2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，19題,全卷滿分150分,考試用時120分鐘.注意事項：

L答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標

號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3,填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi),寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

I.已知集合U={ieN|T<xv5},4={0,1,3},8={1,4},則()

A.{2,3}B.{1,2,4}C.{0,1,2]D.{0,1,2,4}

2.己知函數(shù)f(x)=-2x”，則=是“為減函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.在等比數(shù)列{%}中，%%=2,則為=()

A.2B.4C.5D.8

4.粽子古稱“角黍”，由粽葉包裹糯米等食材蒸煮而成，是中國傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，因各地

飲食習(xí)慣不同，粽子的形狀和味道也不同.如圖所示的是我國南方流行的“廣式五角粽”，其

形狀可以近似看成正四棱港.若一個廣式五角粽的底面棱長為4cm,并測得其側(cè)面與底面夾

角的正切值為則該廣式五角粽的側(cè)面積為()

A.2Vi3cm2B.4"3cm°C.sVTJcni2D.25cm2

5.若函數(shù)為偶函數(shù),則f的取值范圍為()

A.(^o,-2]B.(-co,—!]

C.[-2,2]D.(F-2]U[2,同

6.己知復(fù)數(shù)z=x+)i(x,yeR),且|z-4+2i|=2,則生[的取值范圍為()

-YIN

3—\/33+>/3—3—E—3+>/3

A-B.[-7"，-4~

--3-G-3+6](-3-611-3+731

C.---.---D.-00,一-一U一T一，+8

L22」X2JL2/

7.若直線與球面恰好有?個公共點，則稱該直線為球的切線，該公共點為切點.如圖，過球

O外一點。作球O的兩條切線，切點分別為A,B,旦4,B,O,。四點共而.已知球。的

表面積為36兀，點夕與球面上的點的距離的最大值為8,記N8AO=a,則sin2a=()

8.己知雙曲線C：=一二=1(〃>()*>0)的左、右焦點分別為「，尸2,過點外且垂直于x

a'b'

13

軸的直線與C交于點M,與。交于點N,設(shè)F、N=ZNM,若:W/IW亍，則C的離心

410

率的取值范圍為()

試卷第2頁，共6頁

A.[V2,2]B.[6,2]C.[3,5]D.[2,同

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知向量狽2),方二(4,〃。，則下列說法正確的是()

A.卜-目的最小值為及

B.若〃，〃可以作為平面向量的一組基底，則〃?=±26

C.a-L(a+〃)

D.若〃與。的夾角為銳角，則根的取值范圍為(0,+")

/X

10.函數(shù)f(x)=Atan(@x+e)/>0,網(wǎng)的部分圖象如圖所示，則()

\乙)

A.(0=2,(P--

3

B.小)圖象的對稱中心為停+親。卜⑻

C.不等式的解集為+M^+S(&cZ)

D.當(dāng)義>—1時，Mx)=|f(x)卜”3在區(qū)間信言上單調(diào)遞增

|log9(^-l)|,x>l,

11.已知函數(shù)/("=?若函數(shù)g(%)=/(1)-左恰有4個零點，分別為巧，々，

I-彳，xKI,

看，，且X]V超<%3<%，則()

A.西+工2>。

11,

B.—+—=2

(2)根據(jù)頻數(shù)分布表可以認為該市該品牌新能源汽車車主對新能源汽車的滿意度評分X近似

地服從正態(tài)分布N(〃,4)，其中〃近似為樣本平均數(shù)7。近似為樣本的標準差s,并求得

5*14.31.若該市恰有I萬名該品牌的新能源汽車車主，試估計這些車主中滿意度評分位于

區(qū)間(41.88,84.81］的人數(shù);

(3)為提升新能源汽車的銷量，該品牌4s店針對購買該品牌新能源汽車的顧客設(shè)置了抽獎環(huán)

節(jié)，抽獎規(guī)則如下：每人可參加2次抽獎，每次抽獎都從裝有3個紅球、3個白球(形狀、

大小、質(zhì)地完全相同)的抽獎箱里一次性摸出3個球，若摸出3個紅球，則返還2000元現(xiàn)

金；若摸出2個紅球，則返還1000元現(xiàn)金，其余情況不返還任何現(xiàn)金(兩次抽獎返現(xiàn)金額

疊加).已知小王參加了拍獎，記他獲得的返現(xiàn)金額為y,求隨機變量丫的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X~N(〃Q2),則

P(//-cr<X<x/+cr)?0.6827,P(/z-2<T<X<//+2<T)?0.9545,P(〃-3bvX工〃+笫卜0.9973

17.如圖，在四棱臺ABCO-ABCQ中，。。J■平面4KCO,底面ABC。為梯形，AB//CD,

AD=CD=2AB=2C[Di=2tNBAD=60°.

