7.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

'考試要求

1.理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.

2.了解四個基本事實、三個推論和等角定理，并能應(yīng)用它們解決問題.

陛備知識回顧自主學(xué)習(xí)?基啾回扣、

教材回扣

1.“四個,基本事實

基本事實1：過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的皿咕在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公

共直線.

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行W.

2.“三個”推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條桓文直線，有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條包直線，有且只有一個平面.

3.空間中直線與直線的位置關(guān)系

’［相交直線:在同一平面內(nèi)，有且

I只有一個公共點

共面直線《

I平行直線:在同一平面內(nèi)，沒有

|I公共點

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi),沒有

＜公共點

4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

項目圖形語言符號語言公共點

直相交"|。=八L個

線

與-------------a

平行A_/cJa0_個

平

面在平

力-----&/uua無數(shù)個

面內(nèi)

平行%/Q_個

平面A___/

與平

面相交aCB=l無數(shù)個

5.等角定理

如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補W.

6.異面直線所成的角

（1）定義：己知兩條異面直線mb,經(jīng)過空間任一點。分別作直線"〃小b'//b,我們把

直線，與"所成的角叫做異面直線。與匕所成的角（或夾角）.

（2）范圍：（0，2?

lET教材拓展

關(guān)于唯一性的常用結(jié)論

（1）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

（2）過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

（3）過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

（4）過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

基礎(chǔ)檢測

1.判斷（正確的畫W”,錯誤的畫“x”）

（1）兩個平面a，夕有一個公共點A,就說a,4相交于過點A的任意一條直線.（x）

（2）直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種.（x）

（3）如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.（x）

（4）兩兩相交的三條直線共面.（x）

2.（人教A版必修第二冊PI47例1改編）如圖，在正方體人BC7X4由iGG中，E,F

分別為楂人用I，GQi的中點，則直線AF與8石所成角的余弦值為（B）

更或

A.B.

105

3小2小

D.

C.105

解析：連接。，CF,如圖所示.易得BE〃CF,所以直線4尸與8E所成的角為/C物

（或其補角）.不妨設(shè).在中，易得A產(chǎn)=3,AC=2鏡，CF=y[5,由余款定理得

人尸2+「尸2_

cosZCM=—WF-=與，即直線A尸與BE所成角的余弦值為華.故選B.

乙1■V--，JJ

3.（人教A版必修第二冊Pl28Tl改編）下列說法正確的是（B）

A.四邊形一定是平面圖形

B.不在同一條直線上的三點確定一個平面

C.梯形不一定是平面圖形

D.平面a和平面外一定有交線

解析：四邊形不一定是平面圖形，也可能是空間四邊形，故A錯誤：不共線的三點確定

一個平面，故B正確；梯場中，有一組對邊平行，可以確定一個平面，故梯形一定是平面圖

形，故C錯誤：若平面a和平面夕平行，則其沒有交線，故D錯誤.故選B.

4.（人教A版必修第二冊P132T9改編）在直三棱柱ABC-AliG中，AB1BC,D,E

分別是AB,AC的中點，則（D）

A.辦。與4E相交，且

B.BiQ與相交，且4|止4七

C.巴。與是異面直線，且

D.5。與4E是異面直線，且SZV4E

解析：如圖所示，因為4ECI平面448歸=4,S￡）u平面44山A便81。，所以自。

與4E是異面直線，BID=[BB3+%B2,4￡=\^4^+%。2因為一尸88,AB^AC,所

以Bi小AiE故選D.

陜鍵能力提升互動振完?考點精講

考點1基本事實的應(yīng)用

【例1】已知在正方體ABC/）-4BiGOi中，E,尸分別為小G，CIi的中點，ACQBD

=P,AiGnEr=Q.求證：

（1）。，B,F,七四點共面；

⑵若4c交平面。BFE于點R,貝IP,Q,R三點共線;

(3)。4BF,CG三線交于一點.

【證明】(1)如圖所示，連接辦

因為EF是ACiDiBi的中位線，所以EF〃叢。?.在正方體A3CQ-

A山Ci。|中，BB//BD,所以EF//BD,

所以EF,8。確定一個平面，即。，B,F,E四點去面.

