專題01線段的垂直平分線

目錄

A題型建模?專項(xiàng)突破

題型一、利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解...........................................................1

題型二、線段垂直平分線的判定定理...............................................................2

題型三、作垂直平分線（尺規(guī)作圖）...............................................................3

題型四、線段的垂直平分線與角平分線的綜合問(wèn)題..................................................4

B綜合攻堅(jiān)?能力躍升

A題型建模?專項(xiàng)突破

題型一、利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解

1.如圖，在VA6C1中，AC邊的垂直平分線。石，分別交SC,AC于點(diǎn)。，E兩點(diǎn),連接A。，ZBAD=25°,

ZC=35°,則N8的度數(shù)是,

若48=5,AC=8,則△ABO的周長(zhǎng)是.

千點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,若.dCA的周長(zhǎng)為50,

則底邊4c的長(zhǎng)為

A

4.如圖，在V/WC中，入?yún)^(qū)的垂直平分線口必交AC于點(diǎn)￡）,邊AC的垂直平分線交"C于點(diǎn)E.已知

V4。石的周長(zhǎng)為8cm,則BC的長(zhǎng)為

題型二、線段垂直平分線的判定定理

5.如圖，在VAAC中，NK4C>9(r,48的垂直平分線分別交AB,BC于點(diǎn)、E,AC的垂直平分線分別

交AC,BC于點(diǎn)、M,N,直線E尸，MN交于點(diǎn)P.

⑴求證：點(diǎn)尸在線段8c的垂直平分線上；

⑵已知N￡AN=56。，求NZ7W的度數(shù).

6.如圖，四邊形/WC。的對(duì)角線AC與“。相交于點(diǎn)。，AB=AD,CB=CD.

求證：

(l)AABC^AADC；

(2)4C垂直平分80.

7.如圖，已知A45C中，A4=AC,點(diǎn)D,E分別為A8,AC上的點(diǎn)，BE=CD.

(I)Z\A8。與AACE全等嗎？為什么？

⑵連接AF,DE,求證：質(zhì)垂直平分。E.

8.如圖，A。是.A8C的角平分線.QEQF分別是△A3。和ACZ）的高.

⑴試說(shuō)明AO垂直平分石"；

（2）若八8=8,AC=6,Sjc=28,求。心的長(zhǎng).

題型三、作垂直平分線（尺規(guī)作圖）

9.如圖所示，七年級(jí)和八年級(jí)有兩個(gè)班的學(xué)生在M、N處參加植樹(shù)活動(dòng)，要在道路AB、AC的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)

一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)P,使尸到A3、AC兩條道路的距離相等，而且要使PM=/W,請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法找

出P點(diǎn).（不寫(xiě)作法，但保留作圖痕跡）

1（）.要求用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.

已知：如圖，NMQV和A,B兩點(diǎn).

⑴作/MON的平分線。夕；

⑵求作一點(diǎn)Q，使。點(diǎn)在QN上，且Q4=QB.

11.如圖，在VA8C中，

⑴作AC的垂直平分線OE，DE交AC于E,交AC于點(diǎn)。，連接4力（保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法）;

（2）若AE=3,△ABO的周長(zhǎng)為If,求V4BC的周長(zhǎng).

12.如圖，AO是V八8C的角平分線.

A

⑴尺規(guī)作圖：作線段AO的垂直平分線所，分別交AB、AC于點(diǎn)、E、F；(標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫(xiě)

作法.)

(2)連接。石、DF,求證：DE=DF.

題型四、線段的垂直平分線與角平分線的綜合問(wèn)題

13.如圖，VABC中，/48C的角平分線和AC邊的中垂線乃E交于點(diǎn)。，OM_L的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

DNA.BC于點(diǎn)、N.若，BC=8,AB=3,則AM的長(zhǎng)為？

14.如圖，VABC中，NB4C的平分線A。與邊的垂直平分線。E交于點(diǎn)。，DGLAB,DHLAC,垂

足為點(diǎn)G,H.

84

D

⑴求證：BG=CH、

(2)若A8=10,AC=8,求8G的長(zhǎng).

15.如圖，VA3c的外角N71AC的平分線交4c邊的垂直平分線于P點(diǎn),P￡)_LAA于。，莊_LAC于E.

二

BQC

⑴求證：BD=CE；

(2)若人8=6cm,4C=10cm,求AO的長(zhǎng).

