2026高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講7.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一

輪復(fù)習(xí)與應(yīng)用含答案7.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一輪復(fù)習(xí)中的16個(gè)

典型應(yīng)用

★考點(diǎn)1,指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì).

a>\0<a<\

VI

\ko,i）

圖象一一———,

號(hào)

01

在X軸的上方，過定點(diǎn)（（）,1）

圖像特征

當(dāng)X逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上升當(dāng)X逐漸增大時(shí)，圖象逐漸下降

定義域R

值域（0,+oo）

單調(diào)性在K上是增函數(shù)在K上是減函數(shù)

奇偶性非奇非偶函數(shù)

性質(zhì)

當(dāng)xvO時(shí)，0<y<l；當(dāng)xv0時(shí)，y>1；

范圍

當(dāng)x>0時(shí)，y>\；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<l；

2rv>（）

例L設(shè)函數(shù)d）=J；；。加滿足/（，）</伽）的實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.（TO,。）B.（0,-Kc）C.（0,1）D.（l,+oo）

解析：①當(dāng)*0時(shí)，2〃<0,此時(shí)/（。）=/（2〃）=1,不合題意;

②當(dāng)時(shí)，2a>0f/（。）</（2。）可化為2“<22〃，所以av勿，解得〃〉0.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（0,內(nèi)）.故選：B.

例2.若函數(shù)/（x）=，，在R上為嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

a\x>7

<9A「9、

A.（1,3）B.（2,3）C.-,3D.二，3

UJ14J

3-a>0

9

解析：???/（x）在R上為嚴(yán)格增函數(shù)，,解得:.即實(shí)數(shù)。的取值

（3-a）x7-3<67-6

-9、

范圍是彳,3.故選：D

[4J

例3.已知函數(shù)/"）=&二22：+34“<】的值域?yàn)?則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

2,x>1

0,；1

-00,—C.（fo）D.[0,2）

2

解析：因?yàn)閥=2i在[1,拓）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，>'=2-'>20=1,若函數(shù)/（.r）的

1-2?>0

值域?yàn)镽,貝！P解得。4。.故選：A.

1-2。+3a>1

例4.已知函數(shù)八）」外、對(duì)

則〃力圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有（）

-|x2+2x|,x<0.

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

解析：作出了（X）的圖象，再作出函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象如圖所示.因?yàn)楹?/p>

12,

數(shù),，=4[,%之0,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與曠=-,+2乂#〈0,圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故/（力圖象

12,

上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有3對(duì).故選：C

★考點(diǎn)2.指數(shù)函數(shù)圖象變換與應(yīng)用

例5.指數(shù)函數(shù)3，=/與j="的圖象如圖所示，貝I」（）

A.?>!,（）</?<IB.a>\,b>\C.（）<?<1,/?>ID.0<4<L0<0<1

解析：因?yàn)楹瘮?shù),丫=優(yōu)的圖象是下降的，所以又因?yàn)楹瘮?shù),，="的圖象是上升的,

所以故選：C.

例6.函數(shù)的圖象可能是（）

解析：當(dāng)時(shí)，*(0,1),因此0<〃0)=1-5<1,且函數(shù)/(力=〃—在R上單調(diào)遞

增，故A、B均不符合；

當(dāng)031時(shí)，->1,因此/(0)=」-0,且函數(shù)/(犬)="-,在R上單調(diào)遞減，故C

aaa

符合，D不符合.故選，C.

例7.已知函數(shù))，=/』1'+力的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且無限接近直線)，=2,但又不與該直線相

交，則必二()

A.-1B.-2C.-4D.-9

解析：因?yàn)楹瘮?shù)v=/(x)=a(護(hù)+〃圖象過原點(diǎn)，所以年)°+。=。，得〃+。=0,又該函數(shù)圖象

無限接近直線k2,且不與該直線相交，所以〃=2,則2,所以=T做選：C

例8.已知函數(shù)g(x)=x-3,方程/(晨力)=-3-g(x)有兩個(gè)不同的根,

lnx,x>0,

分別是小七，則X+%2=()