(1)證明：△ABD為直角三角形；

(2)證明：平面A8Q_L平面8QC；

⑶若直線CR與平面A8O所成角的正弦值為粵'且求四棱臺

的體積.

18.已知橢圓C：,+點A(0,-6),人6書

，4叼，4隆4。

中恰有兩點在。上.

(I)求C的方程：

(2)C的左、右焦點分別為K，F(xiàn)2t過點K且斜率存在的直線/與C交于P,Q兩點.

(i)若，。的面積為得，求,的斜率；

(ii)過點P作直線/'：T的垂線PR,垂足為R,試問直線QR是否過定點?若過定點,

求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

19.定義：若函數(shù)/(x)在其定義域內(nèi)存在極大值/(%)在極小值/伍)，且存在一個常數(shù)A

使得&=成立,則稱/(x)為“極值可差比函數(shù)”，常數(shù)左為〃工)的“極值差比系

X\~X2

數(shù)”.已知函數(shù)/(x)=工(…)+2]nx.

(1)當(dāng)〃=5時，判斷/.")是否為“極值可差比函數(shù)”，并說明理由；

⑵是否存在〃，使得了("的"極值差比系數(shù)”為2-與?若存在，求出〃的值；若不存在，請

說明理由；

⑶設(shè)函數(shù)/心)=：/(6-巴手心，數(shù)列也｝滿足。〃(〃)=%,〃eN,，證明：

L4人

2%-%<%.

試卷第6頁，共6頁

I.B

【分析】先得到U={0J2,3,4},根據(jù)補集和并集概念進行求解

【詳解】由題得U={0」23,4},因為催={013},所以。,4={2,4}.

又6={1,4},所以&A)JB={124}.

故選：B.

2.A

【分析】判斷"〃=1''和"/("為減函數(shù)”之間的邏輯推理關(guān)系，即得答案.

【詳解】當(dāng)〃=1時，/(刈=-2》為減函數(shù)：

當(dāng)/(x)=-2x"為減函數(shù)時，〃=2k+l,ZeN，不一定懸〃=1,

故，，〃_I，，是，，/(x)為減函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

3.D

【分析】利用等比數(shù)列的項的性質(zhì)和通項的基本量運算即得.

【詳解】因{〃”}為等比數(shù)列，故。2。；=%％避=%4廣域=2，；=16,解得%=2,

又％&=%%=2a2=2,解得a2=\,

設(shè)數(shù)列{〃”}的公比為。，則夕3=&=2,故%=&d=2x22=8.

%

故選：D.

4.C

【分析】分析可知該廣式五角粽的直觀圖為正四棱錐S-A4C。，取底面44co的中心。，

棱A5的中點〃，連接S。、SH、OH、AC,由二面角的定義可知NS”O(jiān)即為側(cè)面與

底面的夾角，求出S。的長，結(jié)合勾股定理求出5H的長，進而可求得該正四棱維的

側(cè)面積.

【詳解】設(shè)該廣式五角粽的直觀圖為如圖所示的正四棱錐S-A8C。，

答案第1頁，共17頁

s

則AB=/\D=4cm,

取底面ABC。的中心O,棱人4的中點”，連接S。、SH、OH、AC,

則S〃_LA8,。為AC的中點，

因為，為A8的中點，所以O(shè)H//BC,且。，=gBC=2cm,

因為3C//A3,故?！盻LAB,

3

所以4SH0即為側(cè)面SA8與底面A3C。的夾角，所以tanZSHO=-.