B綜合攻堅(jiān)?能力躍升

一、單選題

1.如圖，在V/WC中，NA=90。，EO垂直平分3C,CE平分NAC4,CE=7、ED=3,則A8的長(zhǎng)為（）

2.如圖，在VA3C中，NC=9O。，AC>BC.用直尺和圓規(guī)在邊AC上確定一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A,點(diǎn)8

的距離相等，則符合要求的作圖痕跡是（）

,C

C

、

X

Cc

A

CD/

3.如圖，點(diǎn)P是/AOB的角平分線上一點(diǎn)，PC_LO4于點(diǎn)C,PDtOB于點(diǎn)。,連接CD交OP于點(diǎn)E.下

列結(jié)論不一定正確的是（）

A

A

ODB

A.PC=PDB.OC=OD

C.OP垂直平分CDD.OE=CD

4.如圖，AO是VA8C的角平分線，DEJ.AB,DFJ.AC,垂足分別為￡,F,連接所.瓦'與4。相交

于點(diǎn)G.則下列結(jié)論：①DE=DF；②AE="：③A。垂直平?分￡尸；④石尸垂直平分A。，正確的是（）

A

EG

B

D

A.①@B.①@C.①②③D.①②③④

二、填空題

5.如圖，已知AC=5cm,AO=9cm,座是線段。。的垂直平分線，則VA3C的周長(zhǎng)是cm.

6.如圖，在VABC中，A8邊的垂直平分線QE分別與4?邊和人。邊交于點(diǎn)。和點(diǎn)E,AC邊的垂直平分

線外分別與BC邊和4c邊交于點(diǎn)尸和點(diǎn)G,若-8EG的周長(zhǎng)為9,且GE=1,則AC的長(zhǎng)為.

7.如圖，在VA3C中，AB=2,AC=4,痔垂直平分線段3C,P是直線Eb上的任意一點(diǎn)，則周

長(zhǎng)的最小值是一.

8.如圖，在四邊形AKCO中，AD〃8C,點(diǎn)七在上且剛好落在A8垂直平分線上，點(diǎn)尸是C。中點(diǎn),

EFLAF,已知AO=4,BE=7,則CE=.

三、解答題

9.如圖，在VA4C中，ADJ.BC,"垂直平分AC,交AC于點(diǎn)/，交BC于點(diǎn)、E,口BD=DE.

(1)求證：AB=EC；

(2)若丫人4。的周長(zhǎng)為21a11,AC=8cm,求。。的長(zhǎng).

10.如圖，直角三角形A4C中，ZACT=9O°,AC=3,BC=4,AB=5,用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成下

列作圖.

(1)作邊AB的中點(diǎn)。；

(2)作ZABC的平分線BE，交4c邊于點(diǎn)E；

⑶作點(diǎn)C關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)尸；

(4)直接寫(xiě)出。/的長(zhǎng)為.

11.已知：如圖，MV是VABC的邊AC的垂直平分線，MN與AB,4C分別相交于點(diǎn)/),E,連接C。.

(1)若C￡>=3,則AO的長(zhǎng)為」

(2)若人3=5,80=2,求CO的長(zhǎng)；

⑶若瓦)C的周長(zhǎng)為10,BC=4,求A8的長(zhǎng).

12.如圖，點(diǎn)。為VA8C外一動(dòng)點(diǎn)，連接8。并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,連接C。交AB于點(diǎn)尸.過(guò)點(diǎn)A作8c的垂線于

點(diǎn)。，(JB=OC,已知=過(guò)A作AM_L8E于點(diǎn)M,AN工CD于熊N

⑴求證：△ABMMAACN

（2）證明：A。為/￡DC的平分線.

⑶若比）=2,DN=3,則8=_.（直接寫(xiě)出答案）

13.如圖，V/WC是等邊三角形，8。是中線，延長(zhǎng)3c至E,使CE=CQ.

（2）過(guò)點(diǎn)A作A/〃8C,交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AB于M,連接8A

①若EM=12,則.

②求證：A3垂直平分。尸.

14.【問(wèn)題提出】

數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在VA8C中，A8=8,AC=6,。是8C的中

點(diǎn)，求8C邊上的中線八。的取值范圍.

■

E

圖1圖2

【問(wèn)題探究】

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)A。到E,使OE=A￡）,請(qǐng)補(bǔ)充完整證明

“VA￡）0V￡D4”的推理過(guò)程.

（1）試說(shuō)明：VADC^VEDB.

解：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)E,使OE=AD，

???。是3C的中點(diǎn)（已知），

:.CD=BD（中點(diǎn)定義），

在/MOC和△ED8中，

AD=ED

VZADC=NEDB（）,

CD=BD

：,NADC^/EDB（）.

（2）探究得出AO的取值范圍是:

【問(wèn)題解決】

（3）如圖2,VA8C中，?B90?,A8=3,AO是VABC的中線，CE工BC,CE=6,且ZADE=90。，

求AE的長(zhǎng).

15.八年級(jí)上學(xué)期我們學(xué)習(xí)了角平分線性質(zhì)及其判定定理，課本P106的例1同時(shí)運(yùn)用了角平分線性質(zhì)及其

判定定理完成了該幾何問(wèn)題的證明.