A.0B.3C.6D.9

解析：由題意得；S(x);x-3為R上的增函數(shù)，且履3)=0,當(dāng)xV3時(shí)，8(x)，0,

/(g(x))=e'7,當(dāng)x>3時(shí)，g(x)>0,/(g(x))=ln(x-3),方程/(g(x))=-3—g(x)=T

有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)y=/(g(x))與>=-戈的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)/(g(H)與

y=一工的圖象如下圖所示：由圖可知)，=c「3與y=ln(x-3)圖象關(guān)于y=x-3對(duì)稱，

則兩點(diǎn)關(guān)于)，=x-3對(duì)稱，中點(diǎn)C在.i-3圖象上，由J”；,解得：

[)，=尢-3\22)

3

所以％+.q=2x^=3.故選：B

3

①log”1=0,②log,/=1,③nlogaN=N,④logafl,v=/V（。>0,且a#1）.

指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系

麗旗一|對(duì)數(shù)

I

a*=/VN>0log/=6

［底數(shù)（a>0且a遍1）|

2.對(duì)數(shù)的的運(yùn)算法則

如果。>0,且存1,M>0,N>0

M

①loga（M?N）=logaM+logcN②logaH=log?M—loga,V③logaM"=〃logaA/5￡R）

3.換底公式

（1）10即5=：。.”（〃>0,且存1,。>0,且存1,Z?0）

（2）換底公式的三個(gè)重要結(jié)論

I〃

M

①10々力=記嬴；@10ga,n/>=-logaft；③log>logb"ogcd=lo縱d.

例IL（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））已知a>l,7^--7^7=-|,則。=_______

log8a，

=lo_,

解析：由題7^-----.AT~------Z^2?=|?整理得（log,力-510g,〃-6=0,

v7

logxalog“4log,a220-

6

=>1（唱2。=-1或k>g2〃=6,又a>l,所以log2a=6=log?2'、，jfta=2=64,故答案為：64.

例12.設(shè)x,y2l,a>\,.若a'=。'=3,a+b=2#t,則一十—最大值為（）

x）'

A.2B.-C.1D.g

22

xy,c1

解析：Vx,y>lfa>lfb>\ta=b=3f/.x=Iogr3=—!—

y=log/,3=-~

log4logsA

=岫（鷗2印,當(dāng)且僅當(dāng)〃=加百,

—4--=loga+logb=loecib<log

333等一

、=）,=2時(shí)取等號(hào)..??■!■+■!■的最大值為i.故選：c.

xy

★考點(diǎn)5.對(duì)數(shù)函數(shù)圖像（變換）與應(yīng)用

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\OVaVl

tr；x=i

|r；I

圖象

；/5^iog產(chǎn)N（i,。）一

"l

。1-1Q）】

y=log.x

定義域：（0,4-00）

值域：R

性質(zhì)當(dāng)x=l時(shí)，尸0,即過定點(diǎn)（1,0）

當(dāng)OVxVl時(shí)，yVO：當(dāng)OVxVl時(shí)，J>0：

當(dāng)￡>1時(shí)，j>（）當(dāng)X>1時(shí)，J<0

5

在(0,+8)上為增函數(shù)在(0,+刃)上為減函數(shù)

例13.函數(shù)y=cosr與y=|g|r|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

解析：函數(shù)V=cosx與)，=植區(qū)都是偶函數(shù)，其中cos271=cos4n=1,愴4兀＞lgl()=1＞lg2n,

在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)曠=8"?與)，=也忸的圖象，如下圖,

二IgR尸COSX

-4兀^^=3^-2兀。(2兀、碗/4兀攵

由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故選：D

2

例14.已知函數(shù)/")為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí),/(x)=-log2x-l,貝?。?(一河=()

A54

A.9D.--

99

解析：/(羽)=綱2g-1=綱223-1=+'|-1=得因?yàn)?(X)為R上的奇函數(shù)，所以

/(7?)=-/(孤)=［.故選：A

例15.“0＜。4”是“方程22*=log川在引上有實(shí)數(shù)根，，的()

