2025年高三《第十一單元雙曲線與拋物線》測試卷

一、單選題

1.拋物線y=。%2經(jīng)過點M（2,l）,則M到焦點廣的距離為（）

A.917B.2C.3D.333

lo1O

2

2.若點（3,0）到雙曲線ad一方=13>0）的一條漸近線的距離為1,則。的虛軸長為（）

A-TbTc--d--

3.設(shè)拋物線的頂點為。，焦點為F,準線為，.0是拋物線上異于0的一點，過P作PQ_U「Q,見線段FQ的垂

直平分線（）

A,經(jīng)過點。B.經(jīng)過點0C.平行于直線。PD.垂直于直線0P

4.已知雙曲線r：x2-^=1的左焦點為F,點4B在r的右支上，且|AB|=6,則尸川+尸8|的最小值為（）

A.4B.6C.10D.14

5.過拋物線V=2px（p>0）焦點的.宜線/交拋物線于4B兩點，已知團8|=8,線段4B的垂直平分線交x軸

于點M（6,0）,則p=（）

A.2B.4C.6D.8

6.過雙曲線。:號一、2=i的中心作直線［與雙曲線。交于P、Q兩點，設(shè)雙曲線C的右焦點為凡已知4P/Q=§,

則八PPQ的面積為（）

A號B.1C.yf2D.73

7.過拋物線%2=2py（p>0）的焦點尸作斜率為g的直線，與拋物線分別交于A、B兩點（A在y的左側(cè)），則

的）

8.如圖，F(xiàn)i，4為雙曲線的左右焦點，過尸2的直線交雙曲線于B，。兩點，|0D|=3,E為線段OF1的中點，

若對于線段。&上的任意點P，都有可?麗之的?麗成立，且△8廣#2內(nèi)切圓的圓心在直線x=2上.則雙

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曲線的離心率是（）

AiB.<3C.2D.1

J4

二、多選題

9.已知拋物線的：y2=7nx與雙曲線C2：/一4=i有相同的焦點，點尸（2,y（））在拋物線的上，則下列結(jié)論

正確的有（）

A.雙曲線C2的離心率為2B.雙曲線C2的漸近線為y=±：x

?J

C.m=8D.點P到拋物線G的焦點的距離為4

10.已知雙曲線C:［一<=1的左、右焦點分別為匕，F(xiàn)2,直線l:y=依交。于48兩點，則（）

A.|k|V苧B.IHFJ-1^1^2/3

C.麗?麗的最小值為-3D.吃到1的距離的最大值為C

11.已知。為拋物線（?:）/2=2口%8>0）的頂點，直線I交拋物線于M,N兩點，過點M,N分別向準線3=-探

作垂線，垂足分別為P，Q,則下列說法正確的是（）

A.若直線，過焦點心則N,0,P三點不共線

B.若直線1過焦點F,MPF1QF

C.若直線I過焦點凡則拋物線C在M,N處的兩條切線的交點在某定直線上

D.若。Ml0N,則直線I恒過點（2p,0）

12.已知拋物線y2=4%,過其焦點F的直線與拋物線交于4（%i，yD，8（0/2）兩點，4在第一象限，拋物線的

準線與％軸交于點P,則（）

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A.xtx2=1B.\AB\=6|.4F|=2\BF\

C.以48為直徑的圓與準線相切D.卷+卷=0

13.已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為四直線，過點F與拋物線交于4B兩點，M為拋物線上的動點，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.若，垂直x軸，且|48|=4,則拋物線方程為y2=4x

