2.4函數(shù)的對稱性及應(yīng)用

掌握一些函數(shù)的軸對稱和中心對稱公式和推論，會利用函數(shù)的對稱性解決相關(guān)問題.

陞備知識回顧自主學(xué)習(xí)?基礎(chǔ)回扣

教材回扣

1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性

（1）奇函數(shù)關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)關(guān)于這對稱.

（2）若/U+a）是偶函數(shù)，則函數(shù)兒1）圖象的對稱軸為三；若人r+a）是有函數(shù)，則函數(shù)?r）

圖象的對稱中心為（a,0）.

2.若函數(shù)），=/U）滿足；（。-,6=/（。+工），則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；若函數(shù),，=

九I）滿足五。-x）=―/（。+幻，則函數(shù)的圖象關(guān)于點（a,0）對稱.

3.兩個函數(shù)圖象的對稱

（1）函數(shù)y=人幻與），=/：—x）的圖象關(guān)于軸對稱.

（2）函數(shù)y=/U）與y=一/U）的圖象關(guān)于一［由稱.

（3）函數(shù)y=人幻與），=—一一%）的圖象關(guān)于原點對稱.

基礎(chǔ)檢測

D----

1.判斷（正確的畫“J”，錯誤的畫“x”）

（1）函數(shù)y=/a+i）是倡函數(shù)，則函數(shù)），=<幻的圖象關(guān)于直線x=i對稱.（v）

（2）函數(shù)），=/&-1）是奇函數(shù)，則函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于點（1,0）對稱.（X）

⑶若函數(shù)/U）滿足凡L1）+7U+1）=0，則/）的圖象關(guān)于y軸對稱.（X）

（4）若函數(shù)J（x）滿足直2+x）=/（2—力，則7U）的圖象關(guān)于直線x=2對稱.（V）

x+1

2.函數(shù)yu）=二二圖象的對稱中心為（B）

A.（0,0）B.（0,1）

C.（1,0）D.（1,I）

解析：因為兒。==1=1+:，由），=：的圖象向上平移1個單位長度得到），=1+：的圖象，

又），=：的圖象關(guān)于點（0,0）對稱，所以yu）=i+：的圖象關(guān)于點（0,1）對稱.故選B.

人?兒

3.（人教A版必修第一冊P87Tl3改編）已知函數(shù)），=/（1+2）—3是奇函數(shù)，且人4）=2,

則<0）=4.

解析：方法一由），=."+2）—3是奇函數(shù)，?；/（一工一2）—3=—危+2）+3,令工=2,.40）

一3=-44）+3,得購=4.

方法二由)，=/(x+2)-3是奇函數(shù)，得凡I)的圖象關(guān)于點(2,3)對稱，故火0)+火4〕=6,

即<0)=4.

4.若偶函數(shù)1y=/5)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且當(dāng)x@[2,3]時，J(x)=2x-1,則人一

1)=5.

解析：???危)為偶函數(shù)，，貝-1)=41),由於)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,可得用)=/3)

=2X3—1=5,所以八一1)=5.

株鍵能力提升互動悚究■考點相講

考點1函數(shù)的對稱性

【例1】(2024?新課標(biāo)I卷T18節(jié)選)已知函數(shù),Q)=ln亡+依+2一1)3,求證:

曲線)，=//)是中心對稱圖形.

【證明】證法一易知工￡(0,2),

2xx

人2—x)+/(x)=lnx)+b(I-xp+ln_-Far+/?(x—l)?=2a,

?X9LX

所以/(X)的圖配關(guān)于點(1,4)中心對稱，即的畿是中心對稱圖影.

證法二/(x)=ln六+or+"x—的定義域為(0,2),

]+x]

川+x)+/U-x)=ln、+a(1+x)+b(\+x-1尸+In~~~~4-67(1-x)+b(\~x

T2~—(1+x)2—(1—x)

-?=ln罟+a(l+x)+)d+lnM+a(l-x)一對=】nl+2a=2a,因此人力的圖象關(guān)于

點、(1,a)對稱，所以曲線y=/(x)是中心對稱圖形.

