13.1.2線段垂直平分線的性質(zhì)和判定

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.如圖，AA8C中，AB=5,AC=6,8C=4,邊A8的垂直平分線交AC于點(diǎn)。，則△8OC

的周長(zhǎng)是（）

2.如圖，在AABC中，ZB=30°,8c的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,垂足為。，CE平分

C.V2D.2

3.如圖所示，在NBC中，ZACB=90°,分別以點(diǎn)A,8為圓心，大于-AB長(zhǎng)為半

2

徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M,M作直線MN分別交48,AC于點(diǎn)。，E,連結(jié)CO,BE.下

A.AD=CDB.BE>CD

C.ZBEC=ZBDCD.BE平分NC8。

4.如圖，8。是zUAC的角平分線，AE1BD,垂足為E若NA3C=35。，ZC=50c,則

/COE的度數(shù)為（）

C.47.5°D.50°

5.如圖，△ABC中，A8的垂直平分線交8c邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交8c邊于點(diǎn)

N,若NB4C=7O。，則NE4N的度數(shù)為（）

C.50°D.55°

6.如圖，在△A8C中，OE垂直平分點(diǎn)石為垂足，/G垂直平分4C,點(diǎn)G為垂足,

BC=5cm,則△A。/7的周長(zhǎng)等于（）

C.6cmD.7cm

7.如圖，&ABC中，ZB/AC=130°,AB,AC的垂直平分線分別交BC于

點(diǎn)E,F,與AB,AC分別交于點(diǎn)D,G,則ZEAF的度數(shù)為（）

C.65°D.60°

二、填空題：

8.如圖，在ZiABC中，ZA=40°,AB=AC,A8的垂直平分線OE交AC于。，則NQBC

的度數(shù)是.

A

D

9.如圖，在放A48C中，ZC=90°,EO垂直平分A8于點(diǎn)。，BC=5,AC=1(),則AE

的值是.

10.如圖所示，在“BC中，ZC=90°,邊A8的垂直平分線分別交48,AC邊于點(diǎn)D,E,

連結(jié)若48=10,BC=6,則&4CE的周長(zhǎng)是.

11.如圖，在&ABC中，分別以點(diǎn)4和點(diǎn)C為圓心，大于^AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩

2

弧相交于點(diǎn)作直線MN分別交BC,AC于點(diǎn)￡若AE=3,AABD

12.如圖，4AAC中，線段AC的垂直平分線OP與/E4。的角平分線相交于點(diǎn)。，垂

足為點(diǎn)P,若/BAC=84)則NBDCn°.

三、解答題：

13.如圖，在ZUAC中，ZC=90°,A8的垂直平分線DE交4c于Q,垂足為E,若N

A=30°,CD=3.

(1)求N8DC的度數(shù).

(2)求人。的長(zhǎng)度.

14.如圖，在“8C中，。石垂直平分BC,垂足為E,交4c于點(diǎn)。，連接BD.若N

A=100°,ZABD=22°t求NC的度數(shù).

15.如圖，在"BC中，AD1BC,垂足是。，ZI3=2ZC.求證：AB+BD二DC.

16.如圖，AB=AC,NA=120。，BC=6cm,ED、fG分別是A3,AC的垂直平分線，求

BE的長(zhǎng).

能力提升篇

一、單選題：

1.如圖，在銳角中，AC=10,SZ\BC=25,NB4C的平分線交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)M,

N分別是A。和48上的動(dòng)點(diǎn)，則3M+MN的最小值是（）

A.4B.—C.5D.6

5

2.如圖，“SC中，ZMC=60°,/BAC的平分線AD與邊3。的垂直平分線用。相交

于點(diǎn)。，DEA.AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DFLAC于點(diǎn)F,現(xiàn)有下列結(jié)論：?DE=DP,②

DE+DF二AD;③0M平分NEOF：④AB+AC=2A￡其中正確的有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