B.若|MF|的最小值為2,貝加=2

C.過點（-表0）作拋物線的兩條切線，兩條切線互相垂直

D.以工8為直徑的圓與拋物線的準線相切

14.已知雙曲線。：9-、2=1的左、右焦點分別為F],尸2,過坐標原點。的直線1與雙曲線。的左、右兩支分

別交于4B兩點，P為C的右支上一點（異于點8）,△2％心的內(nèi)切圓圓心為N.則以下結(jié)論正確的是（）

A.百線尸力與PB的斜率方積為4

B.若|P%|,|PF2l=4,則

C.以P%為直徑的圓與圓42+y2=4相切

D.若耐?麗=0,則點N坐標為（2,再一店）

15.已知拋物線C產(chǎn)=2>以0>0）與圓。：，+產(chǎn)=5交于4，8兩點，且依8|=4,直線]過。的焦點凡且

與C交于M,N兩點，則下列說法中正確的是（）

A.若直線I的斜率為學,則|MN|=8

B.\MF\+2|NF|的最小值為3+2\[2

C.若以MF為直徑的圓與y軸的公共點為（0,苧），則點M的橫坐標為|

D.若點G（2,2）,則aG/M周長的最小值為4+/9

三、填空題

16.已知雙曲線E:*\=1（。>0,6>0）的左,右焦點分別為尸],尸2，離心率為2,過點Fi的直線I交E的左

支于48兩點.|。用=|叫|（0為坐標原點），記點0到直線l的距離為d,則!=.

17.已知點M（2,4）不在拋物線C:y2=2Px（p>0）±,拋物線C的焦點為立若對于拋物線上的一點P,|PM|+

|PF|的最小值為5,則p的值等于.

18.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為凡準線為L過廣且傾斜角為銳角的直線與C交于A,B兩點，過4

B作1的垂線，垂足分別為4,ZT.若四邊形A4&8的周長等于浙B|,則直線48的斜率為.

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(2)已知時2的包絡(luò)曲線為心：，=4y,直線5，26M2.設(shè)小G與。2的公共點分別為P，Q，記)n12=4，

C2的焦點為巴

①i正明：凡4是FP,FQ的等比中項；

霹點A在圓好+(y+1)2=1上，求黑的最大值.

25.過點R(4,0)的直線I與雙曲線若一3=1(匕>0)的右支交于4B兩點，當ABI.%軸時，\AB\=6.

(1)求「的漸近線方程；

(2)記廠的左頂點為C,求心c+岫。的取值范圍；

(3)若分別以點4、B為圓心的兩圓有公共點R(R在工軸上)，它們與“軸的另一交點分別記作點P、Q,記。為坐

標原點，當麗?麗工20時，求|48|的取值范闈.

26.雙曲線/。一蕓=l(a>0,b>0)的一個頂點在直線Z:y=x+1上，且其離心率為

(1)求雙曲線E的標準方程；

(2)若一條直線與雙曲線恰有一個公共點，且該直線與雙曲線的漸近線不平行，則定義該直線為雙曲線的切

線，定義該公共點為切線的切點.已知點7在直線1上，且過點7恰好可作雙曲線E的兩條切線，設(shè)這兩條切線

的切點分別為P和M.

⑴設(shè)點T的橫坐標為3求C的取值范圍；

(ii)設(shè)直線TP和直線TM分別與直線％=-1交于點Q和點N,證明：直線PN和直線MQ的交點在定直線上.

(附：雙曲線A^=i以點(m,〃)為切點的切線方程為e%-黃y=1)

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】???拋物線y=ox2經(jīng)過點M（2,1）,

19

???1=4a,AQ=彳，???%=4y,???p=2,

則M到焦點F的距離為1+,=2.

故選B.

2.【答案】B

【解析】由題可知C的一條漸近線方程為y=bx,

點（3,0）到該漸近線的距離為1,

解得b=苧，

故C的虛軸長為2b=苧.

故選3.

3.【答案】B

【解析】根據(jù)拋物線的定義可得|PF|=|PQ|,故線段FQ的垂直平分線必過點P.

故選B.

4.【答案】C

【解析】由題意得a=l,b=Gc=2,設(shè)雙曲線的右焦點為F',

則|F川-\AF'\=2Q=2,\FB\-\BF'\=2Q=2,

\FA\+\FB\=\AF'\+\BF'\+4>\AB\+4=10,

當且僅當過9時，等號成立.

故選：C.

