專(zhuān)題4.18角(知識(shí)講解)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握角的概念及角的表示方法；

2.借助三角尺畫(huà)一些特殊角，能進(jìn)行角度的互換；

3.掌握角的分類(lèi).

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、角的概念

1.角的定義：

(1)定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn),

這兩條射線是角的兩條邊.如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)0,邊是射線OA、OB.

射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部.如圖2所示，射線0A繞它的端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)到OB的位

置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊.

特別說(shuō)明：

(1)兩條射線有公夫端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)：角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短

無(wú)關(guān).

(2)平角與周角:如圖1所示射線OA繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn),當(dāng)終止位置OB和起始位置0A成一

條直線時(shí)，所形成的角叫；故平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做

周角.

BOA

平角周角

圖1圖2

2.角的表示法：

角的幾何符號(hào)用“N”表示，角的表示法通常有以下四種:

表示方法圖示記法適用范圍

乙AOB任何情況都造

(1)用三個(gè)大

或用，表示蕉點(diǎn)的

寫(xiě)字母裊示上

0BZ.BOA字母寫(xiě)在中間

以某一點(diǎn)為頂點(diǎn)

(2)用一個(gè)大的角只有一個(gè)

LO

寫(xiě)字母裊示/時(shí)，可以用頂點(diǎn)

O裊示角

(3)用阿拉

L\任何情況都適用

伯?dāng)?shù)字表示/

(4)用奉臘字/

La任何情況都適用

母表示

特別說(shuō)明：

用數(shù)字或小寫(xiě)希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或

小寫(xiě)希臘字母.

要點(diǎn)二、方位角

在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線0A的方向是北偏

東60。；射線0B的方向是南偏西30°.這里的“北偏東6()?！焙汀澳掀?0°”表示方

向的角，就叫做方位角.

(1)正東，正西，正西，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示；

(2)方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60?！币话悴徽f(shuō)成“東偏北

30°”；

(3)在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫(huà)出表示方向的“十字線”,

確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；

(4)圖中的點(diǎn)0是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以0為端點(diǎn).

要點(diǎn)三、鐘面角問(wèn)題

鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°,

時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°,時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5。，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)

算問(wèn)題.

【典型例題】

知識(shí)點(diǎn)一、角的概念

0^1.如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.ZAOB也可用N。來(lái)表示

B.“與N8OC是同一個(gè)角

C.圖中共有三個(gè)角：ZAOB.ZAOC,ZBOC

D.N1與N/UM是同一個(gè)角

【答案】A

【分析】根據(jù)角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，也可以用三個(gè)大寫(xiě)字母表

示.其中頂點(diǎn)字母要寫(xiě)在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母

來(lái)記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角.角還可以用一個(gè)希臘字母（如/a,/小

N八…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（NI,N2…）表示進(jìn)行分析即可.

解：A、N1與NA08是同一個(gè)角，不可用N。來(lái)表示，說(shuō)法錯(cuò)誤；

B、與N80C是同一個(gè)角，說(shuō)法正確；

C、圖中共有三個(gè)角：NA04,ZAOC,NBOC,說(shuō)法正確；

D、N1與NAOB是同一個(gè)角，說(shuō)法正確；

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了角的概念，關(guān)鍵是掌握角的表示方法.

舉一反三：

【變式1】下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）兩條射線所組成的圖形叫做角；

（2）角是有公共端點(diǎn)的兩條射線；

（3）角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)；

（4）兩條射線，它們的端點(diǎn)重合時(shí)可以形成角；

（5）有一個(gè)公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做隹.

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)角的定義及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

解：（1）有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角，故（1）錯(cuò)誤；

（2）角是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，故（2）錯(cuò)誤；

（3）角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，說(shuō)法正確；

（4）兩條射線，它們的端點(diǎn)重合時(shí)可以形成角，說(shuō)法正確；

（5）有一個(gè)公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故（5）錯(cuò)誤.

即正確的個(gè)數(shù)為2個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了用的定義及性質(zhì)，緊扣角的定義即可作答.角的定義：有公共端點(diǎn)

的兩條射線所組成的圖形叫做角；一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)至另一個(gè)位置所形

成的圖形.

C、不能用Nl,N/108,NO三種方法表示同一個(gè)角，故C選項(xiàng)不合題意;

D、不能用Nl,ZAOB,NO三種方法表示同一個(gè)角，故D選項(xiàng)不合題意:

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了用的表示方法的應(yīng)用，角可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，也可以用三個(gè)

大寫(xiě)字母表示，其中頂點(diǎn)字母要寫(xiě)在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處

的一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角.