,規(guī)律總結(jié)

對稱性的五個常用結(jié)論

(l)y=J(x+a)是偶函數(shù)+%)=人。-x)<=>y=/(A)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

(2)y=/(x+a)是奇函數(shù)~/(a+x)=-/(a—x)Qy=/(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.

(3)若函數(shù)y=y(x)滿足/(。+幻=人/>-x),則的圖象關(guān)于直線x=W2對稱.

特別地，當(dāng)〃=仇即7(a+x)=/(a—幻或,/(x)=,/(2a—幻時，y=#x)的圖象關(guān)于直線x=〃

對稱.

(4)若函數(shù)y=/(x)滿足凡6+<2〃-x)=2〃，則)，=/(x)的圖象關(guān)于點(a,3對稱.

特別地，當(dāng)b=0,即fla+x)+j(a-x)=0或yU)+/(2a—x)=0時，)，=/U)的圖象關(guān)于點(〃,

0)對稱.

I)——n

(5)函數(shù)y=y(a+x)的圖象與函數(shù))，=人力一%)的圖象關(guān)于直線％=下一對稱.

特別地，當(dāng)a=b時，函數(shù)y=/(a+x)的圖象與函數(shù)y=/(a—x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱.

:考教銜接

對稱的充要條件

1.教材母題：(人教A版必修第一冊P87Tl3)

我們知道，函數(shù))，=/(H)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù))，=/(幻為

奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù))，=/U)的圖象關(guān)于點P(“，與成中心對稱圖形的

充要條件是函數(shù)y=fix-^-a)—b為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)氏6=/—3/圖象的對稱中心；

(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y=/U)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函

數(shù)3，=/U)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論.

2.上述問題中第(2)題的結(jié)論為：函數(shù))，=/(x)的圖象關(guān)于直線x=c,成軸對稱圖形的充要

條件是函數(shù)y=/U+c)為偶函數(shù).

V4+]

3.對于例1,由yu)=ln/:-+at+伙X—1)3,可知)，=./&+1)—4=Iny^+ax+S3為

Z入I入

奇函數(shù)，故據(jù)教材結(jié)論可知，曲線,y=/U)關(guān)于點(1,編成中心對稱.

【典例】(多選)已知函數(shù)y=/U)的圖象關(guān)于點P3,切成中心對稱圖形的充要條件

是函數(shù)y=flx+a)-b為奇函數(shù)，函數(shù)產(chǎn)危)圖象關(guān)于直線x=c成軸對稱圖形的充要條件是

函數(shù)y=_/U+o)為偶函數(shù)?則(ACD)

A.函數(shù)./U)=二;點2的圖象有對稱軸

B.函數(shù)/U)=『2的圖象無對稱軸

C.函數(shù)yu)=/-3f圖象的對稱中心是點(1,-2)

D.若函數(shù)人冷=/一3/,則火一2022)+大一2023)+/(2024)+^2025)=-8

『—2.xI

【解析】因為函數(shù)凡丫)=1右七的定義域為R，而/u+i)=百I為偶函數(shù)，所以函

X?-2Al

數(shù)yu)=,_久+2的圖象有對稱軸,即直線x=i,A正確，B錯誤；因為函數(shù)yu)=V-3,d

=。-1)3—3(工一1)一2的定義域為R,而)，=/U+l)+2=V—3x為奇函數(shù)，所以函數(shù)

一31圖象的對稱中心是點(1,-2),C正確；因為函數(shù)負x)=V-3f圖象的對稱中心是點(1,

-2),所以yu)+y(2一幻=一4,故y(—2022)+火一2023)+A2024)+7(2025)=-8,D正確.故

選ACD.

【對點訓(xùn)練1】(2023?全國乙卷理T21節(jié)選)己婦函數(shù)人r)=G：+Jln(l+x),是否存

在a,b,使得曲線)，=#)關(guān)于直線工=力對稱？若存在，求小。的值；若不存在，說明理

由.

解：假設(shè)存在〃，兒使得曲線_＞，=/(!)關(guān)于直線犬=。對稱.