5.【答案】B

【解析】

依題意得直線4B斜率存在，記力8中點為N,

設(shè)4無1，月），磯孫丫2），N（x。，凡），

2

則為2=2pxlty2=2P小，

兩式相減得力2-y2z=2p（X[-x2）,

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.-yz-y\-2_yp-o__yo

KkabP-PKMN

..-x2-xx-y,+y2~y。'~~P'

:，6-x0=p,

又|AB|=xt+x2+p=2(x0+1)=8,

解得p=4.

故選B.

6.【答案】D

【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為r'，連接P"、QF',由雙曲線的對稱性可知四邊形PF'Q"為平行四邊形,

由zPFQ=^,則"RF=號

不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，設(shè)儼F1|PF|二九，又=2c=2/3

由雙曲線的定義可得|PF'|-|P/|=m-n=2a=2/2,

在△中由余弦定理可得，+HF|2-2|"].|PF|COS?,

2

即12=TH2+九2-mn_0九-")2+mn-(2V2)+mn,解得=4,

所以&PFQ=S&PFF'=||PF'|?|PF|sin^=1x4x^=V3.

【解析】解法一：設(shè)直線的方程為：、=品+合做孫力），8（%力），

1D

由y=/+當可得無=2y_p,

代入d=2py,

可得4y2—6py+p2=0,

4

H而"一組f_與2+芻,3-.

從川西_海_叵咨.—

2

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解法二：拋物線"2=2py（p>0）的焦點/為（0,分，

2,

1X=

設(shè)過尸點斜率為;的直線的參數(shù)方程為《f1,

IT+/

與拋物線方程聯(lián)立可得侑七）2=2pg+^t）,

2

化簡可得4t—2y/~5pt—5P2=0?

石7?俎*_5+/5/5—5

解得J=---p,t2=-—p?

由參數(shù)t的幾何意義以及4在y的左側(cè)可得需｝=含=需=三

故選A.

8.【答案】D

【解析】設(shè)雙曲線的焦距為2c,實軸長為2a,.且Q>0,c>0,

取FiB的中點M,連接EM,PM.

如圖所示：

有麻7?麗=；[（PF\+而）2-（PF\~麗）2]=PM2-^BF\.

同理得，西?麗=麗2_]西2,

西?麗2西?麗成立得，麗2-;西2》兩2一;西2,得|MP|N|ME|.

而點尸為線段。?1上的任意一點，故ME1DF1，

又因為為△DBF1的中位線，則ME〃。心故O4_LDF],

又0為F/2的中點，且|。。|二3,

所以在中，F(xiàn)i&l=2|。。|=6,得2c=6,即c=3,

如下圖設(shè)48片尸2內(nèi)切圓與其三邊的切點為G、H、K,

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由切線長定理可知|BG|=|BH|,|F]G|=|/兇,\F2H\=\F2K\,

于是可得|-\BF2\=(|BG|+RG|)-(\BH\+|F2H|)

=|F1G|-|F2W|=|F1/C|-|F2K|,

又內(nèi)切圓圓心在直線％=2上，且%(-2,0),尸2(2,0),

則(2+C)-(C-2)=2Q,亦即Q=2,

故雙曲線的離心率是e=-=1.

aL

9.【答案】ACD

【解析】由題意得雙曲線C2的離心率為。=苧=2,故力正確；

雙曲線C2的漸近線為y=士，1%,故8錯誤；

因為G，Cz有相同焦點，所以與=2,即m=8,故C正確；

拋物線、2=8%的焦點為(2,0),點「(2,必)在加上，所以y0=±4,

P(2,4)或P(2,-4),

所以P到。1的焦點的距離為4,故。正確.

故選4CZ).

10.【答案】AC

【解析】雙曲線C：X=1的漸近線方程為y=±信，即y=土苧工,

直線/：y=kx過原點，

要使直線1與雙曲線C交于4、B兩點,

應(yīng)有一手vkv挈，即|攵|〈學,故/正確：

由對稱性可知點4B關(guān)于原點對稱,

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則四邊形ARB52為平行四邊形，舊QI=\AF2\,

則||力七|一|8&||=IMFJ-I^H=2a=2/6,故4錯誤;

設(shè)4（%0，%），則%。2=6+2y（）2,

由題可知尸1（-3,0）,&（3,0），

麗=（一3-x01-澗），而7=（3-x0）-y0）?