例I.己知：如圖，AO、BO分別是—A、NB的平分線，ODtBC,OE1AB,垂足分別為點(diǎn)。、E.

求證：點(diǎn)。在-C的平分線上.

證明：過(guò)點(diǎn)。作_LAC,垂足為點(diǎn)尸.

vAO.80分別是2A、的平分線（已知）.

OEYAB,OD±BC（己知），

OF±AC（所作），

.??O￡=OQ,OE=OF（①）.（A.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.B.角平分線上

的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.C.到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.D.在

一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.）

-OD-OF（等量代換）.

???點(diǎn)。在NC的平分線上（②）.（A.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.B.角平分

線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.C.到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線

上.Q.在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.）

【研究原圖形】

（1）請(qǐng)?jiān)贏、B、C、。中選擇一個(gè)填入①和②；

（2）在例1的圖中，分別連接OE、EF、尸/）.小婷發(fā)現(xiàn)“F和的內(nèi)角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，

若/HAC'=",則/">〃'=。.（用含加的代數(shù)式表示）

【解決新問(wèn)題】為了方便研究，小婷同學(xué)把滿足例1條件的DM叫做VA8C的“內(nèi)三角形”，點(diǎn)。叫做“共

心”.

（3）已知/底尸是VABC的“內(nèi)三角形”，點(diǎn)。是“共心”，點(diǎn)。、E、尸分別在邊BC、AB.AC上，且

OE//BC.先畫(huà)出符合條件的示意圖，再過(guò)點(diǎn)石作EG_LO產(chǎn)于點(diǎn)G,求證：點(diǎn)G在直線AO上.

專題01線段的垂直平分線

目錄

A題型建模?專項(xiàng)突破

題型一、利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解...........................................................1

題型二、線段垂直平分線的判定定理...............................................................2

題型三、作垂直平分線(尺規(guī)作圖)...............................................................3

題型四、線段的垂直平分線與角平分線的綜合問(wèn)題..................................................4

B綜合攻堅(jiān)?能力躍升

題型建模?專項(xiàng)突破

題型一、利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解

1.加圖，在VA8C中，4C邊的垂直平分線OE,分別交8C,AC于點(diǎn)D,E兩點(diǎn),連接AO,/BAD=25。,

NC=35。，則N8的度數(shù)是。.

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角利定理，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出

ZE4D=ZC=35°,再根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出NBAC=N84)+NE4O=60。，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理即可得出N8的度數(shù).

【詳解】解：回。石是AC的垂直平分線，

^AD=DC,

(21ZEW=ZC=35°,

0ZBAC=ZBAD+ZE4D=6O°,

團(tuán)以=180°-N4AC-NC=85。，

故答案為：85.

2.如圖，在VA8C中，OE是BC的垂直平分線，若AB=5,AC=8,則△48。的周長(zhǎng)是.

【答案】13

【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得8。=",進(jìn)而可得。八加=AB+AC,

即可求解.

【詳解】解：回。￡是BC的垂直平分線,

0?J9=DC,

AI）D=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=5+S=\3t

故答案為：13.

3.如圖，在等腰VABC中，A8=27,48的垂直平分線交A8于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)、E,若8CE的周長(zhǎng)為50,

則底邊8C的長(zhǎng)為_(kāi)___.

BC

【答案】23

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)知，B（五的周長(zhǎng)

=BC+8￡+EC=BC+AE+EC=BC+AB,解方程得解.

【詳解】解：13OE垂直平分A8,

團(tuán)￡4=E8.

又，BCE的周長(zhǎng)=I3C+BE+EC=4C+AE+EC=BC+AC=I3C+AB,

即BC+27=5O,

0BC=23.

故答案為：23.

4.如圖，在V4BC中，A8的垂直平分線0M交KC于點(diǎn)。，邊AC的垂直平分線硒交于點(diǎn)E.已知

VHOE的周長(zhǎng)為8cm,則8C的長(zhǎng)為_(kāi)_____________；

【答案】8cm

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì).利用線段垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線

段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等"可得AD=BD,AE=CE,然后利用VA。匹的周長(zhǎng)為8cm和等量代換可得BC=8cm,

即可解答.

【詳解】解：（3AB的垂直平分線DM交8C于點(diǎn)。，邊AC的垂直平分線EN交于點(diǎn)E.

^AD=BD,AE=CE,

團(tuán)VAOE的周長(zhǎng)為8cm,

/.AD+DE+AE=8cin,

BD+DE+EC=Scm,

/.BC=8cm,

圖8c的長(zhǎng)為8cm：

故選:8cm.

題型二、線段垂直平分線的判定定理

5.如圖，在V48C中，ZBAC>9(T,4B的垂直平分線分別交AB,BC于點(diǎn)、E,F,AC的垂直平分線分別

交AC,BC于點(diǎn)M,N,直線后廣，MN交干點(diǎn)、P.

