13.3.4含30。角的直角三角形的性質(zhì)

夯實基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.如圖，在dABC中，ZB=3O°,七。垂直平分BC,ED=3.則CE長為（）

2.如右圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點。是斜梁A3的中點，立柱8C、。石垂直于橫梁

AC,A8=7.4〃?，ZA=30°,。七的長為（）

B

C

A.7.4mB.3.1mC.1.85///D.2.85/zz

3.在.ABC中，AB=BC,ZABC=120°，過點8作BDLBC，交4。于

點。，若AD=\,則CD的長度為（）

A.2B.3C,4D.5

4.如圖，二A8C中，ZC=90°,ZBAC=60°,AD平分/BAC,若

BC=\5,則點。到線段AB的距離等于（）

5.如圖，在Rt\ABC中，CM平分AACB交AB于點M,過點M作MNUBC

交AC于點M且MN平分ZAMC,若4N=1,則BC的長為（）

A.4B.6C.48D.8

6.如圖所示，AABC是邊長為20的等邊三角形，點D是BC邊上任意一點，DE工AB

于點E,_LAC于點尸，則8E+C片()

二、填空題：

7.如圖NAOP=NBOP=I5。，PC//OA,PDLOA,若尸C=6,則等于

8.如圖，在心AA8c中，N8CA=90。.CO是斜山AB卜的高.若N4=30。，80二1cm.

9.如圖，在R/A48C中，ZACB=90°,A8的垂直平分線OE交AC于E,交8c的延長

線于凡若N/=30。，DE=1,則BE的長是.

10.如圖，在R/A4CB中，NC=9()。，8E平分NA8C,EO垂直平分A8于。，若AC

=9,則AE的值是

II.將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AI3=4cm,則陰影部分的面積是cm?

Q

12.如圖：ZDAE=ZADE=\5fDE//AB,DFLAB,若AE=8,則。/等于

三、解答題:

13.如圖，ZiABC中AB=AC,ZC=30°,AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點M、

N,試探究8M與CM之間的數(shù)量關(guān)系.

14.如圖，已知，在8c中，ZC=90°,A8的垂直平分線DE交AC于點力，垂

足為E,若NA=30。，CD=4cm,求4c的長.

15.如圖，在二A3c中，ZACB=90°,ZA=30°,CO_LA8于點。，OE||3c交

AC于點E,如果4。=2,求力E的K.

4.如圖，在ABC中，AC=BC,ZB=30°,D為AB的中點，P為CD上

一點,E為BC延長線上一點，且PA=PE.有下列結(jié)論:①NQ4O+NPEC=3()。；

②▲e記為等邊三角形；③PD=CE-CP；④S四力形=S.Su其中正確的結(jié)論

是()

E

ADB

A.①②③④B.①②C.①②④D.③④

二、填空題：

5.如圖，在RL^ABC中，Z2?AC=9(r,ZC=30°,AC=24,BD平分

ZABC，點E是AB的動點，點尸是BD上的動點，則AF+EF的最小值

6.如圖，已知NAO8=60。，點P是。4邊上，OP=8cm,點M、N在邊08上，PM=PN,

若MN=2cm,則ON=cm.

p.

7.如圖，A48C中，Z4=15°,AB是定長.點。，E分別在A8,4c上運動，連結(jié)

BE,ED.若8￡+E。的最小值是2,則A8的長是

E

DH

8.如圖，在等邊AA8C中，AO_LAC交于。，P、。兩點分別是AC、8c邊上的兩動點,

且尸?！ˋO,當/尸。。=3（）。時，如果CQ=0.5,那么A8=.

三、解答題：

9.如圖所示，在等邊.ABC中，點、D,E分別在邊8C,4c上，且DE//AB,過

點E作EFVDE,交3c的延長線于點F.

（1）求ZF的大小；

10.如圖，4ABC是邊K為5cm的等邊三角形，點P,。分別從頂點A,8同時出發(fā)，

沿線段A8,BC運動，且它們的速度都為lcm/s.當點P到達點8時，P,。兩點停止運

動，設(shè)點P的運動時間為，（5）.

（I）當/為何值時，APBQ是直角三角形?

（2）連接4Q、CP,相交于點M,則點P,Q在運動的過程中，NCMQ會變化嗎？若

變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數(shù).

