡po

(3)靜電力做功等于電勢能的變化，即W電=環(huán)電|一航電2=—4廝電。

(4)彈簧彈力做功等于彈性勢能的變化，即W^=Ep|—Ep2=—AEp外。

(5)除了重力和彈簧彈力之外其他力做的總功等于物體機械能的變化，即WH.他力=七機2一￡機I

=bE機。

說明：動能定理可以把不同力對物體做的功聯(lián)系起來；能量守恒定律可以把系統(tǒng)中參與變化

的所有能量聯(lián)系起來。

[例I](2023?四川瀘州市期末)如圖所示，帶正電小球A固定在絕緣天花板上，絕緣輕彈簧的

下端固定在水平地面上，彈簧處于自由狀態(tài)，現(xiàn)將與A完全相同的帶正電小球B放在彈簧上

端并由靜止釋放，若A、B球心和彈簧軸線始終在一條豎直線上，則小球B從釋放到第一次

運動到最低點的過程中，下列說法中正確的是()

QB

s

^

i

A.小球B速度最大時所受彈簧彈力和庫侖力的合力為零

B.小球B的加速度先減小后增大

C.小球B與彈簧組成系統(tǒng)的機械能一定減小

D.小球A與B組成系統(tǒng)的電勢能一定先減小后增大

答案B

解析小球B向下運動的過程中受到重力、庫侖力、彈簧的彈力作用，當彈簧的彈力、重力、

庫侖力的合力為0時，小球B的加速度為0,速度最大，故A錯誤；開始運動時，彈袋?的彈

力小于重力和庫侖力之相，合力豎直向下，小球向下做加速運動，由于彈簧的彈力逐漸增大,

庫侖力減小，合力減小，加速度減小，當合力減小為0時，速度最大，之后彈簧的彈力大于

重力與庫侖力之和，合力盤直向上，小球向下做減速運動，彈簧的彈力逐漸增大，庫侖力減

小，合力豎直向上，加速度增大，因此小球B的加速度先減小后增大，故B正確；由于庫侖

力對小球B做正功，由功能關系可知，小球B與彈黃組成系統(tǒng)的機械能一定增大，故C錯

誤：庫侖力對小球B做正功，小球A與B組成系統(tǒng)的電勢能一直減小，故D錯誤。

【例2】如圖所示，在水平向右的勻強電場中，質(zhì)量為機的帶電小球，以初速度。從朋點豎

直向上運動，通過N點時,速度大小為方向與電場方向相反，則小球從M運動到N的

過程（）

二N-

A.動能增加B.機械能增加2〃小

C.重力勢能增加呼第2D.電勢能增加2〃婚2

答案B

解析小球動能的增加量為△Ek=；/〃（2o）2—為加=去加2,A錯誤；小球在豎直方向上的分運

_2

動為勻減速直線運動，到N時豎直方向的速度為零，則M、N兩點之間高度差為〃=宗，小

球重力勢能，的增加量為△廊=/咫力=170\C錯誤；靜電力對小球做正功，則小球的電勢能

減少，由能量守恒定律可知，小球減小的電勢能等于重力勢能與動能的增加量之和，則電勢

31

能的減少量為A￡p'=^fiv2=2mv2,D錯誤：由功能關系可知，除重力外的其他力對

小球所做的功在數(shù)值上等于小球機械能的增加量，即2/加2,B正確。

考點二電場中的圖像問題

1-電場中的〃一，圖像

根據(jù)。一/圖像的速度變化、斜率變化（即加速度大小的變化），可確定電荷所受靜電力的方向

與靜電力的大小變化情況，進而確定電場的方向、電勢的高低及電勢能的變化。

【例3】（多選）（2023?寧夏銀川市一中模擬）一帶負電粒子僅在靜電力的作用下從A點沿直線運

動到8點，速度由0變?yōu)榱?，其速度一時間圖像如圖所示，下列說法正確的是（）

A.4、8兩點的電勢關系為e

B.A點附近的等勢面要比8點附近的等勢面稀疏

C.A.4兩點的電場強度大小關系為號>&

D.粒子從4點到B點的過程中，可能兩次經(jīng)過同一個等勢面

答案AC

