7.4空間直線、平面的垂直

考試要求

T

1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.

2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

陛備知識(shí)回顧自主學(xué)習(xí)?基啾回扣、

教材回扣

1.直線與平面垂直

(1)定義：一般地，如果直線/與平面。內(nèi)的廷堂二委直線都垂直，我們就說直線，與平

面a互相垂直，記作LLa.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

項(xiàng)目文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

Ua

如果一條直線與一個(gè)

1〃Ua

判定平面內(nèi)的兩條相交直mfyn=P

定理菖垂直，那么該直線7I±m(xù)

與此平面垂直/_L/

=>/±a

ah

性質(zhì)垂直于同一個(gè)平面的

□6Ja)

定理兩條直線平行

27a//h

(3)直線和平面所成的角

①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成

的角.一條直線垂直于平面，它們所成的角是會(huì)一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們

所成的角是3

②范圍：［o,5.

2.平面與平面垂直

(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.在二面角的棱上任

取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB,則射線OA

和OB構(gòu)成的NAOA叫做二面角的平面角,二面角的平的角的取值范圍是10,兀］W.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

項(xiàng)目文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一個(gè)平面過另一

判定

個(gè)平面的垂線,那么4

定理

這兩個(gè)平面垂直1a_LB

兩個(gè)平面垂直，如果aU

一個(gè)平面內(nèi)有一直線anB=a

性質(zhì)%

垂直于這兩個(gè)平面的/_La

定理

交線,那么這條直線￡(JIUB,

與另一個(gè)平面垂直=>/J_a

3.空間距離

(1)點(diǎn)到平面的距離：過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這

個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離W.

(2)直線到平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任段二底到這個(gè)平面的

距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.

(3)兩個(gè)平行平面間的距離：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一

個(gè)平面的距離都相等,我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.

4.垂直、平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

回教材拓展

1.三垂線定理

若平面內(nèi)的一條直線加平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂

直.

2.三垂線定理的逆定理

若平面內(nèi)的一條直線知平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.

基礎(chǔ)檢測(cè)

W------

1.判斷(正確的畫7”，錯(cuò)誤的畫“x”)

(1)若直線/與平面"內(nèi)的兩條直線都垂直，則/_!_/(x)

(2)若直線a_La,〃_La,則?！ā?(、)

(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.(x)

(4)若a邛,貝ija〃a.(x)

2.(人教A版必修第二冊(cè)P151例3改編)已知直線。，〃和平面a,若?！╝,則*_Ld'

是7_11的(B)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：必要性：若則存在直線〃?u“，a//m,由于8_La,mua,得。_L/%因?yàn)椤?/p>

_L"z,a//m,所以必要性成立；充分性：如圖，若平面ABCD為平面a,直線A\B\

為直線。，直線BiG為直線"滿足“〃a,〃_!_〃，但81cl〃平面A4CO,即/?〃a,充分性不

成立.所以“_La”是，_La”的必要不充分條件.故選B.

3.（人教A版必修第二冊(cè)P158例7改編）如圖，以垂直于矩形A8CQ所在的平面，則

圖中與平面PCQ垂直的平面是（C）

A.ABCDB.平面PBC

C.平面PADD.平面PAB

解析：因?yàn)橐訽1_平面/WCO,COu平面所以以_LCQ,由四邊形ABC。為矩形

得CO_LA。，因?yàn)橐?AO=A,所以COJ_平面布。.又CQu平面PC。，所以平面/<7）_1_平

面BAD故選C.

4.（人教A版必修第二冊(cè)P162練習(xí)T1改編）已知直線a,b,/和平面a,則下歹J命題

正確的是（B）

A.若?！╞,a//a,則?！╝

B.若a〃人，aCa,b*a,a//a,Mb//a

C.若/_!_〃，lA-braua,bua,則/-La

D.若〃_!_/?,a_La,則〃〃a

解析：若a〃b,a//a,則可能〃u%所以A錯(cuò)誤：若?！▋篗a,b?,a//a,則小〃

a,所以B正確：若/_La,/_L〃，aua,bua,當(dāng)?！╞時(shí)，/與a不一定垂直，所以C錯(cuò)誤；

若q_LA,ala,則可能。ua,所以D錯(cuò)誤.故選B.