⑴求證：點(diǎn)。在線段4c的垂直平分線上;

(2)已知NEAN=56。，求/"W的度數(shù).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)62°

【分析】此題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和，熟練掌握各個(gè)知

識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(I)連接依、PC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和判定即可；

(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解.

【詳解】(1)證明：連接心、PC,

PM垂直平分AC,

:.PA=PB,PA=PC,

;.PB=PC

???點(diǎn)P在線段3C的垂直平分線上；

(2)解：PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,

:.FA=FB，NA=NC,ZAEP=ZAMP=90°,

ZABC=NBAF,ZACB=ZCAN,

在VABC中，ZABC+ZACB+ZCAB=180°,ZEW=56°,

ZABC+4BAF+/FAN+ZACB+/CAN=180°,

即，2ABAF+2ZCAN+ZFAN=180°,

NBAF+/CAN=62。

ABAC=ZBAF+/CAN+ZMAr=118°

在四邊形AEPM中，ZAEP+ZAMP+ZBAC+ZFPN=360°,

ZFPA(=360o-90o-90o-lI8°=62°

6.如圖，四邊形A8CO的對(duì)角線AC與80相交于點(diǎn)O，AB=AD，CB=CD.

求證：

(1)AABC^Z\ADC；

(2)AC垂直平分80.

【答案】(I)見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定，垂直平分線的判定，掌握相關(guān)圖形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵;

(1)根據(jù)SSS直接i止明△ABC9AADC；

(2)根據(jù)A8=AO,CB=CD,即可得證AC垂直平分8。.

【詳解】(1)證明：在V/WC與ZkADC中，

AB=AD

CB=CD

AC=AC

0.A?C^,z4/)C(SSS);

(2)^\AB=AD,CB=CD,

0點(diǎn)A、點(diǎn)。在8。的垂直平分線上，

團(tuán)AC垂直平分80.

7.如圖，已知AA比1中，AB=AC,點(diǎn)、D,E分別為A8,AC上的點(diǎn)，BE=CD.

E,D

F

BC

(i)aABO與/VICE全等嗎？為什么？

(2)連接4F,DE,求證：4歹垂直平分OE.

【答案】(D/sAB-△48,見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)八B=AC,BE=CD可得AE=AD,利用SAS,進(jìn)而證明△AA/運(yùn)ZsACE；

(2)由AE=AD則A在OE的中垂線上，再證明即可得￡F=。/，故。在OE的中垂線上,

則AF垂直平分OE.

本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理、中垂線的判定定理，理解題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：ZXAB。與△ACE全等；

理由：AB=AC,BE=CD,

:.AB-BE=AC-CD^AE=AD,

在△ABD與/MCE中，

AB=AC

NA=NA,

AE=AD

.1.△ABD^AACE(SAS)；

(2)解：如圖：連接OE,AF

二.A在。石的中垂線h,

ABD^ACE,

ZABD=ZACE,

在VCDF與ABEF中,

ZABD=ZACE

NBFE=ZCFD,

BD=CD

CDFABEF（AAS）,

：.EF=DF,

尸在DE的中垂線上，

.?.川垂直平分。E.

8.如圖，A。是.A8C的角平分線.?！闝F分別是△A3。和ACZ）的高.

⑴試說(shuō)明4）垂直平分E/；

（2）若八8=8,47=6,5,昕=28,求。&的長(zhǎng).

【答案】（1）詳見(jiàn)解析

（2）乙

【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的判定等知識(shí)，證明

Rl..AE*Rl、"P（HL）是解題的關(guān)鍵.

（1）利用角平分線的性質(zhì)證明。￡=OF,證明RtAED^RtAFD（HL）,則4七=4八即可證明結(jié)論;

（2）根據(jù)Lc=28列式計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：回A。是△ABCA43C的角平分線，DE.OF分別是△/WO和,.AC力的高.

田DE=DF,

在RtAAEQ與RtAAFD中，

AD=AD

DE=DF'

0Rl.A￡Z）==RiAFD（HL）,

^AE=AF,

團(tuán)QE=OF,

團(tuán)4。垂直平分七/；

（2）解:圖DE=DF,

^SABD+SACD=-ABED+-ACDF=-DE（AB+AC）=2St

0/\S+/\C=)4,

0DE=4.

題型三、作垂直平分線(尺規(guī)作圖)

9.如圖所示，七年級(jí)和八年級(jí)有兩個(gè)班的學(xué)生在M、N處參加植樹(shù)活動(dòng)，要在道路八樂(lè)AC的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)

一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)P,使尸到48、AC兩條道路的距禽相等，而且要使PM=PN,請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法找

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查尺規(guī)作圖一作角平分線，作垂線：因?yàn)槭?到AB、AC兩條道路的距離相等，所以點(diǎn)P

應(yīng)在N84C的平分線上：而且要使尸M=PN,所以點(diǎn)P還應(yīng)在MN的中垂線上，即N84C的平分線和MN

的中垂線的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P.