13.3.4含30。角的直角三角形的性質(zhì)

夯實基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.如圖，在AABC中，NB=30。，石。垂直平分BC,ED=3.則CE長為（）

【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】:石。垂直平分BC,：.BE=CE,NEDB=900,VZB=30°,ED=3,

:,BE=2DE=6,:.CE=6.故選A.

【分析】由EO垂直平分BC,即可得8E=CE,ZEDB=90°,又由直角三角形中30。

角所對的直角邊是其斜邊的一半，即可求得8E的長，則問題得解.

2.如右圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點。是斜梁A8的中點，立柱8C、QE垂直于橫梁

AC,AB=7.4〃?,ZA=30°,OE的長為（）

B

C

A.74nB.3.7mC.1.85〃？D.2.85/n

【答案】C

【知識點】含30。角的直角三角形

【解析】【解答】在直角三角形ADE中，VZA=30°,A8=7.4,。為A8的中點

???DE=-AD=工x工A8=1.85.

222

故答案為：Co

【分析】根據(jù)題意，由直角三角形中30。角所對的直角邊的性質(zhì)即可得到答案。

3.在.ABC中，AB=BC,ZABC=120°,過點B作BDLBC，交AC于

點D,若AD=1,則CD的長度為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)：含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：

在AABC中，AB=BC,ZABC=120°,

/.Z/A-ZC-(180。120")+2—30",

VBDLBC,

???N。8c=90。，

???ZABD=AABC-ZDBC=120<,-90<>=3O0,

；?BD=AD=1,

'：ZDBC=90°,NG30",

:?CD=2BD=2,

故答案為：擇：A.

【分析】由AB=BC,ZABC=\20°,得出乙4=NC=3()。，由BDA.BC得出/

DBC=90"

利用角的差8c=30三NA,得到等腰三角形，I3D=AD=\,利用30。

所對直角邊等于斜邊的一半CD=2BD即可.

4.如圖，^ABC中，ZC=9O°,NB4C=60。，AD平分ABAC,若

BC=15,則點。到線段AB的距離等于（)

D

A.6B.5C.8D.10

【答案】B

【知識點】點到直線的距離；角平分線的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：過點。作于E,

VAD平分ABAC，ZC=90°,Zfi4C=60°

:?DC=DE,NA8C=900-NBAC=30。

在MABDE中,BD=2DE

「BD-\-DC=BC=\5

，2OE+OE=15

解得：DE=5,即點。到線段AB的距離等于5.

故答案為：B.

【分析】過點。作。EJ_A8于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得力GOE,由余角的性質(zhì)可

得NA8O30。，則8O=2DE,結(jié)合80+008015可得OE的值，據(jù)此解答.

5.如圖，在RtAABC中，CM平分ZACB交AB于點M,過點M作MN//BC

交AC于點N,且MN平分ZAMC,若AN=\,則BC的長為（）

A.4B.6C.4石D.8

【答案】B

【知識點】平行線的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：???在心△ABC中，CM平分NACB交A8于點M,過點M作MN

//BC交AC于點、N,且MN平分NAMC,

???4AMN=/NMC=NB,4NCM=NBCM=/NMC,

：.ZACB=2ZB,NM=NC,

???N8=30。，

???AN=1,

：.MN=2,

，AC=4N+NC=3,

???BC=6,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意，可以求得的度數(shù)，然后根據(jù)解直角三角形的知識可以求得NC

的長，從而可以求得BC的長.

6.如圖所示，AABC是邊長為20的等邊三角形，點D是8c邊上任意一點，DE1AB

于點、E,。凡LAC于點凡則8E+CG()

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【知識點】等邊二角形的件質(zhì)：含30。角的百角二角形

【解析】【解答】因為△ABC是邊長為2()的等邊三角形，

所以8c=20,NB=NC=60°,

又因為O/LLA8于點E,力/_LAC于點凡

所以，NBDE=30°,ZCDF=30°,

所以，BE:-BD,CF=-DC,

22

所以，BE+CF=-BD+-DC=-BC=10.

222

故答案為：B

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到邊長，再根據(jù)在直角三角形中，30度角所對的邊是

斜邊的一半，求出8E、的值.