直鍵能力

提升互動(dòng)體完弋點(diǎn)精講「

考點(diǎn)1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

【例1】如圖，在三棱柱ABC-AliG中，點(diǎn)當(dāng)在底面4BC內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)C.

（1）若。是AC的中點(diǎn)，且DA=DB,求證：AB_LCG；

（2）已知以G=2,BiC=2小，求△BCG的周長(zhǎng).

(2)求證：4NJ_平面尸BM；

(3)若AQJ_PB,垂足為Q,求證：NQ1PB.

解：為。。的直徑，

又人M=8M=2,

又勿垂直于。。所在的平面，PA=2,

Vp.ARM=彳5AARM-B4=§X2x2=§,

,:Q為PB的中點(diǎn)，

_1_i4_2

??VQABM-91vZp-ABW-

(2)證明：由(1)知AM_LBM.

又以_L平而ABM,8Wu平而ABM,

：,PALBM.

51PAQAM=At%，AMu平面附M,

.?.4M_L平面PAM.

又ANu平面附M,，8M_LAN.

義AN1PM,且8MnPM=M,BM,尸Mu平面PBM,???AN_L平面P8M.

(3)證明：由(2)知AN_平面PBM,

???P8u平面P8M,；?ANtPB.

又AQUB,ANQAQ=A,AN,AQu平面ANQ,??.PBJ_平面ANQ.

大NQu平面ANQ,：.NQ1PB.

考點(diǎn)2平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

【例2】如圖，在三棱柱A4C-A3C1中，側(cè)面461cle為菱形，

ZCBBi=60°,AB=BC=2,AC=A8i=4I求證：平面ACS_L平面88CC

化、、、

【證明】如圖，連接8G,交8c于點(diǎn)。，則。為8G,81c的中點(diǎn)，連接AD

因?yàn)锳C=4Bi,所以AO_L8C.

因?yàn)閭?cè)面881GC為菱形，NCBBi=60。,AB=BC=2,AC=ABi=y[2,

所以BD=3,40=1,所以從外二胡爐+人。2，即力。_1_3。.

因?yàn)?|。。8。=。，B\C,8Ou平面8B1GC,所以4D_L平面BBCC.

因?yàn)?Du平面AC辦,所以平面ACS_L平面BBiGC.

BB{

,規(guī)律總結(jié)

1.判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定義.

(2)面面垂直的判定定理.

2.面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

(1)面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的

直線

(2)若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】如圖，在四棱錐2A8C。中，底面A8CO為矩形，平面％。_L平面ABC。,

PA±PD,PA=PD,￡為的中點(diǎn).求證：

(1)PE±BC；

(2)平面平面PCD.

證明：⑴因?yàn)?=PD,E為4。中點(diǎn)，所以尸

又因?yàn)槠矫嫱馄矫鍭BC”平面以DC!平面48CQ=A。，PEu平面附D,所認(rèn)PE

_L平面ABCD.

又BCu平面人4co，所以PE_L8C.

(2)由(1)知，PE上平面ABCD,因?yàn)镃Qu平面48C。，所以PE工CD.

在次巨形ARCD中，AAICD.

又因?yàn)锳DCPE=E,AD,P￡u平面以。，所以。。_1_平而％D

又APu平面PAD,所以CO_LAP.

因?yàn)镸_LP。，CDQPD=DtCD,POu平面尸CO,所以以J_平面尸CD.

因?yàn)?u平面孫氏所以平面R18_L平面尸CD.

考點(diǎn)3垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

【例3】如圖，在囚棱錐P-A4C。中，底面48CO是ND48=60。且邊長(zhǎng)為。的菱形，

側(cè)面附。為正三角形，且其所在平面垂直于底面A8CD

⑴求證:ADLPB.

(2)若E為棱BC的中點(diǎn)，則棱PC上是否存在一點(diǎn)尸，使平面OE/_L平面ABCD?若存

在，證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解】(1)證明：設(shè)G為AO的中點(diǎn)，連接PG,BG,如圖.

p

AB

VAPAD為正三角形，

PGLAD.