【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)「即為所求.

10.要求用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.

己知：如圖，NMON和4,B兩點(diǎn).

⑴作NMON的平分線OP；

(2)求作一點(diǎn)。，使。點(diǎn)在ON上，且。=。8.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.

(I)根據(jù)角平分線的作法作NM0N的平分線OP即可；

（2）作A8的垂直平分線交QN于。點(diǎn)，即可得QA=Q4.

【詳解】（I）解：如圖，點(diǎn)P即為所求；

（2）解：如圖，點(diǎn)。即為所求.

⑴作AC的垂直平分線。后，DE交AC于E,交BC于點(diǎn)D,連接AZ）（保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法）;

（2）若AE=3,△A3。的周長(zhǎng)為15,求VA8C的周長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵21

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì).

（1）根據(jù)尺規(guī)作圖一垂直平分線的作法和步驟，即可作出OE；

（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出公4=DC,則V48c的周長(zhǎng)A8-8C+AC=AB+8O+AD+AC=15+2AE.

【詳解】（1）解：如圖OE為所求；

（2）解：連接AO.

???點(diǎn)。在AC的垂直平分線上，

:.DA=DC,AC=2AE,

?.ABC周長(zhǎng)=A8+8C+AC=A5+8D+AO+AC

=15+2AE=15+6=21.

12.如圖，A。是VAAC的角平分線.

A

⑴尺規(guī)作圖：作線段AO的垂直平分線所，分別交AB、AC于點(diǎn)、E、F：（標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫(xiě)

作法.）

（2）連接。石、DF,求證：DE=DF.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作線段垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；

（1）根據(jù)尺規(guī)作線段垂直平分線的方法作圖即可；

（2）連接￡陀、OF,AD與EF交于點(diǎn)O,證明△AOEgAAO/，可得A￡="，根據(jù)線段垂直.平分線的性

質(zhì)可得AE=DE,AF=DF,等量代換可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）證明：如圖，連接班、。尸，AD與EF交卜點(diǎn)、O,

回4D平分484C,

團(tuán)NR4O=NC4。，

團(tuán)砂垂直平分線段4。，

^ZAOE=ZAOF=9Q0

/AOE=NA。尸=90。

回在IXhOE和,.AOF中(AO=AO

^EAO=^FAO

團(tuán)AAO比ZMO"(ASA),

^AE=AF,

團(tuán)E尸垂直平分線段AD，

電AE=DE,AF=DF,

^DE=DF.

題型四、線段的垂直平分線與角平分線的綜合問(wèn)題

13.如圖，VABC中，/ABC的角平分線3。和AC邊的中垂線交于點(diǎn)。，QM_L84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

DN1BC于點(diǎn)、N.若,8c=8,AB=3,則40的長(zhǎng)為？

【分析】連接AO、CD,由AAS可證一一SON,則可得6M=4N、DM=DN,由HL可證

RtDA^4^RtDNC,則可得AM=NC,設(shè)貝U8M=8N=3+x,NC=5-x,由此得x=5-x,

求出x的值即可得解.

【詳解】解：如圖，連接A。、CD

團(tuán)8D是/ABC的角平分線，且DWJL8A、DN工BC,

;.ZABD=NCBD,ZDMB=ZDNB=90°,

乂BD=BD,

,BDMgBDN(AAS),

；.BM=BN,DM=DN,

團(tuán)QE垂直平分AC,

DA=DC,

Rt_OM4&RtQNC(HL),

;.AM=NC,

AB=3,BC=8,

設(shè)AM=x,則BM=BN=3+x,NC=BC-BN=8-(3+x)=5-x,

.\x=5-x,

解得x=2.5,

\AM=2.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些

性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

14.如圖，VABC中，/BAC的平分線A。與邊的垂直平分線OE交于點(diǎn)。，DHA.AC,垂

足為點(diǎn)G,H.

⑴求證：BG=CH；

(2)若AB=10,4c=8,求8G的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)1

【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和判定，熟練掌握

各定理是解題的關(guān)鍵：

(I)根據(jù)題意連接BD、CD,利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得加=,依據(jù)角平分線的性質(zhì)得DG=DH,

依據(jù)HL證明RlBDG烏RtCDH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；

(2)由題意可得Rt.ADG0Rt.4O"(HL),得出AG=A〃，進(jìn)而得出答案.

【詳解】(1)證明：連接BRCO.

團(tuán)。是3c垂直平分線上的點(diǎn)，

團(tuán)班)=8,

團(tuán)AD平分/MC,DG_LA8DH1AC,

EDG=DH,NBGD=NH=90。,

在RSBDG和RtZ\C￡)〃中

BD=CD

DG=DH

ERt8ZX汪RtCO"(HL)

田BG=CH；

(2)在Rt4X7和RtADH中

AD=AD

DG=DH

回RtADG^RtADH(HL)

^AG-AH,

mAG+AH=AB-BG+AC+CH=AB+AC=\8,

團(tuán)AG=9,

團(tuán)BG=A8-AG=10-9=l.

