專題12.11三角形全等的判定-HL（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.如圖，若N5=NC=90。，AI3=AC,則AAB度△ACO的理由是（

A.SASB.AASC.ASAD.HL

2.如圖，己知CDLBD,若用“HL”判定RtzMfiD和RCDB全等，則需

要添加的條件是（

C.I3D=DBD.AB=CD

3.如圖，ACLBC,ADLBD,垂足分別是C,D,AC=BD,NC8A=32。，則NC4。

等于（）

A.32°B.58°C.24°D.26°

4.如圖所示，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯（即8C=七F）,左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水

平方向。尸的長(zhǎng)度相等，則（1）八8=。石；（2）NABC+NDFE=900；（3）NABC=NDEF.其

中正確的有（）

5.如圖，在A8C和△CDE中，ZACB=ZCED=90°,AB=CD,CE=AC,則下列結(jié)

論中錯(cuò)誤的是()

A.△ABCgACDEB.ZCAB=ZDCEC.AB工CDD.E為

8C中點(diǎn)

6.如圖，在二48。和二AOC中，ZB=ZD=90°,CB=CD,/l=30。，則N2=()

B

D

A.30°B.40°C.50°D.60°

7.如圖：ZB=ZC=90°,E是BC的中點(diǎn)，。石平分NAOC,則下列說法正確的有幾個(gè)

)

(1)A石平分NOAB；(2)△EBA會(huì)ADCE；

(3)AI3+CD=AD；(4)AEA-DE.(5)DE=AE

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5

8.如圖，在一ABC中，ZC=90°,。是AC上一點(diǎn)，于點(diǎn)￡BE=BC,連接

BD,若AC=8cm,則AQ+OE等于(

A.6cmB.7cmC.8cmD.10cm

9.如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯（即BC=EF）,左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方

向的長(zhǎng)度DF相等，則有下列結(jié)論：①AB=DE；②NABC=/DEF；?ZACB=ZDFE；

④/ABC+NDFE=90。.其中成立的是（）

c.(D@D.②③

10.如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯靠在一面墻的兩側(cè)，已知左邊滑梯的高度AC與右邊

滑梯水平方向的寬度。廠相等，則這兩個(gè)滑梯與墻面的夾角NAC/3與/?！晔亩葦?shù)和為

)

CD

9020

11.如圖，在四邊形ABCD中，CB=CD,ZB=90°,ZACD=ZACB,ZBAC=35°,

則NBCD的度數(shù)為（）

A.145°B.130°C.110°D.70°

12.如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯靠在一面墻上.已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯

水平方向的長(zhǎng)度DF相等，則這兩個(gè)滑梯與地面夾角NABC與NDFE的度數(shù)和是（）

C.120°D.150°

二、填空題

13.如圖是由九個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的大正方形，圖中NI+N2+N3+N4+N5

的度數(shù)為.

14.如圖，在心AABC中，ZC=90°,AC=12cm,8c=6cm,一條線段P。=人4,

P,Q兩點(diǎn)分別在AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動(dòng)，要使△ABC^WLQPA全等,

則AP=.

15.如圖，ZC=ZCAM=90°,AC=8cm,BC=4cm,點(diǎn)P在線段AC上，以每秒

2cm的速度從點(diǎn)4出發(fā)向C運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在射線AM上運(yùn)動(dòng)，且PQ=,

當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，△A8c才能和△PQA全等.

16.如圖，AABC中，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，乙48C的平分線與AC的中垂線交于點(diǎn)E,

連接DE,過點(diǎn)E分別作八反8c所在直線的垂線，垂足分別為M、N,若

AB=3.2cm,則8c的長(zhǎng)為cm.

17.如圖，四邊形ABCQ,連接8。，AI3LAD,CELBD,AB=CE,BD=CD.若4。

=5,CD=7,則BE=.

18.如圖，在四邊形A8CQ中，440=60。，CD±AD,CBVAB,AC的延長(zhǎng)線與NADC、

N/WC相鄰的兩個(gè)角的平分線交于點(diǎn)E,若CD=CB,則/前的度數(shù)為.