解析根據(jù)速度由0變?yōu)椤?,速度減小，可知靜電力對粒子做負功，電勢能增加。根據(jù)帶電

粒子在電場中的運動規(guī)律可知，負電荷高勢低能，就吟（PB,故A正確；電場線密集的位置

等勢面密集，電場強度更大，則帶電粒子受到的靜電力更大，加速度大，在。一/圖像中斜率

的絕對值更大，A處斜率的絕對值大于B處斜率的絕對值，則電場強度的關系EA>EB,A點

附近的等勢面要比U點附近的等勢面密集，故B錯誤，C正確；粒子從A點到4點的過程中，

速度一直減小，則靜也力一直做負功，電勢能一直增大，故不可能兩次經(jīng)過同一個等勢面，

故D錯誤。

2.9一大圖像（電場方向與x軸平行）

（I）電場強度的大小等于（p-x圖線的切線斜率的絕對值，如果圖線是曲線，電場為非勻強電

場；如果圖線是傾斜的直線，電場為勻強電場（如圖）。切線的斜率為零時沿X軸方向電場強

度為零。

（2）在（p-x圖像中可以直接判斷各點電勢的高低，并可根據(jù)電勢大小關系確定電場強度的方

向，進而可以判斷電荷在電場中的受力方向。（如圖）

（3）電場中常見的夕一X圖像

①點電荷的夕一X圖像（取無限遠處電勢為零），如圖。

②兩個等量異種點電荷連線上的圖像，如圖。

③兩個等量同種點電荷的少一x圖像，如圖。

【例4］（多選）（2023?貴州貴陽市一中檢測）如圖所示，在x軸上的O點。=0）和8點（x=15cm）

分別固定放置兩點電荷切、碓，其靜電場的電勢夕在x軸上分布如圖所示，取無窮遠史的電

勢為零，下列說法正確的是（）

A.4、C兩點的電場強度相同

對稱性可知，點電荷夕沿x軸正方向最遠能到達。'處，由動能定理=AEk=O,則Uoo

=0,由對稱性知O'與。關于P點對稱，故點電荷q沿x軸正方向運動的最遠距離為2x2,

D正確。

4.Ep-x圖像、反一x圖像

（1）弓一x圖像

由靜電力做功與電勢能變化關系F電x=Epi—昂2=—AEp知Ep—x圖像的切線斜率k=囁,

其絕對值等于靜電力大小，正負代表靜電力的方向。

（2）Ek-x圖像

當只有靜電力對帶電體做功，由動能定理/電x=4-Ekc=AEk知Ek—%圖像的切線斜率k=

笑,斜率表示靜電力。

【例6】（2023?北京市北師大實臉中學檢測）一帶負電的粒子只在靜電力作用下沿x軸正方向運

動，其電勢能痂隨位置「變化的關系如圖所示，其中0?X2段是關于直線對稱的曲線,

也?內(nèi)段是直線，則下列說法正確的是（）

A.片處電場強度最小，但不為零

B.粒子在。?X2段做勻變速運動，及?X3段做勻速直線運動

C.若XI、X3處電勢分別為91、93,則31V93

D.X2?"3段的電場強度大小、方向均不變

答案D

解析師一1圖像的斜率表示粒子所受殍電力F,根據(jù)尸=qE可知汨處電場強度最小且為零，

選項A錯誤：粒子在0?即段切線的斜率發(fā)生變化，靜電力發(fā)生變化，所以加速度也在變化,

做變速運動，及?右段斜率不變，所以做勻變速直線運動，選項B錯誤；帶負電的粒子從制

到K3的過程中電勢能增加，說明也勢降低，即例＞93,選項C錯誤；X2?X3段斜率不變，所

以這段電場強度大小、方向均不變，選項D正確。

課時精練

基礎落實練

1.（2024?沏北省模擬）如圖所示，空間有一帶正電的點電荷，圖中的實線是以該點電荷為圓心

的同心圓，這些同心圓位于同一豎直平面內(nèi)，MN為一粗糙直桿，A、8、C、D是桿與實線

圓的交點，一帶正電的小球（視為質(zhì)點）穿在桿上，以速度。。從A點開始沿桿向上運動，到達

。點時的速度為。，則小球由4點運動到C點的過程中，下列說法正確的是（）