舉一反三：

【變式1】將圖中的角用不同的方法表示出來(lái)，并填寫(xiě)下表：

Z1N3—N4—

——ZADC—ZABC

【答案】Z2DBZDACNECFNE

【分析】根據(jù)角的表示方法分析即可，角的兩個(gè)基本元素中，邊是兩條射線，頂點(diǎn)是這

兩條射線的公共端點(diǎn).是同一個(gè)角必須滿(mǎn)足頂點(diǎn)相同，角的兩邊必須分別是指同一條射線.

解：NAQC可以表示為Z2,

NA8C可以表示為DA,

N1可以表示為ND4C,

N3可以表示為/或尸，

N4可以表示為NE，

故答案為：N2,DB,ZDAC,/ECF,ZE.

【點(diǎn)撥】本題考查了角的表示方法，理解角的表示方法是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖,用三個(gè)大寫(xiě)字母表示N1為：Z2為：N3為.

A

M

CNB

【答案】/MCBZAMC/CAN

【分析1根據(jù)知的表示方法：角可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，也可以用三個(gè)大寫(xiě)字母表

示.其中頂點(diǎn)字母要寫(xiě)在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母

來(lái)記這個(gè)角.

解：用三個(gè)大寫(xiě)字母表示N1為NMC8：N2為NAMC；N3為NC4N：

故答案為：/MCB；ZAMC；/CAN.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了角的概念，關(guān)鍵是掌握角的表示方法.

知識(shí)點(diǎn)三、角的分類(lèi)

個(gè)小于180。的角，其中最大的角是

【答案】6NAOD

【分析］根據(jù)角的表示準(zhǔn)確計(jì)算即可；

解：根據(jù)已知圖形可得，小于180。的角有：ZAOD,乙408,ZAOC，/BOC,NBOD,

NC8共有6個(gè)；其中最大的是N4O。；

故答案是6；ZAOD.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了角的意義和表示，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖，銳角的個(gè)數(shù)共有個(gè).

D

C

【答案】5

解：以04為一邊的角N4OA=20。，/40。=20。+30°=50。，Z/^00=20°+30°+50°=100°

(鈍角舍去)，

以08為一邊的角NBOC=30°,ZBOD=500+30°=80°,

以O(shè)C為一邊的角NCOD=50。.

銳角共有N4O叢ZAOC,ZBOC,/BOD,4cOD.

故答案為：5.

【變式2】如圖所示，NBOD=45。，那么不大于90。的角有一個(gè)，它們的度數(shù)之和是

【答案】104500

【分析】(l)/AOE=90。，故圖中所有的角都是不大于90。的角；

(2)將所有的角相加，發(fā)現(xiàn)有的角相加等于NEOA,即和為90。,而有的角相加等于NBOD,

即和為45。，將這樣的角湊在一起計(jì)算，即可求出所有角的度數(shù).

解：不大丁90c的角有NEOD,ZEOC,ZEOB,ZEOA,ZDOC,ZDOB,ZDOA,

ZCOB,ZCOA,/BOA共10個(gè)；

它們的度數(shù)之和是(NEOD+NDOA)+(NEOC+ZCOA)+(ZEOB+NBOA)+

[(ZDOC+NCOB)+NDOB]+ZEOA=90°+90°+900+(45。+45。)+90°=450°.

故答案為10；450°.

【點(diǎn)撥】此題主要考查角的表示與和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知角的定義運(yùn)算法則.

知識(shí)點(diǎn)四、鐘面角

、（1）如圖，分別確定四個(gè)城市相應(yīng)鐘表上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù).

（2）每經(jīng)過(guò)lh,時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)多少度？每經(jīng)過(guò)imin,分包轉(zhuǎn)過(guò)多少度？

（3）當(dāng)時(shí)鐘指向上午10：10,時(shí)針與分針的夾角是多少度？

（4）請(qǐng)你的同伴任意報(bào)一個(gè)時(shí)間（精確到分），你來(lái)確定時(shí)針與分針的夾角.

【答案】（1）30°,0°,120°,90%（2）30°,6°；（3）115°；（4）答案不唯一,見(jiàn)分析.