2

則福?宿=x?-9+yn2=3yft2-3>一3，當且僅當%=0時取等號,

即4F；?月尸2的最小值為一3,故C正確；

點/2到，的距離為4=/盤，

當A=0時，d=0；

當。<\k\<苧時

X0<k2<|,則。+表>3,

3

可得八</3

9

綜上可得owd<c，故。錯誤.

故選:AC.

11.【答案】BCD

【解析】依題意直線I的斜率不為0,設(shè)其方程為：x=ty+m,

M（Ki，yi）,/V（x2,y2）?則夕（右，一燈，。（不，一9.

X=ty+ni

2_，消去%，得：y2-2Pty-2pm=0,

!vy—乙7rp）xr

所以為+=2pt,yiy2=-2P7Tl.

2

若直線2過焦點F,則m=§,yiy2=-P>

對于4這時而=（一1yi）,ON=（x2,y2\

因為%2丫1+,2=萬必+92=一/?p2y2+%2=0，所以而與麗共線，從而N,0,P三點共線，A

錯誤：

2

對于8,這時而二（p,-yD，麗=（小一%），PF-QF=p+yiy2=0?所以而J?評，于是尸產(chǎn)_LQF,B正

確；

對干C,這時拋物線C在M,N處的兩條切線的方程分別為：y1y=p（%+*i）和、2力=P（x+M），即，iy=px+

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號和y2y=P%+當，所以它們的交點為：（一,空），它總在拋物線的準線上，所以C正確：

對于。，若。M10N，則/檢+為力二七月2y22+%丫2=（媼丫/2+1）丫1、2=0，

所以白力為+1=0，即焉x（-2pm）+1=0,m=2p,這時直線!的方程為工=ty+2p,可見這時直線E

恒過點（2p,0）,。正確.

故選BCD.

12.【答案】ACD

【解析】拋物線V=4%的焦點尸（1,0）,設(shè)過點尸的直線為工=ty+1,設(shè)力（巧,丫1）,8（無2，乃），

—tv]

y2=4x，可得y2-4ty-4=°，力+丫2=43%力=一4,

則勺皿=織笄=1，故/正確；

當|AB|=6時，百二不6t2+16=6,解得仔=今

由對稱性，不妨設(shè)￡=芽，則X[=2+x2=2-A/~3,

顯然|國-1|H2比-1|，故3錯誤;

陽+外=4+苧=3+%：-2月尢=宇二2+4巴

14444

2

則弦長|AB|=x1+x2+2=4t+4,

設(shè)48的中點為M,M到準線的距離為44+1=2+2￡2

所以以48為直徑的圓與準線相切，。正確：

4+/-=3±1+合±1=空也+處型=2亡+2已1垃）=22-2￡=0,故O正確，

kAPkpp力y2乃yi\力於）

選,4CD

13.【答案】ACD

【解析】若，垂直》軸，且|4B|=2p=4,p=2,則拋物線方程為y=4乜故力正確；

|MF|等于M到準線的距離，最小是值為*所以p=4,故4錯誤；

設(shè)切線方程為％=my代入y?=2Px得y2_2pmy+p2=0,△=4p2m2-4p2=0

得皿=±1,所以切線得斜率々=工=±1,所以，兩條切線互相垂直，故。正確；

n

以48為直徑的圓的圓心為48的中點，|48|等于48兩點到準線的距離之和，所以圓心到準線的距離4=

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[\AB\,故以48為直徑的圓與拋物線的準線相切，故力正確

故選：ACD.