二、填空題：

7.如圖N40P=N8OP=I5。，PC//OAfPDLOA,若PC=6,則PO等于

【答案】3

【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解答】如圖，過點P作尸EJ_08于E,'JPC//OA,：.ZAOP=^CPO,:./PCE=/

BOP+ZCPO=ZBOP+ZAOP=ZAOB=30°,

又,:PC=6,，尸石等于尸C的一半為3,VZAOP=ZBOP,PD±OAf；.PD=PE=3.

【分析】過點P作PEJ_O8于E,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NAOP二NCPO,

利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和得NPC七=乙408=30。，再根據(jù)

直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半.

8.如圖,在RfAABC中,ZBC4=90°,CO是斜邊AB上的高，若NA=30。,8D=lcm,

【知識點】含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：???在心"BC中，C。是斜邊48上的高，乙4二30。，

Z/4=ZBCD=3O°,

ARC=2RD,AR=2RC,

；?AB=4BD,

：.AD=AB-80=380=3cm.

故答案為3.

【分析】要求AO的長度，需要先求得斜邊48的長度；根據(jù)“30度角所對的直角邊等于

斜邊的一半”易求8C=2BD=2cm,AB=2BC=4cm.

9.如圖，在即8c中，NAC8=90。，A8的垂直平分線DE交AC于E,交BC的延長

線于立若/尸=30。，DE=\f則BE的長是

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：VZ/1CB=9O°,FDA.AB,

:.NECF=/EDB=90°,

'：/AED=/CEF,

：.ZA=ZF=30°,

,：AB的垂直平分線OE交AC于E,

：.BE=AE,

：.NE6A=NA=30。，

：?BE=2DE=2.

故答案為：2.

【分析】根據(jù)等角的余角相等，得出N4=N"=30。，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出

BE=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NE84二乙仁30。，根據(jù)“30度角所對的直角邊是斜

邊的一半，，，即可得出BE=2DE=2.

10.如圖，在R/AACB中，ZC=90°,8E平分N48C,EZ）垂直平分AB于O,若AC

=9,則的值是.

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：???8E平分N/WC,

：?NCBE=NABE,

,?任。垂直平分AB于D,

：?EA=EB,

???NA=NABE,

???ZCBE=30°,

:?BE=2EC,HPAE=2EC,

而AE+EC=AC=9,

：.AE=6.

故答案為：6

【分析】在^ACB中，可求得NC8E=N48E=NA=30。，再在中，ZCBE=30°

可得BE=2EC,最后根據(jù)AC=9求得AE。

11.將副三角尺如圖所示疊放在起，若AAE訓(xùn)，則陰影部分的面積是cn-

【答案】2

【知識點】三角形的面積；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：由題意知，ZACB=ZE=90y,

:?BC〃DE,

VZB=30\A8=4,

：.AC=-AI3=-x4=2,

22

VZD=45°,

???ZAFC=ZD=45°

：.CF=AC=2f

???陰影部分的面積二!4c?CF=，X2X2=2.

22

【分析】根據(jù)直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可求得AC的值，再

根據(jù)同垂直于?條直線的兩條直線互相平行可得BC4OE,由平行線的性質(zhì)可得N4FC二

/。=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CQAC,則陰影部分的面積可

求解。

12.如圖：ZDAE=ZADE=15°,DE//AB,DF1.AB,若4E=8,則。/等于.

D

AC

【答案】4

【知識點】角平分線的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：作。G_LAC,垂足為G.

*：DE//AB,

：.ZBAD=ZADE,

*：ZDAE=ZADE=\5°f

???NDAE-NADE-NBAD-15。,

AZDEG=15°x2=30°,

：.ED=AE=S,

,,1

???在心ZkOEG中，DG=一DE=4,

2

：.DF=DG=4.

故答案為：4.

B

F/

cEGC

【分析】作。G_LAC,根據(jù)。石〃AB得到NBAO=NADE,再根據(jù)ND4E二NAOE=15。得

JiJZDAE=ZADE=ZBAD,求出/?！?=15。'2=30。，再根據(jù)30。的角所對的直角邊是斜

邊的一半求出GD的長，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出。立

三、解答題：

13.如圖，AABC中A8=AC,NC=30。，A8的垂直平分線MN分別交8C、A8于點M、

M試探究與CM之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】解：連接AM,?.?A8=8C,ZC=30°,N8=30。，;AB的垂直平分線是MN,

：.ZMAC=90°,CM=2AM,：,AB=2BM,:.CM=2BM,

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【分析】連接AM,VAB=BC,ZC=30°.\N8=30。，-：AB的垂直平分線是MN,,

???NMAC=90°,CM=2AM,,:?CM=2BM.