3.如圖，已知4c平分ND48,CE_LA8于E,AB=AD+2BE,則下歹U結(jié)論:①A8+4。=2AE；

②/ZM8+/OC8=180。；@CD=CB；?S^ACE-2S^CE=S^ADC;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

二、填空題：

4.如圖，在△A8C中，NABC=NACB,。為8C的中點(diǎn)，連接A。，七是AB上的一點(diǎn),

P是AO上一點(diǎn)，連接EP、BP,AGIO,8c=12,則夕+8P的最小值是,

5.如圖所示，ZAOB=42°，點(diǎn)P為ZAOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA、

OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)片，舄，連接《鳥(niǎo)交。4于M,交08于N,66=15,

則&PMN的周長(zhǎng)為,AMPN=.

6.在ZkABC中，邊A&AC的垂直平分線分別交邊8c于點(diǎn)。、E,若NOAE=40。，則

/BAC的度數(shù)為.

7.如圖，△A8C中（A8>8C）,G在C8的延長(zhǎng)線上，邊AC的垂直平分線OE與乙48G

的角平分線交于點(diǎn)M,與A8交于點(diǎn)。，與AC相交于E,MVJ_A8于N.已知A8=13,

BC=9,MN=3,則△8MN的面積是.

三、解答題：

8.已知：0C平分NAOB,點(diǎn)?、。都是0C上不同的點(diǎn)，PE±OA,PFLOB,垂足分

別為E、F,連接EQ、尸Q.求證：FQ=EQ

9.如圖，0E,。尸分別是AC,8。的垂直平分線，垂足分別為E,F,且A8=C。，Z

ABD=120°,NCQ8=38°,求/。8。的度數(shù).

13.1.2線段垂直平分線的性質(zhì)和判定

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.如圖，A4BC中，AB=5,AC=6,804,邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)￡）,則"OC

的周長(zhǎng)是（）

.2

A.8B.10C.12D.14

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】設(shè)邊A5的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,

???EO是A3的垂直平分線，

；?AD=BD,

>BDC的周長(zhǎng)=DB+BC+CD,

，△8。。的周長(zhǎng)=4O+BC+C。=AC+8C=6+4=10.

故答案為：B.

【分析】木題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在"BC中，ZB=30°,3。的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,垂足為。，CE平分

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：???在"8C中，N8=30。，BC的垂直平分線交A8于E,BE=2,

：?BE=CE=2,

???Z5-Z￡>CE^30°,

???CE平分NACB,

ZACB=2ZDCE=60°,ZACE=ZDCE=30°,

???ZA=1800-NB-ZACB=90°.

在對(duì)△CAE中，???/A=90。，ZACE=30°,CE=2,

.\AE=—CE=\.

2

故選B.

【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出8成CE=2,故可得出N8=NOCE=30。，再

由角平分線定義得出ZACB=2ZZ）CE=60°,ZACE=ZDCE=30°,利用三角形內(nèi)角和定

理求出NA=1800-NB-ZAC13=90^然后在Rt^CAE中根據(jù)30。角所對(duì)的直角邊等于

斜邊的一半得出AE=1CE=1.

2

3.如圖所不，在△ABC中，NAC8=90。，分別以點(diǎn)A,，為圓心，大力-A8長(zhǎng)為半

2

徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M,N,作直線MN分別交48,AC于點(diǎn)D,E,連結(jié)CO,BE.下

列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）

A.AD=CDB.BE>CD

C.ZBEC=ZI3DCD.BE平分NCBD

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由作圖可得，DE是A8的垂直平分線，

：.AE=BE,AD=BD,

???點(diǎn)。為AB的中點(diǎn).

?.?NACB=90。，點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，

：.CD為RmABC的邊AB上的中線，

???CD=AD=BD,故A選項(xiàng)正確：

VDE1AB,

.?.RAAOE中，AE>AD.

?：AE>AD.AE=BE,AD=CD,

：.BE>CD,故B選項(xiàng)正確；

???/BEC是等腰0BE的外角，

???NBEO2NA.