【分析】（1）時(shí)針的12個(gè)小時(shí)把360。分解成12份，每份30。，按照這個(gè)度數(shù)關(guān)系對(duì)每

個(gè)時(shí)鐘表進(jìn)行計(jì)算即可.

（2）時(shí)針1小時(shí)走總度數(shù)的*,分針60分鐘把360。分解成60份，每份6。，分計(jì)一

分鐘走一格，故是6。.

（3）先求出此時(shí)時(shí)針與10點(diǎn)整時(shí)時(shí)針的夾角，再用30。減去這個(gè)夾角，再加上3個(gè)30。

即可.

（4）方法與（3）相同，任選一個(gè)時(shí)間進(jìn)行計(jì)算即可.

解：（1）巴黎時(shí)間：12到1夾角為360。的《，是30。

倫敦時(shí)間：夾角為0°

北京時(shí)間：4個(gè)30。，故為120。

東京時(shí)間:3個(gè)30。，故為90。

（2）時(shí)針每經(jīng)過(guò)1小時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)360。引2=30。，分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)360*60=6。

（3）此時(shí)分針走過(guò)了360。的!，所以時(shí)針移動(dòng)的角度占30。的!，是5。，所以剩余

66

25°,

故夾角為：25。+30。+30。+30。=115。

（4）9:20時(shí)此時(shí)時(shí)針與分針夾角是多少？

解：此時(shí)分針走過(guò)了360。的g,時(shí)針移動(dòng)的角度占30。的g,是10。，

20。+30°+30。+30+300+30°+30°=200。

故夾角為：360°-200°=160°.

【點(diǎn)撥】本題考查時(shí)針?lè)轴樤谵D(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的夾角的求解，熟練掌握時(shí)針每小時(shí)走30。,

分針每分鐘走6。是本題關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】已知時(shí)鐘在5點(diǎn)到6點(diǎn)之間，分析時(shí)鐘的時(shí)針與分針成直角時(shí)的時(shí)間可能是

兒點(diǎn)兒分？

【答案】5時(shí)號(hào)分或5時(shí)泮分

【分析】根據(jù)對(duì)鐘表的認(rèn)識(shí)，可得時(shí)針每分鐘走0.5度，而分針每分鐘走6度，5點(diǎn)時(shí)

針和分針的角度為150。，設(shè)5點(diǎn)x分，時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌葹?0。，根據(jù)情況分類(lèi)討論,

即可得出答案.

解：5點(diǎn)時(shí)針和分針的角度為15()。，設(shè)5點(diǎn)x分，時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌葹?0。，

(I)時(shí)針在分針的前面時(shí)，

150+0.5X-6尸90,

解得：戶(hù)與；

(2)時(shí)針在分管的后面時(shí)，6x-I50-0.5A-=90,

480

舟《侍：^=—.

故答案為：5時(shí)詈分或5時(shí)答分.

【點(diǎn)撥】本題考查了時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌葐?wèn)題，考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，解答此

題的關(guān)鍵要明確：時(shí)針每分鐘走0.5度，分針每分鐘走6度.

【變式2](1)鐘表上2時(shí)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻匿J角的度數(shù)是多少？

(2)若時(shí)針由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)55分，問(wèn)分針轉(zhuǎn)過(guò)多大的角度？

【答案】(1)22.5°；(2)150°

【分析】(1)利用鐘表的鐘面上每一格的度數(shù)為30度，然后利用時(shí)針從數(shù)字2開(kāi)始轉(zhuǎn)

動(dòng)的角度為15乂().5。=7.5。，然后用30。減去7.5。得到時(shí)針與分針?biāo)傻匿J角的度數(shù)；

(2)利用分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6。求解..

解：(解2點(diǎn)15分時(shí)分針指向數(shù)字3,而時(shí)針從數(shù)字2開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為15X0.5。=7.5。，

所以鐘表上2時(shí)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻匿J角的度數(shù)為30。-7.50=22.5°；

(2)分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為25x6。=150。.

【點(diǎn)撥】本題考查了鐘面角：分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為：360。:60=6。；時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)

的角度為：360^12^60=0.5°.

知識(shí)點(diǎn)五、方位角

@>5、如圖，A地和8地都是海上觀測(cè)站，從A地發(fā)現(xiàn)它的東北方向(北偏東45。)

有一艘船.同時(shí)，從8地發(fā)現(xiàn)這艘船在它的北偏西60。方向.在圖中畫(huà)出這艘船的位置0.(保

留作圖痕跡)

北

小東

AB

【答案】見(jiàn)分析

【分析】利用方向角分別得出北偏東45。方向以及北偏西60。方向的位置產(chǎn)生的交點(diǎn)即

為所求.