E

a

AB

19.如圖,點(diǎn)Q、A、E在直線mi:.fAB=AC,BDlnt于點(diǎn)D,CEL"于點(diǎn)E,且BD=AE.若

BD=3,CE=5,則/)￡=

20.如圖，在AABC中，AO_LBC十點(diǎn)。，過A作4E〃BC,且AE=AB,/IB上有一點(diǎn)

5

F,連接若EF=AC,CD=4BD,則廣”

>AEF

21.如圖，在△ABC中,AB=AC.點(diǎn)D為公ABC外一點(diǎn),AE_L8。于E.NBDC=NB4C,

DE=3,CD=2,則BE的長(zhǎng)為.

22.如圖所示，在448C中，A。平分N8AC,點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上，且E凡L8C,

且交4c延長(zhǎng)線于點(diǎn)R〃為。。上的一點(diǎn)，且BH=所，AH=DF,AB=DE,若NQAC+nNACB

=90°,則〃=.

E

AC=15cm,BC=8cm,AX_LAC于A,P,。兩點(diǎn)

分別在邊AC和射線以上移動(dòng).當(dāng)PQ=AB,AP=cm時(shí)，，A8C和-APQ全等.

24.如圖，在RSABC中，ZC=90°,。為8C上一點(diǎn)，連接AO,過。點(diǎn)作。瓦LA8,

且。DC.若A8=5,AG3,則止

三、解答題

25.如圖，AB、。力相交于點(diǎn)。，AC=BD,AE1CD于點(diǎn)E,B尸^LCD于點(diǎn)、F,且

CE=DF.

求證：AC//BD.

D

26.如圖，在△A8C中，BC二AB,NABC=900,尸為A3延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在8C上,

且AE=CF.

(1)求證：RtAABE^Rl^CBFx

⑵若NCA8=30。，求NAC尸的度數(shù).

27.已知△48C與A4OE均為等腰直角三角形，且/84C=NOAE=90。，點(diǎn)。在直線

8c上.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：BELCD；

(2)如圖2,當(dāng)。點(diǎn)不在直線BC上時(shí)，BE、C。相交于M,

①直接寫出/CMF的度數(shù)；

②求證：M4平分NCME

28.動(dòng)手操作：

如圖，已知AB〃CD,點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB,AC于E,F詼點(diǎn),

再分別以點(diǎn)E,F為圓心，大于gEF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P,作射線AP,交CD

于點(diǎn)M.

問題解決:

(1)若NACD=78。，求NMAB的度數(shù)；

(2)若CNJ_AM,垂足為點(diǎn)N,求證：△CANgZXCMN.

實(shí)驗(yàn)探究：

(3)直接寫出當(dāng)NCAB的度數(shù)為多少時(shí)?ACAM分別為等邊三角形和等腰直角三角形.

參考答案

1.D

【分析】

根據(jù)兩直角三角形全等的判定定理HL推出即可.

解：NB=NC=90。，

在RgABD和/?/△ACD中，

AD=AD

AB=AC'

:.RIAABDGR必ACD(HL),

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查r全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的

關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS,A”,AAS,555,兩直角三角形全等還有HL.

2.A

【分析】

由圖示可知83為公共邊，若想用2〃'判定證明RtA43Q和心.CQ5全等，必須添加

AD=CB.

解：在RtAABD和&CD8中

BD=BD

AD=CB

RtZ^ABD^Rt^CDB[HL)

故選A

【點(diǎn)撥】此題主要考查學(xué)生時(shí)全等三角形判定定理(HL)的理解和掌握，此題難度不

大，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【分析】

根據(jù)已知條件可以利用HL,判定RtZSAO四口△8C4,全等后可得NDW=NC/M=32。，

再根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余，可求得NC4B=58。，進(jìn)而可求得NC4D.

解：證明：QAC1BC,AD上BD，

ZD=ZC=90°,

在RtAOB和Rl4cA中，

BD=AC

AB=BA'

RtzMOBgRtZ^GUHL),

Z.NDAR=NCBA=32。,

在RtaBCA中，NG48+NC84=90。、

/.ZC4B=58°,

/.ZC4D=ZCAB-ZDAB=58°-32°=26°,

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判斷定理，HL定理，根據(jù)已知條件求證

RtAADB^RtABCA是解題關(guān)鍵.

4.D

【分析】

由已知條件判斷兩個(gè)直角三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐一分析即可.