由止棱錐的幾何性質(zhì)nJ知SOJ.平面ABCD,

所以5。=。"tanZ5HO=2x1=3cm，則SH=x/scP+OH2=V13cm，

故該廣式五角粽的側(cè)面積為4x；A8.S〃=8小

故選：C.

5.A

【分析】根據(jù)函數(shù)特征和分子為偶函數(shù)，得到分母也為偶函數(shù)，x—上。時滿足要求，結(jié)合

-2<x<2,求出答案.

【詳解】因為/（"=普：；為偶函數(shù),且y=J16-為（-2W2）為偶函數(shù),

所以），=x-kT為偶函數(shù)，若x-也o,則尸士滿足要求，

若4T<0,貝i」），=x-f+x=2xT,此時不是偶函數(shù)，大合要求，

所以』TNO所以，4%，X-2<x<2,所以T-2.

故選：A.

6.C

【分析】由幾何意義得到點Z（x），）的軌跡是以。（4,-2）為圓心，2為半徑的圓，

漢9=2?滴，言的幾何意義為過圓C上的點與定點A（-2,2）的直線/的斜率，設(shè)出直

答案第2頁，共17頁

線/的方程，由點到直線距離得到不等式，求出答案.

【詳解】因為|z-4+2i|=2,所以卜-4+()，+2?=2,所以*-4)2+()，+2)2=4,

故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(x,y)的軌跡是以。(4,-2)為圓心，2為半徑的圓.

三U=2-^|,f的幾何意義為過圓C上的點與定點A(-2,2)的直線/的斜率,

設(shè)斜率為&,則直線/的方程為依7+2八2=0,

圓心C到直線/的距離442,即母獸K2,解得-3-&LK-3+B,

心+144

即-3一64—?-3+行,所以--公至±-3+6

4x+242x+22

【分析】先求出球。的半徑，由題意求出。尸，幺的長，利用三角形相似轉(zhuǎn)化角，借助于二

倍角公式和三角函數(shù)的定義即可求得.

【詳解】設(shè)2。與48交于點Q,球的半徑為R.則4成2=36兀，解得R=3.

點尸與球面上的點的距離的最大值為OP+R=8,則OP=5,

因為力,尸B均與球。相切，所以O(shè)4J.Q4,OBA.PB,

則在Rt.AP。中，PA=S產(chǎn)一OA2=4，

易得..OAQ~_OPA,則/BAO=zLAPO=u?

RPA3424

貝ijsin2a=2sinZ.APOcos/.APO=2-------=2x-x-=——.

OPOP5525

故選：D.

答案第3頁，共17頁

【分析】先確定M的坐標，由的坐標結(jié)合￡N=4NM求得N的坐標，根據(jù)N在雙曲

線上，得出幾和離心率的關(guān)系，進而得解.

【詳解】

/L2

由題可得6(-C,O),E(cO),根據(jù)對稱性設(shè)點M在第一象限，可得MC,1

x+c=A(c-x)

b12

設(shè)N(x,y),由F1N=2NM,得(x+Gy)=4c-x,-----y，所以b2

ay=Z----v

a

A-I

X=-----cZ2

1+4即NA-12b]

解得---c,-------

2b-J+21+2Cl)

y=----------

1+2a

b2

因為點N在雙曲線。上，所以zY=1,

(金制J+AJa2

A-1Y,(AY/,\Ap，1+22,2

所以——-e--——--(￡>--1)=1,解71得夕=；—―=-l+—

{\+A)U+/U'f1-221-：

13212

因為一W/14—,所以一W1-2/LW-,貝IJ44----<5,

410521-2A

所以3W/W4,又e>l.所以

故選：B

9.AB

答案第4頁，共17頁

【分析】對于A,根據(jù)向最減法的坐標公式求。_人再利用向量模的坐標公式求k-可，結(jié)

合二次函數(shù)性質(zhì)求其最小值，對于B,由條件可得力不共線，列不等式求加的范康，判

斷B，根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程，解方程判斷C,由條件可得〃/>0,且〃，。不共

線，列式求機的取值范圍.