(2)在正方體A8C￡>-AIBIG。中，連接AC,如圖所示，設(shè)4,C,G確定的平面為a,

又設(shè)平面BDEF為忙

因為QSAG,所以QEa.

叉QGEF,所以Q￡萬，所以Q是a與"的公共點，

同理，。是a與/?的公共點，所以an/i=PQ.

又ACC)4=R,所以RGa,且RW四

則REPQ,故P,Q,R三點共線.

(3)因為E/〃8。且E/W8O,所以O(shè)E與8/相交，設(shè)交點為M,

則由及Eu平而D0CG,得平面。QCG,

同理，M￡平面BiBCG.

又平面QQCGCI平面BiBCC尸CG,所以MGCCi.

所以DE,BF,CG三線交于一點.

-------------------------------1

共面、共線、共點問題的證明

(1)共面：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).

(2)共線：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)共點：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直愛經(jīng)過該點.

【對點訓(xùn)練1】如圖，四邊形A8CO和四邊形A8E/都是梯形，BC//AD,I3E//AF,

且3C=1w,BE=^FA,G,”分別為跖的中點.求證：

(1)四邊形BCHG是平行四邊形;

⑵C，D,F,七四點共面.

因為，分別為用，的中點,則〃八。，又因為

證明:(1)G,FDG"GH=^AD,

BC=^AD,

則GH//BC,GH=BC,

所以四邊形8C”G是平行四邊形.

(2)因為8E〃"，的，G為曲中點，5i'jBE//FG,BE=FG,

可知四邊形8EFG為平行四邊形，則石尸〃4G,EF=BG,

由(1)知C”〃4G,CH=BG,可得CH//EF,CH=EF,

所以四邊形CEFH為平行四邊形，則CE//FH,即CE//FD,

所以C,D,F,E四點共面.

考點2空間位置關(guān)系的判斷

【例2】(多選)如圖，在正方體/WCQ-A用iGOi中，M,N分別為棱Ci。1，GC的中

點，則以下四個結(jié)論中，正確的有(

A.直線AM與CG是相交直線

B.直線BN與MB\是異面直線

C.人M與BN平行

D.直線AM與8V共面

【解析】MCG三點在平面CDQiG內(nèi)，點M不在直線CG上，點A不在平面CDDiCi

內(nèi)，A,M,C,G四點不共而，根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與CG是異面直線，故A

錯誤；B,N,8三點在平面BCG8內(nèi)，8不在直線BN上，點M不在平面BCG8內(nèi)，B,

N,M,Bi四點不共面，根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MBi是異面直線，故B正確；

如圖，取OQi的中點E,連接AE,EN,又N為GC的中點，則有AB〃EN,AB=EN,

所以四邊形A8NE是平行四邊形，所以AE〃BN,AMCUE=A,則AM與8N不平行，故C

錯誤：連接MN,BA1，CDI,因為M,N分別為棱GOi,GC的中點，所以MN〃D￡,由

正方體的性質(zhì)可知，4B〃OiC,所以MN〃48,則有A,B,M,N四點共面，所以直線A】M

與8N共面，故D正確.故選BD.

規(guī)律總結(jié)k

判斷空間直線的位置關(guān)系一般有兩種方法

一是構(gòu)造幾何體（如美方體、空間四邊形等）模型無判斷.

二是排除法.特別地，對于異面直線的判定常用到結(jié)論：“經(jīng)過平面外一點A和平面內(nèi)

一點8的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點8的直線是異面直線.”

【對點訓(xùn)練2】（多選）如圖，如果MC_L菱形A8CZ）所在的平面，那么下列結(jié)論正確的

是（BD）

MA//BDB.MA與80異面

MA與BD相交D.MALBD

解析：因為8Qu平面ABC。，MAPI平面ABCQ=A,A^BD,所以可知M4與8。異面,

即A錯誤，B正確，C錯誤；

如圖，連接4C,因為四邊形A8C。為菱形，所以ACJ_8。，又因為MC_L平面A8CO,

8Ou平面A8CO,所以8Q_LMC,又因為MCn4C=C,MCu平面AMC,ACu平面AMC,所

以BO_L平面AMC.又因為MAu平面AMC,所以MALBD,即D正確.故選BD.