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：因?yàn)榉匠?"=log小在.EC。：］上有實(shí)數(shù)根，設(shè)戶：幻=4',g")=log〃x,當(dāng)a＞l時(shí),

函數(shù)/(x),g(x)在xe(0,泉單調(diào)遞增，無交點(diǎn)，如圖①所示，不成立；當(dāng)0＜，＜1時(shí)，函數(shù)”0

在xe(04|單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)在xe(0,J］單調(diào)遞減，如圖②所示，即方程轉(zhuǎn)化為

0<?<10<A<1廠

/(4)=81)在犬￡(0,'有解，故.71，解得0〈心立

221%52

綜上所訴，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為：。5字所以?！埃凼恰＃?。邛的充分不必要條件.

圖①圖②

6

★考點(diǎn)6.對(duì)數(shù)型函數(shù)及應(yīng)用

例16.函數(shù)/(刈=1082(21)睢8(8”的最小值為

解析：因?yàn)?(力=log?(2x)log8(8x)=(log22+log2x)-(log88+log8x)

22

=(l+log2x)[l+|log2x=^(log2.r)+-^log2x+l=1(log2x+2)-1,當(dāng)10821二一2,即

x時(shí),/(“取到最小值,且“力向「：?故答案為：

例17.已知函數(shù)/(犬)=1。83(-丁+4工+4-1)的最大值為2,則。=.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)/3=1。心(-/+4工+〃-1)由)，=108山>0與/=4+414_1復(fù)合而成,

而)=log/在定義域上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，=-/+4刀+〃-1取最大值時(shí)，函數(shù)y=log式取得

最大值，由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當(dāng)x=2時(shí)，*、=。+3,此時(shí)/(x)M=bg3(a+3),所以

陶(。+3)=2,解得〃=6.故答案為：6

例IX.已知函數(shù)/(月=1嗚*+1)+摩2(1-幻，則以下說法正確的是()

A.函數(shù)./V)的定義域?yàn)?Tl)B.函數(shù)/⑶的值域?yàn)?YO.0]

C.函數(shù)Ax)是定義域上的奇函數(shù)D.函數(shù)/(X)是定義域上的偶函數(shù)

x+1>0/、

解析：A選項(xiàng)，由題意得，I—〉。，解得-ivxvl,故定義域?yàn)?一口)，A正確;

2

B選項(xiàng)，/(x)=log2(x+1)+log2(l-x)=log2(1-x),定義域?yàn)?-1,1),由于f=1一。在(一1,0)

上單調(diào)遞增，在(o,1)上單調(diào)遞減，又y=/在/上單調(diào)遞增，故/。)=1嗎0)

在(TO)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，故/(X)=1限(I-巧Gog?1=0,值域?yàn)?7,0],

B正確；

CD選項(xiàng)，定義域?yàn)?T1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/(T)=k)g2[l-(r)[=log2(l-/)=/(x),

故/(.i)為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD

例19.己知函數(shù)人"=1咤2(言)，8(大)=夕4'-2口VX.Gy,6,3ae[0,l],有

/G)=g(M成立，則實(shí)數(shù)r的取值集合為()

A.(-<?Jog2(V3+l)]B.pog2(\/3+!),+?>)

C.(0,log2(V3+l))D.(0,log2(V3+l))

解析：令仁x把+42=1+一4三，則該函數(shù)在xcF1-0，6"上單調(diào)遞減，又y=log2,在定義域上單

x-2x-23

7

調(diào)遞增，所以函數(shù)/（"=1鳴（三I）在xw與，6上單調(diào)遞減，所以

I=/（6）</（x）</^=2,即函數(shù)/（力在xe與,6上的值域?yàn)閇1,2],令〃?=2，>0,則

y=anr-2mt因?yàn)閂”號(hào),6,3?G[0,1],有/（xj=g（x）成立，所以/（x）值域?yàn)間（x）

值域的子集，即UH為函數(shù)），=am2-2〃?值域的子集，

當(dāng)。=0時(shí)，），=-2〃?<0,顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，），=劭/-2，〃的對(duì)稱軸m=^>1，

且開口向上，所以y=a>-2〃?在（0,+司上單調(diào)遞增，且），>（）,所以九anr-2m>2f

即黑三把，所以二;李個(gè)，所以病一2〃?一220,所以〃整1+6或，〃W1—G（與心0

nrm~

矛盾舍去），所以2-1+舊，所以壯1嗎（6+1）,即實(shí)數(shù)％的取值集合為[1。82（6+。收）.