令ga)=6)(.n,x+1

=(x+a)ln(tj+J=(x+a)ln—,

因為曲線y=g(x)關(guān)于直線x=〃對稱，所以g(x)=g(2b—x),

12b-x+1r-2b

即(1+a)ln~-~~=(2b-x+a)ln___=(.r-2b—a)ln-------

人LUb-x人x-2.b-V

解析:因為/U+x)=jU-x),所以用1+(1+x))=A1-(1+防)，即＜2+x)=*—X),

又y(-“)=—/(幻，函數(shù)人幻的定義域為R,所以yu)是定義域為R的奇函數(shù)，所以y(o)=o,yu)

=-/(2+x),所以12+x)=-/(4+x),故_/U)=-/(2+.r)=J(4+x),所以J(x)是以4為周期的

周期函數(shù)，所以/(2024)=/(5()6X4+0)=/(())=0.故選A.

考點3周期性、單調(diào)性與對稱性

［例3］(1)(多選)若函數(shù)加)是定義在R上的奇函數(shù)，府+')=府-J於)在［。，f］

上單調(diào)遞增，貝ij(ACD)

A./(0)=0

B.八x)在［一W，()］上單調(diào)遞減

C.凡t)的周期為27r

D._/u)在旨兀］上單調(diào)遞減

【解析】對于A,因為函數(shù)/U)是定義在R上的奇函數(shù)，所以10)=0,A正確；對于

B,因為外)為奇函數(shù)，府)在［(),，上單調(diào)遞增，所以4r)在［一去()］上單調(diào)遞增，B錯誤；

對于D,因為,怎—X)=?+”)，所以於)的圖象關(guān)于直線1對稱，又因為7U)在［o,外上

單調(diào)遞增，故貝大)在仔，冗］上單調(diào)遞減，D正確；對于c,啟+工)=啟-x),則人大尸加一幻，

又40=一人一人)，所以人八一幻=一式一幻，即人兀+工)=一“0,所以人工+2兀)=/口)，結(jié)合汽幻

的單調(diào)性可知人幻的周期丁=2兀，C正確.故選ACD.

(2)已知函數(shù)?x)的定義域為R,段-2)為偶函數(shù)，/一1)為奇函數(shù),當(dāng)問1,2］時，貝x)

=ax+b,若人2)+_八3)=/貝i」(A)

A.JU)在區(qū)間［(),I］上是增函數(shù)，且有最小值一3

B./U)在區(qū)間［0,1］上是減函數(shù)，且有最大值3

C凡0在區(qū)間［-2,—1］上是增函數(shù)，且有最大值g

D.7U)在區(qū)間［-2,—1］上是減函數(shù)，且有最小值一3

［解析】因為危一2)為偶函數(shù)，所以於-2)=/(一1一2)①，且函數(shù)fix)的圖象美于直

線工=-2對稱，又危一1)為奇函數(shù)，所以一公-1)=八一1一1)②，且函數(shù)危)的圖象關(guān)于點(一

1,0)中心對稱，所以有一/U)=/(-x-2)=/U-2)=;/U)=/U+4),即兀外的一個周期為7=4,

令x=0代入②得尸1)=0=/(3),即＜2)=/令x=3代入①得川)=/(-5)=＜3)=0,所以

a+b=O,Ia=1,

?1解得＜所以府)=今一條引1,2］),

勿+〃=5，A=-122

如圖所示，根據(jù)函數(shù)的對稱性與周期性可知，/U)的型象關(guān)1■直線x-2對稱，關(guān)3點(3,

0)中心對稱，可得?r)在區(qū)間［-4,4］的圖象，易知火幻在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù)，且有最小值

/(0)=一/(-2)=-/(2)=一；，故A正確，B錯誤；人處在區(qū)間［-2,—1］上是減函數(shù)，且有最

大值4-2)=42)=3，最小值五-1)=0,故C,D均錯誤.故選A.

~2

規(guī)律總結(jié)

解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題，一般要利用周期性與對彌性縮小自變量的取值范圍或轉(zhuǎn)換自

變量所在的區(qū)間，然后利用單調(diào)性比較大小或解不等式.