VABDC是等腰△AC。的外角，

，NBOU2NA,

???NBEC=NBDC,故C選項(xiàng)正確；

當(dāng)N4=30。時(shí)，ZABE=30°=ZCBE,

???當(dāng)NA=30。時(shí)，BE平分NA8C,

而NA不一定為30°,

二?BE不一定平分NCBD故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案為：D.

【分析】由作圖可得，DE是A8的垂直平分線，然后由線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合直

角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可推出AD與CD的關(guān)系，據(jù)此判斷A選項(xiàng)；

由直角三角形中斜邊最長(zhǎng)結(jié)合A。、BD、CO的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；

由三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和可得NBEC=2/A,N8DG2N4據(jù)此判

斷C選項(xiàng)；

當(dāng)NA=30。時(shí)，，NABE=30Q=NCBE,然后根據(jù)NA的度數(shù)判斷D選項(xiàng).

4.如圖，B。是△ABC的角平分線，AE±BD,垂足為F.若NABC=35。,ZC=50c,則

NCOE的度數(shù)為（）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：TB。是△4BC的角平分線，AELBD,

1

1?NABD=/EBD=-ZABC=2-=17.5°,/AFB=ZEFB=90°,

2

.??ZBAF=NBEF=9()。-17.5°=72.5°,

:?AB=BE,

:.AF=EF,

：,AD=ED,

：.ZDAF=ZDEF,

???NBAC=180。-AABC-ZC=180°-35°-50°=95°,

，/BED=NBAD=95°,

/.ZCDE=95°-50°=45°,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義得到乙48。=/￡8。=1NABC,ZAFB

2

=/日詁=90。，推出A6=BE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到4尸=",根據(jù)中垂線的性

質(zhì)求得得到根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

5.如圖，△A8C中，A8的垂直平分線交8c邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交8c邊于點(diǎn)

N,若NB4C=70。，則NE4N的度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.50°D.55°

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：-ZBAC=70°,

ZB+ZC=180°-70°=110°,

VAB的垂直平分線交8C于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交8C于點(diǎn)M

；.EA=EB,NA=NC,

:.NEAB=NB,ZNAC=ZC,

/.ABAC=ZBAE+ANAC-ZEAN=ZB+ZC-ZEAN,

ZE4JV=ZB+ZC-ZBAC=110O-70O=40°,

故答案為：B.

【分析】由三角形內(nèi)角和180。解得ZB+ZC=110°,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，

解得:.EA=EB,NA=NC,進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角性質(zhì)，解得

/EAB=/B,4NAC=/C,最后根據(jù)角的和差計(jì)算NEAN的度數(shù)即可.

6.如圖，在△ABC中.OE垂直平分AB,點(diǎn)E為垂足，尸G垂直平分4c點(diǎn)G為垂足,

BC=5cm,則△4。尸的周長(zhǎng)等于（）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】TOE垂直平分A8,/G垂直平分AC,

：.AD=BD,AF=CF,

*/BC=5cm,

???LADF的周長(zhǎng)為：AEHDF+AF=BD+DF+CF=BC=5(cm).

故答案為：B

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AZ)=3D,AF=CF,因此要求力下的周

長(zhǎng)，就轉(zhuǎn)化為4人。尸的周長(zhǎng)就是線段8c的長(zhǎng)。

7.如圖，&ABC中，NB4C=130。,AB,AC的垂直平分線分別交BC于

點(diǎn)E,凡與AB,AC分別交于點(diǎn)D,G,則ZEAF的度數(shù)為()

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???0E垂直平分A8,R7垂直平分AC,

:.EB=EA,FA=FC,

：.ZBAE=ZB1NFAC=/C,

「△ABC中，ZBAC=130°,

???N8+NC=50。，

：.ZBAE+ZFAC=50°,

：.ZEAF=ZBAC-QBAE+/FAC)=80°.

故答案為：A.