考點3異面直線所成的角

【例3】⑴（2024.陜西咸陽三模）如圖，已知各校長都為1的平行六面體"CQ-A陽G"

中，棱AA，AB,A。兩兩的夾角均為半則異面直線34與C6i所成的角為（C）

【解析】如圖，在平行六而體ABCDAIBIGA中，連接AQ,BD,因為48|〃AB〃

CD,AiB\=AB=CDt則四邊形481co是平行四邊形，所以BC〃4。，所以是異

面直線與CBi所成的角或其補角，由AA]=AB=4O=1,棱44,AB,AO兩兩的夾角均

為T，得△480,AA/M都是正三角形，即44=3/）=4。=1,則NZM|O=W，所以

JJ

異面直線8A與C囪所成的角為主故選C.

p.c

AB

（2）如圖，在直三棱柱A8C4SG中，AB=AC=A4i=而,若AC_L8G，則8G=(C)

B

A.2&B.2s

C.3小D.3#)

【解析】如圖，分別取AG,CCi,BC的中點E,F,G,連接E/，F(xiàn)G,EG,則EF

〃AC,FG〃BC\,因為4c_L8G,所以EFLFG,則NER7=90°.由題意可知，EF=?

設(shè)4C=x,則FG=^—,EG=呼，由勾股定理可知，EF2-\-FG2=EG1,即3Tx2+630

44'

解得x=2小，所以BG

"規(guī)律總結(jié)k

異面直線所成角的求法

方法解,賣

將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有

平移法

的平行線或者作平行線，形成三角形求解

在該幾何體的某側(cè)補接上一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線

補形法

相應(yīng)的位置，形成三角形求解

【對點訓(xùn)練3】⑴（2024?河北保定二模）如圖,在正四棱柱中,A4

=4A8,則異面直線48與4。所成角的余弦值為（C）

解析：連接BG,A)Ci,如圖所示，正四棱柱43CQ?山iGOi中，有A3〃GOi且A3=

C1D1,則四邊形48Gz)i為平行四邊形，則8ci〃AOi,則248G就是異面直線A18與A2

所成的角或其補角.設(shè)AB=1,則8G萬，A6尸叵在△48G中，由余強定理

BCy+At^-AiCi17+17-2招.故選C.

得cosZA)BCi=2BCiAiB

(2)如圖，已知圓柱。。2的底面半徑和母線長均為1，B,A分別為上、下底面圓周上的

點，若異面直線。向02A所成的角為率則A8=(D)

C.1或22或血

解析：如圖，過點人作人?底而于點A),則是母線，連接AW,OxD,VOiO2±

上底面，:.AD〃O\(h,AD=O\O2I則四邊形A。。。?是平行四邊形，O\D//O2Af.'QA與

。山所成的角就是/。。1或其補角.當(dāng)/。0由=即寸，AQOiB是等邊三角形，80=1,在

RtZiAB。中，AB=?B》+AD2=@;當(dāng)/。。歸=爭時，在△。。山中，BD=2>^=小,在

RtAABDt,AB=NB?+AU=2.綜上,48=2或故選D.

課時作業(yè)46

▲y基礎(chǔ)鞏坦.

1.（5分）下列說法正確的是（B）

A.若空間兩直線沒有公共點，則這兩條直線異面

B.與兩條異面直線都相交的兩直線可能是異面直線，也可能是相交直線

C.空間三點確定一個平面

D.過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線垂直

解析：若空間兩直線沒有公共點，則這兩條直線平行或異面，故A錯誤；與兩條乒面直

線都相交的兩直線若交于不同的四個點，則兩直線為異面直線，若交于三個點，則兩直線為

相交直線，故B正確；由平面的基本性質(zhì)可知，空間不關(guān)線的三點可以確定一個平面，故C

錯誤；在空間中，過直線外一點，有無數(shù)條直線與已知直線垂直，故D錯誤.故選B.

2.（5分）在空間四邊形A8C。的邊4從BC,CD.D4上分別取點E,F,G,H,若

E尸與”G相交于一點M,則加（A）

A.一定在直線AC上

B.一定在直線8。上

C.可能在直線AC上，也可能在直線B。上

D.不在直線AC上，也不在直線上

解析：由于A8CO是空間四邊形，故人8,8c確定平面ABC,CD,。人確定平面ACD

〈EWAB,FEBC,GECD,HWDA,JE/u平面ABC,GHu平面ACD,t：EFC\GH=M,

???M仁平面ABC,平面ACO,「平面A8CCI平面ACD=AC,故選A.