【對點訓(xùn)練3］(1)已知定義在R上的函數(shù)/U)在1—8,2］上單調(diào)遞增，若函數(shù)次x+

2)為偶函數(shù)，且,43)=0,則不等式狀x)>0的解集為(B)

A.(0,3)

B.(一8,0)U(l,3)

C.(一8,())U(3,+8)

D.(0,1)U(3,+8)

解析：由函數(shù)人X+2)為偶函數(shù)，可知函數(shù)人幻的圖象關(guān)于直線x=2對稱，又函數(shù)成幻在

(-°°,2］上單調(diào)遞增，知函數(shù)./U)在(2,+8)上單調(diào)遞減，由*3)=0,知川)=0,作出函

數(shù)./U)的大致圖象，如圖.

由圖可知,當(dāng)xvO時，y(x)v0,則猶%)>0;當(dāng)O<xvl時，/)<0,則求x)vO;當(dāng)l<x<3時，

?>0,則MU)>0;當(dāng)。>3時，段)vo,則獷㈤vo.所以不等式MWX)的解集為(一8,O)u(l,

3).故選B.

(2)已知定義在R上的函數(shù)/U)滿足?t+6)=/(x),且y=/(x+3)為偶函數(shù)，若4*)在(0,

3)內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是(B)

A.五一4.5)$3.5)?12.5)

B.-3.5)勺(一4.5)勺(12.5)

C.<12.5)勺(3.5)勺(一4.5)

D.<3.5)勺(12.5)勺(一4.5)

解析：由yU+6)=/Ui,可得火X)的一個周期為6,又y=y*+3)為偶函數(shù)，7U)的圖象關(guān)

于直線x=3對稱，所以人3.5)=/(2.5),月-4.5)=?1.5),702.5)=<0.5).又凡x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)

遞減，所以_/（3.5）勺（一4.5）勺02.5）.故選B.

課時作業(yè)9

，亞基礎(chǔ)鞏固.

1.（5分）（2024?四川成都三模）函數(shù)y=3"與y=3'2T的圖象（D）

A.關(guān)于直線x=2對稱

B.關(guān)于直線x=l對孤

C.關(guān)于直線x=T對稱

D.關(guān)于直線對稱

解析：因為曲線JH32■'關(guān)于直線x=a的對稱曲線為），=32（%一外，即y=3.z,y=34a'lx

與1y=3必對比系數(shù)可知4“=1,解得〃=；,所以函數(shù)），=3入與y=3〃2t的圖象關(guān)于直線

對稱.故選D.

3

2.（5分）（2024?四川南充二模）已知函數(shù)段）=）則函數(shù)），=/&-1）+1的圖象（A）

A.關(guān)于點（1,1）對稱

B.關(guān)于點（一1,1）對稱

C.關(guān)于點（一1,0）對稱

D.關(guān)于點（1,（））對稱

333

解析：函數(shù)y（x）=.的定義域為｝,又fi—x）=—：=—j（x）,所以'/U）=?為奇函數(shù)，

則函數(shù)_/u）的圖象關(guān)于原點（。，。）對稱，又），=/u—D+I的圖象是由yu）=：的圖象向右平移

1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的，所以函數(shù)），=/“一1）+1的圖象關(guān)于點（1,

1）對稱.故選A.

3.（5分）（2024.湖南長沙二模）已知定義在R上的函數(shù)人幻是奇函數(shù)，對任意x￡R都

有危+1）=川一工），當(dāng)八-3）=—2時，則列2023）=（A）

A.2B.-2

C.0D.-4

解析：定義在R上的函數(shù)用）是奇函數(shù)，且對任意A￡R都有於+1）=41一人），故函數(shù)

?r）的圖象關(guān)于直線x=l對稱，?\/U）=/（2—幻，故/（一x）=/（2+x）=-/U）,

?7/U）=-A2+x）=/（4+x）,?\/2是周期為4的周期函數(shù).則/（2O23）=A5（）5X4+3）=A3）

=一人一3）=2.故選A.