故選：B

★考點(diǎn)7.指對(duì)六朵“金花”及十大應(yīng)用

上述六個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)組合出的新函數(shù)及其圖象是非常重要的.需要注意的是，對(duì)于函數(shù)

8

Y

八幻二只展丫與人幻二——在x=0處的極限值，需要由洛必達(dá)法則來計(jì)算，此處計(jì)算一

\nx

I

個(gè)以展示其原理.limxlnx=lim=lim卷-=lim(-x)=0,故其圖象在x=0處趨近

.r->0x-M)1.101x->0

X廠

于0.除此之外，還需注意函數(shù)/3)=巴In士x與函數(shù)/(x)=x咚的圖象在正無窮遠(yuǎn)的特征，其

JCe

它們圖象都是上去了之后就不再下穿X軸.最后，要注意到fM=處與函數(shù)

X

Inr4^-之r間的基本關(guān)系，后者實(shí)際上是前者向上平移一個(gè)單位得到，在實(shí)際應(yīng)用

X

中，后者出現(xiàn)的頻率也相當(dāng)之高.下面我們看到有關(guān)它們的十大應(yīng)用，即:

1.圖像問題

例20.函數(shù)/(力=皿的圖象大致為()

.1

"y

解析：函數(shù)/(x)=叱的定義域?yàn)?-8,0)u(0,xo),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

X

〃_力=止立=_見二=_/(力，所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，排除A,B；當(dāng)x>0時(shí)，函

X

數(shù)/")=亞，則/,3=2(1T，當(dāng)0<x<e時(shí)M勺>0,函數(shù)外力單調(diào)遞增，

XX

當(dāng)x>e時(shí)，/(工)<0,函數(shù)外”單調(diào)遞減，排除D.故選：C

2.方程根的個(gè)數(shù)

例21.已知。>0且。工1,函數(shù)f(x)=—(x>0).

ax

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求/(力的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

解析：(1)函數(shù)/(X)在|o,專上單調(diào)遞增；總+8上單調(diào)遞減;

9

(2)/(x)=—=1<=>?'=Z0不卜〃二〃1g0處=^^,設(shè)函數(shù)g(力=^^,

asxax

則，(x);甘三，令g'(x)=O,得％=e,在(O,e)內(nèi)g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增；

X

在伍”)上g'(x)<o,g(x)單調(diào)遞減；飛3仆=8,)」,又g(l)=o,當(dāng)工趨近于

e

+00時(shí)，g(x)趨近于o,所以曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線

y=g(x)與直線y=F有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是。(生q〈4,這即是

Inflae

。<尺(。)<#(e)，所以白的取值范圍是(l,e)=(e,+x)).

3.整數(shù)解問題

例22?已知偶函數(shù)〃力滿足〃4+X)=/(4T),/(0)=-1,且當(dāng)工?0,4］時(shí)，/(x)=—.

A

若關(guān)于X的不等式在48］上有且只有60個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

/?八1一"吟八「ln2E3、

A.(T，°］B.I0,\—n2}JC.JD.—

解析：因?yàn)獒茇瘮?shù)/(x)滿足/(4+x)=/(4-x),貝IJ/(x+4)=/(x—4),即/(x+8)=/(x),

所以，函數(shù)/(“是周期為8的周期函數(shù)，當(dāng)“?0,4］時(shí)，/。)=上與，令/(力=0,可

X

得x=e.由制/)>0可得()<x〈e,由r(x)<0可得e<x"4.