【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)可知E4=EB,FA=FC,利用等邊對(duì)等角得

ZMC=ZC；再利用三角形的內(nèi)角和定理可求出N8+NC的度數(shù)；然后可用NE4F=N

BAC-(N84E+N胡C)計(jì)算可求解.

二、填空題：

8.如圖，在“8C中，ZA=40°,AB=AC,AB的垂直平分線。上交AC于。，則NO8C

的度數(shù)是

D

B"-----------C

【答案】30。

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：VZA=40°,AB=ACf

(>

：.ZABC=ZACB=70t

又???/)￡垂直平分A8,

：,DB=AD

：.NA8D=NA=40。，

工/DBC:/ABC-NAB。=70。-40°=30°.

故答案為:30。

【分析】先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)易得NABC、N4C7T度數(shù)，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可

得。8必。，根據(jù)“等邊對(duì)等角”求得N4BQ,最后求得ND8C度數(shù)。

9.如圖，在心aABC中，ZC=90°,EO垂直平分A8于點(diǎn)，BC=5,AC=10,則A石

的值是.

B

【答案】于

4

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】解：垂直平分AB于點(diǎn)Q,

：.AE=BE,

設(shè)AE=x,則BE=x,

故在心AECB中，EC^+BC^EB2,(10-x)2+52=^,

?5

解得：尸—.

4

25

故答案為:

4

【分析】根據(jù)題意直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理進(jìn)而得出答案.

10.如圖所示,在中,ZC=90°,邊AB的垂直平分線分別交A8,AC邊于點(diǎn)。石

連結(jié)8H若AB=10,BC=6,則的周長(zhǎng)是.

【答案】14

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：?.Y8=IO,BC=6,ZC=90°,

；?AC=《AB2_BC2=8.

二DE為A8的垂直平分線，

；?AE=BE,

：.AACE的周長(zhǎng):AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+8C=8+6=14.

故答案為：14.

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=8E,

進(jìn)而將△ACE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AC+8C.

11.如圖，在△A6C中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于-AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩

2

弧相交于點(diǎn)作直線MN分別交BC,AC于點(diǎn)￡若AE=3,△ABO

的周長(zhǎng)為13,則&ABC的周長(zhǎng)為.

【答案】19

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意可知，。石垂直平分線段AC

：.DA=DC,AE=EC=3,

?/^ABD的周長(zhǎng)為13,

???AB+AD+8￡M3,

：.AB+BD+DC=\3,

???AABC的周長(zhǎng)=48+8Q+QC+AC=13+3+3=19,

故答案為：19.

【分析】由作法可知，0E垂直平分線段AC,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)“線段的垂

直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等''可得AZ>CD,AE=CE,然后根據(jù)三角形的周

K等「三邊之和可求解.

12.如圖，AABC中，線段8c的垂直平分線。。與N8AC的角平分線相交于點(diǎn)D垂

足為點(diǎn)P,若/8AC=84c,則/BOC=

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】如圖，做延長(zhǎng)線于做DN_LAC于N

???A。平分N84C,

:.DM=DN

垂直平分8C

：.BD=DC

；?RSBDM郃於CDN

:.ZMDB=ZCDN

ZMDN=ZBDC

y.ZDMA=ZDNA=90°f//MC=840

NMDN=96°；

/BDC=96。

【分析】做?！?，48延長(zhǎng)線于“，做。/<14。于可,易由角平分線性質(zhì)和線段垂直平

分線性質(zhì)得陽(yáng)從而得/MQ2N3。。，再利用四邊形內(nèi)角和為180。

可得/MQ296。，因此N30096。

三、解答題：

13.如圖，在MBC中，ZC=90°,A8的垂直平分線。E交4c于。，垂足為E,若N

4=30°,8=3.

(1)求N8OC的度數(shù).

(2)求AC的長(zhǎng)度.