解：如圖所示：先作北偏東45。方向的射線AO,然后作北偏西60。方向的射線80,兩

條射線交于點(diǎn)。，點(diǎn)0即為這艘船的位置.

北

4東

【點(diǎn)撥】此題主要考杳了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，正確掌握方向角的確定方法是解題關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖，射線Q4表示的方向是北偏東44。，射線08表示的方向是北偏東76。,

已知圖中N8OC=122。.

(1)求NAO8的度數(shù)；

(2)寫(xiě)出射線。。的方向.

【答案】(1)32。(2)北偏西46。

【分析】(1)根據(jù)方向角的定義，結(jié)合圖形中角的和差關(guān)系得出答案;

(2)根據(jù)角的和差關(guān)系求出NNOC即可.

(1)解：如圖，

射線Q4表示的方向是北偏東44。，即ZNOA=44°,

射線08表示的方向是北偏東76。，即ZMM=76。，

ZAOB=ZNOB-ZNOA=76°-44°=32°,

即NAO4=32。；

(2)解：-.ZBOC=122°,ZNOB=76°,

ZNOC=ZBOC-ZNOB,

=122°-76°,

=46°,

「?射線OC的方向?yàn)楸逼?6°.

【點(diǎn)撥】本題考查方向角，解題的關(guān)鍵是理解方向角的定義以及角的和差關(guān)系.

【變式2】根據(jù)描述標(biāo)出每個(gè)同學(xué)家的位置

(I)小紅家在學(xué)校東偏北30。方向15()米處.

(2)學(xué)校在小平家北偏西45。方向200米處.

(3)小華家在學(xué)校南偏西60。方向100米處.

(4)小剛家在學(xué)校西偏北30。方向150米處.

北

學(xué)校

50m

【答案】（1）見(jiàn)分析⑵見(jiàn)分析（3）見(jiàn)分析（4）見(jiàn)分析

【分析】（1）利用方向角的定義即可解答；

（2）利用方向角的定義即可解答；

（3）利用方向角的定義即可解答；

（4）利用方向角的定義即可解答.

解：⑴如圖所示.

（3）如圖所示,

【點(diǎn)撥】本題考查了用坐標(biāo)表示地理位置.，正確掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)六、方位角的計(jì)算

、如圖,學(xué)校4在小蕾家B南偏西27。的方向上，點(diǎn)C表示核酸檢測(cè)點(diǎn)所在的位

置,ZABC=136°,則核酸檢測(cè)點(diǎn)在小蕾家什么方向？

北

【答案】核酸檢測(cè)點(diǎn)在小蕾家北偏東71。方向

【分析】由題意易得乙46。-136\"BE—/ABD-YT,則有/石6。-19%然后問(wèn)

題可求解.

解：如圖,

北

VZA5C=136°,ZDfiE=90°,/A6D=27°,

???ZEBC=136°-27°-90°=19°,

NEB尸=90°,

.,.ZCBF=71°,

???核酸檢測(cè)點(diǎn)在小蕾家北偏東71。方向.

【點(diǎn)撥】本題主要考查方位角，熟練掌握方位角是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】垃圾打撈船A和8都停駐在湖邊觀測(cè)湖面，從A船發(fā)現(xiàn)它的北偏東60。方向

有白色漂浮物，同時(shí)，從8船也發(fā)現(xiàn)該白色漂浮物在它的北偏西45。方向.

（1）試在圖中確定白色漂浮物C的位置；

B

■

A

（2）點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東60。的方向上，那么點(diǎn)A在點(diǎn)C的方向上.

A.南偏東30。B.南偏西30。C.南偏東60。D.南偏西60。

（3）猜想幺8度數(shù)為.

【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）D；（3）105°

【分析】（1）根據(jù)題意構(gòu)建方位，然后可得出點(diǎn)C的位置；

（2）由方位圖可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)；

（3）過(guò)點(diǎn)C作直線CD與正北方向平行，由方位角可得點(diǎn)A在點(diǎn)C的南偏西60。方向

上，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東45。方向上，即NACD=60。，ZDCB=45°,進(jìn)而問(wèn)題可求解.

解：（1）由題意可作如圖所示：

c

北