所以，函數(shù)“X)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(c,4］上單調(diào)遞減，因?yàn)殛P(guān)于“的不等式〃x)>。在

［T8,48］上有且只有60個(gè)整數(shù)解，則關(guān)于x的不等式/(">。在［0,8)上有且只有5個(gè)整數(shù)

不等式“力>〃在［0,8)上有且只有5個(gè)整數(shù)解，則這五個(gè)整數(shù)解分別為3、5、2、4、6,

所以，/(2)>?>/(1),即()<〃<手，故選：B.

4.恒成立問題

例23.已知當(dāng)"R時(shí),均有不等式(叱-2),"+同之0成立.則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

10

解析：①.。=0時(shí)，不等式為—2x20,不恒成立；

②.a<0時(shí)，ae*-2<0,令f(x)=aex+x,/'(x)=aer+1,由尸(x)=0得x=ln(-1),

a

當(dāng)xcln(-3時(shí)，/'*)>0，/(i)遞增，工〉儂一3時(shí)，/@)<0,/。)遞減，

aa

???x=ln(-3時(shí)，/(x)z=T+ln(-3,要使命題成立，貝U-1+ln(-3(。，a<--；

aaae

2

③.々>0時(shí)，函數(shù)g(x)=ae'一2是增函數(shù)，在唯一零點(diǎn)x=hi—,f(x)=aex+x,

a

x

f\x)=ae-v\>0,即/3)增函數(shù)，/(0)=?>(),但當(dāng)x--8時(shí)，f(x)->-oo,所

22

以/(X)有唯一零點(diǎn).％,要使不等式/(人)由人)之。恒成立，只有小二m—,???2十In-=0,

aa

a=2e2,綜上。的取值范圍是(-8,-311{2?2}.

e

5.凸凹反轉(zhuǎn)

凸凹反轉(zhuǎn)是證明不等式的一種技巧，欲證明/(x)>0,若可將不等式左端/(幻拆成

g(X)>//(X),且gmin(X)〉〃max*)的話，就可證明原不等式成立.通常情況，我們一般選

取以X)為上凸型函數(shù)，/?(X)為下凹型函數(shù)來完成證明?于是，這就需要我們熟悉高中階段

常見的六個(gè)具有這樣特點(diǎn)的函數(shù).關(guān)于上述六個(gè)函數(shù)的性質(zhì)和圖像的應(yīng)用在之前已經(jīng)講過，

本節(jié)主要的目標(biāo)就是來展示凸凹反轉(zhuǎn)技巧的基本應(yīng)用手法和命題技術(shù).

例如在上面六個(gè)函數(shù)中，我們可以選取凸函數(shù)f(x)=x\nxt求導(dǎo)可得：/(x)=lnx+l,

故可得/。)在(0」)上減，(L+8)上增，于是￡式用=/(1)=」.

eeee

再考慮凹函數(shù)g*)=三/>0,則g(x)=上/,故g(x)在x=l處取得最大值，即

ee

17r2

&皿(幻=8⑴=一?這樣可得g(X)-->/*)，即f--將這個(gè)不等式包裝一

eeee

下就得到了下面這道2013年高考真題.

例24.(2013全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)/*)=〃，Inx+絲二，曲線y=/")在點(diǎn)(1J⑴)處的切

x

線為y=e(x-l)+2.

(1)求u,b；

(2)證明：f(x)>1.

99

解析：(2),/f(x)=exlnx+-ex~l,從而f(x)>1等價(jià)于x加x>xe~x—.設(shè)函數(shù)g(x)=xln

xe

x，

則g'(X)=l+/〃x，所以當(dāng)XG(0,1)時(shí)，g'(X)<0；當(dāng)(J,+8)時(shí)，且，*)>。.故g")在(0-)

eee

11

上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，從而g*)在(0,楨)上的最小值為雙3=-』.

eee

o

設(shè)函數(shù)心)=，""一二，則萬(幻="*(1一x).所以當(dāng)xe((),l)時(shí)，”(x)>0；當(dāng)xe(1,y)時(shí)，

e

/f(x)<0.故"(幻在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,物)上單調(diào)遞減，從而〃(力在(0,+oo)上的最大

值為/?)=」.由于gmin(X)=〃⑴=/?maG)，所以當(dāng)”>。時(shí)，g(X)>力(工)，即/(力>1.

e

例25,設(shè)函數(shù)/(幻=/心+@7.