【答案】解：(1)??F8的垂直平分線?！杲籄C于Q,垂足為E,

???AD=BD,

???ZA^D=ZA=30°f

???ZBDC=^ABD+Z/4=60°；

(2)???在ZkABC中，ZC=90°,ZBDC=60°,

ZCBZ>30°,

：.BD=ACD=2x3=6,

；?AD=BD=6,

：.AC=AD+CD=9,

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；含3()。角的直角三角形

【解析】【分析】(1)由AS的垂直平分線DE交AC亍。，垂足為E,根據(jù)線段垂直平

分線的性質(zhì)，易得AD=B。，即可求得的度數(shù)，又由三角形外角的性質(zhì)，即可求

得答案；

(2)易得△8C。是含30。角的直角三角形的性質(zhì)，繼而求得8。的長(zhǎng)，則可求得答案.

14.如圖，在^ABC中，QE垂直平分BC,垂足為E,交AC于點(diǎn)以連接8D.若N

A=100。，ZABD=22°,求NC的度數(shù).

【答案】解：TOE垂直平分8C,

：.DB=DC.

AZ￡>BC=ZC.

VZA=100°,ZABD=22°.

???ZBDC=ZA+ZABD=122°.

「ZDBC+ZC+ZBDC=\80。，

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理：線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【分析】先求出DB=DC,再求出N8DO122。，最后計(jì)算求解即可。

18C,垂足是。，ZZ?=2ZC.求證：AB+BD=DC.

D

【答案】證明：在線段。C上取一點(diǎn)七，使DE=DB,連接A￡,

VAD1BC,

?,?AO垂直平分8E,

：.AB=AE,

???NAEB-/B,

VZB=2ZC,

???NAEB=2NC,

???ZEAC=ZAEB-ZC=27C-ZC=ZC,

:?AE=CE,

：.CE=AE=AB,

：,DC=DE+CE=AB+BD,

：.AB+BD=DC.

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行作答即可。

16.如圖，AB=AC,ZA=120°,3C=6cm,ED、/G分別是AB,AC的垂直平分線，求

BE的長(zhǎng).

DT

BEATfr

【答案】解：連接A￡、AG,

???N8=NC=30。，

?:DE、bG分別為線段48、AC的垂直平分線，

：?BE=AE,AG=CGt

；?NB=NBAE=30。,ZC=ZCAG=30°f

??,ZAEG與ZAGE分別是AAEB與^AGC的外角，

???ZAEG=ZB+ZBAE=30°+30o=60°,ZAGE=ZC+ZCAG=30°+30°=60°,

???△AEG是等邊三角形，

：.AE=EG=AG,

?：BE=AE,AG=CG,/?C=6cm,

:.BE=EG=CG=2cm.

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】連接AE、AG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：NB=NC=30。，然后根據(jù)

垂直平分線的性質(zhì)可得:B七二AEAG=CG,從而得出：ZB=ZBAE=30°,ZC=ZCAG=30°,

然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得：NAEG=NAGE=60。，再根據(jù)等邊三角形的判定可得：

△AEG是等邊三角形，從而得出：AE=EG=AG,即可求出8E=EG=CG=2cm.

能力提升篇

一、單選題：

1.如圖，在銳角^ABC中，AC=1(),S&ABC=25,N84。的平分線交8。于點(diǎn)。，點(diǎn)、M,

N分別是AO和A8上的動(dòng)點(diǎn)，則8M+MN的最小值是()

B

A.4C.5D.6

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用-最短

距離問(wèn)題

【解析】【解答】如圖，

???AD是/8AC的平分線，

???點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)方在AC上，

過(guò)點(diǎn)夕作B'NLAB于N交A。于M,

由軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題，點(diǎn)歷即為使8M+MN最小的點(diǎn)，B'N=BM+MN,

過(guò)點(diǎn)8作8EJ_AC于E,

VAC=10,S“8C=25,

A-xio?8E=25,

2

解得BE=5,

???AO是N84C的平分線，夕與B關(guān)于AZ）對(duì)稱(chēng)，

,

：.AB=ABf

???△A8夕是等腰三角形，

:?B'N=BE=5,

即8M+MN的最小值是5.