15.如圖，VABC的外角NDAC的平分線交BC邊的垂直平分線于〃點(diǎn)，PDJLAB于。，莊_LAC于E.

⑴求證：BD=CE；

(2)芳AB=6cm,AC=1Ocm,求AD的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)2cm

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)：

(1)連接5尸、CP,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得5P=CP,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)

到角的兩邊距離相等可得力P=EP,然后利用“HL”證明Rt.BDP和RL.CEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊

相等證明即可；

(2)利用"HL〃證明RL.ADP和R【Z\AEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得4。=4￡,再根據(jù)AB、AC

的長(zhǎng)度表示出A。、CE,然后解方程即可.

【詳解】(1)證明：連接BP、CP,

A?是上7MC的平分線,

\DP=EP,

在Rt80P和RtCEP中,

BP=CP

DP=EP'

CEP(HL),

BD=CE；

(2)解：在Rl140P和RtZWEP中,

AP=AP

DP=EP'

.?.Rt,AE修RtaAEP(HL),

:.AD=AE^

AB=6cm,AC=10cm,

\6+AD=10-AE,

即6十AD-10-AD,

解得AD=2cm.

B綜合攻堅(jiān)?能力躍升

一、單選題

1.如圖，在VA3C中，ZA=90°,EO垂直平分8C,CE平分2473,CE=7,EO=3,則AB的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，得到

AE=DE,BE=CE,再根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：???NA=90。，EO垂直平分BC,CE平分NACB,

DE±BC,BE=CE=1,

，AE=DE=3,

：.AR=AF+RF=]()-,

故選c.

2.如圖，在VA8C中，ZC=90°,AC>BC.用直尺和圓規(guī)在邊AC上確定一點(diǎn)P,使點(diǎn)尸到點(diǎn)A,點(diǎn)B

的距離相等，則符合要求的作圖痕跡是（）

【答案】A

【分析［本題考查了作圖——復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握線段中垂線的性質(zhì)和尺規(guī)作圖，點(diǎn)尸到點(diǎn)A,點(diǎn)

8的距離相等，可.知點(diǎn)。在線段的垂直平分線上，據(jù)此uJ■得答案.

【詳解】解：???點(diǎn)尸到點(diǎn)A,點(diǎn)8的距離相等，

二點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，

故選：A.

3.如圖，點(diǎn)P是2404的角平分線上一點(diǎn)，巾_1_。4于點(diǎn)。，PD工OB于點(diǎn)D,連接。。交0P于點(diǎn)E.下

列結(jié)論不一定正確的是（）

A.PC=PDB.OC=OD

C.。尸垂直平分COD.OE=CD

【答案】。

【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)角平分線的

性質(zhì)定理可判斷人證明RtC但RtT）OP（HL）,可判斷B,根據(jù)線段垂直平分線的判定定理，可判斷C,

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可判斷江

【詳解】解：丁點(diǎn)P是N4O8的角平分線上?點(diǎn)，PCJ_OA于心C,PD工OB于點(diǎn)、D，

:.PC=PD,故選項(xiàng)A成立.,不符合題意；

?：OP=OP,PC=PD,

ARt.COP^RtOQP(HL),

：.OC=OD,故選項(xiàng)4成立，不符合題意;

?:PC=PD,OC=OD,

???PO垂直平分CO,故選項(xiàng)C成立，不符合題意;

VPOJ.CD,即NOED=90°,

：?OE〈CD,故選項(xiàng)。不成立，符合題意;

故選：D.

4.如圖，4。是VA8C的角平分線，DE上AB,。尸工AC,垂足分別為E,F,連接所與4。相交

于點(diǎn)G.則下列結(jié)論：①DE=DF；②花="\③AO垂直平分￡E：④族垂直平分A。，正確的是（）

C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，可利用AAS證明VADE^V的

得到。石=力凡AE=AF,據(jù)此可判斷①②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明律垂直平分4。，據(jù)此可判斷④.

【詳解】解：〈A。是VA8C的隹平分線,

ADAE=ZDAF,

’:DE上AB,DFJ.AC,

/.ZDE4=ZDE4=90°,

又：AD=AD,

???AADE^AADF(AAS),

:.DE=DF,AE=AF,故①?正確:

???AD垂直平分所，故③正確;

根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明所垂直平分AD，故④錯(cuò)誤;

故選:C.

二、填空題

5.如圖，已知AC=5cm,AO=9cm,/這是線段CO的垂直平分線，則VA8C的周長(zhǎng)是cm

【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題關(guān)鍵.根據(jù)盛

是線段C'。的垂直平分線得出BC=BD,將VA3C周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AC+A力即口J.