【詳解】對于A,d-b=(m-4,2-m),則

(4一/?『=(〃?-4)2+(2-M2=2/〃2一]2〃?+20=2(〃7-3)2+222.所以當(dāng)機=3時，,一〃|取最

小值，.=&,故A正確；

IInun

對于B,若4,b可以作為平面向量的一組基底，則a與。不共線，所以切2-2X4HO,解

得加工±20，故B正確；

對于C,。+/?=(m+4,2+，〃)，若a_L(a+〃)，則/〃(〃?+4)+2(2+〃。=0,即〃?？+6〃2+4=0,

解得m=-3±\/5壬Q.故C錯誤；

對于D,若a與人的夾角為銳角，則a/=4〃?+2〃2=6〃?>0，且M-8工0，所以/〃>0且

m豐2>/2.故D錯誤.

故選：AB.

10.BCD

【分析】根據(jù)圖象求出內(nèi)。即可判斷A：根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求解判斷BCD.

【詳解】由圖可得7J=工馬美，則啰=2,

co12I12J2

所以/(x)=Atan(2x+。)，則*2+8=5,解得8=*，故A錯誤：

此時/(x)=Atan(2x—T),貝lj/(())=A=26，解得A=-2,

所以/")=-2tan(2x—g),

令我Z),得工等+?丘Z),

所以/(力圖象的對稱中心為停+去。)(&Z),故B正確；

由/(x)<2y>^、,得tan(2.Y—號)>—,則—e+E<2x—]+cZ),

解得2+<杏+"(&eZ),故C正確；

12212217

答案第5頁，共17頁

當(dāng)T調(diào))時,2冶《0,5,〃力＜0,

則力(工)=2tan2x--j1+22tan(2x--jtan(2x~—,

3I3j

當(dāng)4＞一1時，2+24＞0,.且產(chǎn)叩話)在區(qū)間信引上單調(diào)遞增,

7t57t

6,12上單調(diào)遞增,故D正確.

故選：BCD.

11.AC

【分析】畫出函數(shù)的圖象：根據(jù)函數(shù)零點的性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合換

元法、數(shù)形結(jié)合法逐一判斷即可.

log9(x-l),x>2

-Iog.j(x-l),l<x<2

/(x)=]l--,0<x<l

【詳解】由題意,

3r

--l,x<0

3、

函數(shù)圖象如下圖所示:

g(x)=/(xH=On/(x)=k,

因為函數(shù)g(x)=/(x)-々恰有4個零點，分別為七，々，巧，?□，且西＜“2＜七＜七,

所以結(jié)合函數(shù)圖象可知：％＜()＜與＜1＜工3＜2＜%，

22

又因為外1)=§，所以0＜攵＜§.

A：由上可知："%)=〃電)=』5-1=1-5=5+5=2,

因為用〈占，

所以a+^＞2個a*"a得＜1S＞1="+"＞?！虼薃正確;

B：因為1＜工3＜2＜七，

所以-1嗚(占-1)=瞋95-1)=隰[(七-1)(43-1)]=。=>(昌-1)(馬-1)=1

答案第6頁，共17頁

=>x4x,=x4+x5=>—+—=1,所以B錯誤；

X4

C：因為0<々<1，2<a=占+七>2,

所以]一」=10g9(4—1)=左=>工2=l0ga7^V，X4=8+],

321-K

x,+x4=log.—!—+94+1,

\-k

設(shè)g(4)=log3丁=+9、I,且0<Z<；,

1-KJ

7i

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，當(dāng)()<k<,時，函數(shù)8伙)=1。&^^+94+1單調(diào)遞增，

,(2\-4

于是有g(shù)(k)〈g§1=33+2,因此有2<占+^W3‘+2，所以C正確;

D：令/(x)=/〃，則=

由絕對值的非負性可知：/(%)20,且只有當(dāng)工=0,2時，函數(shù)值為零.

因此由/(〃?)=7/工0=>/=0,"=0,或〃?=2,

當(dāng)/(x)=〃?=0時，4=0,2,函數(shù)/(x)圖象與直線y=0有兩個不同的交點，

當(dāng)/(力=〃?=2時?，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)/(x)圖象與直線y=2有三個不同的交點,

所以關(guān)于x的方程/(/(")=/最多有5個不相等的實根，因此D錯誤.

故選：AC.

12.4

【分析】設(shè)P(%,%)，%>()，根據(jù)焦半徑公式得到方程，求出%=4,得到答案.