4.（5分）（2024.四川內(nèi)江三模）已知函數(shù)凡0的定義域為R,對任意實數(shù)x都有/U+2）

=一段）成立，且函數(shù)加外1）為偶函數(shù)，川）=2,則川）+心）+…+42024）=（B）

A.-1B.0

C.1012D.2024

解析：由yu+2)=一4—)=i/u+4)=-yu+2)=?r),即./U)的一個周期為4,由yu+1)為

偶函數(shù)可知於)的圖象關(guān)于直線x=l軸對稱，即｛2)=/(0),又於+2)=-ZU)可知人2)=一人0),

所以12)=人0)=0,顯然13)=-/0)=-2,/(4)=<0)=0,所以41)+42)+~+42024)=?詈

乂伏1)+貝2)+人3)+<4)]=0.故選B.

5.(5分)已知函數(shù)九I)的定義域為(-8,+oo),UxWR,6+，=《、-x)恒成立.當(dāng)

X2>X^\時，伏⑶一人即)]例一即)>0,<0)=-A2)，則不等式危)(『+2丫+3)>0的解集為(A)

A.(—3,0)U(2,+3)

B.(0,2)

C.(一8,())U(1,2)

D.(0,1)U(2,+8)

%+；一工

解析:因為70+x)=7弓一J

所以的圖象關(guān)于直線X=--5----=1對稱，所以10)

=人2),因為.A0)=一黃2),所以.人0)=*2)=0,因為力>即21,6%2)—火內(nèi))卜。2一司)>0,故危)

在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以凡丫)在(一8,1)上單調(diào)遞減，因為/+緘+3=。+1)2+2>0,

九()(『+21.+3)>0,所以凡》>0,當(dāng)A>I時,yu)>o=y(2),結(jié)合單調(diào)性可知.。2,當(dāng)A<1時,?r)>0

=/0),結(jié)合單調(diào)性可知x<0,故yU)(f+2x+3)>0的解集為(一8,())U(2,+8).故選A.

6.(5分)定義在R上的函數(shù)人力滿足人一幻=一人八+4),且當(dāng)Q2時，人力單調(diào)遞增，

若XI+M<4,(X|—2)(X2—2)<0,則以1)+於2)的值(c)

A.恒為正值B.恒等于零

C.恒為負值D.無法確定

解析：因為；(一%)=一4%+4),所以_/U)的圖象關(guān)于點(2,0)中心對稱.又當(dāng)心>2時，./U)

單調(diào)遞增，所以大x)右R上單調(diào)遞增，如困，又(力-2)(*2—2)《0,所以內(nèi)，也若于點Q,0)

的兩邊，不妨設(shè)jq<X2,又入r+大2<4,所以不離點(2,0)更遠，由圖不難看出J3)+AH)恒為

負值.故選C.

7.(6分)(多選)已知函數(shù)八I)的定義域為R,/5+2)為奇函數(shù)，次入+1)為偶函數(shù)，則

(AD)

A.凡丫)的圖象關(guān)于直線工=1對稱

B../U)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱

C.火x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

D._/U)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱

解析：因為?x+2)為奇函數(shù)，所以yu+2)=-/(—x+2),所以函數(shù)ZU)的圖象關(guān)于點(2,

0)對稱，又｛2x+l)為偶函數(shù)，所以y(2r+l)=A—2r+l),所以函數(shù)ZU)的圖象關(guān)于直線x=l

對稱.故選AD.

8.(6分)(多選)已知函數(shù)7U)為R上的奇函數(shù)，在(0,1］上單調(diào)遞減，且滿足/(x)+

—x)=0,則下列說法正確的是(AB)

A..2)=0

B.函數(shù)/U)是以2為周期的周期函數(shù)

C.函數(shù)1/U)在［5,6)上單調(diào)遞增

D.函數(shù)次x—1)為偶函數(shù)

解析：對于A,B,???函數(shù)_/U)為奇函數(shù)，

???/-%)=y(0)=0.??7U)+42—,1)=0,??次一x)+y(2+x)=0,則一/(#+12+制=0.