14.如圖，已知，在“8C中，ZC=90°,45的垂直平分線OE交AC于點。，垂

足為七，若NA=30。，CD=4cm,求AC的長.

【答案】解：???NC=90°,N4=30。，

???NA8O60。，

???OE是AB的垂直平分線，

:?BD=AD,

Q

：.ZA=ZABD=30f

???ZC￡?D=30°,

VCD=4cm,

BD=2CD=Scm,

.*.AD=8cm,

.\AC=CD+AD=12cm.

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【分析】由三角形的內(nèi)角和定理得N/18C=60。，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線

段兩個端點的距離相等得出根據(jù)等邊對等角得出NA=N487A30。，根據(jù)角的

和差得出NCBQ=30。，然后根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)可得AD=8D=8cm,進而問題

可求解.

15.如圖，在aA3c中，ZACB=90°,NA=30。，CQ_LAB于點。，DE]BC交

AC于點E,如果肘）=2,求DE的長.

【答案】解：???ZAC3=90。，ZA=30°,

AZB=60°,AB=2BC,

〈COJLA8于點。，

???NCDB=/CDA=90°,

???ZBCD=30°，

???BC=2BD,

???BD=2,

:.BC=4,

AB=IBC=8,

/.AD=AB—BD=6，

???DE||BC,

???NDEA=ZACB=90"

???在中，ZA=30°,

DE=-AD=3.

2

【知識點】含30。角的直角三角形

【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出N8=60。，根據(jù)含30度角的直角三角形的

性質(zhì)解答即可。

16.已知如圖等邊三角形△/WC,D,E分別是8C,4C上的點.4。、8E交于點MBM

_LAO于M.若AE=CD,求證：MN=-BN.

【答案】證明：???△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC,ZBAC=ZAC5=60°.

AB=CA

在△A8E和ACAD中'ZBAE=ZACD,

AE=CD

：.LABE^/XCAD(SAS),

???NABE:NCAD,

???ZBNM=ZBAN+ZABN=ZBAN+ZCAD=60°,

9：BM±AD,即NAM8=90°,

N8NM=60°,

?.NN8M=30°,

1

:,MN=一BN.

2

【知識點】含30。角的直角三角形；三角形全等的判定ZSAS)

【解析】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得/W=BC=4C,NB4C=N4CB=60。，用邊角邊可

證由全等三角形的性質(zhì)可得N/WGNC4。，由一:角形的一個外角等于和它

不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得NBNM=N8人N+NABN=NBAN+NCAD=60。，然后根據(jù)30度角

所對的直角邊等于斜邊的?半可求解.

能力提升篇

一、單選題：

1.已知等腰三角形AABC,8。邊上的高恰好等于8c邊長的一半，則NBAC的度數(shù)是

()

A.75°B,90°或75。

C.90。或75?；?5°D.75°或15?；?0。

【答案】C

【知識點】等腰三角形的性質(zhì);含30。角的直角三角形

【解析】【解答】分三種情況：?AB=BC,ADA.BC,A。在三角形的內(nèi)部，

由題意知，AD=-BC=-A&

22

4。8=90。，

AZ5=30°,ZC=1(180-ZB)=75°,

：.ZBAC=ZC=15°；

?AC=BC,AD±BC,A。在三角形的外部,

由題意知，AD=-BC=-AC,

22

ZADB=90°,

???Z/lCD=30°=ZB+ZCAB,

'：CAB,

：.ZBAC=\50；

@AC=AB,AD1BC,8c邊為等腰三角形的底邊,

由等腰三角形的三線合一知點D為BC的中點，

由題意知，AD=-13C=CD=BD,

2

.??△AS。，zUOC均為等腰直角三角形，

：.ZBAD=ZCAD=45°f

：./A4C=90。，

???ZBAC的度數(shù)為90。或75。或15°,

故答案為：C.