【詳解】由y=4i,得f=9)，，則拋物線C的準線方程為〉=一」.

416

設(shè)P(.%,)b)，No>。，則=No=野，?**)?o=，

lo1O

，點P到X軸的距離為4.

故答案為：4

答案第7頁，共17頁

13.84-

7

【分析】(1)將方案總數(shù)分三種情況討論，計算出每種情況的方案數(shù)，即可求出總方案數(shù);

(2)計算出恰好使用3種不同農(nóng)作物品種的方案數(shù)，根據(jù)所求得的方案總數(shù)，即可求出相

應(yīng)概率.

【詳解】【答題空I】由題意，

若選擇4種農(nóng)作物，則有A：=24種種植方案，

若選擇3種農(nóng)作物，

???相鄰的區(qū)域種植的農(nóng)作物品種不同，

???只能是1、4區(qū)域或2、3區(qū)域相同，

若1、4區(qū)域種植相同農(nóng)作物，有C：A；=4x6=24種方法，

同理若2、4區(qū)域種植相同農(nóng)作物，也有24種方法，

若選擇2種農(nóng)作物，只能是1、4區(qū)域和2、3分別種植相同的農(nóng)作物，

有C；A；=6x2=12種方法，

???共有24+24+24+19=84種植方案，

故答案為：84.

【答題空2】

由題意及(1)得，

共有84種植方案，

其中恰好用了3種不同農(nóng)作物的方法有24+24=48種方案，

484

，恰好用了3種不同農(nóng)作物品種的概率P=—=-,

827

4

故答案為：y.

14.(^20,l-e]o(1,4-07)

【分析】/'(力2文的問題轉(zhuǎn)化為1"次：討論x的符號，分離參數(shù)處理即可.

【詳解】由“力?？傻?〃?-下對x的范圍分情況討論：

(1)當(dāng)】=0,(m-l)xO>e°,即021,不成立;

pv1

(2)當(dāng)x>0,由。〃-e'可得〃?一12——=,

xxel

答案第8頁，共17頁

設(shè)y=xev(A>0),則y=(x+l)ex>0,

則y=xe，在(0,+co)上單調(diào)遞增,顯然x->+oo,y=xex->+co,

即xe(0,+co)時，y=xcxG(0,+oo),

于是」76(0,+8),由于在xe(O.a)時有解，

xexe

則m-1>0?即〃？>1；

-xi

(3)當(dāng)x<0,由?！啊狣xNer可得〃?—14二e=」一,

xxex

設(shè)y=xex(x<0),則/=(x+l)e',

x<-l,y<0,-1<x<0,/>0,

則y=xel在(-8,-1)上遞減，在(-1,0)上遞增，

又x=(),),=O,x=-1,y=,

e

而X<-1時)，=沅、單調(diào)遞減，但注意到)Y0,

-|)

于是、=肥,在(YO,0)上的值域為卜90上

于是‘7e(-8,-e],由于〃?一14一!在xe(0,+R)時有解，

xexe

則〃?—lK-c,即mMl-e.

綜上所述，me(y,lY〉J(l,+8).

故答案為：(-a>,l-e]u(l.-H?)

15.(1)2

【分析】(1)利用正弦定理、余弦定理化簡邊角關(guān)系,得到用A的值，再用正弦定理得到VA3C

外接圓的半徑；

(2)利用向量AG=|xg(A8+ACj=；(A8+AC),用向量內(nèi)積的夾角形式求解即可.

【詳解】(I)因為(sinA+sinB+sinC)(c-a+/;>)=3csinB,

所以由正弦定理得

3bc=(b+c+a)(b+c-a)=(b+c)2-a2=b2+c2-a2+2bc,

答案第9頁，共17頁

所以〃2+。2-a-=枚;

則由余弦定理得COSA=b

2b

又4e(0,兀)，所以A=g.

J

設(shè)VA3c外接圓的半徑為R.

貝IJ/?=，_=攣=2.

2sinAJ3

(2)因為點G為V4BC的重心,

所以AG=W0x-1(AK+ACi=±1(/1B+

32、，3、

^B'+AC2+2|AB|-|AC|cosy

所以AG=-

3

-JC2+^2+2Z?CCOS---x」4+9+2K3K2」-

3V33V23

所以線段AG的長為典.