在菱形ABC。中，ZDAB=60°,

???△ABO為正三角形，又G為AO的中點(diǎn)，

：，BGLAD.

入BGCPG=G,BG,PGu平面PGB,

???AQ_L平面PGB.

?：PBu平面PGB,：,ADLPB.

(2)存在，當(dāng)尸為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面QE凡L平面48CD

證明如下：在"BC占,EF//PB.

又功u平面。所，PBU平面DEF,

???P8〃平面DEF.

在菱形ABCO中，GB//DE,

又OEu平面DEF,GBC平面DEF,

???G8〃平面DEF,

義PBu平面PGB,GBu平面PG優(yōu)PBC\GB=B,，平面DEF〃平面PG8.

由(1)得PG_LA。，又平面力。_L平面ABC。，且平面用OCI平面A8CO=A。，PGu平面

PAD,

.?.PG_L平而ABCD,而PG仁平而PGB,

???平面PGB_L平面ABCD,

：.平面DEFL平面ABCD.

-----------------------------------------------------------------1

1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.

2.對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系

的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】如圖，在三楂錐8c中，平面出CJ?平面A8C,PA±AC,PA=AB

=BC=1,戶。=小，M為AC的中點(diǎn).

B

(1)求證：平面P8C_L平面RW.

（2）線段PC上是否存在點(diǎn)M使得尸C_L平面BMN?若存在，求定的值；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

解：（1）證明：因?yàn)槠矫嬉訡_L平面48C,附u平面以IC,PALAC,平面以CD平面A5c

=AC,所以以_L平面A8C,又8Cu平面48C,所以出_8C,又以=1,PC=?PALACf

所以40="。2一必2=小,

又A8=8C=1,所以AC2=4B2+8C2,所以AB_L8C,又以_L8C,PA,48是平面以8

內(nèi)的兩條相交直線，所以8。_1_平面以&又8Cu平面PBC,所以平面尸3CJL平面以B.

（2）存在.過點(diǎn)“作MNJLPC,垂足為N,如圖，連接N8,

由（1）知網(wǎng)1.平面ABC,因?yàn)镸Bu平面ABC,所以附JLMB,

又M為人C的中點(diǎn)，AR=RC=\,

所以M8_LAC,51PAYMB,PA,AC是平面布C內(nèi)的兩條相交直線，

所以例3_L平面以C,又PCu平面%C,所

以M3_LPC,又MNLPC,MB,MN是平面3MN內(nèi)的兩條相交直線，所以PCL平面

BMN,

PA_1_^_MN

由已知得

sinZPCA=1=忑=3=記

又MC=^C=羋，成羋MN=%

2

所以行=,（等卜陶2邛,

所以PN=PC—OV=4§—牛=斗，所以喬=事

JJ■J

PN2

即線段PC上存在點(diǎn)"使得PCL平面BMN,且訐=%

1V-*D

課時(shí)作業(yè)48

星基礎(chǔ)鞏固4

1.（5分）（2024?山東泰安模擬）己知兩條不同的直線m,n和平面a,夕，a邛,aC\p

=〃?，則〃_L4的必要不充分條件是（C）

A.m//nB.n//a

C.inLnD.〃-La

解析：因?yàn)?口4=〃?，所以〃U?從當(dāng)〃J_"時(shí)，由線面垂直的定義可知〃J_"7；只有當(dāng)〃?

_!_〃JL〃ua或n//a時(shí)才能得到所以nl.fi的必要不充分條件是故選C.

2.（5分）設(shè)小，2為兩條不同的直線,內(nèi)，02為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（D）

A.若/i〃ai，h//?2>/iJ_/2>則內(nèi)_1__2

B.若d/2與內(nèi)所成的角相等，則/1〃/2

C.若仙_1_。2，/|〃如，，2〃。2，則

D.若/|-L?|?/2-L?2?則/1_L，2

解析：若/]〃?,l2//a2tI山2,則為，。2可能相交，也可能平行，故A錯(cuò)誤；/）,/2與

④所成的角相等，則/2可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤：若ai_Ls,T\〃a\,

b"g,則/i,可能平行、相交或異而.故C錯(cuò)誤：若ai_La）,Zi±ai,bta?,則/i_Lb,

故D正確.故選D.