【分析】本題要分情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)來分析：①當AO在三角形的內(nèi)部，

②4。在三角形的外部以，③3c邊為等腰三角形的底邊三種情況.

2.如圖，在等邊ZkABC中，。、E分別是8C、AC上的點，且AE=CD,A。、8E相交于

F,BHLAD于H點,FH=3,EF=0.5,則AO的長為（）

【答案】B

【知識點】三角形的外角性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30。角的直角三角形；三角形全等的

判定（S4S）

【解析】【解答】解：??FA8C是等邊三角形，

：.AB=AC,N8AE=N06=60。，

在aABE和ACAD中，

AB=AC

NBAE=/ACO,

AE=CD

二?△ABE/△CAO(SAS),

:?BE=AD,ZCAD=ZABE,

：,/BFH=NABF+/BAF=/CAD+/BAF=60°,

：.ZF/?H=90°-ZI3FH=30°,

BF=2FH=6,

???BE=BF+EF=6+0.5=6.5.

.\AD=BE=6.5.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出A8=AC,ZBAE=ZDCA,然后利用SAS證明AA8E

^/\CAD,得出BE=AD,NCAD=/ABE,然后利用三角形外角的性質(zhì)求出N8fH=60。，

則可根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出BF,然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出

AQ的長.

3.如圖，在AABC中，乙4=60。，BE1AC,垂足為E,CF1AB,垂足為P,點、D是BC

的中點，BE,CF交于點M,如果CM=4,FM=5,貝ijBE等于()

【答案】C

【知識點】含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：V8EA.AC,CF1AB,

：.ZAEI3=ZAFC=9O0,

???ZA=60°,

???ZABE=ZACF=30°,

在R仙FBM中,

???FM=5,

在Rt^EMC中,

???CM=4,

1

：,EM=-CM=2,

2

BE=BM+ME=10+2=12.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)垂育的定義可知/AE8=/A"C=90。.由二角形內(nèi)角和定理得/A8E=/

ACr二3()。，在RfAFBM、心△EMC中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得8M=1(),EM=2,再

由BE=BM+ME即可求得答案.

4.如圖，在4ABe中，AC=BC,ZB=30°，D為AB的中點，P為CD上

一點,E為BC延長線上一點，且PA=PE.有下列結(jié)論:①N/W)+NPEC=3(F；

②二。4七為等邊三角形；③PD=CE-CP；④S四邊切代夕=5八席.其中正確的結(jié)論

是()

A.①②③④B.①②C.①②④D.③④

【答案】C

【知識點】三角形全等的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)：等邊三角形的

判定與性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，連接BP,

*：AC=BC,N48C=30。，點。是的中點,

/.ZCAB=ZAfiC=30°,AD=BD,CD上AR,ZACD=Z^CD=60°,

???C。是A8的中垂線，

；.AP=BP,而AP=PE,

：.AP=PB=PE

：,ZPAB=ZPBAfNPEB=NPBE,

，ZPBA+ZPBE=ZPAB+ZPEB,

/.ZABC=ZPAD+ZPEC=30°,

故①正確；

，：PA=PE,

：.ZPAE=ZPEAf

:/A8C=NP4D+/PEC=30°,

：.ZPAE+ZPEA=180°-60°=120°,

.-.Z4PE=60°而PA=PE,

???△附石是等邊三角形，

故②正確;

如圖，延長PD至P,使PD=PD,則點P關(guān)于A8的對稱點為P,連接巴4,

：.AP=APr,ZPAD=ZPfAD,

E

???△出E是等邊三角形，

：.AE=AP,

：.AE=AP\

???ZCAD=NCAP+/%D=30。，

???2NCAP+2N%0=60。，

JZCAP+ZPAD+ZP,AD=60°-ZPAC,

：.ZEAC=6O°-ZPAC,

：.ZP,AC=ZEAC,

?：AC=AC,

.,.△P^C^AZEAC(5/5),

:?CP'=CE,

：.CE=CP'=CP+PD+DP'=CP+2PD,

:.PD=空q.