3

16.(1次=70.5,樣本中位數(shù)為71.67

(2)8186

⑶分布列見解析，"(y)=iioo

【分析】(1)結(jié)合題設(shè)數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可;

(2)由題意，〃之；=70.5,o-?.y?l4.3l,進而根據(jù)正態(tài)分布特殊區(qū)間的概率求解即可;

(3)由題意可得V的所有取值為0,1000,2000,3000,4000,再求出顧客每次抽獎返還2000

元現(xiàn)金的概率，顧客每次抽獎返還1000元現(xiàn)金的概率，顧客每次抽獎不返還任何現(xiàn)金的概

率，進而求解分布列和數(shù)學(xué)期望.

10x45+15x55+20x65+30x75+15x85+10x95

【詳解】(1)由題意，平均數(shù)7==70.5,

100

前3組的頻率為10+15+20=45,前4組的頻數(shù)為10+15+20+3()=75,

所以樣本中位數(shù)位于［70,80),設(shè)為〃，

則45+、^x30=50,解得。。71.67,則樣本中位數(shù)為71.67.

(2)由題意，X近似地服從正態(tài)分布且〃6=70.5,14.31,

由于P(41.88<X<8d.81)=P(〃-2bvX<〃+b)

答案第10頁，共17頁

=-^/>(//-2(T<X<//+2cr)+-^P(x/-cr<X<x/+cr)

?-x0.9545+2x0.6827=0.8186,

22

因此估計這些車主中滿意度評分位于區(qū)間(41.88,84.81］的人數(shù)為

1(X)00x0.8186=8186.

(3)由題意，y的所有取值為0,1000,2000.3000.4000,

C31

顧客每次抽獎返還200()元現(xiàn)金的概率為消=方，

C2C'9

顧客每次抽獎返還1000元現(xiàn)金的概率為■=方,

顧客每次抽獎不返還任何現(xiàn)金的概率為1-31-59=：1，

20202

11191a

則p(y=0)=—x—=—,P(Y=iooo)=cl,—x—=—,

'‘224'7220220

P(r=2000)=—X—+C'2—xl=—,

'72020-202400

P(y=3000)=C—X—=—,

'7'2020200

p(y=4ooo)=—x—=—,

\)2020490

則y的分布列為：

Y01000200030004000

910191

P

420400200400

1oinia1

所以石(y)=0x-+1000x—+2000X——+3000X——+4000X——=110()

'J420400200400

17.(1)證明見解析

（2）證明見解析

⑶拽

4

【分析】（1）解△人陰）得的長度，再用勾股定理可得；

（2）通過證明平面CDQC，可得到平面平面CDRG.

（3）建立空間正交坐標系，表示出平面48。的法向量：直線C"與平面AB。所成角的正

答案第11頁，共17頁

弦值即可解出。。的值，最后求出答案.

【詳解】（1）由題可得4?=1,4）=2,/加。=60°,

則在△人中，由余弦定理得

BD=y/A82+AD2-2AB-ADcosZBAD=^l+4-2xlx2xl=5/3.

所以AB2+%）2=A”2,所以ABLBD,

所以△ABD為直角三角形.

（2）由（1）可知

又AB//CD,所以3O_LC￡>.

因為。。平面人4。。，BDu平面八BCD,

所以3。_LOR.

因為。。JCD=D,?？?lt;。（=平面（7。?！?所以80,平面CDQG.

又Qu平面A3。，所以平面ABQ_L平面CD〃G.

（3）由（2）可知用）J_Q,

又。R_L平面A8CO,所以8。，CD,0A兩兩垂直.

以。為原點，DB,DC,。。所在直線分別為x,），，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

設(shè)DD1=t,t>\.

則0(0,0,0),網(wǎng)30,0),A(后-1,0),C(O,2,O),A(0,0,。.

因為CO=2GR,所以人￡)=2AR,

所以〃4=3。/1=(￥，—；,0.

答案第12頁，共17頁

所以04=卓一;“，DB=(G,O,O),CDX=(0,-2J).