解：由題意知NB4C=NEOF=90

在汝84。和陽EDF中:

??\BC=EF

'AC=DF

Rt/XBAC=Rt^EDF(HL)

AAB=DE,ZABC=NDEF

???(1)、(3)正確

Z.DEF+Z.DFE=90，ZABC=Z.DEF

JZABC+/DFE=90

???(2)正確

故選：D

【點(diǎn)撥】本題考杳兩個(gè)直角三角形全等的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)的定理和性質(zhì)內(nèi)容是解

題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】

首先證明,推出CE=AC,ZD=AB,由ZD+ZDCE=90,推出

NB+NDCE=90,推出即可----判斷.

解：VZACB=^CED=90°.

???A8C和為直角三角形，

在mA3C和心△COE中，

AB=CD

'AC=CE'

/.AABC仝△CDE〈HL),

CE=AC,ZD=ZB,NCAB=NDCE,

;NO+/OCE=90,

NB+NQCE=90,

/.ABA.CD,

故A、B、C正確，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的

判定和性質(zhì).

6.D

【分析】

由題意可證向AHW用4Z)C("L),有N1=NC4￡),由三角形內(nèi)角和定理得

Z2+ZGAD+ZD=I8O°,計(jì)算求解即可.

解：VZ^=Z￡>=90°

???△48(，以AOC均為直角三角形

在R/ABC^RlAOC中

??[CB=CD

*AC=AC

：.RL.ABCgRhADC(HL)

???Z1=ZC4D

Z2+ZC4D+ZD=180°

.??Z2=180°-9C^-30°=60°

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等，三角形的內(nèi)舛和定理.解題的關(guān)鍵在于找出角度的數(shù)

量關(guān)系.

7.B

【分析】

過點(diǎn)E作E/LLAD垂足為點(diǎn)F,證明△DEF/ADEC(AAS)；得出CE=EF,DC=DF,

ZCED=ZFEDf證明放△A/E絲用△ABE(HL)；得出A/=A8,ZFAE=ZBAEfZAEF

=/AEB,即可得出答案.

解：如圖，過點(diǎn)￡作ERLAO,垂足為點(diǎn)E

可得NQ"E=90。，

則NOPE=NC,

???。石平分/AOC,

：.4FDE=4CDE,

在^DCEfBA。叫中,

ZC=4DFE

NCDE=/FDE,

DE=DE

：,^DEF^^DEC(AAS\

:?CE=EF,DC=DF,NCED=NFED,

YE是8C的中點(diǎn)，

1?CE=EB,

:?EF=EB,

在ABE和/??△AFE中，

EF=BE

AE=AE

.*./?/△AFE^RtLABE(HL)；

：,AF=AB,NFAE=/BAE,ZAEF=ZAEB,

???AE平分NDA8,故結(jié)論(1)正確，

則人。故結(jié)論(3)正確;

可得NAED=NFED+AEF=；NFEC+gNBEF=90。,即故結(jié)論(4)正

確.

?：AB豐CD,AEQE,(5)錯(cuò)誤，

???△E8AW△力CE不可能成立，故結(jié)論(2)錯(cuò)誤.

綜上所知正確的結(jié)論有3個(gè).

故答案為：B.

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等內(nèi)容，作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

8.C

【分析】

證明RABCOgRABE。(HL),由全等三角形的性質(zhì)得出CD=OE,則可得出答案.

解：；DE工AB，

/.ZDffl=90°,

在Rl4c。和Rt△比Z)中，

BD=BD

BE=BC'

RtAFCDsRtA3ED(HL),

CD=DE,

:.AD+DE=AD+CD=AC,

AC=8cm,

AD+￡>E=AC=8cm.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題

的關(guān)鍵.

9.A

【分析】

利用HL證明△ABC絲ZiDEF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可判斷各結(jié)論.

解：???在RSABC和RtADEF中,

BC=EF

AC=DF'

ARtAABC^RlADEF(HL).

則①AB=DE,正確；

②NABC=NDEF,正確；

@ZACB=ZDFE,正確；

???ZDEF+ZDFE=90°

④NABC+NDFE=90。正確；

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是判斷△ABCgZXDEF,注意

掌握全等三角形的性質(zhì)：對(duì)?成功相等、對(duì)應(yīng)角相等.