3.（5分）（2024.天津卷）若機(jī)，〃為兩條直線,a為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（C）

A.若m//a,n//af則〃i_L〃

B.若〃〃a,則〃]〃〃

C.若m//a,〃_La,則inLn

D.若加〃a,〃_La,則加與〃相交

解析：若/〃〃a,nila,則〃？與〃可能異而、平行或相交，故A,B錯(cuò)誤；若用〃a,〃

±a,則小與〃垂直，且用與〃可能相交，也可能異面，故C正確，D錯(cuò)誤.故選C.

4.（5分）（2024?山東濟(jì)南二模）已知正方體/WCD-4小G/Z，M,N分別是4。，。出

的中點(diǎn)，則（C）

A.4|?！?。山，MN〃平面44CO

B.A\D〃D\B,MN_L平面3%出。

C.AID_LOIB,MN〃平面A8CD

D.4O_LO8MN_L平面

解析：如圖，連接AZ）i,由已知A8J_平面AOOiAi,4Ou平面AOOiA,?'JABIA^D,

乂A5_LAi〃,A8f）A5=A,A8,A〃iU平面ABDi,所以AQJ_平面A皿,乂。陽(yáng)u平面ABD\f

所以人排除A,B;因?yàn)镸,N分別為人小，的中點(diǎn)，所以MN//AB,叉MNC

平面ABC。，A8u平面A8C。，所以MN〃平面48C。，C正確；若MN_L平面/3SQ|。，則

MN±BD,又MN〃AB,所以A8_L3。，顯然不成立，D錯(cuò)誤.故選C.

5.（5分）（2024.四川廣安二模）如圖，菱形"CO的對(duì)角線AC與4。交于點(diǎn)O,EF是"

CD的中位線，AC與EF交于點(diǎn)、G,已知NZ而是繞E蹴轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，且PC平面

A3CD給出下列結(jié)論：

AR

①8?！ㄆ矫鍼EF；

②平面以C_L平面ABC。；

③“直線PF_L直線人。始終不成立.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（B）

A.①②③B.①②

C.①③D.②③

解析：由EF是ABCD的中位線,得EF//BD,而EFu平面PEF,BDC平面PEF,因此

BD〃平面PEF,①正確：

如圖，連接PG,由菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0,得BD1AC,則EF_AG,

EF1PG,而AGCIPG=G,AGtQGu平面見C,則石尸_1,平面布。，又EFu平面ABCD,所

以平面以C_L平面A/3CQ,②正確；顯然NPGA是二面角P-EF-A的平面角，APEF由XCEF

繞“旋轉(zhuǎn)過程中，/尸G4從180°逐漸減小到0°（不包含180°和0°）,當(dāng)NPGA=90°時(shí)，AG

LPG,PGClEF=G,PG,EFu平面PEF,則AG_L平面P￡￡而PFu平面PEF,因此尸"_L

AG,③錯(cuò)誤.故選B.

6.（5分）（2024?四川眉山三模）如圖，該組合體由一個(gè)正四棱柱A8CD-A/iG。和一

個(gè)正四棱錐P-ABiGOi組合而成，已知/W=2,A4尸啦，附尸2,則（C）

A.叫〃平面ABGG

B.〃平面A8GO1

C.PG_L平面BOG

D.PQ|J_平面4QG

解析：如圖，因?yàn)橐?PG=2,AQ=2巾,OC=CC尸?在平面ACG%中有2

^4,Ci=ZAxCyO=ZCyOC=^,所以可〃OG,義OG仁平而BOQ,以仁平而8OG,所以

期|〃平面BDG,則%］與平面ABGOi不平行，故A錯(cuò)誤；同理與平面A8GG

不平行，故B錯(cuò)誤；20=蛆+乎X2=245,PCI=CIO=2,有尸G+CQ2=P（＞,所以pg

±C|O,又4O_LAC,BDICCi,ACC\CC\=C,AC,CCg平面PC。，所以4。_L平面PC。,

又因?yàn)镻Gu平面PGO,所以PG上BD,又8OClGO=。，BD,CQu平面BDG,所以PG

_L平面BOG,故C正確；又因?yàn)镻GClPQi=P,且過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂

直，所以PR不垂直于平面8DG,故D錯(cuò)誤.故選C.