A.小球減少的機械能一定等于克服摩擦力做的功

B.小球減少的機械能一定大于克服摩擦力做的功

C.小球的機械能守恒

D.小球的機械能增大

答案B

解析小球由A點運動到。點，重力做負功，重力勢能增加，靜電力做的總功為負功，電勢

能增加，摩擦力做負功，產(chǎn)生熱量，由能量守恒定律知，小球減少的機械能等于增加的電勢

能與產(chǎn)生的熱量之和，故A錯誤，B正確；靜電力和摩擦力都做負功，機械能一定減少，故

C、D錯誤。

2.如圖甲所示，兩個點電荷。、。2固定在X軸上距離為L的兩點，其中彷帶正電，位于原

點O,人力是它們連線延長線上的兩點，其中。點與0點相距3L現(xiàn)有一帶電的粒子q以

一定的初速度沿x軸從〃點開始經(jīng)8點向遠處運動（粒子只受靜電力作用），設粒子經(jīng)過。、b

兩點時的速度分別為4、%，其速度隨坐標x變化的圖像如圖乙所示，則以下判斷正確的是

（）

A.0:0=4：9

B.〃點的電場強度一定為零

C.。點的電勢比力點的電勢高

D.粒子在。點的電勢能比在方點的電勢能小

答案B

解析由圖像可知，粒子在〃點之前做加速運動，6點之后做減速運動，可知在人點加速度

為0,由于粒子只受靜電力，所以方點包場強度為0,且?guī)ж撾?，因此嫖一?0,解

得Q：Q2=9：4,故A錯誤，B正確；

因為Q帶正電、Q帶負電，所以在段電場線方向由》指向出沿電場線方向電勢逐漸降

低，故〃點的電勢比〃點的電勢低，故C錯誤；粒子從〃到。過程中在做加速運動，故靜電

力做正功，電勢能在減小，所以粒子在。點的電勢能比在8點的電勢能大，故D錯誤。

3.（2023?江西贛州市模擬）帶電球體的半徑為R,以球心。為原點建立x軸，軸上各點電勢8

隨x變化如圖所示，卜列說法正確的是（）

A.球體帶正電荷

B.球心處電場強度最大

C.A、8兩點電場強度相同

D.一帶負電的試探電荷在B點的電勢能比在C點的電勢能大

答案D

解析從球邊緣出發(fā)向兩側也勢升高，而沿著電場線電勢降低，故球帶負電荷，A錯誤；球

是等勢體，故內(nèi)部任意兩點間的電勢差為零，故電場強度為零，B錯誤；A點與8點的電場

強度大小相等，但方向相反，C錯誤；從4到C,電勢升高，根據(jù)Ep=qe,故負電荷在8點

的電勢能比在。點的電勢能大，D正確。

4.（多選）一帶正電微粒只在靜電力作用下沿x軸正方向運動，其電勢能隨x變化的關系如圖所

示，其中。?即段是曲線，XI?X2段是平行于x軸的直線，?4段是傾斜直線，則下列說法

正確的是（）

A.O?川段電勢逐漸升高

B.。?由段微粒做加速度逐漸減小的加速運動

C.汨?X2段電場強度為零

D.X2?X3段的電勢沿x軸均勻降低

答案ACD

解析電勢能￡p=p心由于微粒帶正電，O?k段電勢能變大，所以電勢升高，A正確：根

據(jù)△￡p=FAx,圖線斜率反映靜也力，。?內(nèi)段圖線斜率變小，靜也力減小，加速度逐漸喊小，

由于電勢能增加，靜電力做負功，則微粒做減速運動，即微粒做加速度減小的減速運動，B

錯誤；M?*段斜率為零，不受靜電力，即電場強度為零，Cd確：一到心，電勢能均勻減

小，微粒帶正電，所以電勢沿x軸均勻降低，D正確。

5.（2023?山東濰坊市模擬）如圖所示，在方向豎直向下的勻強電場中，兩個質(zhì)量相同、帶電荷

量分別為一夕和+g的小球a、b固定于絕緣輕桿的兩端，輕桿可繞中點。處的固定軸在豎直

面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動。已知。點電勢為0,不考慮帶電小球間的相互作用力，以。點所在水平面