2

故③錯誤；

過點A作AFABC,在BC卜截取CG=CP,

VCG=CP,/BCD=60。,

???△CPG是等邊三角形，

：.ZCGP=ZPCG=6Q°,

???NECP=NPGB=12()c,且NPEB=NPBE,

：?>PCEm/\PGB(AAS),

；.CE=GB,

:?AC=BC=BG+CG=EC+CP,

VZABC=30°,AF1I3E,

1

：?AF=-AB=AD,

2

,:S&ACB=-CBXAF=—(EC+CP)xAF=-EC^-AF+—CPxA/)=S四邊影八區(qū)/>,

2222

?二S四邊形八ECP=SA4BC.故④上確.

所以其中正確的結(jié)論是①②④.

故答案為：C.

【分析】連接BP,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得NC48=NABC=30。，

AD=BD,CD.LAB,ZACD=ZBCD=60°f進而推出AP=8P=PE,由等腰三角形的

性質(zhì)可得N%8=NP84,ZPEB=ZPBE,然后根據(jù)角的和差關(guān)系可判斷①；易得N

PAE+ZPEA=\20°,NAP￡=60。，據(jù)此判斷

②；延長PD至產(chǎn)，使PD=PD,則點尸關(guān)于A8的對稱點為產(chǎn)，連接產(chǎn)A,由等邊三角

形的性質(zhì)可得AE=AP,MAE=AP\推出NP'4C=NE4C,證明△PACg/^NEAC,

得至IJC產(chǎn)=。后CP+2PO,據(jù)此判斷③；過點A作4EL8C,在8C上截取CG=CP,則

△CPG是等邊三角形，則NCGQ=NPCG=60。，證明得至ijCE=G8,

推出AC=8C=EC+CP,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得A廣=248=A。，據(jù)此

2

不難判斷④.

二、填空題：

5.如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,ZC=30°,AC=24,BD平分

ZABC，點E是AB的動點，點尸是BD上的動點，則AF+EF的最小值

為.

B

【知識點】垂線段最短；含3()。角的直角三角形；三角形全等的判定(SAS)；角平分線的定

義

【解析】【解答】解：在射線上取一點E,使得過點A作人，于".

：,AH=-AC=12,

2

??,8。平分NA8C,

：.4FBE=/FBE,

?:BE=BE',BF=BF,

:.AFBEWAFBEYSAS),

:?FE=FE',

：.AF+FE=AF+FE,,

根據(jù)垂線段最短可知，當A,F,E共線且與力”重合時，A尸十尸石的值最小，最小值=

12,

故答案為：12.

【分析】在射線8。上取點E,使得8￡=3E,過點A作A"_L3CT”，根據(jù)含30c

角的直角三角形的性質(zhì)可得A"=14C=12,由角平分線的概念得/尸證

2

明△FBEWAFBE',得至1」尸石=尸￡,則Af+/E=4F+FE,根據(jù)垂線段最短可知：當A,

F,￡共線且與A”重合時，4尸十尸石的值最小，據(jù)此求解.

6.如圖，已知乙4。8=60。，點P是。4邊上，OP=8cm,點M、N在邊08上，PM=PN,

【答案】5

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：過P作POJ_O8于點D,

在/?/△OPD中，VZODP=90。,ZPOD=60°,

，ZOPD=30°,

：.OD=-OP=-x8=4cm,

22

?:PM=PN,PD工MN,AW=2cm,

:?MD=ND=-MN=Icm,

2

???0200+024+l=5ciri.

故答案為：5.

oB

【分析】過P作PO_LOB于點。，在直角三角形POD中，利用含30度直角三角形的

性質(zhì)求出OD的長,再由PM二PN,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到D為MN中點，

根據(jù)MN=2求出DN的長，由OD+DN即可求出ON的長.

7.如圖，ZkABC中，ZA=15°,A3是定長.點O,E分別在A8,AC上運動，連結(jié)

BE,ED,若8E+E。的最小值是2,則A8的長是

【答案】4

【知識點】角平分線的性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】如圖，作NCAQ15。，

〈AC是NBA/的平分線，

:?DE=D'E,

???當BE、在一條直線上時，即當E、。在如圖位置上時，BE+ED最小,

VZF=90°,ZM/?=30c,

：.AB=2BF=4.

故答案為：4.

【分析】作點8關(guān)于4c的對稱點8,過B作用LLAB，，8"即為8￡+￡。的最小值，利

用含30。的直角三角形的性質(zhì)