14.【答案】BCD

【解析】設(shè)A(m,n),則B(-m,-ri),P(必,月)(打22),

則苧一九2=1,d_2l,兩式作差得

y=嚶i*，

故與4=；，

故ApA/二懸?奈牛=花3=；，"錯誤:

因為仍Q1一仍尸21=2。=4，

22

所以|P&|2+\PF2\=(|PF1|-|PF2|)+2|PF1|?IPF2I

=16+2x4=24,

又IF/2I=2c=2<5,

|PFI|2+|PF2|2|FIF2|21

所以COSZF1PF2=

2\PFX\\PF2\2

因為“1P尸2E(。，")，所以乙尸/尸2=去B正確;

設(shè)P片的中點為從則陽％|二J|P%|，\HO\=^\PF2\,

又如尸11一撲尸21=2,所以ISI—陽0|=2,即|HFJ=|H0|+2,

所以以PF]為直徑的圓與圓+y?=4內(nèi)切，C正確；

若南?際=0,MZF1PF2=p所以仍戶1|2+|0尸2|2=尸1尸2|2=20,

又|P片|一仍七|=2。=4,解得IPFJ=腌+2,\PF2\=/6-2,

故內(nèi)切圓半徑r=1(|PF1|+|PF2|-|F1F2|)=/6-/5,

設(shè)圓N與APFiQ三邊相切于M,Q,T,

則|“7|=|riM|,|F2T|=|F2Q|,\PM\=\PQ\,

設(shè)=貝=|"iM|=x,|"271=W2QI=2C-X,

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故|PM|=2+y[6-x=\PQ\=-2-(2c-x),

解得％=2+c,|0T|=2,

故"(2,遍一店)，故。正確.

故選BCD.

15.【答案】BC

【解析】由題意得點(1,2)在拋物線Cy2=2px±,

所以22=2p,解得p=2,所以C：產(chǎn)=4%,則尸(1,0),

設(shè)直線八x=my+1,與y2=?聯(lián)立得y2-4my-4=0,

設(shè)M(》i，yD，NO2,及)，所以丫1+乃=4m，yxy2=-4,

2

所以|MN|=V1+m-\yr-y2\=7\(力+尢/-4yly2:4(1+7*),

當m=時，|MN|=16,故力錯誤；

1(1_11

Wi+pvF|"x；TT+x74<

+%2+2

-%1%2+Xi++1

_皿力+及)+4_4m2+4_l

=陪+，2血2)+:就^='

則|MF|+2|NF|=(|MF|+2|NF|)?(意+意)=3+需+耦3+2。

當且僅當|同戶|=1+合，|NF|=1+苧時等號成立，故8正確；

過點M作準線的垂線，垂足為M’,交y軸于M】，

取M尸的中點為D,過點D作y軸的垂線，

垂足為Di，則MM"/。凡DDi是用形OFMMi的中位線，

由拋物線的定義可得|MMi|==\MF\-1,

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所以|叫|=Q"=1+啰-1二竽,所以以MF為直徑的圓與y軸相切，

所以(0,苧)為圓與y軸的切點，所以點。的縱坐標為半，

又。為M尸的中點，所以點M的縱坐標為，

又點M在拋物線上，所以點M的摘坐標為看故C正確；

過G作GH垂直于準線，垂足為H,

所以△GFM的周長為|MG|+\MF\+\GF\=\MG\+\MMl\+>/~5>\GH\+/5=3+<5,

當且僅當點M的坐標為(1,2)時取等號，故。錯誤.

故選：BC.

16.【答案】芋

【解析】令雙曲線E的半焦距為c,由離心率為2,得c=2a,

取打8的中點。，連接OD,由|OB|=|O%|,得OD1尸/，貝IJ|OD|=d,

連接由。為尸/的中點，

2^BF2//OD,\BF2\=2d,BF2LBFV\F{B\=2d-2a,

因此|8尸2產(chǎn)+|8%|2=尸］尸2產(chǎn)，即(2d)2+(2d-2a)2=(4a)2,整理得(《尸一&一弓=0,

cia/

而&>(),所以&=呼.