10.C

【分析】

先根據(jù)BC=EF,AC二DF判斷出RSABCgRQDEF,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知,

Z1=Z4,再由直角三角形的兩銳角互余即可解答.

???滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形,

VBC=EF,AC=DF,

ARtAABCgRSDEF(HL),

AZ1=Z4,

VZ3+Z4=90°,

/.ZACB+ZDEF=90°.

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查的是直角三角形全等的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題目.

11.C

【分析】

根據(jù)HL判定△ABC四AADC,得出NACD=NACB=55。，即可求/BCD的度數(shù).

解：VZABC=ZADC=90,

■RSADC與RtAABC中，

CB=CD,AD=AD

???△ABC也△ADC,又/ACB=55°,

AZACD=ZACB=55°,

ZBCD=NACD+ZACB=110°.

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考核知識(shí)點(diǎn)：全等三角形的判定和性質(zhì).解題關(guān)鍵點(diǎn)：根據(jù)HL判定

△ABC^AADC,得出NACD=NACB.

12.B

解：試題分析：先根據(jù)BC=EF,AC=DF判斷出RSABCgRQDEF,再根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)可知，Z1=Z4,再由直角三角形的兩銳角G余即可解答.

解：???滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形，

VBC=EF,AC=DF,

.\R(AABCgRlADEF,

，N2=N3,Z1=Z4,

?/N3+N4=90°,

AZABC+ZDFE=90°.

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，屬較簡(jiǎn)單題目.

13.225°

【分析】

首先判定△ABC會(huì)/XAE廣，AABD義AAEH,可得/5=N8CA,N4=NBD4,然后可得

Z1+Z5=Z1+ZBCA=9O°,Z2+Z4=Z2+ZBDA=90°,即可求得N1+N2+N3+N4+N5的

值.

AB=AE

在A46C和AA￡/中，＜NB=NE=90。

BC=EF

A/\ABC^/\AEF(SAS),

/.Z5=ZBCA,

???Z1+Z5=Zl+ZBCA=90°,

A3=AE

在RSA3。和RSAE”中，《一，，，

AD=AH

ARIAABD^Rl^AEH(HL),

；?Z4=ZBDA,

:.Z2+Z4=Z2+ZBDA=90°,

VZ3=45°,

AZ1+Z2+Z3+Z4+Z5=90°+90°+45°=225°.

故答案為：225。.

【點(diǎn)撥】此題主要考查「全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)：全

等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可求解.

14.12cni或6cin##6cin或12cm

【分析】

當(dāng)AP=12cm或6cm時(shí)，AABC和△PQA全等，根據(jù)HL定理推出即可.

解：VZC=90°,AOLAC,

???NC=NQ4P=90。，

①當(dāng)人p=6cm=BC時(shí)，

在RmACB和RmQA〃?p

AB=PQ

?\BC=AP，

:?Ri〉A(chǔ)CB0RtLQAP(HL),

②當(dāng)4尸=12cm=4C時(shí)，

在RmACB和RSPAQ中

AR=PQ

AC=AP'

：.MAACBGR[APAQ(HL),

故答案為：12cm或Cen】.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：判定兩直角三角形全等的方

法有AS4,A45,SAS,SSS,HL.

15.2或4##4或2

【分析】

據(jù)全等三角形的判定HL定理分AP=8C和AP=AC解答即可.

解：設(shè)點(diǎn)夕的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，

VZC=ZC4M=90°,PQ=AB,

???當(dāng)AP=BC=4cm,時(shí)，RtAABC(HL),

"4+2=2秒；

當(dāng)4尸=AC=8cm,時(shí)，Rl△尸Q4絲RtZkABC(”L),

.??/=8：2=4秒，

綜上，當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2或4秒時(shí)，△A8C才能和△PQA全等.

故答案為：2或4.

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握證明直角三角形全等的，/一定理，利用

分類討論思想是解答的關(guān)腱.

16.7.2

【分析】

根據(jù)題意，連接AE、CE,利用DE垂直平分AC,BE平分NMBC,推出

RtAAME^RtACNE(HL),得出AM二CN,進(jìn)而證明心AEMBZm,通過等邊代

換計(jì)算即可.