故答案為：C.

【分析】本題關(guān)鍵是確定點(diǎn)M、N分別在什么位置時(shí)，8M+MN最小。首先根據(jù)AD是

NBAC平分線可知點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)夕必在AC上，再根據(jù)垂線段最短的原理從夕向AB邊

引垂線段，與AD、A3的交點(diǎn)即為M、N,囚為此時(shí)B'N=MN+=MN+M瓦最后利用

結(jié)合等腰三角形兩腰上的高相等把求8W的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求△ABC邊AC上的庇BE,

據(jù)此解答即可。

2.如圖，“8C中，ZMC=60°,N3AC的平分線A0與邊的垂直平分線MO相交

于點(diǎn)D,DELAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DFLAC于點(diǎn)F,現(xiàn)有下列結(jié)論：?DE=DF-②

DE^DF=AD\③QM平分NEOF：@AB+AC=2AE.其中正確的有（）

A

C

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；直角三角形全等的判定(”￡)；角平分線的性質(zhì)：線段垂

直平分線的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：:A。平分N8AC,DE±AB,DFLAC,:.DE=DF,???①正確；

又???N8AC=60。，：.ZDAE=ZDAF=30°,：,DE=DF=-AD,ADE+DF=AD,②正確；

2

連接08、DC,〈DM垂叁平分BC,：.DB=DC,：.MADBE烏RfADCF(HL),；,BE=CF,

同理R/AAOE絲：.AE=AFt：.AI3+AC=AE-BE+AF+FC=AE+AF=2AE,二④正

確。

故答案為：C

【分析】連接08、DC,根據(jù)角平分線、線段中垂線的性質(zhì)定理可知OE=OF、DB=DC,

故①正確；利用HL可得兩對(duì)全等三角形，從而有AE=AGBE=CF,據(jù)此可判斷④正確；

又由ND4E=/。4片30。，利用含30。直角三角形的性質(zhì)可得。進(jìn)而又得

2

②正確。

3.如圖，己知AC平分ND48,CEJ_A3于E,AB=AD+2BEf則下列結(jié)論:?AB+AD=2AE；

②/。48+/。。8=180。；@CD=CB-,@S^ACE-2S^CE=S^ADC;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

()

D

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：①在AE取點(diǎn)F,使EG8E,

D

?：AB=AD+2BE=AF+EF+BEfEF=BE,

工AB=AD+2BE=AF+2BE.

：,AD=AFf

AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=24E,

：.AE=-（/W+A。），故①正確；

2

②在AB上取點(diǎn)F,使連接CE

在與△AC/中，*：AD=AF,NDAC=/FAC,AC=AC,

???2ACD義/\ACF,

：.ZADC=ZAFC.

???CE垂直平分8立

:.CF=CB,

；?NCFB=NB.

又?:ZAFC+ZCFB=180°,

???ZADC+ZB=180°,

AZDAB+ZDCB=360-（ZADC+ZB）=180°,故②止確；

③由②知，△ACO?ZXACR：.CD=CFf

又?；CF=CB,

：.CD=CB,故③正確；

④易證△CE/%Z\CEB,

所以Sz\CE$BC方SZ\C『SXFCE=SAACF，

義,:AACD經(jīng)AACF,

?*S&AC產(chǎn)S&ADC>

S&ACE~S&BCE=S4ADC，故④錯(cuò)誤；

即正確的有3個(gè)，

故答案為：C.

【分析】①在AE取點(diǎn)F,使EG8E.利用已知條件AB=AD+2BEf可得AD=AF,進(jìn)而證

出2AE=AB+AD；②在AB上取點(diǎn)F,使BE=EF,連接CE先由SAS證明小。。出

得出NAOONAFC；再根據(jù)線段垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)得出NCFB=/8；然

后由鄰補(bǔ)角定義及四邊形的內(nèi)角和定理得出ND4B+/OC3=180。；

③根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出CD=CFt根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CF=CB,

從而CD=CB；④由于△支下AACD^AACF,根據(jù)全等三角形的面積相等易

證5A^C￡-5ABCE=5AADC.