設(shè)平面4瓦)的法向量為〃=(x,y,z),

/??DA.=-x-—y+rz=0

則1個22^,

n-DB=\/3x=0

取y=2,得x=0,z=-,

t

所以〃=(0,2,；).

設(shè)直線CD.與平面ABD所成的角為凡

解得"2或/=g(舍).

即DD、=2.

設(shè)梯形A8CO與梯形的面積分別為面，S2,

則S1=g(A8+CO>8Q=gx(l+2)xG=￥.

因為梯形ABC。，與梯形43co相似，且器■=：，

所以今=；，所以S2=攣.

548

所以四棱臺4BC。-A冏CQ的體積

3($+8+的)3=

18.⑴工+21=1

43

⑵(j)y=±*+l)；(ii)直線Q?過定點卜|,0；

【分析】(1)判斷哪兩個點在曲線上，代入計算，即可求得答案:

答案第13頁，共17頁

（2）（i）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，利用三角形面積，卻可

求得答案；（ii）表示出直線OR的方程，判斷出所過定點在x軸上，即可求解.

【詳解】⑴由題可知，a倒,-網(wǎng)，4（°W）

中有且僅有一點在橢圓C上,

故b=G或g.

若點A（；,0）在橢圓C上，則a=g〈力，不符合題意,

故點兒（go）一定不在橢圓C上，

亭）一定在橢圓。上.

所以點4瓜

當(dāng)點A(o,-6),在橢圓c上時,

b=g

a=2

33，解得，

F+--T=1b=Q

[a24H

則橢圓C的方程為上+二=1；

43

當(dāng)點A』瓜,4（0,；）在橢圓C上時,

b'

2

,33,方程組無解.

/+獷=1

綜上，橢圓C的方程為工+《=1.

43

（2）⑴由題意知直線也的斜率不為0,故設(shè)其方程為工=a-1,￡（-1,0）,瑪（1,0）,

夕。過點七則△>（）,

設(shè)外芭，兇），。（七,%），%>%，故X+L=-9

答案第14頁，共17頁

則…:師赤"島）-4、島二安1，

故SPQF=36居,（丁|->\）=-x2x,

眥2l12|\J|R23r+413

即得隼1=2,設(shè)"石=5,則4^==,解得s=2或!（舍去），

3廠+4133s,+1136

解得，=±6,故/方程為、=±Gy-l,即），=±4（x+i）；

（ii）由（i）知當(dāng)直線，的斜率存在且不為。時，-2再8=3（乂+%），

且A（T,y）,則"H=三言.

所以直線QR的方程為=*言"+4）.

.X）十紂

由對稱性可知，若直線QR過定點，則定點在x軸上，

令y=0,得、=_4-免d=_4一皿*

）‘2一）1）‘2一）'1

|（凹-必）35

%-y22

所以直線QR過點（-右。）

當(dāng)直線/的斜率為。時，直線QR：>'=0,過點（-右0）.

綜上，直線QR過定點（一|，。］

19.（1）是，理由見解析

（2）不存在，理由見解析

（3）證明見解析

【分析】（1）先求出/（"的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求M極值點，再計算1=的直,

Xl-A2

判斷是否滿足“極值可差比函數(shù)”的定義即可.

（2）先根據(jù)函數(shù)有兩個不同的正根得出。的取值范圍，再通過/（%）-/（9）的表達式求出3

結(jié)合已知k的值建立方程求解。即可.

（3）求出〃⑺的表達式，并求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=〃a）T，通過分析g（。

的單調(diào)性，結(jié)合〃（&）=〃廚的遞推關(guān)系證明不等式即可.

答案第15頁，共17頁

【詳解】(1)當(dāng)a=5時，/(x)=x2-5x+21nx,x>0,

(2x-1)u-2)

貝ij.r(x)=2x-5+^=,令r(?=o,得工=3或x=2,

x

.?.當(dāng)xjo,；］時，r(x)＞0,/(“單調(diào)遞增;

乙)

當(dāng)xw時，r(.r)＜0,/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(2,s)時，r(x)〉O,/(“單調(diào)遞增，

(|9g

"(X)的極大值為/匕卜一丁2m2,極小值為〃2)=-6+2In2.

4

所以=