【詳解】解：???BE是線段CD的垂直平分線，

JBC=BD

???VA8C的周長(zhǎng)為：

AC+AB+BC=AC+AB+BD=AC+AD=5+9=[4(cn^.

故答案為：14.

6.如圖，在VA4c中，A3邊的垂直平分線OE分別與A8邊和AC邊交于點(diǎn)。和點(diǎn)￡3c邊的垂直平分

線FG分別與BC邊和AC邊交于點(diǎn)尸和點(diǎn)G,若-BEG的周長(zhǎng)為9,且Gf=l,則AC的長(zhǎng)為.

【答案】7

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相

等.根據(jù)線段的垂史平分線的性質(zhì)得到=BG=CG，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：是A8的垂直平分線，

/.AE=BE，

同理可得：BG=CG,

??,工BEG的周長(zhǎng)為9,

7.BG+BE+GE=9,

GE=\,

.?.BG+8￡=8,

:.AC=AE+CG-GE=BE+BG-GE=S-\=1,

故答案為：7.

7.如圖，在VABC中，AB=2,AC=4,EF垂直平分線段BC,P是直線所上的任意一點(diǎn)，則A4P周

長(zhǎng)的最小值是一.

【答案】6

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到HP=b，則可得到AAHP

周長(zhǎng)=AP+CP+2,當(dāng)4、尸、C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+CP有最小值，最小值為4c的長(zhǎng)，即為4,據(jù)此可得答

案.

【詳解】解；如圖所示，連接。尸，

/垂直平分線段BC,P是直線石尸上的任意一點(diǎn)，

JBP=CP,

*/AB=2,

/.AM周氏=AB+4P+8P=AP+C?+2,

VAP+CP>AC,

???當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+CP有最小值，最小值為AC的長(zhǎng)，即為4,

:.A4P周長(zhǎng)的最小值為4+2=6,

故答案為：6.

8.如圖，在四邊形A8CO中，AD〃8C,點(diǎn)七在BC上且剛好落在A8垂直平分線上，點(diǎn)尸是C。中點(diǎn),

EF1AF,已知AO=4,BE=7,則CE=.

【答案】3

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).

通過(guò)延長(zhǎng)4廠構(gòu)造全等三角形，利用平行線性質(zhì)和中點(diǎn)條件證.4。尸g,.Gb,轉(zhuǎn)化線段AO為CG,結(jié)合

EFLAF及AF=FG,得反垂直平分AG,推出AE=GE,最后計(jì)算CE.

【詳解】解：連接AE,并延長(zhǎng)AF交BC延長(zhǎng)線于G,

因?yàn)?O〃8C,

所以NDA/二NG,

又F是CD中點(diǎn)，

即OF=CE,

且NAFD=NGR7,

??._AOF2GC「（AAS）

則AD=CG=4,

點(diǎn)E在A8垂直平分線上，

故AE=BE=7,

由EF1AF，/是AG中點(diǎn),

得AE=GE=7,

所以CE=GE-CG=1-4=3.

故答案為：3.

三、解答題

9.如圖，在VA4c中，ADJ.BC,所垂直平分AC,交AC于點(diǎn)尸，交3。于點(diǎn)E,n.BD二DE.

（1）求證：AB=ECx

（2）若丫48。的周長(zhǎng)為21011,AC=8cm,求。。的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）DC=6.5cm

【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等可得AE=EC，AB=AE,即可證明;

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：連接AE.

A

所垂直平分AC，

BDEC

：.AE=EC,

ADIBC,BD=DE,

???AD垂直平分班:,

：.AB=A.E,

：.AB=EC:

(2).ABC的周長(zhǎng)為21cm,

/.AB+BC+AC=21cm,

AC=8cm,

.\AB+BC=l3cm，

AB=EC,BD=DE，

：.AB+I3D=EC+DE=^(AB+BC)=6.5cm,

/.DC=6.5cm.

10.如圖，直角三角形ABC中，乙46=90。，AC=3,AC=4,AB=5,用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成下

列作圖.

⑴作邊A8的中點(diǎn)。；

(2)作ZABC的平分線BE,交AC邊于點(diǎn)E；

(3)作點(diǎn)C關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)尸；

(4)直接寫(xiě)出。r的長(zhǎng)為.

【答案】(1)見(jiàn)解析：

Q)見(jiàn)解析；

⑶見(jiàn)解析；

⑷1.5.

【分析】(1)作線段A8的垂直平分線，垂足為。，點(diǎn)。即為所求;

(2)作射線的平分2A4C交AC「點(diǎn)E即可；

(3)以8為圓心，為半徑作瓠交于點(diǎn)片點(diǎn)尸即為所求；

(4)求出所，8D可得結(jié)論.