Qa2

【解析】由題意知拋物線c的焦點坐標?為e，o),準線方程為工=一壬

當點M(2,4)位于拋物線內(nèi)時，

如圖①，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為D,

則|PF|=|PD|,\PM\+\PF\=\PM\4-\PD\,

當點M,P,D三點共線時，\PM\+上網(wǎng)的值最小，

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由最小值為5,得2+%5,解得p=6：

當點M(2,4)位于拋物線外時，

如圖②，當M,P,r三點共線時，

伊切+仍產(chǎn)|的值最小為|“尸|,

由最小值為5,得J最+(2-獷=5,

得p=10或p=-2(舍負)，

當p=10時，y2=20x,點M(2,4)在拋物線內(nèi)，故舍去,

故答案為：6.

18.【答案】4

?J

【解析】設(shè)拋物線C：y2=2px的焦點為F&0),準線為

設(shè)過戶的直線斜率為k>0,則其方程為丫二攵卜一驛聯(lián)立方程：y2=2px,

代人得：/c2(x-=2px=>k2x2-p(k2+2)x+=0.

設(shè)兩根為Xi,x2,由韋達定理：%]+%2=P"j2),="'

兩點到準線的垂足A(T，yi),B'(-f,y2).

pF

+-+-

22陽8'1=\y2-yl\=k\x2-xl\^\AB\=V（x2-xl）2+（72-y1）2=lx2-

41+

fc2

所以（必+右+P）+k\x-%i|=，

2乙

由%-1=J（2+為2）2—4/上2=2，'b+1

代人得：嗎里2+嗎H=?.嶂亙

KKK

簡得：2（k2+1）+2Wk2+1=5（/c2+1）,

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因為〃>0,圓解得上=等.

故答案為苧.

19.【答案】y2=4x

【解析】設(shè)直線AC的方程為幻=x-§(kH0)

聯(lián)合拋物線y2=2px

消去y得好-(1+2k2)px+。=0

???xAxB=9......①

依據(jù)拋物線的特性和相似三角形，

\AF\=4+今\BF\=xB+

(孫?2);"1幽：1"1=2；3

???Xg=1......②

①②聯(lián)立求得芍1=

A\AF\=y+=2p=4,p=2,

???拋物線方程V=4x.

故答案為y2=4x.

20.【解析】(1)拋物線C：y=|(/-9)經(jīng)過雙曲線/)：/￡=l(a>0,b>0)的焦點,

可得焦點坐標(±3,0),

所以c=3,。的離心率為苧，

可得Q=V-7,

所以b=\[2,

所以雙曲線方程為：y-§=l：

=*-9)

(2)由3-j'

2

消去工化簡得：7y2-3y-4=0,解得y=l,或、=一去

所以該梯形的高：1+=

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c=6

(a2+b2=c2

(a=2/5,

解得(b=4,，

(c=6,

所以雙曲線E的離心率工=1V^.

a5

(2)由⑴知雙曲線E的方程為第一(=1.

直線。4的斜率A=一卷，

設(shè)平行于。｛的一組直線方程為y=-1x+t(t工0),

與雙曲線E交于點8(打,力)，C(x2ly2),線段BC的中點為M(&,為).

(y=-1x+tf

唯一j,，

\2016'

得記-5(一裊+￡)2=80,

即言好+5―/-80=0,

zl=16t2-4X警(一5戶一80)=80t2+1024>0,

所以無1+X2=-1t，

因為%o=1(%1+工2)=—江，yo=-|x0+￡=

所以%=-2x0?

即這些直線被E截得的線段的中點在同-條直線y=-2x±.

22?【解析】⑴由題意%1,得p=2,所以拋物線的標準方程為y2=4%；

(2)設(shè)4Qi，yD，8(#2，九)，則無=4看,yj=4x2,

兩式相減可得*一迸=4(/一％2)，所以半募=工片=3=2，

即“48=2,所以直線z的方程為y-1=2(%—?),即y=2%—4；

(3)顯然，切線斜率不為0,故設(shè)拋物線的切線方程為x-m=￡(y-l),

［；［x1)=y2=4(ty-￡+m),即y2-4ty+4￡-4m=0,

由d=0,可得￡2一￡+血=0=力1271,

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設(shè)QC的方程為工-m=G(y-1),

x-7n=^(y-1)_5“一ni

聯(lián)立，同理物=笠?