7.（6分）（多選）（2024?河北保定三模）已知四邊形A8C。為等腰梯形，AB//CD,/為

空間內(nèi)的一條直線，且區(qū)平面ABCZ）,則下列說法正確的是（AC）

A.若/〃A。,則I//平面ABCD

B.若/〃AO,貝lj1//BC

C.若LAD,l±BC,貝l」/_L平面/WCQ

D.若LLAB,/±CDf則/_!_平面A8C。

解析：因?yàn)?〃A優(yōu)且A3u平面44CO,At平面A3cO,所以/〃平面A3CQ,故A正確;

因?yàn)榕c8C是等腰梯形的腰，二者不平行，故若/〃AO,則/與8C不平行，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)橹本€AD與BC能相交，所以若/_LAD,/IBC,ADu平面ABC。，8Cu平面48CZ）,則

LL平面A8C。，故C正確；因?yàn)锳B〃CO,兩者不相交，所以若/J_A8,LCD,推不出/_L

平面ABCD,故D錯(cuò)誤.故選AC.

8.（6分）（多選）（2024?安徽馬鞍山三模）已知四極錐/MBCD中，〃_L平面4BCD,

則（AC）

A.若PCLBD,則AC.LBD

B.若AC_L8。,則PB=PD

C.若PB=PD,則AB=AD

D.若AB=A。,則PCLBD

解析：如圖，因?yàn)橐訽L平面ABC。，AB,AD,BOu平面ABC。，PA1AB,PA^AD,

PAYBD.若PC_LB。，且B4nPC=RPA,PCu平面見C,可得BO_L平面附C,且ACu平

面以C,所以AC_L4O,同理，若AC_L/3。，則可得PC_L8Q,由/W=A。不能推出AC_8Q,

即43=A。不能推出尸C_LBO,故A正確，D錯(cuò)誤：若PB=PD,可知Rt△%8@Rl△朋。，

所以4B=A。，反之，若48=A。，可知Rt△%BgRt△以D,所以PB=PD,即PB=PD等

價(jià)于AB=4。，由ACL8Z）不能推出4B=4O,即ACJ_B。不能推出P8=P。，故B錯(cuò)誤，C

正確.故選AC.

9.（5分）（2024?陜西咸陽(yáng)三模）如圖，四邊形ABC。是圓柱的軸截面，E是底面圓周上

異于4,8的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的序號(hào)是①②

D\

人（：二二：—C垃3

E

?AELCE；②BE_LOE；③。E_L平面8CE；④平面AOE_L平面BCE

解析：因?yàn)樗倪呅蜛8CQ是圓柱的軸截面，則線段八8是底面圓的直徑，BC,人。都是

母線.又E是底面圓周上異于4,B的一點(diǎn)、,于是得A及L3&而8C_L平面48E,AEu平面

ABE,則8C_LA￡因?yàn)?Cn8E=8,BC,BEu平面BCE,則AE_L平面8CE,因?yàn)镃￡u平面

BCE,所以AE_LCE,①正確：同理可證8E_LDE,②正確：點(diǎn)。不在底面A8E內(nèi)，而直線

AE在底面ABE內(nèi)，即4E,DE是兩條不同直線，若DEL平面BCE,又AE_L平面BCE,則

與過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面矛盾，③不正確；因?yàn)锳E_L平而BCE,而AEu

平面AOE,所以平面平面8C瓦④正確.

10.（5分）如圖，在三棱柱人BC-A8iG中，己知八人|_1_平面/WC,BC=CC\,當(dāng)?shù)酌?/p>

A8C滿足條■件小。一反G（答案不唯一）時(shí),有/W」4G.（填上一個(gè)你認(rèn)為正確的條件

即可）

解析：如圖所示，連接&C,由8C=CG,44iJ_平面ABC,可得8Ci_L8C,因此，要

證48|J_BG,則只要證BCiJ?平面ABC,即只要證ACJ_8G即可，由直三棱柱可知，只要

證AC_L4C即可.因?yàn)锳G〃AC,BC//BC,故只要證A】GJ_BiG即可.（或者能推出AG

J_81cl的條件,如NAC由1=90。等）

G

11.（15分）如圖，在正方體ABCD-AiSGA中，E,r分別是AZ）,BG的中點(diǎn)，棱長(zhǎng)

為1.