為零勢能面，桿從靜止開始由水平位置順時針轉(zhuǎn)動180。的過程中（）

IWI

A.小球a、b總動能一直增加

B.小球a、b系統(tǒng)機械能始終不變

C.小球a、b系統(tǒng)電勢能始終不變

D.小球a、b任一時刻的電勢能相等

答案D

解析稱電力對a球先做正功再做負功，對b球也是先做正功再做負功，所以桿從靜止開始

由水平位置順時針轉(zhuǎn)動90>的過程中小球a、b與輕桿組成的系統(tǒng)電勢能減小，總動能增加，

機械能增加;桿從90。轉(zhuǎn)到180。的過程中，系統(tǒng)電勢能增大，總動能減小,機械能減小，最

后與初始位置的電勢能相茅，機械能也相等，總動能為零，故A、B、C錯誤；由于。點處

電勢為零，由W電=0—品，在勻強電場中卬電=后"

因為兩小球運動過程中在任一時刻豎直方向上的位移大，:、相同，所以小球a、b任一時亥I的電

勢能相等，D正確。

6.（多選）真空中，點電荷a、b分別位于x軸上的x=-L處的P點和x=Z，處的。點，它們之

間連線上電場強度E隨位置x變化的圖像如圖所示。一帶正電的試探電荷由x=-0.52處的

M點由靜止釋放后能通過x=0.5L處的N點。不計試探日荷的重力，O為坐標原點，以下判

斷正確的是（）

A.a、b均帶正電

B.a電荷量大于b電荷量

C.x軸上從0至Q電勢先降低再升高

D.M、。間的電勢差大于0、N間的電勢差

答案BD

解析由題圖可知，從尸到Q電場強度方向不變，帶正電的試探電荷從M點由靜止釋放后

能通過N點，說明a帶正電、b帶負電，故A錯誤；a，帶正電、b帶負電,，合電場強度最小

時，a、b在該點產(chǎn)生的電場強度相等，設合電場強度最小時橫坐標為x,則有反=*?。寒a(chǎn)