【詳解】(1)解.：如圖，點(diǎn)。即為所求;

(2)解：如圖，射線比即為所求；

(3)解：如圖，點(diǎn)廠即為所求；

(4)解：BF=BC=4,BD=DA=-AB=2.5,

2

.,DF=BF-BD=4-2.5=1.5.

故答案為：1.5.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖?軸對(duì)稱變奐，角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知

識(shí)解決問(wèn)題.

11.已知：如圖，MN是VA8C的邊AC的垂直平分線，MN與AB,4c分別相交于點(diǎn)。，E,連接C。.

(1)若CO=3,則A。的長(zhǎng)為二

(2)若AB=5,BD=2,求C/)的長(zhǎng)；

⑶若8DC的周長(zhǎng)為1(),3c=4,求AB的長(zhǎng).

【答案】(1)3

(2)3

(3)6

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解

答本題的關(guān)鍵.

(1)直接根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可；

(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)得AD=8,再求出A￡>=3即可求解；

(3)先根據(jù)回C的周長(zhǎng)為10求出80+8=6,由線段垂直平分線的性質(zhì)得AD=CD,進(jìn)而可求出A8的

長(zhǎng).

【詳解】(1)解：MN垂直平分4C,

AD=CD,

CD=3,

/.人0=8=3.

故答案為：3；

(2)解：MN垂直平分AC,

/.AD=CD,

AB=5,%)=2,

;.AD=AB-BD=5-2=3,

1.CD=AD=3.

(3)解：BDC的周長(zhǎng)為10,BC=4,

:.BD+CD=10-4=6,

MV垂直平分AC,

/.AD=CD.

AD-^BD-CD+BD-G.

12.如圖，點(diǎn)。為VABC外一動(dòng)點(diǎn)，連接8。并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,連接C。交A8于點(diǎn)尸.過(guò)點(diǎn)A作8C的垂線于

點(diǎn)。，OB=OC,已知乙血＞=46.過(guò)A作?于點(diǎn)M,AN_LC￡＞于點(diǎn)N

⑴求證：AA8W@ZMCN

（2）證明：4￡）為NKDC的平分線.

⑶若8。=2,DN=3,則CD=_.（直接寫(xiě)出答案）

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

0）8

【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判

定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（I）先證出40垂直平分8C,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得43=4C,再根據(jù)垂直的定義可得

/W8=NANC=90。，然后利用AAS定理即可得證；

（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AM=4N,再證出根據(jù)全等三角彩的性質(zhì)即可

得證；

（3）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得8M=CN,DM=DN,再根據(jù)線段和差、等量代換即可得解.

【詳解】(1)證明：vAO1BC,OB=OC,

:.A0垂直平分8C,

/.AB=ACf

VAMIBE,ANLCD,

JZAMB=ZANC=90°,

在4A8W和ZMOV中，

ZAMB=ZANC=900

?/ABM=ZACN,

AB=AC

???Z\A8M且△ACV(AAS).

(2)證明：由(1)已證：△ABM0AACV,

AM=AN,

在RtAAPM和RtAADN中，

AD=AD

AM=AN'

???RtzMDM^RtAADN(HL),

ZADM=ZADN,

:.A。為N"C的平分線.

(3)證明：V/^ABM^AACN,RtAAQM咨Rt/MZW,

:?BM=CN,DM=DN,

BM=DM+BD,

/.CN=DN+BD.

VBD=2,ON=3,

CD=CN+DN=2DN+BD=8.

故答案為：8.

13.如圖，VABC是等邊三角形，B。是中線，延長(zhǎng)至E,使CE=CO.

AA4pA

⑴求證：DB=DEx

(2)過(guò)點(diǎn)A作A尸〃8C,交石。延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，交AB于M,連接班二

①若￡M=12,則8￡>=.

②求證：48垂直平分。尺

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）①8；②見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/48C=NA8=60。，NDBC=30°,再根據(jù)角之間的關(guān)系求得

NDBC=/CED,根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到/）B=DE；

（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NA4C=60。，=^CUD=-AA13C=30°,求出

2

ZBM^=180°-ZABC-ZC￡D=90°,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)得出DW,得出

133

EM=ED+MD=BD+-BD=-BD,根據(jù)EM=I2,得出-3。=12,求出結(jié)果即可；

222

②根據(jù)平行線的性質(zhì)得出乙4戶O=NCEO,再利用ASA證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)證明VAOF

是等邊三角形，即可解答.

【詳解】（1）證明：?.?..ABC是等邊三角形，80是中線，

/.Z4?C=ZACT=60°,NDBC=30°,

又CE=CD.

:.ZCDE=ZCED,

又?./BCD=NCDE+Z.CED,

ZCDE=NCED=-/BCD=30°,

2

；.NDBC=/DEC,

DB=DE；

（2）解：①???VABC是等邊三角形，