3.（5分）若直線/不平行于平面小且直線成，則下列說法正確的是（C）

A.夕內(nèi)存在與/平行的直線

B.6內(nèi)所有直線都與/異面

C./與少有交點

D.6內(nèi)所有直線都與/相交

解析：由直線/不平行于平面從且直線/U/?,得直線/與平面外相交，則/與/?有交點，

C正確：平面夕內(nèi)不存在直線與/平行，否則/〃口，與已知矛盾，因此夕內(nèi)所有直線都與/

異面或相交，A,B,D錯誤.故選C.

4.（5分）（2024?山東日照一模）已知/，加是兩條不同的直線，a為平面，，〃ua,下列

說法中正確的是（B）

A.若/與a不平行，則/與〃?一定是異面直線

B.若/〃a,則/與〃:可能垂直

C.若/Ca=A,且A?/〃，貝II/與，77可能平行

D.若/Da=4,且/與a不垂直，則/與"?一定不垂直

解析：若/與a不平行，則/與a的位置關(guān)系為相交或直線在平面內(nèi)，叉mua,則1與

的位置關(guān)系為平行、相交或異面，故A錯誤；若/〃a,則/與機可能垂直，

如圖所示，F(xiàn)ua,/'L〃，可知/L〃，故B正確；

若/na=4,且mua,則/與?〃異面，故C錯誤；若/Cla=A,且/與a不垂直，

則/與用可能垂直，如圖，取a為平面A8C。，/=人。1,m=AB,符合題意，但/L”，故D

錯誤.故選B.

5.（5分）（202小塊西西安模擬）如圖，在正四樓錐。4ACQ中，￡為0C的中點，且

BE工PC,則異面直線與AC所成角的余弦值為（D）

A.6B.4

如亞

C.3D.6

解析：如圖，連接8。交AC于。，取雨的中點凡連接七匕BF,PO,則EF〃AC,

所以/班獷為所求角或其補角，在△P8C中，石為PC的中點，且BE工PC,所以。4=3C,

所以正四棱維P-ABCD的所有棱長都相等.設(shè)四棱錐P-ABCD的棱長均為2,在2BEF中，

r“3爐+石尸一8尸2+3—3J6,4

EF=?BE=BF=yj3,所以cos/BEF=-2BE,bF-=,小.故選D.

6.（5分）如圖，在正方體A8CD-48iGQi中，E,尸分別是AAi，CG的中點，則與直

線4。1,EF,。。都相交的直線（D）

A.有且僅有一條

B.有且僅有兩條

C.有且僅有三條

D.有無數(shù)條

解析：如圖，在EF上任意取一點M,直線與點M確定一個平面，這個平面與ZX?

有且僅有1個交點區(qū)當(dāng)點M取不同的位置就確定不同的平面，從而與。。有不同的交點已

而直線ME與這3條異面直線都有交點，故在空間中與三條直線AiDi,EF,OC都相交的直

線有無數(shù)條.故選D.

7.（6分）（多選）如圖，在長方體AACQ-ASG。中，。是Bid的中點，直線AC交

平面AS。于點M,則下列結(jié)論正確的是（BCD）

A.B,8,。，M四點共面

B.4,M,O,Ai四點共面

C.4,O,C,M四點共面

D.A,M,。三點共線

解析：如圖，連接A。，A\Ci,AC,在矩形ASG"中，由O為對南線小。i的中點，

知AiGnB|Qi=O,則平面ACGAn平面由平面MC4C,A|Cc

平面ACC0I,則用上月0.在長方體月8。。乂|8|。|。|中，66|U平面A881Al，由AO「】平面AS61Al

=A,所以8自與MO異而，故A錯誤；由A可知MWA。，故A,M,O,4四點共而，4,

。，C,M四點共面，4,M,。三點共線，故B,C,D正確.故選BCD.