X

(1)當(dāng)。=一2時(shí)，求的極值；

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，證明：f(x)--!~+x>0在(0,+oo)上恒成立.

e'

解析：(2)當(dāng)a=l時(shí)，/(.r)--+x=Z/tr+---,下面證+，即證x/nx+l>—,

e'xexxexex

設(shè)g(x)=x"u:+l,則月'(x)=1+//a,在(0」)上，g'(x)<。，g⑴是減函數(shù)；在(1,+8)上，

ee

g(v)>0,g(x)是增函數(shù).所以g(x)2gd)=l-一.

ee

設(shè)力(刈=土，貝1/(工)=匕二在(0,1)上，萬'(外>0,/心)是增函數(shù)；在(L+oo)上，//(x)<0,

exe

〃(幻是減函數(shù)，所以⑴二一1<1一一1.~所以/?(x)<g(x),即r土.+1,所以

eee

x\11

xbix+1--->0,即0z+------>0,即/(x)---+x>0在(0,-KO)上恒成立.

"xe'ex

注：凸凹反轉(zhuǎn)技巧性較強(qiáng)，是一種命題的好方法，但對(duì)于應(yīng)試的考生而言，技巧性過強(qiáng)而

難以掌握，同時(shí)，它的使用范圍也比較局限.

6.比較大小

例26.若2“+——=3"+——=5<+——，則()

235

A.6zln2>/?ln3>cln5B.cln5>/?ln3>tzln2

C.f/ln2>cln5>Z?ln3D.cIn5>?In2>Z?ln3

解析:構(gòu)造函數(shù)fM=—，則ff(x)=上段，令f\x)=0,解得x=e,當(dāng)x￡(e,+oo)時(shí),

Xx~

r(x)v0,故/(幻單調(diào)遞減，又因?yàn)椤?lt;3v4<5,所以/(3)>/(4)>/⑸，即

***哈又因?yàn)椋?*3~*5,+*所以3*一,則

In3"vIn2a<In5,,即cln5>aIn2>〃In3.答案:D

例27.已知0<。v4,0<b<2,0vc<3,且16In。二片In4,4In〃=〃In2,9Inc=In3,

則()

\.c>b>aB.c>a>bC.a>c>hD.b>c>ci

5“In4In/7In2IncIn3.Inx.八、

解析：由題意.得一^=丁,-^=^-.—^=^^?設(shè)/(1)=一^(1>0)?ni則l

a~4-h~2~c-3~

12

(1、

2

2In^-lne]?

f\x)=一一——----L.當(dāng)0<x<e2時(shí),r(x)>0；當(dāng)X>I時(shí),/'(x)<0,

X

所以/(x)在0,”上單調(diào)遞增，在r,+00上單調(diào)遞減，結(jié)合/⑴=0,易畫出/(幻的大

致圖象(如圖)，又f(a)=/(4),/0)=/(2),/(c)=/(3),結(jié)合/(幻的大致圖象，可得

b>c>a.

y

/I?—nT-..：

O1/acie0'5234~x

7.極值點(diǎn)偏移

例28.(2010天津卷)已知函數(shù)/a)=r?7,xeR.

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)如果內(nèi)工工2，且/(%|)=/(電)，證明：Xi+X2>2.

解析：(2)/(耳)=/(々)等價(jià)于玉"*=工2—&nlnA-X]，故可得：

IV=1,由對(duì)數(shù)均值不等式可得：1=盧二^<"三，故芭+羽>2.

In玉-Inx2In玉-Inx22

8.函數(shù)同構(gòu)

解決指對(duì)混合不等式時(shí)，常規(guī)的方法計(jì)算復(fù)雜，則將不等式變形為/[g(x)]>/[/z(x)]的

結(jié)構(gòu)，即為外層函數(shù)，其單調(diào)性易于研究.常見變形方式:①x"=8川'②ix

X

③；=*XT；④x+ln工=ln(xe')；@x-lnx=ln—.