y=2x-402tj-l4

5ti—m5t—m

\CD\=^\X-X\=^\2

CD2ti—12^2—1

r-=II_/-F|2nt-5|Vl-4m

1(2^-1)(2(2-1)1-—

Q點到直線，的距離d-強旦,

所以S^QCD=41m?d=T,舞普，

令MW=(2〃L5)26(5-2m)(2m+l)

)一/TFH，"()一(1-

令人'(7九)=0,m=-I，

當mV-g時，/i'(ni)<0,h(m)單調(diào)遞減，當一：<mV0時，h'(m)>0,h(m)單調(diào)遞增,

所以九(m)min=/i(-1)=126,此時SAQCO=6V-3.

23.【解析】(1)由題，直線48的方程為喘+3=1,即y—

T

由離心率e=得匕=V-5a,

將y=代入雙曲線方程5%2-y2=5Q2,得一2/+2-2-。2=Q,

由題意，△=24-8(2+。2)=。=。2=1.所以雙曲線。的方程：X2一4=1.

(2)由(1)知，丁(竽,邛)，

所以|7尸2產(chǎn)=4.M(乎,0),|F2Ml?FzMI=孚乂2喝=4=|『27|2.

又Z&F2T=ZTF2M,

9述275△TF2M,

故LMTF?=4T尸14.

1

24.【解析】(1)圓心Ci到/的距離d==1,

JsiM8+(-cosJ)2

即直線/與圓的相切，所以IEM1；

(2)①i正明：由、=；%2,知F(o,i),C2的準線方程為y=-1，

y'=jx,設(shè)4(s"),P(Xi，yD，Qfx2fy2).

因為/1EM2,且I1與Q的公共點為P，

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所以。是曲線C2在點P處的切線，

其方程為PA:y=+力，即y=；必無一為，

則￡=2%2-月(*),

同理，QA：y=—丫2，則t=2%2S—丫2(**)

由(*)(**)得直線PQ的方程為t=Ixs-y,即y=—t,

x2=4y

由1,消去工得必+(2[-s2)y+￡2=o,

y=5zsx-t

2

則為+乃=s?-2t,yYy2=t,

又因為FP=yi+l,FQ=y2+l,

2222

則FP-FQ=(y1+l)(y2+D=力+力+丫1及+1=5—2t+t4-1=s+(t—l).

乂因為凡4?=s2+(t-I)2,所以凡42=FP,FQ,

故￡4是尸P,FQ的等比中項；

②由刎船鬻竿

則絲+”;叱+Z1±1=2+(力一)'2產(chǎn)=2+,；但一嗎

22

FpkFQyi+1y2+i3+1)優(yōu)+1)s+(t-l)

因為s2+(t+l)2=1,所以s2+(t-l)2=1-43

嵋+定2+隼涔

又因為一2<t<0,s2<1,

則翌排受*s&，

從而可得需+黑工3,

解得蔡K苧，

當A(L-i)，P(1-V5,空)時等號成立，

故卷的最大值為苧.

FP2

25.【解析】⑴當ABlx軸時，|48|=6,故點(4,3)在「上，可得匕2=3,

故r的標準方程為4一4=1.

故r的漸近線方程為y=±苧％.

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x=ty+4

(2)設(shè)直線ty+4,聯(lián)立弓1，可得(3t2-4)y2+24ty+36=0.

U3

..j,2/3

當3t2-4=0時，[與r只有一個交點,故tx#±-z—.

o

因為I與「右支有兩個交點,

-rZH._f2/3273、

設(shè)4(4,%)，8(4，,)，

24t32

X+X=t(y+YB)+8=-

%+丫8=一3r2-4ARA3t2-4

根據(jù)韋達定理可得即

36一64-⑵2’

=五口=(助+4)(^8+4)=

y4yBXAXB3t2-4

YA+"_2?，％+6(%+功)_￡

故AAC+〃8C=

孫+2XB+2~XAXB+2(XA+XB)+4~2

Xp-VxR=2XA(xP—2XA—4