氏=勺/巴L可知Qa>Qb,故B正確；從P到Q電場強度方向不變，從正電荷指向負電荷,

沿著電場線的方向電勢降低，可知入軸上從P至Q電勢逐漸降低，故C錯誤；M、。間的平

均電場強度大于。、N間的平均電場強度，M、。間距離和0、N間距離相等，根據(jù)E=%,

可知M、。間的電勢差大于。、N間的電勢差，故D正確。

7.有一電場在X軸上各點的電場強度分布如圖所示?，F(xiàn)將一帶正電的粒子（不計重力）從O點

由接近于0的速度釋放，僅在靜電力的作用下，帶電粒子沿％軸向右運動，則關于該電場在

x軸上各點的電勢"）、帶電粒子的電勢能（與）、動能（反）以及動能與電勢能之和（氏）隨A變化

的圖像，正確的是（）

答案c

解析根據(jù)X軸上各點電場強度的分布特點可知，該電場的分布類似于等量正電荷中垂線上

電場強度的分布，電1場線的方向與.1軸正方向一致。在工軸上，沿電場線的方向，電勢逐漸

降低，所以。點的電勢最高，故A錯誤；帶電粒子的電勢能耳=如，由題意知帶電粒子帶

正電，所以粒子在。點的電勢能最大，故B錯誤；由動能定理知，靜電力做的功等于動能的

變化量，有4&=以一以0,由題意知帶電粒子的初動能Eko=O,得Ek=qEx,靜電力始終做

正功，動能一直增大。由于電場強度隨x先增大后減小，所以動能隨x變化的圖像的切線斜

率先增大后減小，故C正確：帶電粒子在運動過程中，只有靜電力做功，故電勢能與動能的

總和保持不變，故D錯誤。

|力能力綜合練

8.如圖甲，粗糙絕緣的水平地面上，電荷量為。八、的兩個點電荷分別固定于相距為6L

的4、B兩處。一質(zhì)量為通電荷量為夕的帶負電小滑塊（可視為質(zhì)點）從X=一心處由靜止釋

放后沿x軸正方向運動，在x=2L處開始反向運動。滑塊與地面間的動摩擦因數(shù)為小滑塊

在不同位置所具有的電勢能&如圖乙所示，2點是圖線最低點，重力加速度為g。下列說法

正確的是（）

A.兩固定點電荷均為正電荷

B.QA=2QB

C.x=L處電勢最低

D.從一L到2L電勢升高紅詈

答案D

解析小滑塊帶負電，結合題意可知兩固定點電荷均為負電荷，在x=L處電勢能最低，則x

=L處電勢最高，故A、C錯誤；根據(jù)功能關系知Ep—x圖像的斜率表示靜電力，可知在x

=L處靜電力為零，則喘上=蟠夕.解得QA=4Q〃，故B錯誤：對滑塊，從一L到2L由

動能定理有一加一〃〃83￡=0—0,解得U="學，則從一￡到2L,電勢差為負，電勢升高

型必，故D正確。

q

9.（多選）（2023?福建廈門市質(zhì)檢）空間中有水平方向上的勻強電場，一質(zhì)量為〃?、帶電荷量為q

的微粒在某平面內(nèi)運動，其電勢能和重力勢能隨時間的變化如圖所示，則該微粒（）

A.一定帶正電

B.。?3s內(nèi)靜電力做的功為-9J

C.運動過程中動能不變

D.0?3s內(nèi)除靜電力和重力外所受其他力對微粒做的功為12J

答案BCD

解析由于不清楚電場強度的方向，故無法確定微粒的電性，故A錯誤；由題圖可知，（）?

3s內(nèi)電勢能增加9J,則0?3s靜也力做的功為一9J,故B正確；由懣圖可知，電勢能均勻

增加，即靜電力做的功與時間成正比，說明微粒沿靜電力方向做勻速直線運動，同理，沿重

力方向也做勻速直線運動，則微粒的合運動為勻速直線運動，所以運動過程中速度不變，動

能不變，故C正確；由功能關系可知，。?3s內(nèi)重力勢能與電勢能共增加12J,又微粒的動

能不變，故0?3s內(nèi)除靜電力和重力外所受其他力對微粒做的功為12J,故D正確。

10.（2021?山東卷心）如圖甲所示，邊長為。的正方形，四個頂點上分別固定一個電荷量為+q

的點電荷；在0忘1＜景區(qū)間，x軸上電勢°的變化曲線如圖乙所示?，F(xiàn)將一電荷量為一Q的

點電荷P置于正方形的中心O點，此時每個點電荷所受庫侖力的合力均為零。若將P沿工

軸向右略微移動后，由靜止釋放，以下判斷正確的是（）

A.。=粵［，釋放后P將向右運動

B.。=夸匕】，釋放后尸將向左運動

C.Q=R*4,釋放后P將向右運動

D.。=吟"夕，釋放后尸將向左運動

答案C

解析對在丁軸正半軸上的點電荷，由平衡條件可得啦呼十斤若予=3^一，解得Q=

2￡+［，因在OWxQpa區(qū)間內(nèi)沿x軸正方向電勢升高，則電場強度方向沿x軸負方向，則

將。沿x軸向右略微移動后釋放，夕受到向右的庫侖力而向右運動，故選C。

11.（2023?廣東中山市模擬）如圖，固定于同一條豎直線上的點電荷人、8相距為2J,電荷量分

別為+Q和一Q°MN是豎直放置的光滑絕緣細桿，另有一個穿過細桿的帶電小球，質(zhì)量為〃?、

電荷量為+g（可視為點電荷，q遠小于Q）,現(xiàn)將小球從與點電荷A等高的。處由靜止開始釋

放，小球向下運動到距C點距離為4的O點時，速度為九已知MN與八8之間的距離也為

d.靜電力常量為七重力加速度為g。求：

+Q《畫

?C

o

QD

-BN

(1)從C到。過程靜電力對小球做的功We與C、O間的電勢差Ucox

(2)小球經(jīng)過。點時加速度的大?。?/p>

(3)小球經(jīng)過與點電荷B等高的。點時速度的大小。

答案⑴品/-〃儂若產(chǎn)

(2成罌+且(3曲

解析⑴根據(jù)動能定理有〃?gd+Wco=5加，得一〃7g4C、。間的電勢差為

Wco/加一2〃2gd

UCO=—=2q

(2)點電荷A、B在。點的電場強度大小均為

則合包場強度大小E'=^2E,小球經(jīng)過O點時加速度的大小為4,由牛頓第二定律得9E'

@]E+〃igEkQq

+/〃g=〃?a,解得a

m2crm卜g