1.直接變形：

(1)積型：四“工〃11^=>。?夕<m力？1"=/(戈)=此'(同左)；

=>ea-\ne('<b\nb=>/(x)=xlnx(同右)；

=a+lna〈ln〃+ln(ln〃)=/(x)=x+lnx(取對(duì)數(shù)).

說明：取對(duì)數(shù)是最快捷的，而且同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知.

a1aInfc.v

(2)商型：幺<==J<J=>/(x)=J(同左)；

a\nbaIn/?x

=「e"7<7b^=/(幻=4x(同右)；

Ine\nbInx

=>67-In6/<InZ?-ln(lnZ?)=>f(x)=x-\nx(取對(duì)數(shù)).

13

(3)和差型：ea±a>b±\nb=>e('±a>e[nb±\nb=>f(x)=ev±x(同左)；

=>ea±\nea>b+\nb^>f(x)=x±\nx(同右).

2.先湊再變形：

若式子無法直接進(jìn)行變形同構(gòu)，往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量，如兩邊同乘以X,同

加上x等，再用上述方式變形.常見的有：

①aet,s>Inx=axeaK>xlnx；

?ex>aln(arex>In[rz(x=>ex""一Ina>ln(x-l)-l

=>er-,nfl+x-\na>ln(A-l)+x-l=廿皿+ln(x-1)；

Inv

③優(yōu)>log,戶ne加“>—=>(xlna)exintl>x\nx

Inez

@x+-^>xa-\nxa(戈>0)=]In二Nxa-\nxa=>f(x)=x-\nx

eee

x

⑤K”/之一QInXn=腐>-aInx?百.”=f(x)=xe

-V

例29.已知函數(shù)/(工)=￥，且("=旄-二若存在n￡(0,a)，超在氏使得

/\2

/a)=g(W)=A(A<0)成立,則上/的最大值為()

\Xi7

,4I

A.e2B.eC.-7D.—

e~e~

解析：T/(X)=2,g(%)=：="■=/O由于/(%)=婦'"<。，則

xee、7X

In%<0n0<%<1,同理可知,占<0,函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?0、+。),/'(x)=)等>0

對(duì)，vw(0,l)恒成立，所以，函數(shù)y=〃x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù))，=g("

在區(qū)間(—,0)上單調(diào)遞增，??J(xj=g(x2)=/(e")，則項(xiàng)=*,?.?§=￡=gU)=k,

Aiv

<\2

則上=kW,構(gòu)造函數(shù)〃住)=%",其中/<0,則"伙)=儼+2。修=4(八2)人

f

當(dāng)&v—2時(shí)，/任）＞0,此時(shí)函數(shù)）=〃（左）單調(diào)遞增；當(dāng)—2vA：v0時(shí)，h（k）＜Or此時(shí)函數(shù)

4

），=萬的單調(diào)遞減.所以，力⑻2="（一2）=］故選：C.

例30.已知函數(shù)/"）=xe',以x）=2xln2x,若.f（R）=g（%2）=，，"0,則工的最大值

片“2

為（）

A.—B.—rC＞—D.一

yeee

解析：由題意得，x^=tf2x2In2%=，，即2乙In2x,=即町.ln2x2=/,令函數(shù)/（x）=，

14

則/*)=(1+X)-,所以,x<T時(shí),/V)<0,/(.r)在(TO,-1)上單調(diào)遞減，x>-lW,

f\x)>Of/(x)在(-l,*c)上單調(diào)遞增，又當(dāng)XW(YO,0)時(shí)，/(x)<0,xe(0,+oo)Bt,

/(x)>0,作函數(shù)/(x)=4的圖象.由圖可知，當(dāng)/>0時(shí)，八*=/有唯一解，故\=皿2工2，

，

且%>°'???7ITn/=2r2nI2n/x=丁2In.設(shè)…MO=丁21n,l/則,/?,")=2(1I-I2n/)，

?