即式2+x)=/(x),故函數(shù)40是周期為2的周期函數(shù)，12)=/(0)=0,由此可知A,B正確；對

于D,令尸(幻=火大一1),則尸(一x)=/(-x-l)=-/U+li,在人用+/(2—幻=0中，將/換為

x+l,得/U+l)+/(|—x)=0,：.J(x+\)=—J［\—x),

.??F(—x)=—/U+1)=川-x)=一?x—l)=一f㈤，則函數(shù)F(x)=/(x—1)為奇函數(shù)，.*.D

不正確；對于C,由函數(shù)/U)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，則函數(shù)/U)在［5,6)上的單

調(diào)性等價于函數(shù)凡v)在［-1,0)上的單調(diào)性，又奇函數(shù)/U)在(0,1］上單調(diào)遞減，，函數(shù)./U)

在［-1,0)上單調(diào)遞減，，C不正確.故選AB.

9.(5分)定義在R上的奇函數(shù)/x)滿足DxWR,人力+大4一#=0,且當(dāng)0<"2時，/(A)

2024

=f-2,則￡應(yīng))1=1012.

j=l

解析：因為7U)是寄函數(shù)，且人工)+_/(4—1)=0,所以兒0=-/(4—幻=/5-4),故7U)是

周期為4的周期函數(shù).川)+|3)=*)+,穴-1)=0,所以火3)=一外)=1,令x=2,可得人2)

+/2)=0,所以<2)=0,因為函數(shù)為奪函數(shù)且周期為4,所以/4)=/(0)=0,則瓜1)|十［/(2)］

20244

+儀3)|+儀4)|=2網(wǎng))|=2,則E^)1=506.SW0I=506X2=1012.

；=li=?

10.(5分)(2025?八省聯(lián)考)已知曲線C兩條直線八，均過坐標(biāo)原點。，

人和C交于M,N兩點，/2和C交于P，。兩點，若尸M的面積為陋，則△MNQ的面積

為2啦.

2

解析：由于和(一不，都符合—彳，所以曲線關(guān)于原點對稱，當(dāng)

(x,y)-y)y=2人xW(),Cx>0

7

時，函數(shù)y=V-—單調(diào)遞增，由此大致畫出曲線。如圖所示，兩條直線6，辦均過坐標(biāo)原點

O,所以“，N兩點關(guān)于原點對稱，P,Q兩點關(guān)于原點對稱，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)M,N,

P,Q的位置如圖所示，可知|OP|=|OQ|,|OM|=|ON|,/POM=/QON,所以△OPMg/SOQM

所以SaoQN=SAOPM=/^,而△OQM和△OQN的面積相等，所以S&OQM=M2,所以5川機0=

2<2.

11.(16分)函數(shù)y=/U)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/")

為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點P(a,8)成中心對稱圖形

的充要條件是函數(shù))，=/5+〃)一/，為奇函數(shù).

(I)求函數(shù))，=避幻=/-6/圖象的對稱中心；

(2)根據(jù)第(1)問的結(jié)論，求八一100)+4一99)+…+/(1)+/(2)+./(3)+…+川03)+貝04)

的值.

解：⑴設(shè)函數(shù)y=fix)=xi—6/圖象的對稱中心為Pia,b),

由于函數(shù)的圖象關(guān)于點P(a,力成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=Jix+a)—b

為奇函數(shù).

即函數(shù)g(x)=/tr+〃)一匕為奇函數(shù)，而g(x)=(x+4)J—6(.r+a)2—〃=/+(3。-6)『+(3。2

—⑵7)x+〃3—6/-〃，

由于x￡R,g(—x)=-g(x),即一V+G4-6).F—(3/-12a)x+/—6x3一(34一

(3?—6=0,

6)f—(34—12a)x—(/—6/—〃)，因為x￡R,故),_

cr—6a-b=0,

解得

b=-l6,

即函數(shù)y=f(x)=x3-6x2圖象的對稱中心為點(2,-16).

(2)由(1)的結(jié)論可知人工)+/(4—.1)=一32,則八一100)+4104)=—32,人一99)+4103)=一

32,…,川)+")=一32,而/2)=—16,故火一100)+3―99)+…+川)七”)+33)+…+貝103)

+A104)=[/(-100)+/(104)]+[A-99)+/(103)]+-+[/(l)+y(3)]+A2)=(-32)X102+(-16)

=-3280.