解：連接AE、CE,如圖:

???DE垂直平分AC,

AE=CE,AD=CD,

又「BE平分NMBC,EMJ_BM,EN1BC,

AEM=EN,ZM=ZENC=90°,

ARtAAME^RtACNE(HL),

AAM=CN=2,

同理可證，RfAEM噲RfAENB(HL),

:.BN=MB=2+32=5.2,

BC=BN+AM=5.2+2=7.2,

故答案為：7.2

【點(diǎn)撥】本題考查了HL判定直角三角形全等，三角形全等的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì),

線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握HL判定直角三角形仝等是解題的關(guān)鍵.

17.2

【分析】

根據(jù)HLi正明Rt：人及注RtECD,可得ED=AD=5,根據(jù)/<￡=/比>一￡。即可求解.

解：??,AB1AD,CE工BD,

:.ZBAD=ZCED=90°,

在氐△?與RIAECD中，

AB=CE

BD=CD'

，Rt/A^D^RtECD,

*.*AD=5,CD=1,

：.ED=AD=5,BD=CD=7,

:.BE=BD-ED=2

故答案為：2

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握HL證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

18.15°

【分析】

先證明/?/△CDA*Ri△C84得到N/ME=N84E=LNB4O=30。，再由角平分線的定義

2

求出/EOC=45。，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

解：'：CDLAD,CB±AB,

???NCD4=NC■胡=90。，

在.RmCD4和Ri&C8A中，

CD=CB

AC=AC'

/./?/△CDA^RthCBA(HL),

???ZDAE=NBAE,NBAD=30°,

2

???OE平分與乙4。。相鄰的角，NAOC=90。，

/.ZEZ)C=45°,

???ZCED=180°-ZDAE-AADC-ZEDC=15°,

故答案為：15。.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定

義，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

19.8

【分析】

根據(jù)CEL”，得N8D4=NCEA=90。，再結(jié)合已知AB=4C,BD=AE可推出

RMADBQR於CEA,最后由全等三角形的性質(zhì)，即可計(jì)算出結(jié)果.

解：CElm,

???NBDA=NCEA=90°,

在RIAADB和RIACEA中，

,：AB=AC,BD=AE,

:?RmADB%R山CEA(HL),

???BD=3,CE=5,

：.AE=BD=3,AD=CE=5,

：.DE=AD+AE=^.

故答案為：8.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握利用HL判定直角三角形的全等是

解題的關(guān)鍵.

20-1

【分析】

在CO上取一點(diǎn)G,使GD=BD,連接AG,作交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，先證明

AAEHGAGAD,得EH=AD,AH=GD,再證明RmEHF9RsADC,得FH=CD,于是得AF=GC,

則WS^AEF=S^GAC,設(shè)GQ=BD=m,則CD=48D=4m,所以

3SS5

CG=4m-m=3m,BC=4m+m=5m,則S^EF=SACAC=-^-AD,S^BC=^?AD,得=T,

22^SAEF'

于是得到問題的答案.

解：如圖，在CO上取一點(diǎn)G,使GQ=3。，連接4G,作交24的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

H,

???4Q_L4C于點(diǎn)。，

：.AG=AB,N”=N/mG=90。

???ZAGD-Zfi,

YAEHBC,

1/EAH=/B,

ZEAH=ZAGD,

,：AE=AB,

：,AE=AG,

在△八上〃和△O/W中，

NH=4ADG

■NE4〃=NAG。，

AE=GA

A/\AEH^/\GAD(AAS),

:?EH=AD,AH=GD,

在Rt^EHF和RmADC中,

EF=AC

EH=AD'

：,Rt^EHF^RtLADC(HL),

:?FH=CD,

:?FH-AH=CD-GD,

：.AF=GC,

：.-AFEH=-GCAD,

22

：.S^AEF=S^GAC,

設(shè)GD=BD=m,則CQ=44Q=4m,

/.CG=4m-m=3m,BC=4m+m=5m,

??.S{“\AcF-Fr=八GAC=-2CGAD=—2AD，.S^Mv4r”>C=2-BC-AD=-2-AD,

Sa.F細(xì),AD3

2

故答案為：.