二、填空題：

4.如圖，在AA8C中，ZABC=ZACB,。為8c的中點(diǎn)，連接AZ),七是A8上的一點(diǎn)，

P是A。上一點(diǎn)，連接EP、BP,AGIO,8c=12,則EP+3P的最小值是.

【答案】9.6

【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；三角形的面積；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：連接PC,

???NABONAC8,

：.AB=AC.

???D為3C的中點(diǎn),

垂直平分5cBD=-I3C=6

2

；?BP=CP，AD=yjAB2-BD1=>/102-62=8

：.EP+BP=EP+CP

要使EP+8P的值最小，利用兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)E,P,C在

同一直線上時(shí)，且CE_LA8時(shí)，EP+8P的值最小，最小值為EC的長(zhǎng)；

：S△/A,RnCC=2-ABCE=-2CBAD,

A10CE=12x8

解之：CE=96

故答案為：9.6.

【分析】連接PC利用已知易證△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出

8。的長(zhǎng)，利用勾股定理求出4。的長(zhǎng)，利用垂直平分線的性質(zhì)可證得8P=PC；由此可

得至IJEP+8P=EP+CP,要使EP+BP的值最小，利用兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短，

可知當(dāng)點(diǎn)￡P(guān),C在同一直線上時(shí)，且CE_LA8H寸，EP+8P的值最小，最小值為EC

的長(zhǎng)；然后三角形的面積公式可求出CE的長(zhǎng).

5.如圖所示，NAO6=42c，點(diǎn)尸為ZAOB內(nèi)點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA、

0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，6，連接4外交。4于M,交08于N,［鳥(niǎo)=15,

則&PMN的周長(zhǎng)為,/MPN=.

【答案】15；96°

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：TP點(diǎn)關(guān)于0A的對(duì)稱(chēng)是點(diǎn)R,P點(diǎn)關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)上，

:,PM=P\M,PN=PM.

：.APMN的周長(zhǎng)為PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15.

,/P點(diǎn)關(guān)于0A的對(duì)稱(chēng)是點(diǎn)Pi,P點(diǎn)關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2,

???。4垂直平分PPi,。8垂直平分PP2

：.PM=PiMfPN=P2N.

：.ZPMN=2ZPi,ZPNM=2ZP2,

'：PP\LOA,PPiLOB,1

???ZP2PPi=180°-ZA0B=138°,

O

/.Zri+ZF2=42

???ZMPN=18O0-42°X2=96°

故答案為：15,96。.

【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得到PM=PiM,PN=P?N,就可證得的周長(zhǎng)就等

于PP2的長(zhǎng)；利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得PM二PiM,尸2P2M利用等邊對(duì)等

角及三角形的外角的性質(zhì)，易證/PM22NR,NPNM=2/尸2,再求出/P+NP2的值，

然后利用三角形內(nèi)角和定理就可求出結(jié)果。

6.在NBC中，邊A8、AC的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)。、E,若ND4E=4()。，則

NBAC的度數(shù)為.

【答案】20。或110°

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】(1)當(dāng)AA8C為銳角三角形時(shí)，

易知NA8E=/A4E,ZDAC=ZDCA,

ZACE=ZADE-ZDAC,NEBA=2NACB+/DAB,

求得N8AONBAD+ZDAC=20°.

(2)當(dāng)aABC為鈍角三角形時(shí)，

NDAB=/B,NC=/EAC,所以，2(N/H/C)+40。=180。，求得/R4C=110。.

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，

再由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理，求出N&4C的度數(shù).

7.如圖，"BC中(AB>BC),G在C8的延長(zhǎng)線上，邊AC的垂直平分線OE與乙48G

的角平分線交于點(diǎn)M,與AB交于點(diǎn)。,與4c相交于E,于N.已知48=13,

BC=9,MN=3,則△8MN的面積是

G

*

AE