“e、-2^2+I

12.(16分)己知函數(shù)人。=-匚一(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).

e1

(I)討論人r)的單調(diào)性.

(2)是否存在實數(shù)〃使得人幻的圖象關(guān)于點(0,1)對稱？若存在，請求出實數(shù)出若不存在,

請說明理由.

解：(1戶一1關(guān)0,xWO,所以7U)的定義域為{小W0},

ae-2a+\a(ev-!)-?+11—a

人")=—-=Ui。'一1'

當(dāng)a=\時，/.r)=1(x^0),7U)沒有單調(diào)性.

當(dāng)avl,1一》0時，凡r)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,Oi,(0,+8).

當(dāng)。＞1,1—。＜0時，1%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,0),(0,+?＞).

(2雙￥)的定義域為{.也卉0},

假設(shè)存在實數(shù)。，使咒燈的圖象關(guān)于點(0,1)對稱，此時段)+人一x)=2,

4cA-2a+I-e，-2a+14-2ae'+e'—a+2ae'-e'

v-xvv

人”)=―e-1-，式—工)=—e-l-=—l-e-=e-I，

府一2。+1,—。+2優(yōu)'一^(3a-l)er-(3^-l)(3。-1)(—1)

次幻+八一幻=e、一I十一門一=■-----口------=一乃一=3。-1

=2,4=1.

故存在實數(shù)a滿足題意，且“=1.

▲T素養(yǎng)提升4

13.（5分）（2024?陜西安康模擬）已知函數(shù)y=人工）是定義在R上的函數(shù)，人1+幻=人1

-x）,函數(shù)及+1）的圖象關(guān)于點（一1,0）對稱，且對任意的為，不￡|0,“，加工小均有坨（片）

+,瑣X2）＞X{/3）+X雙⑴，則下列關(guān)于函數(shù)y=/U）的說法中，正確的個數(shù)是（C）

①/U+2）=危?一2）；

③函數(shù)y=?r）在［2,4］上單調(diào)遞增；

④不等式4r）20的解集為［4鼠以+2］伏￡Z）.

A.1B.2

C.3D.4

解析：由函數(shù)_/u+i）的圖象關(guān)于點（一1,0）對稱，得_/u）的圖象關(guān)于點（0,o）對稱，即函

數(shù)./U）是奇函數(shù)，由.川+力=＜1一4），得凡I）的圖象關(guān)于直線x=l對稱，,"+4）=/［。+3）+

ll=/［l-u+3）］=逃-A-2）=-yu+2）=_力。+I）+1］=—力1_a+1）］=f=/U）,因

此?r）是以4為周期的周期函數(shù)，①正確；對任意的川，X2G［（）,IJ,不力也，均有也為）+企

J（X2）＞X^（X2）,不妨設(shè)用＞及，則CR—應(yīng)）凡￥|）＞（R一啟）人工2）,即兒⑴狀處），因此人X）

在［0,1］上單調(diào)遞增，{_竽）=/（一學(xué)+8）=局=/（，,點）=/停_8）=局習(xí)0）,②正確;

由函數(shù)_/U）是R上的奇?函數(shù)，在［0,1］上單調(diào)遞增，得函數(shù)7U）在［-1,1］上單調(diào)遞增，在［1,

3］上單調(diào)遞減，在［3,5］上單調(diào)遞增，③錯誤；由＜2）=沸0）=0,/5）在［-1,1］上單調(diào)遞增，

在［1,3］上單調(diào)遞減，得當(dāng)［—1,3］時，/U）20,則有x￡［0,2］,又函數(shù)J（x）是以4為周

期的周期函數(shù)，因此不等式火?20的解集為［4k,4A+2］（k￡Z）,④正確.故選C.

14.（5分）（2024?江西?布昌二模）已知定義在R上的函數(shù)4。滿足人4+2）=/（一幻=一人工）,

當(dāng)0uWi時，yu）=iog2（x+i）