【點(diǎn)撥】此題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、有關(guān)面積比問題的求解等

知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

21.5

【分析】

過A作AF_LCO,交CD的延長(zhǎng)線于F,證^ABE/△ACF(A4S),得BE=CFtAE=AEt

再證用44。尸也心△AQE(”L),得DF=DE=3,則CF二CD+。/=5,即可求解.

解：過A作Af\LCD交CD的延長(zhǎng)線于廣，如圖所示：記ACB。交于點(diǎn)Q,

Q

B

則N4〃C=90°,

'：AELRD,

???ZAEB=ZAED=90°f

'：4BDC=/BAC,ZAQB=NDQC,

???ZABE=ZACF,

在△ABE和△ACF中，

NAE8=/"C=90。

?ZABE=ZACF,

AB=AC

???△48E/Z\ACF(A4S),

:?BE=CF,AE=AF,

在/?/△ADE和RmADE中，

AD=AD

AF=AE'

:?R於ADF@R必ADE(HL),

:,DF二DE=3,

：.CF=CD+DF=5,

:.BE=CF=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，正確作出

輔助線，證明R於ADF沿RmAOE是解題的關(guān)鍵.

22.-

3

【分析】

由“HL”可證RAABH安心△。E月可得NEOQNBAH,由角的數(shù)量關(guān)系可求解.

解：在陽AAB”和k山。底尸中，

AH=DF

AB=DE

ABHORSDEF(HL),

/.4EDF=/BAH,

???/EDF-/BAD=/BAH-/BAD,

：.ZB=ZDAH,

???A。平分NBAC,

???NBAD=NDAC,

設(shè)/氏ND4”=j,NBAD=NDAC=x,

???2y+.v=90。，ZCAH=ZDAC-ZDAH=x-y,

???ZACB=900-ZCAH=3y,

???ZDAC+nZACB=90\

???x+3〃產(chǎn)90°,

/.3/2=2,

2

故答案為：p

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，

靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

23.8或15

【分析】

分情況討論：①AP=BC=8cm時(shí)，R(AABC^RtAQPA(HL)；②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重

合時(shí)，RtAABC^RtAPQA(HL),此時(shí)AP=AC=15cm.

解：①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AP二BC時(shí)，如圖I所示：

c

{BC=PA

在RSABC和RSQPA中，〈c八…

AB=QP

ARtAABC^RtAQPA(HL),

即AP=BC=8cm：

②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，如圖2所示:

(P)

圖2

(AC=PA

在RteABC和RSPQA中，八一

AB=QP

ARtAABC^RtAPQA(HL),

即AP=AC=15cm.

綜上所述，AP的長(zhǎng)度是8cm或15cm.

故答案為：8或15.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形仝等的判定與性質(zhì)，熟練掌握仝等三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵，注意分類討論，以免漏解.

24.2

【分析】

先證明△AED^^ACD得到AE=AC=3,最后根據(jù)線段的和差即可解答.

解：VZC=90°,DELAB,

???△AED和AA8都是直角三角形，

在RSAED和RtaACD中，

DE=DC,AD=AD,

/.△AED^AACD(HL),

AAE=AC=3,

ABE=AB-AC=5-3=2.

故填:2.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握運(yùn)用HL證明三角形全第是解

答本題的關(guān)鍵.

25.見分析

【分析】

根據(jù)AE_LCQ,知AACE和△&)廣都是直角三角形，AC=BD,CE=。尸證明

RNACEwRNBDF(HL),得到NC=N。，AC//BD.

解：'CAEVCD,BFLCD,

JZAEC=ZBFD=90°,

???Rt/hACE和RNBDF中,

AC=BD

CE=DF'

R17ACE=RNBDF(HL),

AZC=ZD,

：.AC//BD.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用斜

邊直角邊定理證明兩直角三角形全等.而全等三角形的雙應(yīng)角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行.

26.(1)證明見分析(2)6()。

【分析】

(1)由可證MAABEgRmCBF；

Q

(2)由A8=C8,ZABC=90f即可求得NCAB與N42B的度數(shù)，即可得/8AE的度數(shù)，

又由RIAABEgRmCBF,即可求得N8CF的度數(shù)，則由NACF=N3CF+NAC3即可求得答

案.

解：(l)VZ4BC=90°,

/.^CBF-^ABE-90n,

在心△A8E和RtdCBF中，

AE=CF

AB=BC

.*./?/△ABE^RIACBF(H