令“⑺=0解得E=e,所以力⑺在(O,e)上單調(diào)遞增，在(6+②)上單調(diào)遞減，,人⑺<枚)=

e

即則■的最大值為2.故選：D.

中2e

9.朗博不等式.

朗博不等式是近年來隨著函數(shù)同構(gòu)出現(xiàn)的一個(gè)熱門的不等式，其原理如下：下面主要注意

的是xel=er+,nv,那么根據(jù)指數(shù)函數(shù)的基本不等式^v>x+l,x>0可得：

xx+inx

xe=e>x+\nx+if

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x+lnx=().

例3L若Dx>(Ue'>lnx+x+a,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.In2)B.(,/)C.(In2,-Ko)D.(1,-KO)

解法1：因?yàn)閘n(xe")=lnx+x,所以北設(shè)lnx+x=f,貝heR且原不等式可化為

l

a<e-tf只需”(e'-f)..設(shè)以，)=e'—f,則g'⑺=e'-l,所以當(dāng)f<。時(shí)，g(/)<(),身⑺

單調(diào)遞減；當(dāng)f>0時(shí)，g(/)>(),g⑺單調(diào)遞增.所以西)*=冢。)=1，所以"1.故選：

解法2：由不等式xe、2/+lnx+l,可得〃<1.

例32.已知函數(shù)/(x)=*—x(aeR,。為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+爾+1.

(1)若/W有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

⑵當(dāng)〃=1時(shí)，x[/(6+x]2g(x)對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

解析1.(2)當(dāng)“=1時(shí)，/(.r)=/?v-x,原命題等價(jià)于xe'21nx+〃iv+l對(duì)一切xw(。,”)恒

成立L對(duì)一切xwQ+oo)恒成立.令網(wǎng)燈=，一小一_1">0)

XXXX

.../〃W/("劭尸(x)=6T+坐='e：In,令〃(x)=xV+lnx,xe(0,+<x),則

//(A)=2xe+x2ex+'>0〃(x)在(0,+e)上單增,又/?(1)=e>0,/[(1)=—1<e°—1=0

X

3x0e-j],使〃(玉)=0即城廂+ln/=0①當(dāng)xe(0,%)時(shí)，〃(x)v0,當(dāng)工?天,田)時(shí),

15

即網(wǎng)文)在(0,%)遞減，在(如內(nèi))遞增，??/(X)而”=尸(%)=*一”一；

玉)《0

由①知=Inx0?m?=in'e""函數(shù)=在(0,Ia)單調(diào)

%"o"'ok”'o)

+1=1

遞增.?./=]n；即,V0=-lnX0A產(chǎn)(入入訪=I""—~---=—"—,：.HX<\：.實(shí)數(shù)機(jī)的

X。XQXQXQ-'()

取值范圍為(-005.

解析2.由不等式x"Xx+lnx+1,可得"2<1.

注意：朗博不等式命制的導(dǎo)數(shù)題目用通法解決時(shí)會(huì)出現(xiàn)同構(gòu)型隱零點(diǎn)情形，即：

Ip?*II'IIn'-

x：e"+ln/=0與.?.x°*=-3='ln」=In-e"這樣的基本關(guān)系，讀者在此處需特

%%/Ix0)

別注意.

10.函數(shù)嵌套

例33.已知函數(shù)/(力=±,若關(guān)于x的方程[/'(力]2+4(可+。-1=。有且僅有三個(gè)不同

1II人

的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-2e,l-e)B.(l-e,0)C.(-oo,l-e)D.(l-e,2e)

解析：因?yàn)?(力=高，所以/'(x)=^^，當(dāng)x?0,l)51，e)，rW<0；當(dāng)x?e,+oo),

r(x)>0,所以外力在(<U)和(l,e)單調(diào)遞減，在(e,+00)單調(diào)遞增，且當(dāng)XTO時(shí),/(。-0,

/(e)=e,故/(x)的大致圖象如圖所示；關(guān)于x的方程