（I）求證：月產(chǎn)〃平面

C\CDD\.

(2)在線段48上是否存在點(diǎn)G,使EGJ?平面48Ci?若存在，求點(diǎn)G到平面A5c。的

距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：(1)證明：如圖，氏6c的中點(diǎn)M,連接EM,FM,YE,尸分別是4。，BG的中點(diǎn)，

:?EM〃DC，F(xiàn)M〃C\C,

又EMU平面平面EFM,EA/nFM=M,QCu平面GCQO|,GCu平面C、CDDi,

DCCIC|C=C,

???平面EFM〃平面GCOOi,又E/七平面EFM,JE廣〃平面GC。。］.

(2)存在.

如圖，取A歸的中點(diǎn)G,連接EG,AG,EAi,EB,易知成尸EB,而G為4B的中點(diǎn),

???石GJ_A由，連接尸G,則尸G〃AG,

???正方體棱長(zhǎng)為1,

在△418G中，F(xiàn)G=y<\\C\

在RtAFME中，￡?=半，

A

在RtAEAG中，EG=^-f

：.FG2-1-EG2=FF~,即EGLFG,故EG」4G,

又4B,4Gu平面4BG,4由CIAiG=4,??.EG1平面48G.

易得點(diǎn)G到平面ABCD的距離為:

12.(15分)如圖，在正三棱柱ABCABiG中，M,0分別為A4,3G的中點(diǎn).求證:

(1)MO〃平面A8C；

(2)MO_L平面BiBCG.

證明：⑴如圖，取4C的中點(diǎn)/),連接0。，AD,

因?yàn)?。為BCi的中點(diǎn)，所以0?！–Ci且OD=：CG,

又因?yàn)锳M//CCi且AM=^CC\,所以O(shè)D//AM且OD=AM,所以四邊形AMOD為平行

四邊形，所以MO〃AO,

又因?yàn)镸OC平面ABC,AOu平面ABC,所以MO〃平面ABC.

（2）因?yàn)锳BC-AIiG為正三棱柱，

所以BA」平面人BC,因?yàn)锳Ou平面ABC,所以BBJA。,

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以AO_L8C,

又BBCBC=B,BB\,BCu平面&BCG,所以AD_L平面3山CG,

又MO//AD,所以MO_L平面BiBCCi.

坦素養(yǎng)提升4

13.（6分）（多選）如圖，在三棱柱A8C-481G中，NC4B=NC8A=45。，ZAtAC=

ZACB,P為線段8所的中點(diǎn)，N為線段上靠近81的三等分點(diǎn)，則（ABD）

A.AC±BC

B.AC±CBi

C.AC_L平面NPC

D.平面ACP_L平面BCGS

解析：因?yàn)镹C4B=/CBA=45。，故NAC8=90。，所以4C_LCB,A正確；因?yàn)镹4AC

=NACB=90。，所以側(cè)面/UiCC為矩膨，故AC_LCG,又ACJ_BC,BCnCG=C,BC,

CGu平面CGBi僅所以ACL平面CGB由，而CBg平面。。由歸，故AC_LCBi,B正確；

平面NFC,與平面CC'i/因小平行，所以AC平面NFC不叁直，C錯(cuò)誤；因?yàn)锳C'u平面ACF,

八。_1_平面。。山山，所以平面4CP_L平面CG3i6,D正確.故選ABD.

14.（6分）（多選）（2024.山東聊城二模）己知四棱錐P-A4co的底面48C。是正方形，

則下列關(guān)系能同時(shí)成立的是（BC）

A."AB=PB'W"PB=BD"

B.“抬J_PC'與"P81P?！?/p>

C."PBLCD”與"PC_AB”

D.“平面以9_1_平面P8D”與“平面PCD_L平面PBD”