8.（6分）（多選）在圖中，G,N,M,”分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表

示直線GH,MN是異面直線的圖形有（BD）

G

解析：對于A,如圖，連接GM,

?.?G,M為所在棱的中點，：,GM//AB,大AB〃HN,:.GM//HN,故直線G〃，MN共

而，故A錯誤；對于B,G,H,N三點共面，但MC平面G”N,故直線G”，MN是異面直

線，故B正確；

對于C,如圖，連接GM,,:G,M為所在棱的中點，：,GM//AB,又AB"HN,：.GM

〃HN,故直線G”，MN共面，故C錯誤；對于D,G,M,N三點共面，但，任平面GMN,

故直線G",MN是異面直線，故D正確.故選BD.

9.（5分）己知異面直線/1，，2所成角的大小為45。.直線。4〃乙且O2〃人則NAO"

=45。或135°.

解析：由題意知OB//l2,且異面直線八，b所成角為45。，則NA08為乒面直

線八，/2所成的角或其補角，所以NAOB=45?；?35。.

10.（5分）在四面體A8C。中，AB,BC,BD兩兩互相垂直，且A8=BC=2,E是4c

的中點，異面直線AD與8E所成的角的余弦值為嚅，則四面體的體積為*

解析：取CO的中點居連接BF,EF,如圖，因為E是AC的中點，則E產(chǎn)〃AO,于是

是異面直線.4。與AK所成的角或其補角，令BD=a,而4〃，BC,4Q兩兩互相垂直，

則B尸=；CD=去「中，￡F=1AD=1\/?+4,在等腰ABEF中，BE=%C=?cosZBEF

Q

解得a=4,所以四面體的體積為V=^x-xBCxBDx5A=^x2x4x2=^.

EFq〃+41。'

11.（16分）如圖，在空間四邊形4BCO中，H,G分別是A。，C。的中點，E,尸分別

CPAP1

是邊人8,BC上的點，且為=雋=/求證：

CDtLDJ

⑴四邊形EFG”為梯形；

（2）直線E”，BD,尸G相交于一點.

證明：（1）如圖，連接ERHG,因為空間四邊形人BCD中，H,G分別是人。，C。的中

占、.

就以HG//AC,且”G=gAC,

CFAE13

又因為宣=神=彳，所以石尸〃4。，XEF=TAC,用以HG〃EF,且HG#EF,故四邊形

r15LbJ4

EFGH為梯形.

（2）由（1）知四邊形￡/e”為梯形，且EH,FG是梯形的兩腰，

所以EH,FG相交于一點.

設(shè)交點為P,如圖，因為E”u平面48Z）,所以尸￡平面A8。,

同理平面BC。，而平面ABQA平面BCZ）=8D,所以PGBD,

故點尸是直線EH,BD,FG的公共點、,即直線EH,BD,R7相交于一點.

12.（17分）如圖,在正方體A）CD-4BCiDi中,E,尸分別為棱A4i，人8的中點.

⑴求證：E,F,C,切四點共面；

（2）求異面直線。力與BC所成角的余弦值.

解：（1）證明：如圖，連接CD1,A由.

在△A1A4中，E,產(chǎn)分別為棱A4],A4的中點，則上戶〃4從

在正方體A8C￡）-A|3iG。]中，

AIOI〃AO,AD//BC,

：.A}D}//BC,且AiQ=AO=BC,

，四邊形A）BCD）是平行四邊形，

???A由〃。C,則EF//DC故E,F,C,。四點共面.

⑵由⑴知,AiDi//BCf則NEDiAi即為異面直線OE與8C所成的角或其補角,

設(shè)正方體的棱長為2,

在Rt"iEd中，Ai￡=%M=l,AQ]=2,則D）E=^22+12=^5,AcosZED\A\=j^

2__座

飛=5.

故異面直線。力與8c所成角的余弦值為手.

率素養(yǎng)提升4

13.（5分）在直三棱柱48C-A1Ci中，底面是邊長為2的等邊三角形，異面直線4以

與4G所成的角的余弦值為乎，則該三棱柱的高為（C）

A.IB.V2

C.2D.4

解析：在直三棱柱A8C-A田iG中，連接BC,如圖，ZiA8c是等邊三角形，且邊長為2,

設(shè)三極柱的高為h,在R【AA/3%與RSCB&中，A41r4+〃2=5,即△40。是等腰三角

形，底邊AC=2,因為AC〃AC,所以/SAC是異而直線4S與A\C\所成的角，cosN8/C

%。乎，解得〃=2,所以三棱柱的高為2.故

=牛